BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC
Câu 1. Tam giác

có

. Số đo góc

A.

B.

Câu 2. Tam giác
A.

có

Câu 3. Tam giác

A.

và

B.

A.

có

và

C.

Câu 6. Cho hình thoi

cạnh bằng

B.

B.

Câu 8. Tam giác

A.

D.

. Tính độ dài cạnh

.

D.

. Tính độ dài cạnh

và có

.

. Tính độ dài cạnh

.

D.
. Điểm

thuộc đoạn

sao cho

.
C.

D.

có

. Khi đó góc

và

D.

C.

Câu 7. Tam giác
có
. Tính độ dài cạnh
A.

, cạnh

C.

B.

A.

bằng

C.

có

Câu 5. Tam giác

và

.

B.

Câu 4. Tam giác

.

D.

có đoạn thẳng nối trung điểm của

A.

D.

. Tính độ dài cạnh

C.

. Tính độ dài cạnh cạnh

trong góc

C.
và

B.

bằng:

. Gọi
bằng bao nhiêu độ?
B.

C.
Trang 1

D.

là chân đường phân giác

Câu 9. Tam giác
vuông tại , đường cao
. Hai cạnh
. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?
A.

B.

C.

Câu 10. Tam giác

vuông tại

và

tỉ lệ với

và

D.
. Trên cạnh

lấy hai điểm

bằng nhau. Đặt

sao cho các góc

. Trong các hệ thức sau, hệ

thức nào đúng?
A.

B.

C.

D.

Câu 11. Cho góc
. Gọi
và
là hai điểm di động lần lượt trên
. Độ dài lớn nhất của đoạn
bằng:
A.

B.

C.

B.

Câu 13. Tam giác

C.

. Các cạnh
. Khi đó góc

A.

góc

vuông tại

. Tính

A.

theo

B.

và

C.

, có

liên hệ với nhau bởi đẳng

D.

. Gọi

là độ dài đoạn phân giác trong

.

C.

D.

Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí
góc
. Tàu chạy với tốc độ
hải lí một giờ. Tàu
hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
A.

sao cho

bằng bao nhiêu độ?

B.

Câu 14. Tam giác

và

D.

có

thức

sao cho

D.

Câu 12. Cho góc
. Gọi
và
là hai điểm di động lần lượt trên
. Khi
có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn
bằng:
A.

và

hải lí.
Trang 2

, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau
chạy với tốc độ

hải lí một giờ. Sau

B.

hải lí.

C.

hải lí.

D.

hải lí.

Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm
chọn một điểm cùng ở trên bờ với
khoảng cách

,

trên bờ sông đến gốc cây trên cù lao giữa sông, người ta
sao cho từ
và
có thể nhìn thấy điểm . Ta đo được

và

.

Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách
giá trị nào sau đây?
A.

.

B.

.

C.

gần nhất với

.

D.

.

Câu 17. Từ vị trí

người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).

Biết

.

Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.
B.

.
.

C.
D.

.
.

Câu 18. Giả sử

là chiều cao của tháp trong đó

mặt đất sao cho ba điểm

và

.
Trang 3

là chân tháp. Chọn hai điểm

thẳng hàng. Ta đo được

trên
,

Chiều cao
A.

.

B.
C.

của tháp gần với giá trị nào sau đây?

.
.

D.

.

Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao
mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh
nằm ngang.

và chân

. Từ vị trí quan sát

của cột ăng-ten dưới góc

và

cao

so với

so với phương

Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng
cách chân tháp một khoảng
, giả sử chiều cao của giác kế là
.
A

Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy
đỉnh
của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc
Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

60°

B

O
1m

D

Câu 21. Từ hai vị trí
cao

.

và

C

của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh

, phương nhìn

phương nằm ngang góc

60m

tạo với phương nằm ngang góc
.
Trang 4

của ngọn núi. Biết rằng độ
, phương nhìn

tạo với

Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau
đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Câu 22. Tam giác
có
phát từ đỉnh của tam giác bằng:
A.

.

B.

Câu 23. Tam giác
tam giác đã cho.
A.

.

C.

vuông tại

cm. B.

A.

. B.

. B.

Câu 28**. Tam giác
bằng:

cm.

cm. Tính độ dài đường trung tuyến

C.

cm.D.

và

C.

. Gọi

cm.
. Gọi

D.

cm.
là điểm đối xứng của

cm.

là trung điểm của

. Biết

.

.

Câu 27*. Tam giác .. có trọng tâm
dài cạnh
.
A.

cm và

, có

Câu 26. Tam giác
có
và
. Tính độ dài cạnh

của

D.

B.

cm.

.

. Tính độ dài đường trung tuyến

cm,

cm.

