A. ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
BÀI 1: CĂN BẬC HAI
1. LÝ THUYẾT
- Với số dương a, số
gọi là căn bậc hai số học của a.
- Số 0 gọi là căn bậc hai số học của 0.

* Chú ý: Với

. Ta có:

.

- Với hai số không âm a và b:
.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau: 64; 81; 1,21; 0,01; 0,04; 0,49; 0,64; 49.
Bài 2: So sánh:
1) 2 với

.

6) 6 với

.

11) 4 với

2) 8 với

.

7) 7 với

.

12) 8 với

3) 6 với

.

8) 7 với

.

13) 18 với

.

4) 5 với

.

9)

14)

với

.

15)

với

5)
với
.
Bài 3: So sánh:
1)

với

với

.

10)
.

3)
với
Bài 4: Tìm x không âm biết:
1)

.

5)
.

6)

3)

.

7)
.

.

2)

với

4)

2)

4)

với

với

.

8)

.
.

10)
.

.

11)
.

.

12)

.

BÀI 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
1. LÝ THUYẾT

.

- Với A là một biểu thức đại số thì
là căn thức bậc hai của A.
- Khi đó: A gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.
-

xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm hay

- Với mọi số a ta luôn có:
2. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm điều kiện xác định:
1)

.

7)

.

.

.

13)
1

.

.

9)
.

.

.

.

2)

.

8)

.

14)

3)

.

9)

.

15)

.

16)

.

4)
5)

.

10)
11)

.

17)

.

6)
.
12)
Bài 2: Tìm điều kiện xác định:

.

18)

.

1)

.

.

.

.

6)

.

11)

2)

.

7)

.

12)

.

3)

.

8)

.

13)

.

4)

.

9)

.

14)

5)
.
10)
Bài 3: Tìm điều kiện xác định:

.

.

15)

.

1)

.

7)

.

13)

.

2)

.

8)

.

14)

.

.

15)

.

16)

.

3)

.

9)

4)

.

10)

5)

.

11)

.

17)

.

6)
.
12)
Bài 4: Tìm điều kiện xác định:

.

18)

.

1)
4)
Bài 5: Rút gọn

.

2)
5)

.

.

3)
.
2

.

1)

.

8)

.

15)

.

16)

với

.

2)

.

9)

3)

.

10)

.

17)

với

.

4)

.

11)

.

18)

với

.

5)

.

6)

.

7)
Bài 6: Rút gọn:

.

.

12)

.

19)

với

.

13)

.

20)

với

.

21)

với

.

14)

.

1)

.

7)

.

13)

2)

.

8)

.

14)

3)

.

9)

.

.
.

15)

.

4)

.

10)

.

16)

.

5)

.

11)

.

17)

.

12)

.

18)

.

6)
Bài 7: Rút gọn:
1)

.

.

7)

.

13)

.

2)

.

8)

.

14)

.

3)

.

9)

.

15)

.

4)

.

10)

5)

.

11)

6)
Bài 8: Rút gọn:

.

12)

.

16)
.

17)
.

.

18)

.

1)

.

8)

.

2)

.

9)

.
3

.

3)

.

10)

4)

.

11)

.

5)

.

12)

.

6)

.

13)

.

7)
.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

.

14)

.

Dạng 1:
Dạng 2:
.
Bài 1: Giải phương trình:

Đặt

1)

.

8)

2)

.

9)

3)

.

10)

4)
5)
6)

.
.
.

.

.

15)
.

16)
.

.
.

.

18)

12)

.

19)

13)
14)

1)

.

8)

2)

.

9)

3)

.

10)

4)

.

.
.
.

.

20)

.

21)

.

15)
.

.

17)

11)

7)
.
Bài 2: Giải phương trình:

.

.

16)

.

.

17)

.

11)

.

18)

.

5)

.

12)

.

19)

.

6)

.

13)

.

20)

.

7)
.
Bài 3: Giải phương trình:

14)

.

1)

.

7)

2)

.

8)

.
.
4

3)

.

9)

4)

.

10)

5)

.

11)

6)

3)
4)

.

.

Dạng 3:
Bài 1: Giải phương trình:

2)

.

.

Dạng 2:

1)

.

.

.

6)
.

.

7)
.

.

8)
.

.

9)

.

5)
.
Bài 2: Giải phương trình:

10)

1)

.

9)

2)

.

10)

.

11)

.

12)

.

3)

.

4)

.

.
.

5)

.

13)

6)

.

14)

7)

.

15)

8)
.
Bài 3: Giải phương trình:

16)

1)

.

8)

.

2)

.

9)

.

3)

.

10)

.

4)

.

11)

.

.
.
.

5

5)

.

12)

.

6)

.

13)

.

7)
.
14)
.
BÀI 3: PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VỚI PHÉP KHAI PHƯƠNG.
ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI VÀ VÀO TRONG DẤU CĂN.
1. LÝ THUYẾT
với

.

với

với

.

với

.

với

.

với

2. BÀI TẬP
Bài 1: Tính
1)

.

10)

.

19)

2)

.

11)

.

20)

3)

.

12)

.

21)

4)

.

13)

.

22)

5)

.

14)

.

.

15)

7)

.

16)

.

25)

8)

.

17)

.

26)

1)
2)

.

.

.

.

.

.

12)

.
6

.
.

27)

11)
.

.

24)

18)

.

.

