www.facebook.com/groups/toantrongtam/
CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Dạng 1. Quan sát đồ thị của hàm số bậc hai rồi chỉ ra những khoảng mà hàm số có giá trị âm (dương)
hoặc kết luận về dấu của tam thức bậc hai.
Câu 1.

Cho hàm số

có đồ thị như hình dưới đây:

Hàm số nhận giá trị dương khi
A.

.

B.

thuộc khoảng nào dưới đây?
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số nhận giá trị dương khi
Câu 2.

nên chọn đáp án

.

Cho hàm số bậc hai có đồ thị như hình dưới đây:
y

-1

O

1

2

3 x

-4

Hàm số nhận giá trị dương khi
A.

.

B.

thuộc khoảng nào dưới đây?
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số nhận giá trị dương khi
án .
Câu 3.

Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ.

Trang 1

nên chọn đáp

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Đặt
A.

, khẳng định nào sau đây đúng?
,

.

B.

,

.

C.

,

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên
Mặt khác, parabol có bề lõm lên trên nên
Do đó, chọn đáp án
Câu 4.

.

.

.

Cho hàm số bậc hai có đồ thị như hình dưới đây:

Hàm số nhận giá trị âm khi
A.

.

thuộc khoảng nào dưới đây?

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số nhận giá trị âm khi
Câu 5.

Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ.

Đặt
A.

nên chọn đáp án

, khẳng định nào sau đây đúng?
,

.

B.

,

.
Trang 2

C.

,

.

D.

.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn C
Ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất nên
Mặt khác, parabol có bề lõm lên trên nên
Do đó, chọn đáp án
Câu 6.

.

.

Cho hàm số

có đồ thị như hình dưới đây:

Hàm số nhận giá trị âm khi
A.

.

.

thuộc khoảng nào dưới đây?

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số nhận giá trị âm khi

nên chọn đáp án

.

Dạng 2. Bài tập bất phương trình bậc hai dạng cơ bản (không quy đồng, không kết hợp tích nhiều biểu
thức, chỉ có 1 tam thức bậc hai duy nhất)
Câu 7.

Tập nghiệm của bất phương trình
A.
C.

là

.
.

B.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Đặt

. Ta có bảng xét dấu của

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 8.

Tập nghiệm của bất phương trình

Trang 3

là

sau đây

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn A

Đặt

. Ta có bảng xét dấu của

sau đây

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 9.

Tập nghiệm của bất phương trình
A.

là

.

B.

C.

.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Đặt

. Ta có bảng xét dấu của

sau đây

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình
A.

.

B.

.

là
.

C.
Lời giải

Chọn A
Trang 4

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Ta thấy

có

và

. Suy ra

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình
A.

.

B.

.

.
là

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Ta thấy

có

và

. Suy ra

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình
A.

.

B.

.

.
là

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Đặt

. Ta có bảng xét dấu của

sau đây

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

.

Dạng 3. Vận dụng được bất phương trình bậc hai một ẩn vào giải quyết bài toán thực tiễn (ví dụ: xác định
chiều cao tối đa để xe có thể qua hầm có hình dạng parabola,...).
Câu 13. Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng
và chiều cao
như hình vẽ bên dưới. Giả
sử một chiếc xe tải có chiều ngang
đi vào vị trí chính giữa cổng, hỏi chiều cao của xe
tải thỏa mãn điều kiện nào sau đây để có thể đi vào cổng mà không chạm tường?

A.

.

B.

.
Trang 5

C.

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giả sử parabol

.

Ta có

,

đi qua các điểm

và

nên có hệ:

.
Suy ra

.

Với

.

Vậy để xe có thể vào cổng mà không chạm tường thì
Câu 14. Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng

.

và chiều cao

như hình vẽ bên dưới. Giả

sử một chiếc xe tải có chiều cao
đi vào vị trí chính giữa cổng, hỏi chiều ngang
tải thỏa mãn điều kiện nào sau đây để có thể đi vào cổng mà không chạm tường?

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B

Trang 6

.

D.

của xe

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giả sử

. Vì

Suy ra

.

Với

đi qua điểm có tọa độ

nên ta có

.

.

