CHUYÊN ĐỀ:
RÈN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỰC TẾ QUY
VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI VÀO THPT
PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ
Theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018, môn Toán ở cấp trung học cơ sở
hướng đến hình thành và phát triển ở học sinh năng lực toán học thông qua các hoạt
động khám phá, vận dụng và giải quyết vấn đề trong học tập cũng như trong đời sống
thực tiễn. Một trong những định hướng trọng tâm của chương trình là giúp học sinh vận
dụng kiến thức toán học vào giải quyết các tình huống thực tế, từ đó hình thành tư duy
logic, khả năng mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề.
Việc giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là những công cụ cơ
bản, được sử dụng rộng rãi trong việc biểu diễn, phân tích và giải quyết các mối quan hệ
định lượng trong nhiều lĩnh vực. Việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhận dạng, mô
hình hóa và giải các bài toán thực tế thông qua các dạng toán này không chỉ củng cố
kiến thức đại số mà còn góp phần phát triển năng lực toán học tổng hợp, đặc biệt là
năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn – một năng lực cốt lõi được xác định trong
chương trình mới.
Trong thực tế giảng dạy và ôn luyện thi vào lớp 10, các bài toán thực tế liên quan
đến phương trình, hệ phương trình và bất phương trình xuất hiện ngày càng phổ biến
trong các đề thi tuyển sinh của nhiều tỉnh, thành phố. Dạng toán này không chỉ đòi hỏi
học sinh nắm vững kiến thức cơ bản mà còn cần có khả năng phân tích tình huống, lập
mô hình toán học và diễn giải kết quả phù hợp với ngữ cảnh thực tế. Tuy nhiên, nhiều
học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc nhận diện dạng bài, xác định ẩn, lập phương trình
hoặc bất phương trình, dẫn đến sai sót trong quá trình giải. Đặc biệt, trong đề thi vào 10
của sở giáo dục Hà Nội năm học 2024-2025, các dạng toán này có tới hai câu và chiếm
số điểm khá cao (2,0 điểm).
Do đó, việc xây dựng chuyên đề “Một số dạng toán thực tế ứng dụng phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình thường gặp trong đề thi vào 10” là hết sức
cần thiết. Chuyên đề không chỉ giúp giáo viên có cơ sở định hướng ôn tập, củng cố và mở
rộng kiến thức, mà còn giúp học sinh hệ thống hóa các dạng toán thường gặp, rèn luyện
tư duy mô hình hóa và kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn – đáp ứng yêu cầu cần
đạt của chương trình giáo dục phổ thông 2018 và định hướng đổi mới kiểm tra, đánh giá
hiện nay.
Từ thực tế giảng dạy, ôn luyện thi THPT, chúng tôi rút được một số kinh nghiệm
khi thực hiện chuyên đề “Các bài toán thực tế về phương trình, hệ phương trình và bất
phương trình” với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh:
+ Nắm được công thức hoặc cách giải cho từng dạng bài toán
+ Vận dụng giải một số bài toán minh họa
+ Trang bị cho học sinh hệ thống các dạng bài tập để học sinh vận dụng tự rèn
luyện.
Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp,… Rèn
luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác tư duy: So sánh, phân
tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá,…