23)

6)

9)
Bài 2: Tính

.

.
.

3)

.

13)

4)

.

14)

5)

.

.
.

15)

6)

.

16)

7)

.

17)

8)

.

18)

9)

.

10)
Bài 3: Tính

.
.
.
.

.

1)

.

1)

2)

.

9)

.
.

3)

.

10)

.

4)

.

11)

.
.

5)

.

12)

6)

.

13)

.

14)

.

7)

.

8)
Bài 4: Tính
1)
2)

.

.

15)

7)
.

.
.

.

9)

4)

.

10)

5)

.

11)
.

.

8)

3)

6)
Bài 5: Tính

.

.
.

12)

.
7

1)

.

2)

.

13)

.

14)

.

3)

.

15)

.

4)

.

16)

.

5)

.

17)

.

6)

.

18)

.

7)

.

19)

.
.

8)

.

20)

9)

.

21)

.

22)

.

10)

.

11)

.

12)
Bài 6: Tính
1)

.

.

5)

.

2)

.

6)

3)

.

7)

.

4)
Bài 7: Tính

.

8)

.

1)
2)

.

.

9)
.

.

10)

.
.

3)

.

11)

4)

.

12)

.
8

5)

.

13)

6)

.

14)

7)

.

.
.

15)

8)
Bài 8: Tính:

.

.

16)

.

1)

.

9)

với

.

2)

.

10)

với

.

với

.

3)

.

11)

4)

.

12)

với

.

5)

.

13)

với

.

6)

.

14)

7)

.

15)

8)
Bài 9: Tính:

.

1)

.

2)

16)

.

10)

5)

.

11)

6)
Bài 10: Tính:

.

.

với

.
với

12)

8)

.

với

9)
.

.

với

8)

4)

1)

với

7)
.

3)

.

với
9

.

.
với

.

với

.

2)

.

3)

9)

.

4)

10)

.
.

.

.

1)

.

2)

1)
2)

.

.
.

7)
.

.

với
với

.

10)

5)

.

11)
.

với

8)

4)

4)

.

5)

9)

3)

với

.

.

2)

.

4)

3)

1)

.

6)

.

6)
Bài 13: Tính:

.

với

13)

.

3)
Bài 12: Tính:

với

12)

6)

.

với

11)

5)

7)
với
Bài 11: Tính:

với

.
.

với

với

12)

.

với

9)
.

.

.

với

10)
.

.

với

8)
.

.

.

với

11)

.
với

10

.

5)

.

6)

với

7)
Bài 14: Tính:

12)

.

.

5)

2)

.

3)

.

1)

.

1)

.

4)

.

5)
.

.

6)

.

2)

.

8)

.

3)
Bài 16: Giải phương trình:

.

7)

.

2)

.

6)

4)
Bài 15: Giải phương trình:

.

8)
.
.

10)

4)

.

11)

5)

.

12)

6)

.

13)

7)
Bài 17: Giải phương trình:

.

14)

2)

.

.

9)

3)

1)

.
.
.
.
.
.

9)
.

.

.

với

1)

với

.

10)

.
11

3)

.

11)

4)

.

12)

.

5)

.

13)

.

6)

.

14)

.

7)

.

15)

8)
Bài 18: Giải phương trình:

.

1)

.

5)

2)

.

6)

3)

.

7)

4)
.
Bài 19: Giải phương trình:

16)

.
.
.
.

8)

.

1)

.

10)

2)

.

11)

3)

.

12)

4)

.

13)

5)

.

14)

6)

.

15)

7)

.

16)

8)

.

.

17)

9)
.
BÀI 4. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI.
1. LÝ THUYẾT
- Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
- Trục căn thức ở mẫu:

với
với

.

.

12

với

.

với

.

2. BÀI TẬP
Bài 1: Trục căn thức ở mẫu:
1)

.

8)

.

16)

.

2)

.

9)

.

17)

.

3)

.

10)

4)

.

11)

5)

.

12)

.

20)

.

6)

.

14)

.

21)

.

22)

.

7)
.
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
1)
2)

15)

.

.

18)
.

19)

.

9)

.

.

10)

.

3)

11)

.

4)

12)

.

5)

.

.

.

13)

.

6)

.

14)

.

7)

.

15)

.
13

8)
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
1)

.

16)

.

.

7)

.

2)

.

8)

.

3)

.

9)

.

4)

.

10)

5)

.

11)

6)
Bài 4: Rút gọn biểu thức:

.

1)

.

.

6)
.

3)

.

7)
.

4)

.

5)
Bài 5: Rút gọn biểu thức:

2)

.

12)

2)

1)

.

.

.

8)

.

9)

.

10)

.

.

5)
.

.

6)

3)

.

7)

4)
Bài 6: Rút gọn biểu thức:

.

8)

.
.
.
14

1)

.

6)

.

2)

.

7)

3)

.

8)

.

4)

.

9)

.

5)
Bài 7: Rút gọn biểu thức:

.

10)

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

.

8)

.

9)

.

10)

.

.

11)

5)

. 12)

6)

. 13)

7)
Bài 8: Rút gọn biểu thức:

. 14)

1)

.

6)

2)

.

7)

.

.

.

.

.
.

3)

.

8)

.

4)

.

9)

.
15

5)
Bài 9: Rút gọn biểu thức:

.

10)

.

1)

.

5)

2)

.

