TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Điện thoại: 0946798489

• CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.
- Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có
thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.
- Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó,
ta cũng nói a chéo với b , hoặc b chéo với a .

Nhận xét
Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
- Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
(H.4.16).

a) Quan sát bốn đường thẳng AB, BC , CD, DA . Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau, các cặp
đường thẳng song song.
b) Trong ba đường thẳng AB, AF , BE có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?
Giải
a) Các cặp đường thẳng cắt nhau là AB và BC , AB và DA, BC và CD, CD và DA . Các cặp
đường thẳng song song là AB và CD, DA và BC .
b) Các đường thẳng AB, AF , BE cùng nằm trong mặt phẳng ( ABEF ) nên trong ba đường thẳng
đó không có hai đường thẳng nào chéo nhau.
Ví dụ 2. Cho hình tứ diện ABCD ( H .4.18) .

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Hai đường thẳng AB và CD có chéo nhau hay không? Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có
trong hình tứ diện đó.
Giải
Nếu hai đường thẳng AB và CD không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó
bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện. Do đó, hai đường thẳng
AB và CD chéo nhau.
Lập luận tương tự, ta thấy trong tứ diện ABCD còn có các cặp đường thẳng chéo nhau là AC và
BD, AD và BC .
2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường
thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , P, Q, R, S lần lượt là trung đểm của các đoạn thẳng
AB, CD, AD, BC , AC , BD (H.4.22).

a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN , PQ, RS cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.
Giải
1
a) Trong tam giác ABC , ta có MQ là đường trung bình nên MQ / / AC và MQ  AC . Tương
2
1
tự với tam giác ACD , ta có PN / / AC và PN  AC . Do đó MQ / / PN và MQ  PN , suy ra tứ
2
giác MPNQ là hình bình hành.
b) Từ câu a suy ra hai đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Tương tự,
hai đoạn thẳng MN và RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Do đó, các đoạn thẳng
MN , PQ, RS cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy
hoặc đôi một song song với nhau.
Chú ý. Từ kết quả trên có thể suy ra rằng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với
nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một
trong hai đường thẳng đó.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.25).

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAB) và ( SCD) .
Giải
Hai mặt phẳng ( SAB) và (SCD) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song là AB và
CD . Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và ( SCD) là đường thẳng m đi qua S và song
song với AB, CD .
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Tính chất đường trung bình

M , N là trung điểm của AB , AC . Khi đó MN // 

2. Định lý Ta-lét

1
BC .
2

AM AN
.

AB AC
3. Tính chất cạnh đối của hình bình hành
MN //BC 

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Hai phương pháp để chứng minh tứ giác là hình bình hành:
 AB //CD
*) Chứng minh: 
.
 AB  CD
*) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Câu 1.

(SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.17).

a) Trong các đường thẳng AB, AC, CD , hai đường thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt
nhau?
b) Gọi M , N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh SA, SB . Trong các đường thẳng SA, MN , AB có
hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?
Câu 2.

(SGK-KNTT 11-Tập 1) Trong hình chóp tứ giác S . ABCD ( H .4.19) , chỉ ra những đường thẳng:

a) Chéo với đường thẳng SA ;
b) Chéo với đường thẳng BC .
Câu 3. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn
(H.4.20).

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường hay không?
Câu 4. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường
thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?
a) AB và CD ;
b) AC và BD ;
c) SB và CD .
Câu 5. Cho hình lập phương ABCD. ABCD , AC  BD  O . M , N là trung điểm của AB , BC .
Chứng minh MN //AO .
Câu 6. Lăng trụ ABC. ABC  . M , P, Q là trung điểm AB , BC  , AC . Chứng minh AM // PQ .
Câu 7.

Cho tứ diện ABCD có I ; J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC , ABD . Chứng minh rằng:

IJ //CD .
Câu 8.

Cho tứ diện ABCD. Trên SA, BC lấy điểm M , N sao cho:

SM BN 3

 . Qua N kẻ NP song
SA BC 4

song với CA ( P thuộc AB ). Chứng minh rằng MP // SB
Câu 9. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P, Q là các điểm lần lượt trên
BC , SC , SD, AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD.

a) Chứng minh: PQ // SA .
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ . Chứng minh SK // AD // BC .
Câu 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi M , N là trọng tâm tam giác SAB và SAD . E
là trung điểm CB.
a) Chứng minh rằng MN // BD
b) Gọi L, H là giao điểm của MNE với SD và SB . Chứng minh rằng LH // BD .
Câu 11. Cho hình chóp S . ABC , I  SA sao cho IA  2 IS . M , N là trung điểm SB , SC . H là điểm đối
xứng với I qua M , K là điểm đối xứng với I qua N .
a) Chứng minh HK / / BC .
b) Chứng minh BH / / SA .
Câu 12. Tứ diện ABCD . M , N , P , Q, R , S là trung điểm AB , CD , BC , AD , AC , BD . Chứng minh
MN , PQ, RS đồng quy tại

