HÌNH THANG CÂN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Định nghĩa.
 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
2. Tính chất.
Trong hình thang cân:
 Hai góc kề một đáy bằng nhau.
 Hai cạnh bên bằng nhau.
 Hai đường chéo bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết.
 Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang
cân.
 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Lưu ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình A
thang cân. Chẳng hạn hình thang như hình bên.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Hình 3.1
B

C

D

Hình 3.2

Dạng 1: Tính số đo góc



Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.
Trong hình thang, hai góc kề một cạnh bên bù nhau.

Ví dụ 1. Cho tam giác
và
sao cho
a) Chứng minh

cân tại

. Trên các cạnh bên

,

lấy theo thứ tự các điểm

.
là hình thang cân;

b) Tính góc của hình thang cân đó, biết rằng

.

Lời giải

a)

cân tại

Do

nên

nên

.

(1)

cân tại

.
Từ
Lại có

và

(2)
.

(3)

.

(4)

1

Từ

và

b) Vì

suy ra

là hình thang cân.

là hình thang cân nên

;

.

Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng hoặc góc bằng nhau



Sử dụng các tính chất của hình thang cân để chứng minh.
Sử dụng các kết quả đã biết về chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau để
chứng minh.

Ví dụ 2. Cho hình thang cân
minh
,
.

có

, gọi

là giao điểm của hai đường chéo. Chứng

Lời giải
Do

là hình thang cân có

Xét hai tam giác

và

có

(cặp góc tương ứng). Suy ra
Chứng minh tư tương tự với

cân tại

.

Ví dụ 3. Cho hình thang cân
có
, đường chéo
là tia phân giác góc . Tính chu vi của hình thang, biết
Lời giải
Trong hình thang cân

có

.
Gọi

.

đều nên

.

2

vuông góc với cạnh bên
cm.

,

có

,
đều

.

Chu vi của hình thang

là

cm.

Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình thang cân


Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Ví dụ 4. Cho hình thang
với

,(

, cắt đường thẳng

tại

a)

là tam giác cân;

c)

là hình thang cân.

, có

. Qua

kẻ đường thẳng song song

. Chứng minh
b)

;

Lời giải
a) Từ

kẻ tia

,

.

Do

cân tại

b) Do

cân tại

nên

. Mà

.
Xét

và




có
(giả thiết);
(chứng minh trên);

là cạnh chung.
(c.g.c).

c) Do

nên
là hình thang cân.

3

.
(hai góc đồng vị), nên

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác

cân tại

a) Chứng minh

, các đường phân giác

,

(

,

).

là hình thang cân;

b) Tính các góc của hình thang cân

, biết

.

Lời giải
a) Do
cân tại
suy ra hai tam giác



và
và

,

là các đường phân giác
có

,
chung,



.

Vậy

(g.c.g).
,

,

;

cân tại A
b) Do

là hình thang cân.

là hình thang cân có

Bài 2. Cho hình thang cân
có
điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên
a)

,

b)

,
và

;

là đường trung trực của hai đáy hình thang

Lời giải
a) Do

là hình thang cân

.
Xét

là giao điểm của hai đường chéo,
. Chứng minh

và

có



(




(
là cạnh chung.

là hình thang cân);
là hình thang cân);

4

.

là giao

.
(cặp góc tương ứng).
Suy ra

cân tại

.

Chứng minh tư tương tự với
b)

,

.

cân tại
,

Mà
Từ

thuộc trung trực

;

(cmt)

và

bên

,

.

thuộc trung trực

là đường trung trực của

Bài 3. Cho hình thang

,

(

,

,

.

(2)

.

,

là tia phân giác góc

(1)

) có đường chéo

và

vuông góc với cạnh

.

a) Chứng minh

là hình thang cân;

b) Tính độ dài cạnh

, biết chu vi hình thang bằng

cm.

Lời giải
a) Gọi

. Tam giác

giác vừa là đường cao nên
Lại có

nên

có
cân tại

vừa là phân
.

là tam giác đều. Suy ra

là hình thang cân.
b) Theo phần

là trung điểm

,

là

đường trung bình trong
Lại có

.

là hình thang cân

.

Mà

.

Do chu vi hình thang

là
cm.

Bài 4. Cho tam giác
.
a) Tứ giác

cân tại

. Lấy điểm

là hình gì? Vì sao?

5

trên cạnh

, điểm

trên cạnh

sao cho

b) Các điểm

,

ở vị trí nào thì

?

Lời giải

a)

cân tại

.

cân tại
Từ

và

và

(1)

.
suy ra

(2)

là hình thang cân do

.

b) Giả sử

cân tại
.

Tương tự
Vậy

,

cân tại

.

là các đường phân giác của

thì

6

.

D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng

.

Lời giải
Giả sử

là hình thang cân có

, suy ra

.
Bài 6. Cho hình thang cân
Chứng minh
.

có

(

. Kẻ các đường cao

,

.

Lời giải
Xét hai tam giác vuông

và

có

,

.
Bài 7. Cho hình thang cân
có
,
các cạnh của hình thang biết chu vi hình thang bằng

.

là tia phân giác của góc

. Tính

cm.

Lời giải
Gọi

đều.
,

Có

.

là tia phân giác của góc D

cân tại A.
;

.

Chu vi hình thang là

.

Vậy

cm,

Bài 8. Cho hình thang
cân.

cm.
(

), có

Lời giải
Từ

kẻ tia

,

.

Do
cân tại A

.
7

. Chứng minh

là hình thang

Lại có

(hai góc đồng vị)
.

Xét hai tam giác




và

có

(giả thiết);
(chứng minh trên);
là cạnh chung.
(c.g.c).

là hình thang cân.
--- HẾT ---

8