6)

.

3)

.

7)

.

4)
.
Bài 10: Rút gọn biểu thức:

8)

1)

2)

3)

với

.

với

.

với

với

6)

.

với

7)

với

.

.

.

.

1)

với

3)

.

với

5)
Bài 12: Rút gọn biểu thức:

2)

.

4)

với

1)

5)

.

5)

4)
với
Bài 11: Rút gọn biểu thức:

3)

.

với

với

với

.

.

4)

.

.

với

6)

2)

.

với

6)
16

.

với

với

.

.

. Với

.

với

.

7)

với

.

Bài 13*: Rút gọn biểu thức:
Bài 14: Rút gọn biểu thức:

1)

.

4)

2)

.

.

5)

3)
BÀI 5: CĂN BẬC 3
1. LÝ THUYẾT

.

.

- Căn bậc ba của một số a là x sao cho
- Nếu

. KH là:

.

.

- Nếu

.

Với

thì:

.

.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Tính:
1)

.

5)

.

9)

.

10)

2)

.

6)

3)

.

7)

.

4)
.
Bài 2: Tính:

8)

1)

.

7)

.

13)

2)

.

8)

.

14)

.
.

11)
.

.

12)

.

.
.
17

3)

.

9)

4)

.

10)

5)

.

6)
.
Bài 3: Tính:
1)

.

15)

.

.

16)

.

11)

.

17)

12)

.

18)

.

.

.

5)

2)

.

.

3)

6)
.

4)
Bài 4: So sánh:

.

7)
.

.

8)

.

1) 5 và

.

4)

và

2) 7 và

.

5)

và

.

6)

và

.

3) 33 và
.
Bài 5: Giải phương trình:
1)
2)
3)

.

5)
.

6)
.

.

.

8)
.

7)

.

9)
.

.

10)

.

4)
.
Bài 9: Rút gọn:
1)

.

6)

.

2)

.

7)

.

3)

.

8)

.

4)

.

9)

5)
Bài 10: Rút gọn:

.

10)

.
.

18

1)

.

7)

2)

.

8)

3)

.

9)

4)

.

5)

.

.
.
.
10)

11)

.
.

6)
Bài 11: Rút gọn:

.

12)

1)

.

8)

2)

.

.

.

9)

.

3)

.

10)

.

4)

.

11)

.

5)

.

12)

.

6)

.

13)

.

7)
Bài 12: Rút gọn:

.

14)

.

1)

.

4)

2)

.

5)

3)
Bài 13: Rút gọn:

.

6)

1)

.

4)

2)

.

2)
3)

.
.

.
5)

3)
Bài 14: Rút gọn:
1)

.

.

.

6)

.

.

5)
.

.

6)
.

.

7)

.
19

4)
Bài 15: Rút gọn:

.

8)

.

1)

.

6)

2)

.

7)

.

3)

.

8)

.

9)

.

4)

.

.

5)
.
10)
B. HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG.
1. LÝ THUYẾT
- Cho

.

vuông tại A, đường cao AH.
+

hoặc

+

.

+

A

.

.

b

c

+

.

c'

b'

B

a

2. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm x, y, z trong các hình sau:
A

A

6cm

y

x

3cm

B

H

C

H

z

y

6cm

C

B

z

x

C

H
10cm

Bài 2: Tìm x, y, z trong các hình sau:
A

A

7,5cm

4cm

B

x

H

y

6cm

B

C

Bài 3: Tìm x, y, z trong các hình sau:

8cm

z

x

C

H
y

20

A

A

x

B

y

z

9cm

3cm

x

B

C

16cm

H
Bài 4: Tìm x, y,
z trong các hình sau:

z

y

H
5cm

A

A

y

x

1cm

B

C

3cm

B

C

2cm

H

x

5cm

A

A

x

4cm

y

x

B

H

A

y

H

6cm

B

C

z

x

B

6cm

y

z

H

6cm

C

C

H
10cm

A

A

x

z

y

Bài 7: Tìm x, y, z trong các hình sau:

12cm

C

A

x

3cm

144cm

z

Bài 6: Tìm x, y, z trong các hình sau:

B

y

60cm

B

C

H

6cm

C

H

Bài 5: Tìm x, y, z trong các hình sau:

3cm

z

y

B

8cm

y

x

C

H
z

Bài 8: Tìm x, y, z trong các hình sau:
A

A

21

Bài 9: Tìm x, y trong các hình sau:
A

17cm

A

B

y

H

5cm

x

8cm

C

7cm

x

B

C

H

Bài 10: Tìm x, y, z trong các hình sau:

y

A

x

B

A

y

16cm

25cm

3cm

z

H

C

B

x

y

H

A

A

7cm

5cm

x

x

y

H

C

B

9cm

H

x

2cm

H

y

8cm B

x

A

y

6cm

4,5cmC H

Bài 13: Tìm x, y, z, t trong các hình sau:

16cm

z

A

A

y

t

Bài 12: Tìm x, y, z, t trong các hình sau:

B

C

t

Bài 11: Tìm x, y, z, t trong các hình sau:

B

4cm

z

t

C

z

22

A

C

Bài 14: Tìm x, y, z trong các hình sau:
A

A

y

x

B

4cm

H

3cm

3cm

B

C

5cm

z

x

H

y
t

Bài 15: Tìm x, y trong các hình sau:

A

A

x

H

2cm

AB 3
=
AC 4

y

3cm

B

C

x

B

A
AB 3
=
AC 4

y

5cm

x

6cm

x

H

x

B

C

H

Bài 17: Tìm x, y, z trong các hình sau:
A

A

x

B

2cm

H

AB 5
=
AC 6

y

z

8cm

C

15cm

A

B

y

H

Bài 16: Tìm x, y trong các hình sau:

y

C

C

B

x

Bài 18: Tìm x, y, z trong các hình sau:

H

y

C

122cm

A

A

23

AB 3
=
AC 4

y

C

Bài 19: Tìm x, y trong các hình sau:
A

A

y

x

B

AB 5
=
AC 7

H

9cm

15cm

x

B

C

16cm

y

H

C

Bài 20: Tìm x, y trong các hình sau:

A

A

x

B

y

6cm

15cm

H

4,5cm

x

B

C

AB 3
=
AC 4

C

H
y

Bài 21: Tìm x, y, z, t trong các hình sau:
A

x

B

A

y

6cm

4,5cm

AB 5
=
AC 6

H

30cm

t

C

B

x

H

y

C

z

Bài 22: Tìm x, y, z trong các hình sau:
A

A
AB

6cm

B

4,5cm

x

y

H
7,5cm

z

x

C

B

24

y

33,6cm

H

=

7

AC 24

C
z

Bài 23: Tìm x, y trong các hình sau:
A

7cm

A

9cm

x

B

AB 5
=
AC 6
30cm

C

H

x

B

y

H

C

y

Bài 24: Tìm x, y, z, t trong các hình sau:
A

x

A

y

2cm

B

y

x

C

H

z

B

AB 3
=
AC 4

t

H

5cm

C

125cm

Bài 25: Tìm x, y trong các hình sau:
A

A

y

5cm

B

4cm

H

AB 1
=
AC 4
14cm

x

C

B

x

H

y

C

Bài 26: Tìm x, y, z trong các hình sau:
A

A

B

7cm

8cm

6cm

x

H

Bài 27: Cho
AB. Biết

y

B

C

z

x

H

24cm

y

C

vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là hình chiếu của H trên AC. Gọi E là hình chiếu của H trên
. Tính AB, AC.

Bài 28: Cho

vuông tại A, đường cao AH, Biết

. Tính HB, HC.

Bài 29: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính AC.

Bài 30: Cho
BC, AH, BH, CH

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính AB, AC,

Bài 31: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính AB, AC, BC, AH, BH, CH
25

Bài 32: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính AB, AC, BC, AH, BH, CH

Bài 33: Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông nếu đường cao ứng với cạnh huyền là
cạnh góc vuông lên cạnh huyền theo tỉ lệ là

và hình chiếu các

.

Bài 34: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

Bài 35: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính BC.

Bài 36: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính chu vi

Bài 37: Cho

vuông tại A. Biết

Bài 38: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

Bài 39: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính diện tích

.

Bài 40: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Tính diện tích

.

Bài 41: Cho
vuông tại A có
Tính AH, AB và AC.

và

. Đường cao

. Tính BH và CH.

. Tính chu vi

.

. Tính diện tích

, đường cao AH. Biết

và diện tích

Bài 42: Cho

vuông tại A, đường phân giác AD, đường cao AH. Biết

Bài 43: Cho
CH.

vuông tại A, đường phân giác AD, đường cao AH. Biết

Bài 44: Cho

vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH. Biết

Bài 45: Cho

vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH. Biết

Bài 46: Cho

.

bằng

.

. Tính HD.
. Tính BH và
. Tính HB, HC.
. Tính AH và AD.

vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Biết
. Tính độ dài HB, HC, AH.

Bài 47: Cho
vuông tại A có
a, Tính BH, CH, AB và AC.
b, Vẽ trung truyến AM. Tính

, đường cao AH. Biết
.

c, Tính diện tích
Bài 48: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) có

. Biết

. Tính AD.

Bài 49: Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy là
vuông góc với cạnh bên BC. Tính diện tích hình thang ABCD.

và cạnh bên

Bài 50: Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Đường chéo

. Biết

. Đường chéo AC
và

. Tính AB, BC, BD.
Bài 51: Cho hình thang vuông ABCD

có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết

. Tính diện tích hình thang.
Bài 52: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết
vuông góc với nhau tại O.
26

,

. Hai đường chéo AC và BD

a, Tính OB và OD.

b, Tính AC.

c, Tính diện tích hình thang ABCD.

Bài 53: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Có
thang.
Bài 54: Cho

nhọn, đường cao CH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên CD và CE.

a, Chứng minh:
Bài 55: Cho

. Tính diện tích hình

.

b, Chứng minh

.

nhọn, đường cao AH.

a, Chứng minh

.

b, Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh
Bài 56: Cho

nhọn, đường cao AH,Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a, Chứng minh

.

b, Cho
Bài 57: Cho
a, Tính AM, BM.

. Tính AM, HM, HN, MN.
vuông tại A có

b, Chứng minh

, đường cao AM. Kẻ

Bài 59: Cho

a, Chứng minh

vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB và AC.

.
.
vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a, Chứng minh

.

b, Chứng minh
c, Cho

.

. Tính chu vi và diện tích tứ giác ADHE.

b, Chứng minh
Bài 60: Cho

.

.

