Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
(2 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết được công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản bằng
cách vận dụng đồ thị hàm số lượng giác tương ứng.

-

Tính được nghiệm gần đúng của phương trình lượng giác cơ bản bằng
MTCT.

-

Giải được phương trình lượng giác ở dạng vận dụng trực tiếp phương trình
lượng giác cơ bản.

-

Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình lượng giác.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện qua việc nhận dạng
được các dạng phương trình lượng giác và biến đổi chúng về phương trình
lượng giác cơ bản tương ứng rồi viết công thức nghiệm.

-

Rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học thông qua việc giải quyết một số
bài toán thực tiễn, chẳng hạn bài toán bắn đạn pháo ở đầu mục.

-

Rèn luyện năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán học thể hiện qua
việc sử dụng MTCT để tìm nghiệm của các phương trình lượng giác.

Năng lực số:
-

1.1.NC1b: Áp dụng được kỹ thuật tìm kiếm để lấy được dữ liệu, thông tin và
nội dung trong môi trường số.

1

-

2.1.NC1a: Sử dụng được nhiều công nghệ số để tương tác.

-

5.2.NC1b: Áp dụng được các công cụ số khác nhau và các giải pháp công
nghệ có thể có để giải quyết vấn đề.

-

6.2.NC1a: Lựa chọn và sử dụng được các công cụ AI phù hợp để nâng cao
hiệu suất và giải quyết các vấn đề phức tạp.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến
thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
-

GV: KHBD, SGK, SBT Toán 11, bài trình chiếu (Slide), phòng thực hành
máy tính kết nối Internet, máy chiếu, video AI tạo bằng công cụ AI được
dùng để khởi động bài học, bộ câu hỏi trắc nghiệm trên phần mềm Quizizz.

-

HS: SGK, SBT Toán 11 – Kết nối tri thức, vở ghi.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu, bước đầu hình dung về nội dung sẽ
học: Phương trình lượng giác.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy và trả lời câu hỏi xuất
hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn v 0
không đổi. Tìm góc bắn α để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không
khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

2

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS xem video và suy nghĩ câu trả lời.
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét, đánh giá và kết luận.
[6.2.NC1a: HS sử dụng công cụ AI hoặc sản phẩm số do GV cung cấp để tiếp nhận
thông tin, trả lời câu hỏi đơn giản.
2.1.NC1a: HS thực hiện các tương tác cơ bản với học liệu số (xem video, trả lời
câu hỏi trên môi trường số).
1.1.NC1a: HS tiếp cận, khai thác được thông tin từ nguồn học liệu số dưới sự
hướng dẫn của GV.]
- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Hôm
nay chúng ta sẽ bắt đầu một bài học mới về "Phương trình lượng giác" trong môn
Toán học. Trong quá trình học về phương trình lượng giác, chúng ta sẽ tìm hiểu về
các công thức, tính chất và phương pháp giải phương trình lượng giác. Chúng ta sẽ
làm việc với các biểu đồ, bảng giá trị và áp dụng các quy tắc toán học để giải quyết
các bài tập thực tế liên quan đến phương trình lượng giác và xử lý được bài toán
trong phần mở đầu trên.”
Bài mới: Phương trình lượng giác cơ bản.
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
TIẾT 1: KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG.
PHƯƠNG TRÌNH sin x=m.
PHƯƠNG TRÌNH cos x=m
Hoạt động 1: Khái niệm phương trình tương đương
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết được khái niệm thế nào là hai phương trình tương đương; cách viết
phương trình tương đương.
- Vận dụng để giải các bài toán đơn giản có liên quan.

