Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Tam
giác &
Tứ giác

BÀI TẬP TỔNG HỢP
TAM GIÁC & TỨ GIÁC.

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1/ Định lý Pythagore & định lý Pythagore đảo.
- Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng
tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
vuông tại
- Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các
bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác
vuông.
có
2/ Tứ giác.
- Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.
- Tứ giác lồi: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về cùng
một phía của đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào
của tứ giác đó.
- Tổng các góc trong một tứ giác: Tổng các góc trong
một tứ giác bằng
.
Sơ đồ nhận biết các loại tứ giác.

1

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài 1. Tìm các góc x,y,z t chưa biết ở các hình bên dưới .

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Cho biết
AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính các độ dài AC, BC.
Bài 3. Tính chiều cao của bức tường ở hình bên dưới biết rằng chiều dài của thang là
4m và chân thang cách tường là 1m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài 4.
Bạn Hà muốn đóng một nẹp chéo AC để chiếc khung hình chữ nhật ABCD được
vững hơn. Tính độ dài AC biết rằng AD = 48 cm, CD = 36cm.

2

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Bài 5. Tìm x trong hình vẽ sau :

Bài 6. Hình ảnh bên dưới là một thiết kế ngôi nhà
hình tam giác cân đang là xu thế mới trên khắp thế
giới ở phân khúc nhà nhỏ. Đây là những thiết kế cơ
động, có thể thi công lắp dựng nhanh có chi phí rẻ.
Trước ngôi nhà có lắp một tấm kính chống vỡ có
dạng tam giác cân . Biết cạnh đáy, cạnh bên của
miếng kính này lần lượt có độ dài là 8m và 10m.
Tính chiều cao của tấm kính tam giác cân này (làm
tròn kết quả đến hàng phần mười) ?
Bài 7.
Hai chiếc xuồng máy xuất phát cùng từ bến
A đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một

B

góc
(hình minh họa). Chiếc xuồng máy
thứ nhất đi được 12km thì dừng lại tại bến
C, còn chiếc xuồng máy thứ hai đi được
nữa giờ với vận tốc 18km/h đến B thì
chuyển hướng đi thẳng về bến C với vận
tốc không đổi.

C

A

a/ Hỏi sau bao nhiêu phút từ lúc chiếc xuồng máy thứ hai chuyển hướng đi được đến
bến C gặp chiếc xuồng máy thứ nhất ?
b/ Tính diện tích tam giác ABC được tạo thành như hình vẽ.
Bài 8 Cho tam giác có AB = 7cm, AC = 25cm, BC = 24cm có phải là tam giác
vuông không ? Bạn Linh đã giải bài toán đó như sau :
Ta có :

3

Toán 8

Do 674

G/v : Lê Đức Nguyên

576 nên

.

Vậy tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
Bạn Nhật cho rằng Bạn Linh giải sai vì tam giác ABC vuông. Theo em ai đúng , ai
sai ? Giải thích ?
80cm

A

Bài 9. Khi nói đến ti vi 21 inch, ta
hiểu rằng đường chéo màn hình của
chiếc ti vi này dài 21 inch (inch : đơn vị
đo chiều dài được sử dụng tại nước
Anh và một số nước khác, 1 inch
2,54cm). Hỏi chiếc ti vi (hình bên)
thuộc loại tivi bao nhiêu inch (làm tròn
kết quả đến hàng đơn vị ) ?

B

60cm

C

D

Bài 10. Cho hình vẽ bên dưới. Tính
chiều dài cần cẩu AB .

Bài 11.

C

Khoảng cách từ hai bến tàu A và B tới
hòn đảo C lần lượt là 17km và 10km
(hình ảnh mình họa). Tính khoảng
cách AB giữa hai bến tàu biết hồn đảo
cách đất liền 8km.

17km

A

4

?

B

10km

8km

H

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Bài 11. Cho tam giác
vuông tại , đường trung tuyến
xứng với
qua
, là giao điểm của
và
. Gọi
qua
, là giao điểm của
và
.

a) Các tứ giác
gì? Vì sao?