. Độ dài đường trung tuyến xuất
D.

C.

Câu 25. Tam giác
cân tại
qua . Tính độ dài cạnh
A.

.

và có

B.

Câu 24. Tam giác
có
của tam giác đã cho.
A.

và

.

C.

.

D.

. Hai trung tuyến
C.

.

,
D.

có độ dài ba trung tuyến lần lượt là

Trang 5

.
và

. Tính độ

.
. Diện tích của tam giác

A.

.

B.

Câu 29*. Cho tam giác

.

C.

. D.

có

. Nếu giữa

thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
A.

.

B.

.

C.

Câu 30*. Cho hình bình hành
thức sau, biểu thức nào đúng:

.
có

và

B.

.

C.

.

D.

.

A.

có

. Các cạnh

. Góc giữa hai trung tuyến
.

B.

và

.

. Trong các biểu

liên hệ với nhau bởi đẳng

là góc nào?
C.

.

Câu 32**. Tam giác
có ba đường trung tuyến
tam giác này là tam giác gì?
A. Tam giác cân.

bằng:

.

.

thức

có liên hệ

của tam giác tính theo

D.

A.

Câu 31**. Tam giác

.

D.

.

thỏa mãn

. Khi đó

B. Tam giác đều.

C. Tam giác vuông.

D. Tam giác vuông cân.

Câu 33**. Tam giác
có
tuyến, trọng tâm. Xét các khẳng định sau:
.

. Gọi

là độ dài ba đường trung

.

.

.

Trong các khẳng định đã cho có
A.

đúng.

B. Chỉ

đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng.

Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
Câu 34. Tam giác
giác
.

A.

.

Câu 35. Tam giác

có

B.

và

.
có

. Tính bán kính

C.

.
và
Trang 6

D.

của đường tròn ngoại tiếp tam

.

. Tính bán kính

của đường tròn ngoại

tiếp tam giác
A.

.

.

B.

Câu 36. Tam giác
ngoại tiếp tam giác
A.

.

D.

.
. Tính bán kính

.

C.

.

D.

.

nội tiếp trong đường tròn bán kính

B.

.

C.

.

. Khi đó bán kính

D.

. B.

.

C.

và

.

D.

Câu 39. Cho tam giác
có
bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
A.

.

B.

.

C.

Câu 40**. Tam giác nhọn

và

.

có

D.
,

bằng:

.

Câu 38. Tam giác
vuông tại
có đường cao
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
A.

của đường tròn

.

Câu 37. Tam giác đều cạnh

.

.

có

. B.

A.

C.

. Tính bán kính

.
. Gọi

là trung điểm

. Tính

.
là đường cao kẻ từ

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

của tam giác

được tính theo

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

và

và

.

là:

Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Câu 41. Tam giác

A.
Câu 42. Tam giác

có

.

. Tính diện tích tam giác

B.

. C.

có

.D.

.

. Tính diện tích tam giác
Trang 7

.

.

A.

.

B.

.

Câu 43. Tam giác
A.

C.

có
.

C.

Câu 44. Tam giác
tam giác.
.

B.

.

.

.

B.

.

C.

có

.

cm,

.

của

.

.

có

trên

.

B.

.

D.

.

C.

có

. Giá trị

ằng:

.

và

B.

B.

D.

cm và có diện tích bằng

C.

.

Câu 51*. Tam giác
cạnh
.

uất phát từ đỉnh

là hình chiếu vuông góc của

. Khi đó hình bình hành có

.

D.

.

cm. Hai đường trung tuyến

và

bằng:
C.

.

D.

Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính
A.

.

D.
. Gọi

của

.

. B.

.

D.

có

Câu 49*. Tam giác
vuông tại
cắt nhau tại . Diện tích tam giác
A.

.

C.

Câu 48. Hình bình hành
diện tích bằng:
A.

.
. Tính độ dài đường cao

C.

.

Câu 47. Tam giác

A.

D.

bằng:

. Tính độ dài đường cao

B.

.

.

có

Câu 46. Tam giác
cạnh
. Tính
A.

.

có

Câu 45. Tam giác
tam giác.
A.

D.

. Diện tích của tam giác

. B.

A.

.

C.

cm có diện tích bằng:
D.

có

.

.

và độ dài đường cao

Trang 8

. Tính độ dài

A.

.

C.

hoặc

.

Câu 52*. Tam giác
có
lần đồng thời tăng cạnh
lên
tam giác mới được tạo nên bằng:
A.

.

.

D.

hoặc

có

.

.

D.

. Tam giác

B.

Câu 54*. Tam giác

C.

và

.