3

b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, thực hiện HĐ 1; Ví dụ 1; Luyện tập 1.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi, HS nắm được phương trình tương đương; cách viết phương trình tương
đương và giải được một số bài toán đơn giản.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Khái niệm phương trình tương đương

- GV cho HS thực hiện HĐ1 để hiểu thế nào HĐ1
là hai phương trình tương đương.
+ GV chỉ định 1 HS nhắc lại cách để giải
một phương trình?
+ HS làm bài, GV mời 1 HS lên bảng làm
bài.
+ GV mời 1 HS khác nhận xét về tập nghiệm
của hai phương trình trên bảng.
→ GV Kết luận: “Những phương trình mà

có cùng tập nghiệm, ví dụ như hai phương
trình mà các em vừa giải đó chính là
phương trình tương đương”.
+ GV mời 1 HS đọc phần khung kiến thức
trọng tâm.

4

* Phương trình: 2 x−4=0 ⟺ x= 2 =2
Vậy phương trình có tập nghiệm S1= {2 }.
* Phương trình: ( x−2 ) . ( x 2+1 ) =0
⟺¿

Vậy phương trình có tập nghiệm S2= {2 }.
=> Nhận thấy cả hai phương trình đều có tập
nghiệm S={2 }.
Kết luận:
+ Hai phương trình được gọi là tương đương khi
chúng có cùng tập nghiệm.
+ Nếu phương trình f ( x )=0 tương đương với
phương trình g ( x )=0 thì ta viết:
f ( x )=0 ⟺ g ( x )=0

- Gv nhấn mạnh phần Chú ý cho HS nắm
được kiến thức đặc biệt này.

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương

- GV yêu cầu HS đọc – hiểu phần Ví dụ 1.

đương.

+ GV có thể chỉ định cho 1 HS nhắc lại Ví dụ 1: (SGK – tr.31).
hằng đẳng thức, và biến đổi thử phương Hướng dẫn giải (SGK – tr.31).
trình thứ 2.

Luyện tập 1

+ GV mời 1 HS trình bày cách thực hiện Ví

4

x−1

dụ 1.
- GV đặt câu hỏi để HS làm phần Luyện tập
1:

* Phương trình: x+ 1 =0
+ ĐKXĐ: x ≠−1.
x−1

+ Để giải phương trình có dạng phân thức, + Ta có: x+ 1 =0 ⇒ x−1=0 ⟺ x =1 (thỏa mãn).
ta cần phải thực hiện những gì?

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= { 1 }.

+ Nhắc lại hằng đẳng thức: Hiệu hai bình * Phương trình: x 2−1=0
phương?

+ Ta có: x 2−1=0 ⟺ ( x−1 ) ( x+ 1 )=0

+ HS thực hiện nội dung câu hỏi.

⟺¿¿

+ GV mời 1 HS lên bảng làm bài và GV Vậy tập nghiệm phương trình là: S= {−1; 1 }
nhận xét bài làm của HS.

=> Ta nhận thấy hai phương trình này không phải

- GV đặt câu hỏi cho HS như sau:

phương trình tương đương.

+ Ta có hai biểu thức bằng nhau:

Chú ý:

2

2

x −1 x −x +2
=
. Nếu nhân cả hai vế với một
x +1
x+2

biểu thức (x +3) thì điều kiện có thay đổi hay
không? Phương trình mới có tương đương
với phương trình đã cho hay không?
+ Các em có thể rút ra kết luận gì từ câu hỏi
trên?
+ GV mời 2 HS trả lời câu hỏi.
+ GV chuẩn hóa đáp án bằng cách nêu phần
Chú ý.
→ Thực chất đây là phần kiến thức trọng

tâm. GV yêu cầu HS ghi bài cẩn thận vào
vở.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận
kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận
nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu

- Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi
phương trình đó thành một phương trình tương
đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy
gọi là các phép biến đổi tương đương.
- Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên
một phương trình mà không làm thay đổi điều
kiện của nó thì ta được một phương trình mới
tương đương với phương trình đã cho:
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một
biểu thức:
f ( x )=g ( x ) ⟺ f ( x )+ h ( x ) =g ( x ) +h( x)

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0
hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác
0:
f ( x )=g ( x )
⟺ f ( x ) . h ( x )=g ( x ) .h ( x ) , ( h ( x ) ≠ 0 ) .

hỏi.