,

b) Chứng minh rằng
c) Tam giác vuông

,

là hìn

đối xứng với

qua

. Gọi
là điểm đối
là điểm đối xứng với

h
.

cần thêm điều kiện gì thì tứ giác

là hình vuông?

Lời giải

a) Tứ giác

là hình chữ nhật. Các tứ giác

b) Theo a) suy ra
,
, đối xứng với nhau qua
c) Để hình chữ nhật
. Vậy tam giác
Bài 12. Cho hình bình hành
trung điểm của
,
. Vẽ
a) Tứ giác

,

là hình thoi.

thẳng hàng. Lại có

.

là hình vuông thì cần thêm điều kiện
vuông cân tại .
có
đối xứng với

,
qua

. Gọi
.

là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác
c) Chứng minh
d) Tính góc

,

,

là hình thang cân.

là hình chữ nhật.
.

Lời giải
a) Vì

Tứ giác

5

là hình thoi.

,

.
theo thứ tự là

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

b) Dễ thấy
,
là hình thang cân.
c)
của

;

là hình thoi. Suy ra
.

đều. Do đó,

suy ra

là đường phân giác trong

Có

và
hay
. Vậy tứ giác
là hình bình hành vì có cặp cạnh đối song song và
bằng nhau.
Thấy rằng

vừa là đường trung tuyến, phân giác của

. Suy ra
hay
bình hành có một góc vuông.
d) Vì

là hình chữ nhật nên

Tứ giác

là hình chữ nhật vì là hình

là trung điểm của

. Ta có

cân tại

là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao. Suy ra
, vậy
.Bài 13. Cho hình thang cân
, các đường cao
,
a) Tứ giác

.

c) Gọi là điểm đối xứng với
đường nào?

qua

. Các điểm

và

đối xứng với nhau qua

là hình gì?

Lời giải

a) Tứ giác
b)

c)

là hình chữ nhật.
(ch - gn).

Nên suy ra
và

.

là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh

d) Tứ giác

, mà

.
đối xứng với nhau qua đường thẳng

d) Dễ thấy

. Do đó,
6

.
là hình bình hành.

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Bài 14. Cho tam giác
. Kẻ
song song với

vuông tại . Gọi
cắt
tại .

a) Chứng minh tứ giác

lần lượt là trung điểm của

là hình chữ nhật.

b) Gọi

đối xứng với

qua

. Tứ giác

là hình gì? Vì sao?

c) Gọi

đối xứng với

qua

. Tứ giác

là hình gì? Vì sao?

d) Tam giác

,

cần thêm điều kiện gì để tứ giác

là hình vuông?

Lời giải

a) Tứ giác

là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông.

là đường trung bình của tam giác

.

là hình chữ nhật.
b) Tứ giác
nên
c) Tứ giác
đường và
d) Tam giác

có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Lại có
là hình chữ nhật.
là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi
(trung tuyến ứng với cạnh huyền).
vuông cân.

Bài 15. Cho tam giác
kẻ
vuông góc với
a) Chứng minh
b) Chứng minh tứ giác

vuông tại có
. Gọi
tại ,
vuông góc với
tại

là trung điểm của
.

,

.
là hình bình hành.

c) Gọi
là đường cao của tam giác
hình thang cân và đối xứng với qua
7

(

). Chứng minh tứ giác
.

là

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Lời giải
a) Dễ thấy
ra đpcm.
b) Dễ thấy
đpcm.
c)

là hình chữ nhật, suy

,

;
là hình thang cân và

,

Bài 16. Cho hình thang vuông
góc với
.

có

a) Chứng minh rằng tứ giác
b) Gọi
c) Kẻ

.

và

, kẻ

vuông

là hình vuông.

là trung điểm của
vuông góc với
là hình thoi.

nên
đối xứng với nhau qua

. Chứng minh
.

cắt

,

đối xứng với
tại

và

qua

.

. Chứng minh tứ giác

Lời giải

a)

là hình vuông vì là hình chữ nhật và có hai cạnh kề bằng nhau.

b) Có
và
là trung điểm của
c) Có

. Vậy
(c.g.c) nên

nên tứ giác
đối xứng với qua .
;

là hình bình hành.
(c.g.c) nên

8

.