Bài 58: Cho
vuông tại A, đường cao AH có
a, Tính AB, AC và AH.
b, Hạ

.

.
. Tính chu vi

và diện tích tứ giác AMHN.

Bài 61: Cho
vuông tại A, đường cao AH. Cho
a, Tính AB, AC và AH.

.

b, Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh
c, Chứng minh
Bài 62: Cho
AB và AC.
a, Chứng minh
Bài 63: Cho

.
vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu cảu H lên
.

b, Chứng minh

.

vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
27

a, Cho

. Tính AC và AH.

b, Chứng minh
c, Cho

.
. Tìm GTLN diện tích tứ giác HEAF.

Bài 64: Cho
vuông tại A, đường cao AH.
Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a, Chứng minh

.

b, Kẻ AD là phân giác

. Cho

c, Chứng minh
Bài 65: Cho

. Tính AB và AH.
.

có

a, Chứng minh

.
vuông. Tính đường cao AH.

b, Đường phân giác góc

cắt BC tại D. Từ D kẻ

c, Chứng minh
Bài 66: Cho
trên AB và AC.
a, Tính DE.

. Tính diện tích AEDF.

.
vuông tại A, đường cao AH. Biết

. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H

b, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh
c, Tính diện tích tứ giác DENM.
Bài 67: Cho
từ H đến MN, MP.
a, Tính MH.

có

.

, đường cao MH. Gọi E và F là chân dường vuông góc kẻ

b, Chứng minh
.
c, Kẻ EI và FK lần lượt vuông góc với NP. Chứng minh H là trung điểm của IK, Tính diện tích tứ giác EFIK.
Bài 68: Cho
vuông tại A
của H trên AB và AC.
a, Cho biết

, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
. Tính độ dài BH và BM.

b, Chứng minh
.
c, Gọi Q, K lần lượt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh MQ // KN.
Bài 69: Cho
Chứng minh:
a,

cân tại A có AH và BK là hai đường cao. Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt AC tại D.

.

Bài 70: Cho
a, Tính AH, BC và
b, Tia phân giác

b, Chứng minh

.

vuông tại A, đường cao AH, biết

.

.
cắt AH tại D, cắt AC tại K. Tính

,
28

.

c, Gọi E là hình chiếu của K trên BC. Chứng minh

.

Bài 71: Cho
vuông tại B, đường cao BH, cho
a, Tính BH, AB và BC.
b, Từ H kẻ

. Chứng minh

c, Trung tuyến BM của
d, Phân giác

.
.

. Tính

.

cắt AC tại D. Chứng minh

Bài 72: Cho

.

vuông tại C, đường cao CK.

a, Cho biết
. Tính BC, CK, BK và AK.
b, Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của K lên BC và AC. Chứng miinh
.
c, Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ K xuống IH. Chứng minh
d, Chứng minh
Bài 73: Cho
AC cắt AH tại D.

.
vuông tại A, đường cao AH, qua B kẻ đường thẳng song song với

a, Chứng minh

.

c, Biết
Bài 74: Cho

.

b, Chứng minh

. Tính chu vi, diện tích

và hình thang ABDC.

vuông tại A, đường cao AH. Kẻ

a, Chứng minh

.

.

và

.

b, Chứng minh

c, Chứng minh

.

.

Bài 75: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo
cạnh của hình thoi là h. Chứng minh

và

cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tói mỗi

.

Bài 76: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Kẻ

.

Chứng minh
.
Bài 77: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là điểm nằm giữa A và B. Tia DI cắt CB tại K. Kẻ đường thẳng đi qua D và
vuông góc với DI, đường thẳng này cắt BC tại L. Chứng minh:
a,
cân.
b, Tổng
đổi khi I di chuyển trên AB.
Bài 78: Cho HCN ABCD có

có giá trị không
,

.
29

a, Tính độ dài đoạn thẳng BD.

b, Vẽ

. Tinh AH.

c, AH cắt BC và DC lần lượt tại I và K. Chứng minh
Bài 79: Cho HCN ABCD có

. Kẻ

a, Tính BD, AH.
c, Kẻ

.
.

b, AC cắt BD tại O. Tính

. Chứng minh

.

.

d, Đường thẳng AH cắt BC tại M và cắt DC tại N. Chứng minh
BÀI 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN.

.

1. LÝ THUYẾT
Cho góc nhọn

. Dựng

vuông tại A sao cho

, Khi đó:
A

.

.

cạnh đối

cạnh kề

.

.
B

α
cạnh huyền

Một số hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác:
.

.
.

.
.

.

Nếu hai góc và là hai góc phụ nhau thì:
Sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
Bẳng tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt:

Sin

cos

Chú ý:

tan

1

cot

1

30

C

Với hai góc

và

,

+ Nếu

.

+ Nếu

.

+ Nếu

.

+ Nếu

.

2. BÀI TẬP
Bài 1: Tính:
1)
.
Bài 2: Tính:

2)

.

3)

.

.

4)

.

.

.

Bài 3: Tìm x biết:
B

A

470
tan470 ≈1,072

x

x

600
B

C

8cm

Bài 4: Cho

vuông tại A. Biết

Bài 5: Cho

vuông tại A. Biết

Bài 6: Cho

vuông tại A, biết

Bài 7: Cho

vuông tại A. Biết

Bài 8: Cho

vuông tại A. Biết

Bài 9: Cho

vuông tại A biết

Bài 10: Cho

vuông tại A. Biết

Bài 11: Cho

vuông tại A biết

Bài 12: Cho

, đường cao AH. Biết

Bài 13: Cho

có

A

63

và

C

. Tính AB.
. Tính AC và BC.

. Tính AC và BC.
. Tính độ dài AC và BC.
. Tính BC và AC.
. Tính AC và BC.
,

. Tính BC và AC.
. Tính AC và BC.
. Tính
.
31

.

a, Chứng minh

vuông tại A.

b, Tính

Bài 14: Cho

vuông tại A. Biết

Bài 15: Cho

vuông tại A, Biết

Bài 16: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

Bài 17: Cho

vuông tại A, đường cao AH. Biết

Bài 18: Cho

biết

a, Chứng minh

và đường cao AH.

. Tính tỉ số lượng giác của góc
. Viết tỉ số lượng giác của góc

.

.
. Tính

. Tính

.
.

.

vuông.

b, Tính

Bài 19: Cho
lượng giác góc C.

vuông tại A, biết

Bài 20: Cho
giác góc C.

vuông tại A có

.
. Tính các tỉ số lượng giác của góc B từ đó suy ra tỉ số
. Tính tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng

Bài 21: Cho
vuông tại C có
lượng giác của góc A.
Bài 22: Cho
giác của góc C.

vuông tại A. Biết

Bài 23: Cho

có

. Tính tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số
. Tính tỉ số lượng giác của góc B từ đó suy ra tỉ số lượng

,

.

a, Chứng minh
vuông.
b, Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A.
Bài 24: Cho

vuông tại A. Tính tỉ số lượng giác của góc C biết

Bài 25: Cho

vuông tại A. biết

. Tính tỉ số lượng giác của góc C.

Bài 26: Cho hình sau:
a, Tính các góc

A

.

b, Tính chu vi và diện tích

5 cm

B

Bài 27: Cho
kẻ

4 cm

vuông ở T có

H

C

5 cm

. Trên tia đối của tia OC, lấy điểm A sao cho

cắt TC tại D.

a, Chứng minh
Bài 28: Cho

.

.

b, Tính

và tính TC, AD theo a.

vuông tại A, đường cao AH. Biết

a, Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH.
c, Đường phân giác trong

.

b, Tính số đo

cắt BC tại E. Tính BE và CE.
32

và

.

. Tại A

Bài 29: Cho

biết

.

a, Chứng minh

vuông.

c, Giải tam giác

.

b, Đường cao DK. Tính DK và FK.

d, Phân giác trong DM của
Bài 30: Cho

. Tính ME và MF.

vuông tại A,

chiếu của B và C trên

là đường thẳng bất kì đi qua A và không cắt BC. Gọi E và F lần lượt là hình

.

a, Chứng minh

. Chứng minh

b, Biết diện tích

là

,

. Tính AC, AH và

c, Tìm vị trí của

để

Bài 31: Cho
AC.

vuông tại A có

.

d, Tính diện tích

.
vuông tại M, đường cao MI. Vẽ

a, Cho biết

,

.

. Tính EF, EI và MI.

b, Chứng minh

.
vuông tại A,

biết

.

a, Tính các cạnh và góc của

.

b, Kẻ đường cao AH của

, Từ H kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB và AC. Tính DE.

c, Chứng minh

.
vuông tại A, đường cao AH.

a, Giả sử

. Tính AC, BH và AH.

b, Kẻ

. Chứng minh

c, Kẻ

. Chứng minh

d, Chứng minh
Bài 35: Cho

.

. Tính DE.

c, Tính số đo

Bài 34: Cho

, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và

và

b, Biết

Bài 33: Cho

.

đạt giá trị lớn nhất.

a, Chứng minh

Bài 32: Cho

.

.
.

.
có

.

a, Chứng minh
vuông .
b, Kẻ đường cao AH. Tính AH, BH.
33

c, Tính

.

d, Vẽ

. Chứng minh

Bài 36: Cho

có

a, Chứng minh
c, Tính góc

.
.

vuông.

b, Kẻ đường cao

. Tính độ dài MH và PH.

.

d, Vẽ

. Chứng minh

Bài 37: Cho

.

vuông tại A, có

, đường cao AH.

a, Tính AH và .
b, Vẽ HE và HF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tính diện tích tứ giác AEHF.
c, Chứng minh rằng
Bài 38: Cho

.
có

.

a, Chứng minh
vuông. Tính các góc
.
b, Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BCcắt AB tại D. Tính độ dài AD và CD.
c, Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A trên BC và CD. Chứng minh

và

.
Bài 39: Cho

. Vẽ đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hìnhchiếu của H trên AB, AC.

a, Biết

. Tính AE và

b, Chứng minh
c, Nếu

.

.
thì tứ giác AEHF là hình gì? Lấy I là trung điểm của BC, AI cắt EF tại M. Chứng minh

vuông.
d, Chứng minh
Bài 40: Cho

.
vuông tại A có

, đường cao AH.

a, Tính độ dài AB, AC, AH.

b, Chứng minh

c, Gọi Bx, By lần lượt là tia phân giác trong và ngoài của
d, Tính diện tích tứ giác AKBE.

.

Kẻ

. Chứng minh KE // BC.

Bài 41: Cho
vuông tại A, đường cao AH. Các đường phân giác
tại M, N. Gọi K là trung điểm của AM.
a, Chứng minh
b, Dựng
c, Chứng minh

là một tam giác cân.
tại I. Chứng minh

và

.

.
34

và

cắt BC lần lượt

Bài 42: Cho

vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM, có

a, Tính AB và AH.

b, Tính

và

.

c, Gọi E là hình chiếu của H trên AC. Chứng minh

.

Bài 43: Cho
vuông tại A, đường cao AH, có
a, Tính độ dài AH, AB, AC.
b, Gọi M là trung điểm của AC. Tính
c, Kẻ

.

.

. Chứng minh

Bài 44: Cho

.

.

vuông tại A, đường cao AH. Biết

.

a, Tính AB, AC và AH.
b, Trên AC lấy K ( K khác A và C), D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh
c, Chứng minh
Bài 45: Cho

.

.
vuông tại A, vẽ đường cao AH. Biết

a, Tính BH, AH và

.

.

b, Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính diện tích

.

c, Trên cạnh AC lấy điểm K tùy ý. Gọi D là hình chiếu của A trên BK. Chứng minh
d, Chứng minh

.

.

Bài 46: Cho

vuông tại A, đường cao AH.

a, Cho

và

. Tính cạnh AB, AC, BH và

.

b, Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt AC tại D, Chứng minh
c, Kẻ phân giác BE của

. Chứng minh

.

.

d, Lấy K thuộc AC, Kẻ
. Chứng minh
.
Bài 47: Tứ giác MNEF vuông tại M và F, có EF là đáy lớn, hai đường chéo ME và NF vuông góc với nhau tại O.
a, Chứng minh
b, Cho biết

.
. Giải

. Tính MO và FO.

c, Kẻ
. Tính diện tích
. Từ đó tính diện tích
.
BÀI 3: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG.
1. LÝ THUYẾT
Trong mỗi tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc cos góc kề.
+ Cạnh góc vuông kia nhân tan góc đối hoặc cot góc kề.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Tính x, y biết:
35

A

A
y

8

11

x

300

380

B

y

x

300

C

H

500

B

C

H

Bài 2: Tính x, y biết:

C

4

D

600
A

y

x

4
A

400

700
P

B

Q

B

D

Bài 3: Tính

AB // CD

500

7

x

C

y

trong mỗi hình sau:
A

A

10cm
650

300

B

Bài 4: Tính

C

4cm

B

C

trong mỗi hình sau:
A

A

10cm
350

B

C

15cm

Bài 5: Tính

B

trong mỗi hình sau:
A

A

B

C

Bài 6: Tính

12cm

7cm

28cm

21cm

B

C

trong mỗi hình sau:
A

3,8cm

C

20cm

A

36

6cm

Bài 7: Tính

trong mỗi hình sau:

A

A

5,4cm

300

B

600

C

Bài 8: Tính

B

trong mỗi hình sau:

C

11cm

A

A

10cm

B

10cm

Bài 9: Tính

450

C

15cm

B

trong mỗi hình sau:

C
A

A
12cm

7cm

5cm
280

B

C

Bài 10: Tính

B

C

trong mỗi hình sau:
A

A

8cm

13cm

15cm

B

Bài 11: Tính

12cm

B

C

C

trong mỗi hình sau:
A

A

16cm
500

420

B

Bài 12: Tính

C
A

B

trong mỗi hình sau:

15cm

C

10cm

A

37

16cm

Bài 13: Tính

A

trong mỗi hình sau:
A

7cm

3cm

480

B

C

25cm

C

B

Bài 14: Cho

vuông tại A. Biết

. Tính các độ dài AC, BC và phân giác AD.

Bài 15: Cho

vuông tại A. Biết

. Tính độ dài đường phân giác BD.

Bài 16: Cho

. Biết

. Tính.

a, Đường cao AH và AC.

b, Diện tích
,

.

Bài 17: Cho
BC. Tính:
a, Tính AN.

có

và

. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh

Bài 18: Cho

có

. Đường cao CH. Tính AH, BH và CH.

Bài 19: Cho

có

.Tính AC.

Bài 20: Cho

có

Bài 21: Cho

có

Bài 22: Cho

có

b, Tính AC.

a, CH và AC.

. Tính AC.
.Tính diện tích

.

. Tính:
b, Diện tích

.

Bài 23: Cho

có

. Tính diện tích

.

Bài 24: Cho

có

. Tính diện tích

Bài 25: Cho

có

. Tính diện tích

.

Bài 26: Cho

có

. Tính diện tích

.

.

Bài 27: Tính diện tích hình thang cân ABCD, biết 2 cạnh đáy là 12cm và 18cm. góc ở đáy là 75 độ.
Bài 28: Cho hình thang ABCD có AB // CD,
. Tính đường cao AH của hình thang.
Bài 29: Cho tứ giác ABCD có
. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 30: Cho

vuông tại A, Biết

.
38

a, Giải

.

b, Kẻ đường cao AH. Tính AH, BH.
Bài 31: Cho
a, Giải

c, M là trung điểm của AC. Tính

vuông tại A có

.

.

b, Chứng minh

.

c, Trên AC lấy D sao cho
Bài 32: Cho

. Vẽ

. Chứng minh

.

vuông tại A, Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ

a, Cho

. Giải

b, Chứng minh

.

c, Chứng minh

.

Bài 33: Cho

, đường cao AH. Từ H kẻ

và

.

b, Cho biết

. Tính độ dài AE và BE.

c, Biết

.

.

a, Chứng minh

.

. Tính FC.

Bài 34: Cho
a, Giải

.

vuông tại A có

.

.

b, Vẽ đường cao AD, từ D kẻ
Bài 35: Cho

. Chứng minh

vuông tại A. Biết

.

.

a, Giải
.
b, Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt AC tại D. Tính AD và BD.
c, Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên BC và BD. Chứng minh
Bài 36: Cho

có

, đường cao AH.

a, Chứng minh
b, Hạ
c, Cho
Bài 37: Cho

.

.
. Chứng minh

.

. Tính AH.
cân đỉnh A, vẽ các đường cao AH và BI. Biết

Bài 38: Cho
vuông tại A có
a, Tính AB, AC.
b, Kẻ đường cao AH. Tính HB, HC.

. Tính BI.

.

c, Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho

. Chứng minh

d, Từ A kẻ đường thẳng song song với phân giác

cắt CD tại K. Chứng minh
39

.

Bài 39: Cho
vuông tại A,
a, Tính AB và AC.

.

b, Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho

. Chứng minh

.

c, Đường thẳng song song với phân giác
kẻ từ A cắt CD tại H. Chứng minh
.
Bài 40: Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G lần lượt
là trung điểm của AH, BH và CD.
a, Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.
b, Chứng minh

.

c, Cho biết

. Tính diện tích ABCD theo h và

d, Tính độ dài AC theo h và
Bài 41: Cho
a, Giải

.

.

vuông tại B có

.

. Tính đường cao BK.

b, Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho

. Chứng minh rằng:

.

c, Đường thẳng qua B song song với phân giác
cắt AN tại H. Chứng minh
.
d, Gọi M là điểm di chuyển trên cạnh AC. D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và BC. Xác định vị trí điểm
M để diện tích tứ giác BDME đạt giá trị lớn nhất.
Bài 42: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn BD. Kẻ
a, Chứng minh

và

.

.

b, Chứng minh

.

c, Cho
. Tính diện tích tứ giác AKCH.
Bài 43: Cho hình vuông ABCD và điểm E tùy ý trên BC. Tia Ax vuông góc với AE cắt CD tại F. Trung tuyến AI của
và kéo dài cắt CD tại K.
a, Chứng minh

.

b, Chứng minh

và

.

c, Cho

. Tính diện tích

d, AE cắt CD tại M. Chứng minh
Bài 44: Cho

.
không phụ thuộc vào vị trí điểm E.

vuông tại A có

.

a, Giải
.
b, Kẻ đường cao AD. Trên nửa mặt phẳng bờ AD không chứa điểm P vẽ hình vuông ABCD.
AN cắt BC tại M. Chứng minh
c, Kẻ trung tuyến AI của

cân tại A.
cắt CD tại K. Chứng minh
40

.

d, Chứng minh rằng
Bài 45: Cho

.
nhọn

a, Biết

, Đường cao BD và CE.
. Tính AE và CE.

b, Tia DE cắt CB tại F. Chứng minh
và
.
c, Qua B kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, Qua C kẻ đường thẳng d\prime vuông góc với AC,
d, và cắt nhau tại M. Gọi I, K lần lượt là trung điểm AM và BC. Chứng minh
Bài 46: Cho

nhọn, đường cao AH, BK. Từ H kẻ

a, Chứng minh

.
.

.

b, Cho

. Tính FC.

Bài 47: Cho
có
đường vuông góc hạ từ D và E xuống AC.
a, Tính BC, CA và diện tích
b, Tính diện tích

. Kẻ hai đường cao AD và CE. Gọi H và K lần lượt là chân

.

.

Bài 48: Cho
vuông tại A, đường cao AH, Gọi M là trung điểm của BC,
a, Tính HC và AM.
b, Tính

.

.

c, Gọi I là trung điểm của AH. Trên tia đối của tia IB lấy điểm E sao cho
cho

,

. Gọi K là giao điểm của BF và CE. Chứng minh

.
DẠNG TOÁN HÌNH THỰC TẾ
Bài 1. Một người thợ sừ dụng thước ngắm có góc
vuông để đo chiều cao của một cây dừa, với các
kich thước đo được như hình bên. Khoảng cách
từ vị tri gốc cây đến vị tri chân cùa người thợ là
vả từ vị tri chân đứmg thằng trên mặt đất đến mắt
của ngưởi ngắm là
. Hòi với các kích thước
trền thì người thợ đo được chiểu cao của cây đó là
bao nhiêu? (làm trôn đến mét).

Bài 2. Một cột cờ vuông gớc với mặt đất có bóng dài
nắng của mặt trời tạo với mặt đất một gỏc là
Tính chiều cao của cột cờ?

, tia

(hình vẽ bên).

41

, trên tia đối của tia IC lấy F sao

Bài 3. Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ớ trên mạ̄t
biển bẳt đầu lặn xuống và di chuyển theo một dường thẳng
tạo vởi mặt nước biển một góc

Khi tảu chuyển động theo

hướng đó và đi được
thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với
mặt nước (làm tròn đến đơn vị mét).

Bài 4. Tính chiều cao của cây trong hình
vẽ bên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 5. Quan sát hình vẽ dưới đây. Giả sử
là chiều cao của tháp trong đó
h...