5

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
+ Khái niệm phương trình tương đương và
cách viết hai phương trình tương đương.
Hoạt động 2: Phương trình sin x=m
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết được công thức nghiệm của phương trình sin x=m , và một số trường
hợp đặc biệt của phương trình sin x=m.
- Vận dụng để giải các bài toán đơn giản có liên quan.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, thực hiện HĐ2; Ví dụ 2, 3, 4; Luyện tập 2.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi, HS nắm được công thức nghiệm của phương trình sin x=m và một số
trường hợp đặc biệt của phương trình sin x=m.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Phương trình sin x=m

- GV đặt câu hỏi, hướng dẫn HS thực hiện
HĐ2 để nhận biết công thức nghiệm của
1

phương trình sin x= 2 .
+ Dựa vào đường tròn lượng giác hãy xác
định các góc mà điểm M và M' biểu diễn? Sau
đó tính sin của các góc vừa tìm được.

6

+ Nhắc lại chu kỳ tuần hoàn của hàm sin? Từ
đó sẽ viết được công thức nghiệm của phương
trình.
+ HS trả lời câu hỏi để vận dụng vào HĐ2, HS
suy nghĩ và làm bài.
+ GV mời 2 HS lên bảng trình bày câu trả lời.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.
a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M , M ' lần
π
π 5π
lượt biểu diễn các góc 6 và π− 6 = 6 , lại có
1

tung độ của điểm M và M' đều bằng 2 nên theo
π

1

định nghĩa gái trị lượng giác, ta có sin sin 6 = 2
5π

1

- GV yêu cầu HS chỉ ra trên đường tròn lượng và sin sin 6 = 2 .
giác các nghiệm của phương trình sin x=m Vậy trong nửa khoảng ¿, phương trình
trong đoạn

[

]

−π 3 π
;
.
2
2

sin sin x=

1
π
5π
x= và x= .
có
2
nghiệm
là
2
6
6

+ GV: Các em cần xét 2 trường hợp với giá trị b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2 π nên
tuyệt đối của m, tức: |m|>1 và |m|≤ 1.
phương trình đã cho có công thức nghiệm là:
→ GV diễn giải và chốt đáp án cho HS và yêu

cầu HS ghi chép cẩn thận vào trong vở.

π
5π
x= + k 2 π , k ∈ Z và x=
+k 2 π , k ∈ Z .
6
6

- GV yêu cầu HS chỉ ra các giao điểm của
đường thẳng y=m và đồ thị hàm sin; đặc biệt
chỉ ra hoành độ của các giao điểm này. Từ đó
yêu cầu HS viết công thức nghiệm.

7

Tổng quát, xét phương trình sin sin x=m (*)
+ Nếu |m|>1 thì phương trình (*) vô nghiệm vì
|sin sin x|≤1 với mọi x ∈ R.

[

−π π
+ Nếu |m|≤ 1 thì tồn tại duy nhất α ∈ 2 ; 2

]

thỏa mãn sin sin α =m . Khi đó, trên đoạn có độ
dài là 2 π là

[

]

−π 3 π
;
, phương trình (*) có các
2
2

nghiệm α và π−α .
- GV trình bày khung kiến thức trọng tâm lên
bảng cho HS quan sát và ghi vào vở.

Do tính tuần hoàn với chu kì 2 π của hàm sin, ta
chỉ cần cộng vào các nghiệm này các bội

- GV vẽ đường tròn lượng giác lên bảng và đặt nguyên của 2 π thì sẽ được tất cả các nghiệm
câu hỏi cho HS thảo luận để dẫn đến phần Chú của phương trình (*).
ý:

thức + Phương trình sin sin x=m có nghiệm khi và
sin x=m ⟺ sin x=sin α và đường tròn lượng
chỉ khi |m|≤ 1.
→

Các

em

hãy

áp

dụng

công

Kết luận

giác để giải phương trình đặc biệt sau:

[

+ sin sin x=0

−π π
+ Khi |m|≤ 1, sẽ tồn tại duy nhất α ∈ 2 ; 2

+ sin sin x=1

thỏa

+ sin sin x=−1

sin sin x=m ⟺ sinsin x=sin sin α ⟺ ¿

mãn

sin sin α =m.