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Lại có

(cùng phụ với góc
)
(g.c.g)
Tứ giác

(vì
). Vậy
là hình thoi vì có bốn cạnh bằng

nhau.
Bài 17. Cho hình vuông
tia
sao cho
.

.

a) Chứng minh tam giác
b) Gọi

,

là điểm trên tia đối của

vuông cân.

là trung điểm của

c) Lấy điểm

là điểm trên cạnh

. Chứng minh

đối xứng với

thuộc

.

qua . Chứng minh tứ giác

là hình vuông.

Lời giải
a)

;

. Dễ thấy
. Do đó,

tam giác vuông cân tại

là

.

b) Chứng minh
. Do đó
nằm trên
đường trung trực của
. Mà
là đường trung trực
của
(tính chất hình vuông
) nên
.
c) Vì

là tam giác vuông cân nên
nên

. Vậy tứ giác

Bài 18. Cho tam giác
vuông tại
điểm của
, là điểm đối xứng của
a) Chứng minh

đối xứng với

b) Các tứ giác
c) Tam giác vuông

,

. Hơn nữa
là hình vuông.

, đường trung tuyến
qua .

qua đường thẳng

và

. Gọi

là trung

.

là hình gì? Vì sao?
cần thêm điều kiện gì thì tứ giác

Lời giải

9

là hình vuông?

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

a) Vì

nên

b) Có
và
hình bình hành.
hay

đối xứng với

qua đường thẳng

.

cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường nên tứ giác
là
. Vậy tứ giác
cũng là hình bình hành vì có
và
.

c) Hình bình hành
có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi. Để
hình thoi
là hình vuông thì cần điều kiện
. Vì tứ giác
là hình
bình hành nên
. Vậy nếu
suy ra
. Lúc này tam giác
cân tại . Vậy để tứ giác
là hình vuông thì tam giác vuông
cần thêm
điều kiện
hay tam giác
vuông cân tại .
Bài 19. Cho hình bình hành
có
và
trung điểm của
và là điểm đối xứng của qua
a) Tứ giác

. Gọi

lần lượt là

.

là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tam giác

đều.

c) Chứng minh tứ giác

là hình chữ nhật.

Lời giải
a) Vì

Tứ giác
là hình thoi.

b) Tam giác

có

nên cân tại

và

nên

là tam giác đều.
c) Dễ dàng nhận thấy tứ giác

là hình bình hành. Vì tam giác

là tam giác

đều nên
. Vậy tam giác
có
là đường trung tuyến và
nên tam giác
là tam giác vuông tại
(trong tam giác vuông trung tuyến ứng
với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). Vậy hình bình hành
có một góc vuông
nên tứ giác
là hình chữ nhật.
Bài 20. Cho tứ giác
,
là trung điểm của cạnh
. Qua
kẻ đường thẳng
song song với
cắt
ở . Qua
kẻ đường thẳng song song với
cắt
ở
. Qua kẻ đường thẳng song song với
cắt
ở .
a) Chứng minh tứ giác

là hình bình hành.

10

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

b) Tứ giác

cần thêm điều kiện gì để tứ giác

là hình chữ nhật.

Lời giải

a) Có
và
cặp đối song song với nhau.

nên tứ giác

là hình bình hành vì có các

b) Để tứ giác
là hình chữ nhật thì
hay
vì
. Vậy điều kiện để tứ giác
là hình chữ nhật thì tứ giác
hai đường chéo vuông góc.
Bài 21. Cho tam giác
vuông ở . Gọi ,
,
. Từ kẻ đường thẳng song song với
a) Tứ giác

và
phải có

,
lần lượt là trung điểm của
,
, đường thẳng này cắt
tại .

là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác

là hình bình hành.

c) Chứng minh tứ giác

là hình thoi.

d) Tìm điều kiện của tam giác
hình vuông.

để tứ giác

là

Lời giải
a) Tứ giác

là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông.

b) Có
hay
. Vậy tứ giác
bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.
c) Tứ giác

là hình

là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

và vuông góc với nhau (
d) Để tứ giác
giác vuông cân tại

).

là hình vuông thì

. Vậy tam giác

.

11

sẽ thành tam