1
mỗi đường.
2

DẠNG 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Có 2 phương pháp tìm giao tuyến P và Q .
+ Tìm 2 điểm chung.
+ Tìm bằng định lý giao tuyến

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Q

P
a

a  P , b  Q

 c / / a / /b .
a / / b
 P  Q c


b
M
c

Bài toán tổng quát: Dựng P qua M và / / a , b .
a
b

a'
M
P

b'

+ Qua M dựng a / / a <Đúng + Đủ>
+ Qua M dựng b / /b <Đúng + Đủ>
 P  a, b .
Câu 13. (SGK – KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.25).
Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và ( SBC ) .

Câu 14. (SGK – KNTT 11-Tập 1) Một bể kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như
Hình 4.26.

Giải thích tại sao đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước.
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Câu 15. (SGK – KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB / / CD) .
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD ( H .4.28) .

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng ( MAB ) và ( SCD) .
b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng ( MAB ) . Chứng minh rằng MN là
đường trung bình của tam giác SCD.
Câu 16. (SGK – KNTT 11-Tập 1) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC , CD và P là một điểm thuộc cạnh AC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( AMN ) và ( BPD) và
chứng minh giao tuyến đó song song với BD .
Câu 17. (SGK – KNTT 11-Tập 1) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai
mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.

Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai
mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Câu 18. Chóp SABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của:
a) SAB và SCD .

b) SAD và SBC .

Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA , điểm E và F lần
lượt là trung điểm của AB và BC .
1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và SAD .
3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MEF và SAC .
Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD . Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AD , AB cắt CD tại K , điểm
M thuộc cạnh SD .
1) Xác định giao tuyến d của SAD và SBC . Tìm giao điểm N của KM và SBC .
2) Chứng minh rằng: AM , BN , d đồng quy.
DẠNG 3. THIẾT DIỆN CHỨA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC
Thiết diện của mặt phẳng P với chóp

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
S
A'
B'

D'

P

C'

D

A

B
C

+ Thiết diện là một đa giác phẳng khép kín
Tìm thiết diện bằng cách tìm giao tuyến với mặt bên, mặt đáy
Câu 21. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , P, Q, R, S lần lượt là trung đểm của các
đoạn thẳng AB, CD, AD, BC , AC , BD (H.4.22).

a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN , PQ, RS cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.
Câu 22. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một
mặt phẳng (H.4.16).

Chứng minh rằng bốn điểm C , D , E , F đồng phẳng và tứ giác CDFE là hình bình hành.
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Câu 23. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA , SB, SC , SD ( H .4.27) .

Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Câu 24. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang AB CD . Gọi

M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB . Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang.
Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Mặt bên SAB là tam giác
  90o . Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC .
đều. Góc SAD
a) Tìm giao điểm I  Dx  SAB .CMR AI / / SB .
b) Xác thiết diện của IAC với hình chóp. Tính diện tích thiết diện.
Câu 26. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I , J , lần lượt là trọng tâm của
SAB , SAD . M là trung điểm của CD . Xác định thiết diện IJM với hình chóp S . ABCD .
Câu 27. Chóp S . ABCD có SA  2a , ABCD là hình vuông cạnh AB  a , SA  CD , M  AD để
AM  x 0  x  a . Mặt phẳng P qua M và / / SA,CD . Dựng P . Tìm thiệt diện. Tính STD theo

a, x .
Câu 28. Chóp S . ABC , SA  BC , SA  3a , ABC đều, AB  a . M  AB để AM  x 0  x  a . P
qua M và song song SA, BC . Dựng P . Tìm thiết diện. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
Câu 29. Chóp S . ABCD , SA  CD , SA  2a . ABCD là hình thang vuông ở A và D .
AB
AD  DC 
 a , M  AD để AM  x, 0  x  a . P qua M và song song SA, CD . Dựng P . Tìm
2
thiết diện. Tính diện tích thiết diện STD .
Câu 30. Chóp S . ABCD , SA  BD , SA  a , ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . M  AO để


a 2
AM  x  0  x 
 . P qua M và song song với SA , BD . Dựng P . Tìm thiết diện. Tính STD

2


Câu 31. Chóp S . ABCD , SA  a , ABCD là hình vuông cạnh a . AD  SB . M  AB để
AM  x 0  x  a . P qua M và song song với SB, AD .Dựng P . Tìm thiết diện. Tính STD .
Câu 32. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Mặt bên SAB là tam giác
đều. SC  SD  a 3 . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của SA và SB . Gọi M là trung điểm
DA HKM  BC  N .

a) Chứng minh rằng HKMN là hình thang cân.
Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9