Khi

]

đó

+ GV mời 3 HS đứng tại chỗ cùng mình thực Chú ý
hiện và nêu đáp án cho các HS khác lắng nghe a) Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị

8

và quan sát.

độ thì:

+ HS ghi bài vào vở.

sin sin x=sin sin α o ⟺ ¿

- GV hướng dẫn cho HS làm Ví dụ 2

¿).

+ GV: Các em cần thuộc được và áp dụng b) Một số trường hợp đặc biệt:
được giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, + sin sin x=0 ⟺ x=kπ , k ∈ Z .
hoặc có thể sử dụng MTCT để chuyển đổi các
góc.
+ Ta thấy:

π

+ sin sin x=1 ⟺ x = 2 + k 2 π , k ∈ Z .
−π

+ sin sin x=−1 ⟺ x= 2 +k 2 π , k ∈ Z .

√❑
a) sin x= −❑

b) áp dụng công thức nghiệm để tính.
+ HS suy nghĩ và làm bài vào vở.
+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số HS.

Ví dụ 2: (SGK – tr.33).

- GV viết công thức nghiệm lên bảng và yêu Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).
cầu HS chép bài cẩn thận và học thuộc công
thức nghiệm.
- GV yêu cầu 1 HS trình bày lại công thức
nghiệm nếu số đo góc của α đực tính bằng độ.
+ GV cho HS đọc – hiểu Ví dụ 3 sau đó trình
bày lại câu trả lời. Từ đó áp dụng làm một bài
tập mở rộng sau:
+ Giải phương trình:

sin sin u=sin sin v ⟺ ¿

cos 2 x+ 3 sin x −2=0

+ GV hướng dẫn: “Đối với bài này, các em
cần sử dụng công thức nhân đôi, biến đổi
cos 2 x về giá trị củasin ”.

Ví dụ 3: (SGK – tr.33).

+ GV cho HS suy nghĩ và mời 1 HS lên bảng Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).
Bài tập mở rộng:
làm bài.
+ GV nhận xét bài làm của HS và chốt đáp án.

cos cos 2 x +3 sin sin x−2=0

- GV trình bày lời giải lên bảng và giảng giải ⟺ 1−2 x+ 3 sin sin x−2=0

9

cặn kẽ cho HS Ví dụ 4.

⟺ 2 x −3 sin sin x +1=0

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi về phần ⟺ ¿ ⟺ ¿
Luyện tập 2.
+ HS tự suy nghĩ, áp dụng công thức nghiệm
để hoàn thành được bài tập.

Ví dụ 4: (SGK – tr.34).

+ GV chỉ định 1 cặp đôi HS lên bảng làm bài.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34).

+ Các HS khác nhận xét bài làm của bạn.

Luyện tập 2.

+ GV chốt đáp án cho HS.

❑
a) sin sin x= √❑
⟺¿

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến

⟺¿

❑
Vậy phương trình sin sin x= √❑
có các nghiệm
π

3π

thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm là x= 4 + k 2 π , k ∈ Z và x= 4 +k 2 π , k ∈ Z .
đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.
b)
- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

sin sin 3 x=−sin sin 5 x ⟺ sin sin 3 x=sin sin(−5 x)

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

⟺¿

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

⟺¿

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát
lưu ý lại kiến thức trọng tâm
+ Công thức nghiệm của phương trình sin x=m

⟺ ¿.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là
x=k

π
−π
,(k ∈ Z ) và x=
+k π , (k ∈ Z ).
4
2

và một số trường hợp đặc biệt của phương
trình sin x=m .
Hoạt động 3: Phương trình cos x=m
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết được công thức nghiệm của phương trình cos cos x=m, và một số
trường hợp đặc biệt của phương trình cos cos x=m.
- Vận dụng để giải các bài toán đơn giản có liên quan.
b) Nội dung:

10

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, thực hiện HĐ3; Ví dụ 5, 6; Luyện tập 3; Vận dụng.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi, HS nắm được công thức nghiệm của phương trình sin sin x=m và một số
trường hợp đặc biệt của phương trình sin sin x=m.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

3. Phương trình cos x=m.

- GV cho HS thực hiện thảo luận HĐ3 theo HĐ3.
nhóm 4 người để nhận biết công thức a)
−1

nghiệm của phương trình cos cos x= 2 .
+ HS tự thảo luận, trao đổi và đưa ra đáp án.
+ GV mời 1 số nhóm nêu đáp án và nhận
xét đáp án. Sau đó GV chính xác hóa bằng
cách giảng giải chi tiết lại cho HS.
+ GV vẽ (trình chiếu) đường tròn lượng
giác và đồ thị hàm sin lên bảng (màn hình).

Từ Hình 1.22a, nhận thấy hai điểm M , M ' lần
2π

lượt biểu diễn các góc 3 và

−2 π
, lại có hoành
3
−1

độ của điểm M và M ' đều bằng 2 nên theo
định

nghĩa

giá

trị

lượng

cos cos

2 π −1
−2 π −1
=
và cos cos 3 = 2 .
3
2

(

giác,

ta

có

)

Vậy trong nửa khoảng ¿ phương trình
cos cos x=
x=

−1
2

2π

có hai nghiệm là x= 3

và

−2 π
.
3

b) Vì hàm số cos có chu kì tuần hoàn là 2π nên
phương trình đã cho có công thức nghiệm là

11

x=

- GV trình bày phần công thức nghiệm
trong khung kiến thức trọng tâm và yêu cầu
HS ghi bài cẩn thận vào vở.

2π
−2 π
+k 2 π , k ∈ Z và x=
+k 2 π , k ∈ Z .
3
3

Kết luận:
+ Phương trình cos cos x=m có nghiệm khi và
chỉ khi |m|≤ 1.
+ Khi |m|≤ 1, sẽ tồn tại duy nhất α ∈ [ 0 ; π ] thỏa
mãn cos cos α=m. Khi đó:
cos cos x=m⟺ cos cos x=cos cos α
⟺¿

- GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ phát biểu
câu trả lời cho việc: Nếu số đo của góc α
được cho bằng đơn vị độ thì công thức
nghiệm sẽ được viết thế nào?
- GV vẽ đường tròn lượng giác lên bảng và
yêu cầu HS quan sát rồi cho biết công thức

Chú ý:
a) Nếu số đo góc α được cho abwngf đơn vị độ
thì:
o
cos cos x=cos cos α ⟺ ¿.

b) Một số trường hợp đặc biệt:
π

nghiệm của phương trình cos cos x=m, khi + cos cos x=0 ⟺ x= 2 +kπ , k ∈ Z .
m∈ {−1 ;0 ; 1 } .

+ cos cos x=1⟺ x=k 2 π , k ∈ Z .

+ GV cần giải thích cho HS tại sao khi + cos cos x=−1 ⟺ x=π + k 2 π , k ∈ Z .
m∈ {−1 ;0 ; 1 } thì công thức nghiệm lại được

viết như vậy.
+ Ví dụ như: Khi m=0 . Ta có:
cos cos x=0 ⟺ cos cos x=cos cos

π
từ đó ta có
2

công thức nghiệm là:
π
x= + kπ , k ∈ Z .
2

Ví dụ 5: (SGk – tr.35).
Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).

- GV cho HS tự vận dụng công thức nghiệm
để làm Ví dụ 5, sau đó mời 2 HS lên bảng

12

để làm bài.
+ GV nhận xét và chữa chi tiết hai phần a, b cos cos u=cos cos v ⟺ u=± v+ k 2 π ( k ∈ Z ) .
đó cho HS quan sát.
- GV viết công thức nghiệm lên bảng và yêu
cầu tất cả HS phải học thuộc.

Ví dụ 6: (SGK – tr.35)

- GV yêu cầu HS tiếp tục ứng dụng công Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).
thức nghiệm để làm phần Ví dụ 6.
+ GV yêu cầu 1 HS đứng tại chỗ trình bày
lại cách làm cho cả lớp.
+ Các HS còn lại nhận xét bài làm của bạn.

