PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

























DẠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
1. Một số định nghĩa, định lí, tính chất và kiến thức liên quan đến các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
1. Phương trình ax2 + bx + c = 0
Nếu có nghiệm nguyên là x0 thì c
x0
Phương trình có nghiệm nguyên khi
(
`) là số chính phương, hoặc
(
`) không âm.
2. Phương trình được đưa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.

với m.n = k.
2. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú. Không có cách giải chung cho mọi phương trình, tuy nhiên để giải các phương trình đó ta thường dựa vào một số phương pháp giải như sau:
Phương pháp I : Phương pháp đưa về dạng tích
Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Lời giải:
Ta có:



Do x, y nguyên dương nên
mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các khả năng sau:
;

Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là


Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x + 6 = y2
Lời giải:
Ta có: x2 + x + 6 = y2
4x2 + 4x + 24 = 4y2
(2x + 1)2 – 4y2 = -23

( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = - 23
Suy ra:
hoặc

hoặc
hoặc

Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm nguyên (x, y) là (5; 6); (5; -6) ; (-6;- 6); (- 6; 6)
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2
Lời giải:
Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2( x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1( (x+1)4 – y2 = 1
( [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1



( y = 0 ( (x+1)2 = 1 ( x+1 = (1 ( x = 0 hoặc x = -2. Thử lai các giá trị tương ứng của x và y ta thấy đều thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là ( x, y )
{( 0, 0 ); ( - 2, 0 )}
Ví dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y3 - x3 = 91   (1)
Lời giải
Ta có (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91   (*) Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0. Mặt khác 91 = 1 . 91 = 7 . 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều có giá trị nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau:
y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 (I)
y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 (II)
y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 (III)
y - x = 7 và x2 + xy + y2 = 13 (IV) Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.
Phương pháp II : Sử dụng tính chất chia hết
- Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm
nghiệm của phương trình.
- Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy + x - 2y = 3   (3)
Lời giải
Ta có (3) tương đương  y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (3) tương đương với:


Ta thấy: y là số nguyên nên x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -