TỨ GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Tứ giác ABCD :
 Hai cạnh kề nhau (chẳng hạn : AB; BC) không cùng thuộc một đường thẳng.
 Không có ba đỉnh nào thẳng hàng
 Có thể đọc góc theo tên đỉnh, chẳng hạn góc ABC còn gọi là góc B và góc đó còn gọi là góc trong
của tứ giác.
 Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc
 Tứ giác lồi: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về cùng một phía của đường thẳng chứa bất kì một cạnh
nào của tứ giác đó. Chẳng hạn, hình 1.1 là tứ giác lồi; hình 1.2 không phải là tứ giác lồi.

Hình 1.1

Hình 1.2

 Tổng các góc trong một tứ giác: Tổng các góc trong một tứ giác bằng
.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Nhận biết tứ giác lồi.


Dựa vào phần nhận biết tứ giác lồi.

Ví dụ 1. Quan sát các hình vẽ bên dưới và cho biết hình nào là tứ giác lồi. Đọc tên các cạnh, các đỉnh, các
góc của tứ giác lồi đó.

A

O
F

G

J

K

B

D
C
Hình a

H I

E
Hình b

L
Hình c

1

N

S

P

Q

M
Hình d

T

R
Hình e

Lời giải:
Các tứ giác lồi là hình a, hình b, hình c.
Tứ giác ABCD có : cạnh AB; BC; CD; AD. Đỉnh là đỉnh A; B; C; D. Góc là góc A; B; C; D.
Tứ giác FGHE có : cạnh FG; GH; EH;EF. Đỉnh là đỉnh F; G; H; E. Góc là góc F; G; H; E.
Tứ giác IJKL có : cạnh JK; KL; JL; IJ. Đỉnh là I; J; K; L. Góc là góc I; J; K; L.
Dạng 2: Tính số đo góc


Dựa vào định lý tổng bốn góc trong một tứ giác .

Ví dụ 2. Tìm

trong hình vẽ.

a) Hình 1.3

b) Hình 1.4

Lời giải
a) Ta có tổng các góc trong tứ giác là

nên

b) Ta có tổng các góc trong tứ giác là

nên
.

Dạng 3: Tính chu vi, diện tích hình tứ giác
 Vận dụng các kiến thức chu vi , diện tích môt số hình đã học
Ví dụ 3

Tùng làm một con diều có dạng tứ giác ABCD. Cho
biết AC là trung trực của BD và AC = 90 cm, BD = 60
cm. Tính diện tích thân diều.
Lời giải

Tứ giác ABCD có AC ⊥ BD (AC là trung trực của
BD)
Do đó :
2

Ví dụ 4
Tứ giác Long Xuyên là một vùng đất là một vùng đất hình tứ giác thuộc vùng đồng bằng sông Cửu Long
trên địa phạn của ba tỉnh thành : Kiêng Giang, An Giang và Cần Thơ, Bốn cạnh của tứ giác này là biên
giới Việt Nam – Campu chia, vịnh Thái Lan, kênh Cải Sắn và sông Bassac (sông Hậu). Bốn đỉnh của tứ
giác là thành phố Long Xuyên, thành phố Châu Đốc, thị xã Hà Tiên và thành phố Rạch Giá (như hình vẽ
bên dưới).

Tính góc còn lại của tứ giác ABCD.

Lời giải

Ta có
.
Áp dụng định lí tổng bốn góc trong một tứ giác ta có :

Dạng 4: Chứng minh hình học


Vận dụng các kiến thức đã học ở lớp 7 về tam giác, chu vi, đường trung trực của đoạn
thẳng; các đường đặc biệt trong tam giác,… để chứng minh.

Ví dụ 5. Cho tứ giác
a)

,

là giao điểm của hai đường chéo

;

b)

Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có

3

và

. Chứng minh:
.

.
b) Tương tự trên, áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có
và

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tứ giác
a) Chứng minh
b) Cho

có

;

.

là đường trung trực của
và

;

,

. Tính

.

suy ra

thuộc đường trung trực của

Lời giải
a) Vì
Vì

thuộc đường trung trực của
là đường trung trực của

b) Xét




và

.

.

.

có

(giả thiết);
(giả thiết);
: cạnh chung.
(c.c.c), suy ra

Vậy

.
.

Bài 2. Cho tứ giác

, biết rằng

. Tính các góc của tứ giác
ĐS:

Lời giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Vậy

,

;

,

.

4

,

.
;

,

.

Bài 3. Cho tứ giác

có

,

,

.

. Hãy tính các góc của tứ giác

ĐS:

;

;

;

.

Lời giải
Ta có

.

Thay

,

,

vào biểu thức trên, ta được

.
Vậy

;

;

;

.

Bài 4. Tứ giác

có

,

,

. Tính số đo của

và

.

ĐS:

,

.

Lời giải
Ta có

mà

,
Bài 5. Cho tứ giác

.

có hai đường chéo

a) Chứng minh
b) Cho

.

và

vuông góc với nhau tại

.

;
cm,

cm,

cm. Tính độ dài

.

Lời giải
a) Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông

, ta có

.
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông

, ta có

.
Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông

, ta có
.

Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông
5

, ta được

ĐS:

cm.

b) Theo câu trên, ta có

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Tìm trong hình vẽ.

a) Hình 1.5

b) Hình 1.6

c) Hình 1.7

d) Hình 1.8
ĐS: a)

; b)

; c)

; d)

.

Lời giải
a) Ta có tổng các góc trong tứ giác là

nên

b) Ta có tổng các góc trong tứ giác là

nên

c) Ta có tổng các góc trong tứ giác là

nên

d) Vì góc ngoài tại
Góc ngoài tại

có số đo là

có số đo là

nên

.

nên

Ta có tổng các góc trong tứ giác là

.
nên
.

Bài 7. Cho tứ giác
.

biết

,

,

Lời giải
Xét tứ giác

, ta có

6

. Tính số đo các góc ngoài của tứ giác

Khi đó, ta có
Góc ngoài tại

có số đo là

Góc ngoài tại

có số đo là

Góc ngoài tại

có số đo là

.

Góc ngoài tại

có số đo là

.

Bài 8. Cho tứ giác
là

. Gọi

.
.

là giao điểm của hai đường chéo

và

. Gọi chu vi của tứ giác

. Chứng minh:

a)

;

b) Nếu

thì

.

Lời giải
a) Theo kết quả bài trên, ta có

Cộng vế với vế

.

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào các tam giác
.

Tương tự

.

7

,

:

;