PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

1. Phương pháp năng lên lũy thừa (Bình phương hai vế của phương trình)
- Thông thường khi gặp phương trình dạng:
ta thường bình phương 2 vế, điều đó đôi khi gặp khó khăn.
Bài 1: Giải phương trình:

Giải: ĐK: x
0
Bình phương hai vế không âm của phương trình ta được
1 +
= x + 2

Để giải tiếp phương trình này hơi phức tạp. Nhưng nếu ta để ý phương trình đã cho tương đương với pt:

Ta thấy: (x + 3) + 4x = (3x + 1)+ (2x + 2)
Khi đó ta chuyển vế pt đã cho trở thành:

Bình phương hai vế ta được:


4x2 + 12x = 6x2 + 8x + 2
2x2 – 4x +2 = 0

x2 – 2x + 1 = 0
(x – 1)2 = 0
x = 1
Thử lại: x = 1 thoả mãn
*) Nhận xét:
Nếu phương trình
mà có A(x)+U(x) =B(x) + V(x)
Thì ta biến đổi phương trình về dạng:
. Sau đó bình phương hai vế. Giải phương trình hệ quả, sau khi tìm được x phải thử lại rồi mới kết luận,
Bài tập vận dụng:
Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)


Bài 2: Giải phương trình:


Giải
ĐK : x
- 1
Bình phương hai vế của phương trình?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét:
, từ nhận xét này ta có cách giải như sau
PT


Bình phương 2 vế ta được:

x2 – 2x – 2 = 0


Thử lại x = 1 -
, x = 1 +
là nghiệm.




*) Nhận xét:
Nếu phương trình dạng:
mà có f(x).h(x) = k(x).g(x) thì ta biến đổi phương trình về dạng:
rồi bình phương hai vế, giải phương trình hệ quả

2. Phương pháp đưa về bình phương trong căn
Ví dụ: Giải phương trình:


Giải
ĐK : x

Pt




= 14


+
= 14


+ 7 +
= 14
Đặt t =

PT => t + 14 +
= 14
t +
= 0
TH1: Nếu t
0 => 2t = 0 => t = 0 =>
= 0


14x – 49 = 49

14x = 98
x = 7
TH2: Nếu t < 0 => t +
= t – t = 0 (Luôn đúng).
Với t < 0 =>

14x – 49 < 49
14x < 98
x < 7
Kết hợp các điều kiện ta có:


3. Phương pháp biến đổi thành tích.
Phương trình dạng: au + bv = ab + uv

au – ab + bv – uv = 0

a(u – b) – v(u – b) = 0

(u – b)(a – v) = 0
Trường hợp đặc biệi nếu a = b = 1=> u + v = 1 + uv
(u – 1)(v – 1) =0
Ví dụ 1: Giải phương trình:

Giải
ĐK : x
-1
Pt




= 0

-
= 0


.
= 0





Giải (1):

x + 1 = 1
x = 0 (TM)
Giải (2):













x = 1(TM)
Vậy phương trình có nghiệm là: x = 0, x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình: x + 4
=
+ 1
Giải
ĐK: 1
x
7
Pt
x – 1 + 4
- 4
-
= 0

[(x- 1) -
] + [4
- 4
] = 0


(
-
) - 4(
-
) = 0

(
-
)(
- 4) = 0









Vậy pt có nghiệm x = 4

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Giải
Pt

+
- 1 -
= 0

(
-
) – (1 -
) = 0


(1 -
) – ( 1-
) = 0

( 1-
) (
- 1) = 0









Vậy pt có nghiệm là x = 0, x = -1

Ví dụ 4: Giải phương trình:

Giải
+ x = 0 ,