Luyện tập 3

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi phần a) 2 cos cos x=− √ ❑
Luyện tập 3 để đưa ra cách làm và kết quả.
+ HS làm bài và đối chiếu kết quả với nhau.
+ GV mời 2 HS lên bảng làm bài.

⟺ cos cos x =cos cos

3π
3π
⟺ x =±
+ k 2 π ,( k ∈ Z )
4
4

b) cos cos 3 x−sin sin5 x=0

(

π
+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số bàn HS ⟺ cos cos 3 x=cos cos 2 −5 x

về bài làm, ghi chép bài.
+ GV nhận xét và chốt đáp án cho HS.

)

⟺¿
⟺ ¿.

Vận dụng
1

a) Với F=0, ta có: 2 (1−cos cos α)=0
⟺ cos cos α =1⟺ α =k 2 π , k ∈ Z
o
o
- GV chia nhóm cho HS thảo luận và thực Mà 0 ≤ α ≤ 360

o
o
hiện phần Vận dụng, ứng với mỗi nhóm là ⇒ α ∈{0 ; 360 }

mỗi tổ trong lớp.
+ Các nhóm tự vận dụng công thức nghiệm

1

b) Với F=0,25, ta có: 2 ( 1−cos cos α )=0,25
1

π

và kỹ năng suy luận giải quyết bài toán để ⟺ cos cos α = 2 ⟺ cos cos α =cos cos 3
tìm ra đáp án.
+ Mỗi nhóm cử 1 đại diện trình bày 1 phần

⟺ α =±

π
+k 2 π ,(k ∈ Z).
3

o
o
câu hỏi; Các nhóm khác lắng nghe và nhận Mà 0 ≤ α ≤ 360

xét.

13

+ GV ghi nhận đáp án của HS và chữa chi ⇒ α ∈{60o ;300o }
tiết bài tập cho HS.

1

c) Với F=0,5, ta có: 2 ( 1−cos cos α )=0,5

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

π
2

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận ⟺ cos cos α =0 ⟺ α = +k π ,k ∈ Z .
kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo
luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời
câu hỏi.

Mà 0 o ≤ α ≤ 360o
o

o

⇒ α ∈{90 ;270 }
1

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

d) Với F=1, ta có: 2 ( 1−cos cos α )=1

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

⟺ cos cos α =−1 ⟺ α=π + k 2 π , k ∈ Z .

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

Mà 0 o ≤ α ≤ 360o

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho

⇒ α =180o .

bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
+ Công thức nghiệm của phương trình
cos cos x=mvà một số trường hợp đặc biệt

của phương trình cos cos x=m.
TIẾT 2: PHƯƠNG TRÌNH tan x=m
PHƯƠNG TRÌNH cot x=m
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM MỘT GÓC KHI BIẾT
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA NÓ
Hoạt động 4: Phương trình tan x=m
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết được công thức nghiệm của phương trình tan x=m.
- Giải quyết được một số bài toán có liên quan đến phương trình tan x=m.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV,
chú ý nghe giảng, thực hiện hoạt động, trả lời câu hỏi, làm HĐ4, Ví dụ 7, Luyện
tập 4.

14

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi, HS nhận biết được, nắm được công thức nghiệm của phương trình tan x=m
và áp dụng giải được các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Phương trình tan x=m

- GV cho HS thực hiện yêu cầu của HĐ4 để HĐ4:
nhận biết công thức nghiệm của phương trình
tan x=1 .

+ GV có thể vẽ hình (trình chiếu) hình 1.24
lên bảng cho HS quan sát và trả lời câu hỏi.
+ GV nhận xét và chốt đáp án cho HS ghi bài. a) Quan sát Hình 1.24, ta thấy trên khoảng

( −π2 ; π2 ) , đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số
y=tan tan x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ

π
x= .
4

b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tan x=1 có
π

nghiệm là x= 4 trên khoảng

( −π2 ; π2 ).