PHẦN B: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
I. CÁC BƯỚC GIẢI DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ QUY VỀ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình, bất phương trình):
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập phương trình (hệ phương trình, bất phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa
các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình, bất phương trình).
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra các nghiệm vừa tìm được của phương trình (hệ phương trình),
nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi kết luận.
*/ Một số lưu ý:
+ Chọn ẩn sai hoặc chưa hợp lý dẫn đến lập phương trình sai hoặc khó giải
+ Đặt điều kiện không chính xác hoặc thiếu điều kiện.
+ Lời giải không đầy đủ, thiếu chặt chẽ.
+ Chưa biết dựa vào mối quan hệ giữa các dữ kiện trong bài toán để lập phương trình
hoặc lập phương trình sai.
+ Ghi thiếu đơn vị, ghi sai đơn vị.
+ Quên đối chiếu giá trị tìm được của ẩn sau khi giải phương trình với điều kiện của
ẩn.
+ Chưa trả lời đúng vào câu hỏi của bài toán. (Đặc biệt các bài toán chọn ẩn gián
tiếp)
 Việc phân loại thành các dạng bài tập chỉ mang tính tương đối vì có nhiều bài
toán mà nội dung liên quan đến cả 2 dạng bài, ngoài ra trong mỗi dạng bài lại có thể chia
thành nhiều dạng nhỏ….
 Mỗi dạng bài đều có những nét đặc trưng riêng và học sinh cần biết cách giải từng
dạng bài cụ thể.
II. CÁC DẠNG TOÁN
1. Dạng Toán chuyển động:
a. Một số chú ý
+ Dựa vào các đại lượng: quãng đường (S), vận tốc (v), và thời gian (t) của vật trong
S
t

công thức: S=v .t ; v= ; t=

S
v

+ Nếu chuyển động có 1 đối tượng tham gia: thường xảy ra các trường hợp đi và về, dự
định và thực tế, xuôi dòng và ngược dòng. Cần chú ý có thay đổi vận tốc trên đường đi
hay không. (chia thành nhiều giai đoạn chuyển động)
+ Nếu chuyển động có hai đối tượng tham gia: Chú ý xem vật chuyển động cùng
chiều, ngược chiều, hay chuyển động xuôi ngược, xuất phát trước hay xuất phát sau
+ Cần chọn mốc thời gian, chọn chiều dương của chuyển động.
+ Dựa vào nguyên lý cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động của thuyền
trên sông, đạp xe ngược gió, xuôi gió.
Khi đó ta có: V xuôi=V thực +V dòng nước ; V ngược =V thực −V dòng nước
+ Một số cụm từ cần lưu ý:
- Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
- Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;

- Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;
- Đến muộn hơn (đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (chuyển động 2 đối tượng cùng chiều):
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240km. Mỗi
giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 12km nên đến điểm B trước ô tô thứ hai
là 100 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
*/ Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
- Bài toán cho biết gì? Yêu cầu tìm gì?
- Nên chọn xe có vận tốc bé hơn là ẩn.
- Khi bài toán cho quãng đường, tìm vận tốc thì ta thường lập PT theo đại lượng thời
gian.
Bảng phân tích:
S (m)
v (km/h)
t ( giờ)
Ô tô thứ nhất

240

x +12

240
x+12

Ô tô thứ hai

240

x

240
x

240 240 5
−
=
x
x +12 3

Phương trình lập được

Lời giải:
Gọi vận tốc ô tô thứ hai là x (km/h) đk: x >0
Vận tốc ô tô thứ nhất là x +12 (km/h)

240
(h)
x
240
( h)
Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là
x+12
5
Đổi 100 phút= ( h )
3
240 240 5
−
=
Ta có phương trình:
x
x +12 3
Giải phương trình ta được x=¿36 (thỏa mãn) x=−48 ( không thỏa mãn )

Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là

Vậy vận tốc xe thứ hai là 36 km/h. Vận tốc xe thứ nhất là 48 km/h.
Ví dụ 2 (chuyển động 2 đối tượng đi ngược chiều):
Một chiếc xe tải đi từ Tp Hồ Chí Minh đến Tp Cần Thơ, biết quãng đường
dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát được một giờ, một chiếc xe khách đi từ Tp Cần
Thơ về Tp Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi nó đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc
mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
Hướng dẫn học sinh phân tích đề
Đổi 1 giờ 48 phút =

9
giờ
5

Sơ đồ hoá thông tin bài toán:

Bảng phân tích:

V (km/h)
X

Xe tải

T (h)

y

Xe khách

9 14
5 5
9
5

1+ =

y > x : 13
Quan hệ
Lời giải:
Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h) (Đk: x > 0)
vận tốc của xe khách là y (km/h) (Đk: y > 13)
Ta có phương trình y−x =13(1)