.

và có diện tích . Nếu tăng cạnh
lên
lần và giữ nguyên độ lớn của góc
thì khi đó diện tích của
B.

Câu 53*. Tam giác
bằng:
A.

B.

.

C.

có hai đường trung tuyến

góc

. Tính diện tích tam giác

A.

.

.

có diện tích lớn nhất khi góc
. D.

.

vuông góc với nhau và có

,

.

B.

.

C.

.D.

.

Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
Câu 55. Tam giác
tiếp tam giác đã cho.
A.

.

B.

Câu 56. Tam giác
giác đã cho.
A.

.

B.

.

và

.

C.

cm.

.

D.

B.

.

C.

B.

.

D.

của đường tròn nội tiếp tam

.

của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh

.

cm.

C.

.

có

C.

D.

cm,

cm.
Trang 9

của đường tròn nội

.

. Tính bán kính

Câu 58. Tam giác
vuông tại
nội tiếp tam giác đã cho.
A.

. Tính bán kính

có

Câu 57. Tính bán kính

A.

có

.

.
cm. Tính bán kính

D.

cm.

của đường tròn

Câu 59. Tam giác
giác đã cho.

A.

.

vuông cân tại

B.

Câu 60. Tam giác

.

.

vuông cân tại

B.

. Tính bán kính

C.

.

D.

. Khi đó tỉ số

.

C.

.

của đường tròn nội tiếp tam

.

và nội tiếp trong đường tròn tâm

kính đường tròn nội tiếp tam giác

A.

, có

bán kính

. Gọi

bằng:

D.

.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta có
Do đó,

.

. Chọn C.

Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta có
. Chọn D.
Câu 3.
Gọi

lần lượt là trung điểm của

.

là đường trung bình của

A
M

.
B

. Mà

, suy ra

Theo định lí hàm cosin, ta có

Chọn A.
Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta có

Trang 10

N

.

C

là bán

. Chọn B.

Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta có

.

Chọn A.
Câu 6.
Do

B

là hình thoi, có

.

A

C

Theo định lí hàm cosin, ta có
D

Chọn A.
Câu 7.

Theo định lí hàm cosin, ta có :

.
A

Do

.

Theo định lí hàm cosin, ta có
B

C

M

Chọn C.
Câu 8.
Theo định lí hàm cosin, ta có:

A

B

Trong

có

D

.
Trang 11

C

Chọn C.
Câu 9. Do tam giác
vuông tại
nhỏ nhất trong tam giác.
Ta có
Trong

, có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông

là

nên

.
có

là đường cao

. Chọn B.
Câu 10.

Ta có

.

Theo định lí hàm cosin, ta có

P

M

E

Q

F

. Chọn C.
Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta có:

Do đó, độ dài

y

lớn nhất khi và chỉ khi

B

.
Khi đó

O

.

x
A

Chọn D.
Câu 12. Theo định lí hàm sin, ta có
y
B

Do đó, độ dài

lớn nhất khi và chỉ khi
O

Trang 12

x
A

là cạnh

.
Khi đó

.

Tam giác

vuông tại

.

Chọn B

Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta có

.

Mà
(do

Khi đó,

)

. Chọn C.

Câu 14.
Ta có
Do

.

A

là phân giác trong của
B

D

C

.
Theo định lí hàm cosin, ta có

.

hay
Câu 15. Sau

. Chọn A.

giờ tàu

đi được

hải lí, tàu

và
Áp dụng định lí côsin vào tam giác

ta có
Trang 13

đi được

hải lí. Vậy tam giác

có

Vậy
Sau

(hải lí).
giờ, hai tàu cách nhau khoảng

hải lí. Chọn B.

Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác

Vì

ta có

nên

Câu 17. Trong tam giác

Chọn C.
, ta có

Suy ra

.
.

Suy ra

.

Áp dụng định lý sin trong tam giác

, ta được

Chọn B.

Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác
Ta có

ta có

nên

Do đó
Trong tam giác vuông

có

Câu 19. Từ hình vẽ, suy ra

Chọn D.
và
.

Áp dụng định lí sin trong tam giác

, ta có

.

Trang 14

Trong tam giác vuông

, ta có

Vậy

Chọn B.

Câu 20. Tam giác

vuông tại

có

Vậy chiếu cao của ngọn tháp là

Chọn C.

Câu 21. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác

có

và

Khi đó
Theo định lí sin, ta có

hay

Do đó
Gọi

là khoảng cách từ

đến mặt đất. Tam giác vuông

có cạnh

nên
Vậy ngọn núi cao khoảng

Chọn A.

Câu 22.