Do hàm số tang có chu kì là π nên công thức
nghiệm của phương trình tan tan x=1 là:
π
x= + kπ , k ∈ Z .
4

- GV viết công thức trong phần khung kiến
thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi công thức
vào vở và học thuộc.

Kết luận:
+ Phương trình tan tan x=m có nghiệm với mọi
m.

(

−π π
+ Với mọi m∈ R , tồn tại duy nhất α ∈ 2 ; 2

thỏa mãn tan tan α=m. Khi đó:
- GV chỉ định 1 HS nêu công thức nghiệm tan tan x=m⟺ tan tan x=tan tan α
nếu α có đơn vị là độ.

15

)

⟺ x=α +kπ (k ∈ Z).

- HS tự vận dụng công thức nghiệm để làm ví Chú ý:
dụ 7 sau đó GV gọi 1 HS đứng tại chỗ đọc Nếu số đo của góc α được cho bằng độ thì:
công thức nghiệm và lời giải.

tan tan x=tan tan α o ⟺ x=α o +k 180o ,( k ∈ Z ).

- GV cho HS tự luyện phần Luyện tập 4.

Ví dụ 7: (SGK – tr.36).

+ GV mời 2 HS lên bảng giải bài tập.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36).

+ GV nhận xét và có thể chữa bài chi tiết cho
HS ghi bài vào vở

Luyện tập 4

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

a) √❑

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận
kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành
các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

⟺ tan tan 2 x=tan tan
⟺2x=
⟺ x=

( −π6 )

−π
+k π , k ∈ Z
6

−π
π
+ k , k ∈ Z.
12
2

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

b) tan tan 3 x =−tan tan5 x

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

⟺ tan tan 3 x =tan tan (−5 x )

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát ⟺ 3 x=−5 x+ k π ,( k ∈ Z)
lưu ý lại kiến thức:
+ Công thức nghiệm của phương trình

⟺ x=k

π
,k ∈Z .
8

tan x=m.

Hoạt động 5: Phương trình cot x=m
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết được công thức nghiệm của phương trình cot x=m .
- Giải quyết được một số bài toán có liên quan đến phương trình cot x=m .
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV,
chú ý nghe giảng, thực hiện hoạt động, trả lời câu hỏi, làm HĐ5, Ví dụ 8, Luyện
tập 5.

16

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi, HS nhận biết được, nắm được công thức nghiệm của phương trình cot x=m
và áp dụng giải được các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
5. Phương trình cot x=m

- GV vẽ (chiếu hình) lên bảng (máy chiếu)
cho HS thực hiện lần lượt các phần của HĐ5.
GV quan sát và giúp đỡ HS khi cần.

a) Quan sát Hình 1.25, ta thấy trên khoảng
(0 ; π ), đường thẳng y=−1 cắt đồ thị hàm số
y=cot x tại 1 điểm, điểm này có hoành
−π

3π

độ  x= 4 + π = 4 .
b) Từ câu a, ta suy ra phương trình cot x=−1
3π

có nghiệm là x= 4 trên khoảng (0 ; π ).
Do hàm số côtang có chu kì là π , nên công
+ GV ghi phần công thức nghiệm lên bảng và
yêu cầu HS chép bài vào vở và học thuộc.

thức nghiệm của phương trình cot x=−1 là 
x=

3π
+k π , k ∈ Z .
4

Kết luận:
+ Phương trình cot cot x=m có nghiệm với mọi
m.
+ Với mọi m∈ R , tồn tại duy nhất α ∈( 0 ; π )
thỏa mãn cot cot α =m . Khi đó:
cot cot x=m ⟺ cot cot x =cot cot α

GV chỉ định 1 HS nêu công thức nghiệm nếu

⟺ x=α +kπ ( k ∈ Z ) .

α có đơn vị là độ. Và yêu cầu HS ghi bài vào

17

vở.

Chú ý:
Nếu số đo của góc α được cho bằng độ thì:

GV cho HS tự giải V