HÌNH BÌNH HÀNH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Định nghĩa.
 Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.


là hình bình hành
.
2. Tính chất.
Trong hình bình hành:
 Các cạnh đối bằng nhau.
 Các góc đối bằng nhau.
 Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết.
 Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
 Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
 Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành


Dựa vào một trong năm dấu hiệu.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành
và . Chứng minh tứ giác

, đường chéo
. Kẻ
là hình bình hành.

Lời giải
Vì

là hình bình hành

Vì

(so le trong).

Vì
Vì

(1).
(cạnh huyền - góc nhọn).
(hai cạnh tương ứng) (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác

là hình bình hành.

1

và

vuông góc với

tại

Ví dụ 2. Cho tam giác
có
là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với
góc với
tại
cắt nhau ở . Chứng minh tứ giác
là hình bình hành.

tại

, vuông

Lời giải
Xét

có

là trực tâm, suy ra

Vì

(1).

Vì

(2).

Từ

và

suy ra tứ giác

;

.

là hình bình hành.

Dạng 2: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học


Sử dụng tính chất về cạnh, góc, đường chéo của hình bình hành để chứng minh các tính
chất hình học.

Ví dụ 3. Cho hình bình hành
Chứng minh:
a)

và

. Gọi

là trung điểm của

;

b)

,

.

Lời giải
a) Vì tứ giác

là hình bình hành

.

Vì

là trung điểm của

.

Vì

là trung điểm của

.

Do đó
Từ
Vì
Mà

.
và

Tứ giác

là hình bình hành

là hình bình hành nên

.
.

2

.

là trung điểm của

.

b) Vì tứ giác

là hình bình hành suy ra

.

Dạng 3: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng
đồng quy


Vận dụng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường để chứng minh.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành
lượt là trung điểm của

, gọi

,

. Chứng minh ba điểm

. Kẻ
,

,

là giao điểm của hai đường chéo. Gọi
vuông góc với

tại

,

vuông góc với

thẳng hàng và các đường thẳng

,

Lời giải
Vì

là hình bình hành nên

Vì

.

.

Ta có

(1).

Ta có

(cạnh huyền - góc nhọn)
(2) .

Từ

và

suy ra tứ giác

Xét hình bình hành
Suy ra

là hình bình hành.
có

là trung điểm của

thẳng hàng.
Do đó
Hay

.

là giao điểm hai đường chéo của của hình bình hành

cùng đi qua

.

đồng quy.

3

và

.

,

đồng quy.

lần
tại

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình bình hành
giác của góc
cắt
ở .
a) Chứng minh

(

). Tia phân giác của góc

;

b) Tứ giác

cắt

ở

, tia phân

là hình gì?

Lời giải

a) Vì

Vì

là hình bình hành nên

là phân giác góc

Vì

là

nên

phân

giác

.
góc

nên

.
Mà

( so le trong ).

Do đó

Vì

(đồng vị).

nên

. Xét tứ giác

Vậy tứ giác

là hình bình hành.

Bài 2. Cho tam giác
. Từ một điểm
tại
và đường thẳng song song với
a) Tam giác

có

trên cạnh
cắt
tại

cân;

b)

là phân giác của góc

Lời giải
a) Vì

.

Vì

.
Tứ giác

Mà
Vì tam giác
Vì

là hình bình hành
(gt)
cân tại

.
Tam giác

nên

cân.
.

(so le trong).

4

vẽ đường thẳng song song với
cắt
. Giả sử
. Chứng minh:
.

.
là tia phân giác của góc

.

Bài 3. Cho hình bình hành

. Gọi

vẽ đường thẳng song song với
lượt lấy các điểm

là giao điểm hai đường thẳng

cắt hai cạnh

sao cho

a) Các tứ giác

. Gọi

lần lượt tại

là giao điểm của

và

. Qua điểm

. Trên
và

lần

. Chứng minh:

là hình bình hành;

b) Ba điểm

thẳng hàng;

c) Ba đường thẳng

đồng quy.

Lời giải
a) Vì

là hình bình hành nên

Vì

.

Xét tứ giác

có

Tứ giác

là hình bình hành.

Xét tứ giác

có

Tứ giác
b) Vì
Mà

.

là hình bình hành.
là hình bình hành.

là giao điểm của

Do đó
c) Ta có
Mà

và

suy ra

và

trùng nhau.

thẳng hàng.
là giao điểm của

và

.

thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng

đồng quy.

Bài 4. Cho hình bình hành
minh:
a)

.

và

. Gọi

,

lần lượt là trung điểm các cạnh

;

b)

5

.

và

. Chứng

Lời giải
a) Vì tứ giác

là hình bình hành
.

Vì

là trung điểm của

Vì

.

là trung điểm của

.

.
Từ

và

, suy ra tứ giác

Vì tứ giác

là hình bình hành

.

là hình bình hành suy ra
(so le trong).

b) Vì tứ giác

là hình bình hành suy ra

Bài 5. Cho hình bình hành
, trên

lấy điểm

, gọi

sao cho

đường thẳng

.

là giao điểm của hai đường chéo. Trên
. Chứng minh rằng ba điểm

lấy điểm

thẳng hàng và các

đồng quy.

Lời giải
Vì

là

hình

bình

hành

nên

.

Xét tứ giác

có

Tứ giác

là hình bình hành.

Xét hình bình hành

có

là trung điểm

.

Suy ra

là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành

Hay

,

,

đồng quy.

6

,

,

thẳng hàng.

Bài 6. Cho hình bình hành
, vẽ đường thẳng
cắt hai cạnh

. Gọi

là giao điểm hai đường thẳng

cắt hai đường thẳng
lần lượt tại

lần lượt tại

. Chứng minh tứ giác

và

. Qua

vẽ đường thẳng

là hình bình hành.

Lời giải
Vì

là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành

Xét

và

nên

có
(so le trong).

(chứng minh trên).
(đối đỉnh).
(g - c -g).
(hai cạnh tương ứng).
là trung điểm của
Tương tự

.

là trung điểm của

Xét tứ giác
Do đó tứ giác

.

có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
là hình bình hành.
--- HẾT ---

7

. Qua điểm

.