Vậy để xe có thể vào cổng mà không chạm tường thì
Câu 15. Chi phí để làm ra một ly trà sữa truyền thống là

.

ngàn đồng. Nếu bán một ly với giá

ngàn

đồng thì mỗi ngày quán sẽ bán
ly. Để một ngày thu được nhiều lãi nhất thì
nhận
giá trị nào sau đây?
A.
ngàn đồng.
B.
ngàn đồng.
C.
ngàn đồng.
D.
ngàn đồng.
Lời giải
Chọn A
Gọi

(ngàn đồng) là tiền lãi của quán trong một ngày.

Ta có:

.

Dấu bằng xảy ra khi

.

Vậy quán bán một ly trà sữa với giá

ngàn đồng thì mỗi ngày sẽ thu được nhiều lãi nhất.

Câu 16. Có một miếng vải hình tam giác đều
hình chữ nhật
thuộc cạnh
A.

. Bạn bí thư đoàn muốn cắt một

từ miếng vải này để làm cái băng rôn (biết
và

.

cạnh bằng

thuộc cạnh
B.

thuộc cạnh

). Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật
.

C.
Lời giải

Chọn D

Trang 7

.

D.

;

là
.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Gọi

là độ dài

,

.

.

Xét tam giác
Gọi

vuông tại

có

.

là diện tích hình chữ nhật

, ta có:

.
Dấu bằng xảy ra khi

.

Vậy diện tích lớn nhất của miếng vải hình chữ nhật là

.

Câu 17. Bác Hai có
lưới, bác muốn rào một miếng đất hình chữ nhật để trồng rau, biết rằng có
một cạnh là bức tường, bác chỉ cần rào cạnh còn lại của hình chữ nhật. Diện tích lớn nhất của
miếng đất sau khi rào là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C

Miếng đất sau khi rào là
Gọi
Gọi

như hình vẽ, trong đó
,

là diện tích

là bức tường.

.

, ta có:
.
Trang 8

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Dấu bằng xảy ra khi
.
Vậy diện tích lớn nhất là

.

Câu 18. Bạn An tung một quả cầu từ vị trí cách mặt đất

, biết rằng quỹ đạo bay của quả cầu là

parabol. Sau giây thì quả cầu đạt độ cao
và đến giây thứ 5 thì quả cầu rơi xuống đất.
Quả cầu đạt vị trí cao nhất so với mặt đất ở giây thứ mấy (làm tròn hai chữ số thập phân)?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Gọi

(giây) là thời gian quả cầu bay.
là độ cao của quả cầu.

Ta có

.

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

.

Suy ra

.

Dấu bằng xảy ra khi

.

Vậy thời gian quả cầu đạt độ cao lớn nhất là
Dạng 4. Phương trình dạng
Câu 19.

giây.

(hằng số không âm).

là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Thế

vào đáp án A, ta có:

nên
Trang 9

không phải nghiệm phương trình.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Thế
trình.

vào đáp án B, ta có:

nên

Thế
vào đáp án C, ta có:
chọn đáp án C
Thế
trình.

nên

vào đáp án B, ta có:

Câu 20. Tập nghiệm
.

là nghiệm phương trình nên ta

nên

phương trình

A.

không phải nghiệm phương

không phải nghiệm phương

là

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Điều kiện:

(*).

.
Thế
Thế

vào điều kiện (*), ta thấy thỏa mãn.
vào điều kiện (*), ta thấy thỏa mãn.

Tập nghiệm phương trình

nên ta chọn đáp án B

Câu 21. Số nghiệm dương của phương trình
A. .
B. .

là
.

C.

D. .

Lời giải
Chọn B
Nhận thấy:

.

.
Suy ra nghiệm dương của phương trình
Câu 22. Phương trình
A.

nên ta chọn đáp án B

tương đương với phương trình nào dưới đây?
.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A
Nhận thấy:

.
nên ta chọn đáp án A
Trang 10

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 23. Gọi

là hai nghiệm của phương trình

. Khi đó giá trị biểu thức

bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Nhận thấy:

.

Phương trình (1) có

nên phương trình (1) sẽ có 2 nghiệm

.

Theo định lí Viet, ta có:

nên ta chọn đáp án D

Câu 24. Nghiệm âm của phương trình
.
A.
.
B.

có dạng
.