S (km)

14
x
5
9
y
5
Stải + S khách=189

9
5

14
( giờ )
5
14
x ( km )
Quãng đường xe tải đi được từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là
5
9
Quãng đường xe khách đi từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là y ( km )
5
14
9
x + y =189(2)
Vì hai xe chuyển động ngược chiều nên ta có phương trình:
5
5

Thời gian xe tải đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 1+ =

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là x = 36 (thỏa mãn điều kiện );
y = 49 (thỏa mãn điều kiện)
KL: Vận tốc của xe tải là: 36 (km/h)
Vận tốc của xe khách là: 49 (km/h)
Ví dụ 3 (chuyển động có 1 đối tượng tham gia trên dòng nước):
Một Ca nô xuôi dòng 42 km rồi ngước dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5 giờ.
Biết vận tốc của dòng chảy là 2 km/h. Tính vận tốc của Ca nô lúc dòng nước yên lặng.
Hướng dẫn hs phân tích bài toán
Gọi vận tốc của canô khi nước yên lặng là x (km/h)
v
t
S
CNx
CNn

42
x+2
20
x−2
x−2
42
20
+
=5
PT:
x+2 x −2
x +2

42
20

Lời giải:
Gọi vận tốc của Ca nô khi nước yên lặng là x (km/h) ; Đ k: x > 2
Vận tốc Ca nô khi đi xuôi dòng: x +2(km/h)
Vận tốc Ca nô khi đi ngược dòng: x−2(km/h)

42
(h).
x+2
20
Thời gian Ca nô đi ngược dòng là:
(h).
x−2

Thời gian Ca nô đi xuôi dòng là:

Vì tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 5 giờ do đó ta có phương trình:

42
20
+
=5
x+2 x −2
…… 5 x 2−62 x +24 = 0
Giải ra ta được: x=12(t h ỏ a m ã n đ i ề u kiệ n)
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là: 12( km/h)

Ví dụ 4: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi
giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi
giờ 10 km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.
Lời giải
Gọi vận tốc lúc đầu của xe ô tô là x (km/h), (Đk: x > 10).
Thời gian theo dự định là y (giờ), (Đk: y > 3)

{

¿ ( x+10 )( y −3 )=xy
¿ ( x−10 ) ( y+ 5 )=xy
¿−3 x +10 y=30
¿ 5 x−10 y=50
¿ x=40
……..
(thoả mãn điều kiện)
¿ y=15

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

{

{

Vậy vận tốc ban đầu là 40 km/h
c. Bài tập tự luyện
Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng
vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận
tốc của xe đạp khi đi từ A đến B
Bài 2: Một người đi từ A đến B dài 200km, khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc
10km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 1 giờ. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 3: Quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng dài 120 km. Một ô tô và một xe máy xuất
phát cùng một lúc từ Hà Nội để đi đến Hải Phòng. Vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc xe
máy 20 km/h nên ô tô đến nơi sớm hơn xe máy 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận
tốc mỗi xe không thay đổi trên cả quãng đường.
Bài 4: Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe
thứ hai là 10km/hnên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 5: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc
của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20km/h. Do đó xe du lịch đến B trước xe khách
50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100km?
Bài 6: Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành cùng
một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc
của xe máy 10 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 7: Trên đoạn đường AB dài 250km có hai ô tô đi ngược chiều. Xe đi từ A đi trước
1h15' thì xe đi từ B xuất phát. Hai xe gặp nhau tại điểm cách A 130km. Tính vận tốc mỗi
xe, biết mỗi giờ xe A đi nhiều hơn xe B 20km.
Bài 8: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian định. Nếu xe chạy mỗi giờ
nhanh hơn 10km thì đến B sớm hơn 1 giờ. Nế xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến B
chậm 5 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định?