A

Áp dụng công thức đường trung tuyến

B

ta được:

C

M

Chọn D.
Câu 23.
B

là trung điểm của
Tam giác

vuông tại

A

Chọn D.
Trang 15

C
M

đối diện với góc

Câu 24.
A

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến

ta được:
B

C

M

Chọn A.
Câu 25.
Ta có:

là điểm đối xứng của

qua

là trung điểm của
D

là trung tuyến của tam giác
C

Theo hệ thức trung tuyến ta có:

A

B

Chọn C.
Câu 26.
Ta có:

là trung điểm của

Trong tam giác

ta có:

A

Ta có:

và

là hai góc kề bù.
B

Trang 16

M

C

Trong tam giác

ta có:

Chọn D.
Câu 27*.
Ta có:

và

là hai góc kề bù mà

là trọng tâm của tam giác
A
N

G

B

Trong tam giác

C

ta có:

là trung điểm của

Chọn D.

Câu 28**. Ta có:

Ta có:

Chọn C.

Diện tích tam giác

Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh
Trang 17

M

của tam giác:

Mà:

Chọn A.

Câu 30*. Gọi

là giao điểm của

và

Ta có:

là trung tuyến của tam giác

. Chọn B.
Câu 31**. Gọi

là trọng tâm tam giác

Ta có:

Trong tam giác

ta có:

Chọn D.

Câu 32**. Ta có:

Mà:

Trang 18

tam giác

vuông. Chọn C.

Câu 33**. Ta có:
. Chọn D.

Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta có
Chọn B.
Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta có

Suy ra tam giác

vuông tại

Câu 36. Đặt

do đó bán kính

Áp dụng công thức Hê – rông, ta có

Vậy bán kính cần tìm là
Chọn C.
Câu 37. Xét tam giác

Ta có

đều cạnh

gọi

là trung điểm của

suy ra

Vậy bán kính cần tính là
Chọn C.
Câu 38. Tam giác

Chọn A.

vuông tại

có đường cao
Trang 19

Mặt khác

thế vào

ta được

Suy ra
Vậy bán kính cần tìm là

Câu 39. Vì

là trung điểm của

Tam giác

có

tam giác

đều.

Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là
Câu 40**. Xét tam giác

vuông tại

Mà
Tam giác

Chọn B.
có
và

vuông tại

có

Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là

Câu 41. Ta có

. Chọn B.

Câu 42. Ta có
Suy ra tam giác
Diện tích tam giác
Câu 43. Ta có

.
cân tại

nên

.

là

Chọn C.
.

Trang 20

Do đó

. Chọn D.

Câu 44. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có
.

Ta có

.

Lại có
Câu 45. Gọi

Chọn C.
là chân đường cao xuất phát từ đỉnh

Tam giác vuông

.

, có

Chọn A.
Câu 46. Ta có

.

Suy ra

.

Lại có

. Chọn C.

Câu 47. Ta có

Chọn D.

Câu 48. Diện tích tam giác

là

Vậy diện tích hình bình hành
Câu 49*. Vì
Đường thẳng

là

Chọn C.

là trung điểm của
cắt

tại

suy ra

là trọng tâm tam giác

Khi đó
Vậy diện tích tam giác

là:
Trang 21

Chọn C.
Câu 50*. Xét tam giác

đều, có độ dài cạnh bằng

Theo định lí sin, ta có
Vậy diện tích cần tính là
Chọn C.

Câu 51*. Ta có

.

Suy ra

.

Lại có

Từ đó ta có

Chọn C.
Câu 52*. Diện tích tam giác
Khi tăng cạnh

lên

ban đầu là
lần và cạnh

lên

lần thì diện tích tam giác
Chọn D.

Câu 53*. Diện tích tam giác
Vì
Dấu

không đổi và

là
nên suy ra

xảy ra khi và chỉ khi

Trang 22

lúc này là

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
Câu 54*. Vì

Trong tam giác

là

Chọn B.

. (Áp dụng hệ quả đã có trước)

, ta có

Khi đó

. Chọn A.

Câu 55. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có
.

Diện tích

.

Lại có

. Chọn C.

Câu 56. Ta có

.

Suy ra

Lại có

Câu 57. Diện tích tam giác đều cạnh

.

Chọn C.

bằng:

Lại có
Câu 58. Dùng Pitago tính được

.

. Chọn C.
, suy ra

Diện tích tam giác vuông

.

.Lại có

Chọn C.
Câu 59. Từ giả thiết, ta có

và
Trang 23

.

Suy ra

.

Diện tích tam giác vuông

Lại có

.

Chọn C.

Câu 60. Giả sử

Ta có

. Suy ra

.

Diện tích tam giác vuông

Lại có

.

.

Vậy

Trang 24

. Chọn A.