C.

. Tính giá trị biểu thức
.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Điều kiện:

Thế

(*).

vào điều kiện (*), ta thấy thỏa mãn nên nghiệm âm của phương trình là
.

Khi đó
Dạng 5. Dạng phương trình

nên ta chọn đáp án C
.
Trang 11

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 25. Điều kiện xác định của phương trình
A.
.
B.
.

là
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Điều kiện:

.

Câu 26. Nghiệm của phương trình
A.

.

là

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C

Vậy

.

Câu 27. Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

là

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

.

Vậy tổng các nghiệm là

.

Câu 28. Cho phương trình
đây.
A.

. Phương trình

.

B.

.

C.

Lời giải
Chọn C

Trang 12

tương đương với phương trình nào sau

. D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 29. Tích các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

là

.

C.

.

D. .

Lời giải
Chọn A

Vậy tích các nghiệm là 0.
Câu 30. Cho phương trình

. Bạn Hương giải theo các bước như sau:

Bước 1. Điều kiện xác định

.

Bước 2. Bình phương 2 vế ta được:
.
Bước 3.
Bước 4. Vậy

(thỏa mãn điều kiện).
.

Bạn Nam khẳng định Hương đã làm sai. Hỏi bạn Hương sai từ bước nào?
A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3.

D. Bước 4.

Lời giải
Chọn B
Bước 2 phép bình phương không phải là phép biến đổi tương đương vì khi
âm.
Dạng 6. Phương trình dạng

thì vế phải

.

Câu 31. Số nghiệm của phương trình
A. .
B. .

là
C. .
Lời giải

Chọn A

Ta có:

Trang 13

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

. Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 32. Số nghiệm nguyên của phương trình
A. .
B. .

là
C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Ta có:
. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Câu 33. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình
A. .
B.
.
C.

bằng
D.

.

.

Lời giải
Chọn D

Ta có:

.
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng
Câu 34. Tập nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

là
.

C.
Lời giải

Chọn B

Ta có:
Trang 14

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

. Vậy tập nghiệm của phương trình là
Câu 35. Tích các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

bằng

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C

Ta có:

. Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng
Câu 36. Số nghiệm của phương trình
A. .
B. .

là
C. .

.

D.

Lời giải
Chọn A
Cách 1:

Ta có:

. Vậy phương trình có
Cách 2:

Ta có:

Trang 15

nghiệm.

.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

. Vậy phương trình có
Dạng 7. Phương trình dạng

.

DẠNG TỔNG QUÁT:

.

CÁCH GIẢI:
Câu 37. Tập nghiệm
A.

.

nghiệm.

.
của phương trình
B.

là
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có

.
Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm là

.

Câu 38. Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

là

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Ta có

.
Vậy, tổng các nghiệm của phương trình là
Câu 39. Tập nghiệm

của phương trình

.
là

Trang 16

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có

.
Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm là

.

Câu 40. Số nghiệm của phương trình
A. .
B. .

là
C. .

D. 1.

Lời giải
Chọn D
Ta có

.
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Câu 41. Biết rằng phương trình
A. .
B. .

.

có hai nghiệm
C. .

. Giá trị của
D. .

là

Lời giải
Chọn A
Phương trình đã cho tương đương với

.
Vậy, ta có

.

Câu 42. Tập nghiệm
A.

.

của phương trình
B.

là
.

C.
Lời giải

Trang 17

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Chọn C

Phương trình đã cho tương đương với

.

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm là

.

Dạng 8. Phương trình dạng

.

Câu 43. Giải phương trình
nghiệm đó bằng
A.

.

ta được

B.

.

C.

nghiệm. Tổng bình phương của

.

D. .

Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định:
Ta có:

.

Vậy tổng bình phương của hai nghiệm bằng
Câu 44. Giải phương trình
nghiệm đó bằng
A.
.

.
ta được

B.

.

C.

nghiệm. Tổng bình phương của

.

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

.
Vậy tổng bình phương của hai nghiệm bằng
Trang 18

.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 45. Giải phương trình
bằng
A.

ta được nghiệm duy nhất là

.

B.

.

C.

.

. Khi đó

D. .

Lời giải
Chọn A
Ta có

.
Khi đó

.

Vậy

.