Bài 9: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng thêm
20km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 10km/h thì thời gian đi
sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến B cách nhau 40km, sau đó lại ngược trở về A. Hãy
tính vận tốc riêng của ca nô biết rằng thời gian ca nô đi xuôi ít hơn thời gian ca nô đi
ngược là 20 phút, vận tốc dòng nước là 3km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 11: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng
một dòng sông có vận tốc dòng nước 2 km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên
lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 60 phút.
Bài 12: Câu chuyện người cựu chiến binh Nguyễn Văn Thanh đi xe máy từ Nghệ An vào
Thành phố Hồ Chí Minh để được chứng kiến Lễ diễu binh kỉ niệm 50 năm giải phóng
miền Nam thống nhất đất nước đang là một câu chuyện truyền cảm hứng cho người dân
Việt Nam. Giả sử 5 ngày đầu, mỗi ngày ông Thanh dùng 3 giờ để di chuyển với vận tốc dự
định. Sau đó, để đến thành phố Hồ Chí Minh đúng thời gian, 6 ngày sau, mỗi ngày ông sẽ
phải dùng 5 giờ để di chuyển với vận tốc lớn hơn vận tốc ban đầu là 5 km/giờ. Tính vận
tốc ban đầu của ông Thanh biết quãng đường ông Thanh di chuyển từ Nghệ An đến thành
phố Hồ Chí Minh là 1500 km.
Bài 13: Để tham dự giải Bóng rổ, bạn Minh đi xe đạp từ nhà đến sân thi đấu trên quãng
đường dài 6 km. Khi từ sân thi đấu trở về nhà, bạn vẫn đi theo con đường cũ nhưng đã
tăng vận tốc thêm 3 km/h. Biết rằng tổng thời gian đạp xe cả khi đi và khi về của bạn là 54
phút. Tính vận tốc của bạn Minh khi đi từ nhà đến sân thi đấu.
2. Dạng toán : Năng suất lao động sản xuất
a. Một số chú ý:
* Năng suất theo thời gian:
Các công thức cần nhớ: T = N. t ; N =

T
T
;t= .
t
N

Trong đó: N: là năng suất làm việc.
t : là thời gian hoàn thành công việc.
T: là khối lượng công việc cần hoàn thành.
- Nếu hoàn thành sớm hơn thì thời gian ít hơn.
* Năng suất theo đối tượng lao động:
Tổng số lượng công việc = số đối tượng × lượng công việc của mỗi đối tượng
Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng)
Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,…
Số đối tượng : số xe, số người, số tàu,…
- Cần chú ý phân biệt hai đại lượng: Khối lượng công việc và năng suất, sự thay đổi về
khối lượng công việc giữa kế hoạch và thực tế.
- Khi chọn điều kiện của ẩn: số xe, số người, số bàn ghế... là số nguyên dương.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội đã
cày được 52 ha vì vậy không những đội đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà đội còn
cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định.
*/ Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
Nếu gọi diện tích ruộng mà đội dự định cày theo kế hoạch là x (ha)
Ta có bảng sau:
Diện tích
Năng xuất
Thời gian
Dự định

x

40

x
40

Thực tế

x+4

52
x x4

2
40
52

Pt lập được

x4
52

Ví dụ 2: Một đội xe ô tô cần chuyên trở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có hai xe phải điều
đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu xe?.
*/ Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
+ Gọi số xe lúc đầu của đội là x (2 < x  N). Ta có bảng sau:
Số hàng phải
Tổng số hàng
Số lượng xe
chở của một xe
Lúc đầu

120

x

Về sau

120

x-2

Pt lập được

120 120

16
x 2
x

120
x
120
x 2

Ví dụ 3: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo khoác suất khẩu. Nếu tổ thứ nhất may
trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1 540 chiếc áo. Biết
rằng mỗi ngày tổ thứ hai may nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo. Hỏi trong một ngày mỗi
tỏ may được bao nhiêu chiếc áo? (Năng suất may áo của mỗi tổ trong các ngày là như
nhau)
* Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
+ Gọi số áo tổ 1 và tổ 2 may được trong 1 ngày lần lượt là x,y (áo). Ta có bảng sau
Tổng số áo
Số áo trong 1 ngày
Số ngày
Tổ 1
7x
x
7
Tổ 2
5y
y
7
Hệ pt lập được