Câu 46. Giải phương trình
A.

.

ta được nghiệm là
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

.
Vậy nghiệm của phương trình là
Câu 47. Tìm m để phương trình
A.
.
B.

.
có nghiệm phân biệt.
C.
.
D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có

.

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
Trang 19

.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi
.
Câu 48. Tìm m để phương trình
A.

.

có 2 nghiệm phân biệt.
B.

.

C.

. D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có

.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi
Dạng 9. Phương trình dạng
Câu 49. Tập nghiệm
A.

.

của phương trình
.

.

B.

là
.

C.

Lời giải
Chọn A
Tập xác định

Phương trình

Trang 20

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Vậy tập nghiệm của phương trình là

.

Câu 50. Tập nghiệm của phương trình
A.

là
.

C.

B.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Tập xác định

Phương trình

Tập nghiệm của phương trình là

.

Câu 51. Tổng các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

bằng

.

C.
Trang 21

.

D. .

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Lời giải
Chọn A
Tập xác định
Phương trình

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
phân biệt.
A.
.
B.
.

để phương trình
C.

có hai nghiệm
.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có
Số nghiệm của phương trình
và đường thẳng

là số giao điểm của đồ thị hàm số
.

Xét
Ta có bảng biến thiên

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
Trang 22

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A.

.

B.

để phương trình
.

C.

có nghiệm.
.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Ta có:
Số nghiệm của phương trình
đường thẳng

là số giao điểm của đồ thị hàm số

và

.

Xét
Ta có bảng biến thiên

Để phương trình có nghiệm thì

.

Cách 2:
Đặt
Phương trình trở thành:
Xét hàm số

.
có bảng biến thiên là:

Để phương trình có nghiệm thì
Câu 54. Tìm tất cả giá trị thực của tham số

để phương trình
Trang 23

có nghiệm.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Đặt

. Suy ra

.

Phương trình trở thành:
Xét hàm số

có bảng biến thiên sau:

Phương trình có nghiệm khi
Dạng 10. Phương trình dạng

.
.

Câu 55. Số nghiệm của phương trình
A. .
B. .

là
C.

.

D.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

(Hệ vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 56. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A.

.

B. .

.
C.

Lời giải
Chọn C

Trang 24

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
Câu 57. Phương trình
A. .

B.

.

.

có số nghiệm là
C.

.

D. .

Lời giải
Chọn D

Ta có
Với

phương trình đã cho trở thành
.

Kết hợp với điều kiện
Với

, ta lấy

phương trình đã cho trở thành
(Không thỏa mãn điều kiện

)

Vậy phương trình có nghiệm là
Câu 58. Gọi
.
A.

là hai nghiệm của phương trình
.

B.

sao cho
.

C.
Lời giải

Chọn B
Ta có

.

Trang 25

.

. Tính
D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
Vậy tập nghiệm của phương trình là:

.

Suy ra
Vậy

.

Câu 59. Số nghiệm dương của phương trình
A. .
B. .

là
C. .

D.

.

Lời giải
Chọn B

.
Số nghiệm dương của phương trình là .
Câu 60. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Ta có

.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là

.

Dạng 11. Phương trình dạng

.

Câu 61. Tích các nghiệm của phương trình
A. .
B. .

là
C.
Lời giải

Chọn B
Trang 26

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

Ta có:

.
Tích các nghiệm của phương trình là
Câu 62. Tập nghiệm của phương trình
A.

.

.
là

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Do

nên

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
Câu 63. Gọi

.

là các nghiệm của phương trình

. Giá trị của biểu thức

là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn D

Ta có

nên

.
.
Câu 64. Số nghiệm của phương trình

là
Trang 27

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/
B. .
C. .

A. .

D.

.

Lời giải
Chọn C

Ta có:

, do đó:

.
Vậy phương trình có

nghiệm.

Câu 65. Tất cả các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

thuộc khoảng nào dưới đây?

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có:

.
Vậy phương trình có nghiệm

và

đều thuộc khoảng

Câu 66. Số nghiệm của phương trình
A. .
B. .

.

là
C.
Lời giải

Chọn A
Ta có:
Trang 28

.

D.

.

www.facebook.com/groups/toantrongtam/

.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
 HẾT 

Trang 29