+ y=20
{¿ 7¿−x
x+5 y=1540

c. Bài tập tự luyện
Bài 1: Một đội công nhân dự định làm 600 sản phẩm trong một số ngày quy định. Thực tế
mỗi ngày họ làm được nhiều hơn 30 sản phẩm so với dự định, nên đã hoàn thành công việc
sớm hơn 1 ngày. Tính số sản phẩm mỗi ngày họ dự định làm
Bài 2: Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời
gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2
sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn
thành công việc sớm hơn dự định là 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân
phải làm được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 3: Một phân xưởng lên kế hoạch làm 1100 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày nhất
định. Do nhu cầu cấp thiết, mỗi ngày phân xưởng làm vượt mức 30 bộ, nên đã hoàn thành
công việc trước 24 ngày. Hỏi theo kế hoạch, phân xưởng dự định làm trong bao nhiêu
ngày.
Bài 4: Một tổ sản xuất được giao cho làm 1000 sản phẩm. Thực tế mỗi ngày họ làm được
nhiều hơn 30 sản phẩm nên không những hoàn thành trước 2 ngày mà còn làm thêm được
40 sản phẩm. Tính năng suất ban đầu?
Bài 5: Một xưởng cơ khí phải làm 350 chi tiết máy trong thời gian quy định. Nhờ cải tiến
kĩ thuật nên mỗi ngày xưởng làm thêm được 5 chi tiết. Do đó không những xưởng vượt

mức 10 chi tiết mà còn hoàn thành sớm hơn quy định 1 ngày. Tính số chi tiết máy xưởng
làm được trong một ngày?
Bài 6: Một nhóm học sinh của trường THCS Nam Trung Yên được giao nhiệm vụ trồng
120 cây trong Lễ phát động Tết trồng cây “Đời đời nhớ ơn Bác Hồ”. Trong khi thực hiện
nhóm đó được tăng cường 3 học sinh nên mỗi học sinh đã trồng ít hơn 2 cây so với dự
định. Hỏi lúc đầu nhóm có bao nhiêu học sinh? (biết rằng số cây mỗi học sinh trồng là như
nhau).
Bài 7: Theo kế hoạch một đội công nhân phải vận chuyển 24 thùng hàng đến địa điểm quy
định. Đến khi làm việc thì 2 công nhân phải đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại
phải vận chuyển thêm 1 thùng. Tính số công nhân lúc đầu.
Bài 8: Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 120sp. Đến khi làm việc có 5 công
nhân phải đi làm việc khác, nên mỗi người còn lại phải làm thêm 2 sản phẩm so với dự
định. Tính số công nhân ban đầu của tổ
Bài 9: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải
điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0.5 tấn hàng so với dự
định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở
như nhau)
3. Dạng toán: Công việc làm chung, làm riêng – Vòi nước chảy chung, chảy riêng
a. Một số chú ý:
- Gồm 3 đại lượng: Lượng công việc, năng suất, thời gian
Lượng công việc = thời gian × năng suất
Năng suất = Lượng công việc : thời gian
Năng suất lao động: Là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Thường chọn thời gian làm ẩn x. (Đk: x > thời gian cả hai).
Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.
Nếu xong việc, đầy bể: “Lượng công việc” = 1
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một giờ đội đó làm được

1
công việc.
x

(Năng suất của đội đó)
Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn;
Làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
Phương trình thường là:
Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
Lượng công việc I + Lượng công việc II = Lượng công việc cả hai
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong một
công trình. Nếu làm riêng thì đội I làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi đội làm mất bao lâu?
* Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
Gọi số ngày đội I làm một mình xong là: x (ngày), (Đk: x > 5)
Ta có bảng sau
Đội I
Đội II
Cả hai đội
Số ngày
x
x-5
6
1
1
1
Phần việc làm trong một ngày
x

x 5

6

Pt lập được

1
1
1


x x 5 6

Ví dụ 2: Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc. Họ làm chung
với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt
phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẽ
hoàn thành công việc đó.
*/ Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
+ Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt
là x, y (giờ), (Đk: x, y > 12). Ta có bảng sau:
Người thứ nhất Người thứ hai
Cả hai người
Số ngày làm xong việc
x
y
12
Phần việc làm trong một ngày

1
x

1
y

{

1
12

1 1 1
¿ + =
x y 12
4 4 10
¿ + + =1
x y y

Hệ phương trình lập được

Ví dụ 3: Trong một nhà máy sản xuất, hai vòi cùng chảy vào một bể cạn thì bể sẽ đầy
trong 12 giờ. Nếu mở vòi thứ nhất trong 4 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai trong 3
giờ thì được

3
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu sẽ đầy bể?
10

*/ Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
+ Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy riêng đầy bể lần lượt là x,y (giờ),
(Đk: x, y > 12). Ta có bảng sau:
Vòi 1
Vòi 2
Cả hai vòi
Thời gian riêng chảy đầy
x
y
12
Thời gian chảy trong 1 giờ
Hệ phương trình lập được

1
x

{

1
y

1
12

1 1 1
¿ + =
x y 12
4 3 3
¿ + =
x y 10

c. Bài tập tự luyện
Bài 1. Một đội công nhân cùng làm chung một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi
ngày phần việc của đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi mỗi đội làm một mình thì mỗi
đội làm đoạn đường đó trong bao lâu?
Bài 2. Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi
người làm riêng, để hoàn thành công việc thì người thứ nhất cần ít thời gian hơn người
thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành
công việc?
Bài 3. Hai vòi cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20
phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được 2 15 bể
nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để chảy đầy bể của mỗi vòi là bao nhiêu?

Bài 4. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được

1
công việc. Hỏi mỗi người làm một
4

mình thì trong bao lâu làm xong công việc đó?
Bài 5: Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc.
Nếu làm một mình thì người thợ thứ nhất hoàn thành chậm hơn người thợ thứ hai là 9
ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong
công việc này?
Bài 6: Hưởng ứng chiến dịch tình nguyện “ Mùa hè xanh” để giúp học sinh vùng cao đến
trường thuận lợi hơn, hai tổ thanh niên A và B tham gia sửa một đoạn đường. Nếu hai tổ
cùng làm thì trong 8 giờ xong việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của
tổ A ít hơn tổ B là 12 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sửa xong đoạn đường đó trong
bao lâu?
Bài 7: Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được

1
cánh đồng
6

trong 15 giờ. Nếu máy 1 cày trong 12 giờ, máy 2 cày trong 20 giờ thì cả hai máy cày
được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì sẽ cày xong cánh đồng trong
bao lâu?
Bài 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu mở
vòi 1 chảy một mình trong 20 phút rồi khóa lại, mở tiếp vòi 2 chảy trong 30 phút thì cả
hai vòi chảy được

1
bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
8

4. Dạng toán: có nội dung hình học
a. Một số chú ý:
Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình.
Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để vận dụng vào
bài toán.
Đối với hình chữ nhật:
Chu vi = (dài + rộng) . 2 ;
Diện tích = dài . rộng
chu vi
- dài
2
chu vi
Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng <
.
4
chu vi
chu vi
Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là:
< dài <
:
4
2

Dài =

chu vi
- rộng
2

;

Rộng =

Đối với tam giác vuông:
Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =

đ áy ×cao
2

b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết rằng nếu tăng
mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Hướng dẫn giải:
- Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào? Chọn ẩn? Đặt điều kiện cho ẩn?
( Bài toán hỏi các kích thước của hình chữ nhật vậy ta chọn ẩn là chiều dài, chiều rộng
của hình chữ nhật lần lượt là x và y)
- Diện tích của hình chữ nhật tính bằng công thức nào?