3: PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Dạng 3.1.
Câu 1. [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x sin x là:
A. F ( x ) = − x cos x − sin x + C .

B. F ( x ) = x cos x − sin x + C .
D. F ( x) = x cos x + sin x + C .

C. F ( x ) = − x cos x + sin x + C .
Câu 2. [Mức độ 1] Tìm

 x sin 2 xdx ta thu được kết quả nào sau đây?
1
1
x sin 2 x − cos 2 x + C
4
2
1
1
D. x sin 2 x − cos 2 x
4
2

A. x sin x + cos x + C

B.

C. x sin x + cos x
Câu 3. [Mức độ 2] Biết

 x cos 2 xdx = ax sin 2 x + b cos 2 x + C

A. ab = 1 .

B. ab = 1 .

8

với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab?

C. ab = − 1 .

4

D. ab = − 1 .

8

4

Câu 4. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm I =  ( x − 1) sin 2 xdx
A. I =
C. I =

(1 − 2x ) cos 2x + sin 2x + C
2
(1 − 2x ) cos 2x + sin 2x
4

.

B. I =

+C.

D. I =

( 2 − 2x) cos2x + sin 2x + C
2
( 2 − 2x) cos2x + sin 2x
4

.

+C .

Câu 5. [Mức độ 2] Nguyên hàm của I =  x sin 2 xdx là:
A. 1 ( 2 x 2 − x sin 2 x − cos 2 x ) + C .
8

C.

1 2 1

 x − cos 2 x − x sin 2 x  + C .
4
2


Câu 6. [Mức độ 1] Một nguyên hàm của f ( x ) =

B. 1 cos 2 x + 1 ( x 2 + x sin 2 x ) + C .
8

4

D. Đáp án A và C đúng.
x
là :
cos 2 x

A. x tan x − ln cos x

B. x tan x + ln ( cos x )

C. x tan x + ln cos x

D. x tan x − ln sin x

Câu 7. [Mức độ 1] Một nguyên hàm của f ( x ) =

x
là :
sin 2 x

A. x cot x − ln sinx

B. −x cot x + ln ( sin x)

C. −x tan x + ln cos x

D. x tan x − ln sin x

Câu 8. [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm  sin xdx



A. sin xdx =

1
2 x

cos x + C .

C.  sin xdx = cos x + C .

B.  sin xdx = − cos x + C .
D.  sin xdx = −2 x cos x + 2sin x + C .

Câu 9. [Mức độ 2] Nguyên hàm của I =  x sin x cos 2 xdx là:
A. I 1 = − x cos 3 x + t − 1 t 3 + C , t = sin x .
3

B. I 1 = − x cos 3 x + t − 2 t 3 + C , t = sin x .
3

C. I 1 = x cos 3 x + t − 1 t 3 + C , t = sin x .

D. I 1 = x cos 3 x + t − 2 t 3 + C , t = sin x .

3

3

( x 2 + a ) . Tìm nguyên
Câu 10. [Mức độ 2] Cho biết F ( x ) = 1 x 3 + 2 x − 1 là một nguyên hàm của f ( x ) =
3
x
x2
2

hàm của g ( x ) = x cos ax .

B. 1 x sin 2 x − 1 cos 2 x + C .

A. x sin x − cos x + C .

2
4
1
D. x sin 2 x + 1 cos 2 x + C .
2
4

C. x sin x + cos x + C .
Câu 11. [Mức độ 3] Cho f ( x ) =

 π π
x
trên  − ;  và
2
cos x
 2 2

F ( x) là một nguyên hàm của xf ' ( x ) thỏa mãn

 π π
F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈  − ;  thỏa mãn tan a = 3 . Tính F ( a ) −10a2 + 3a .
 2 2
A. − 1 ln 10 .

B. − 1 ln 10 .

2

C. 1 ln 10 .

4

D. ln10.

2

Dạng 3.2.
x
x
Câu 12. [Mức độ 2] Biết F ( x ) = ( ax + b ) e là nguyên hàm của hàm số y = ( 2x + 3) e .Khi đó a + b là

A. 2.

B. 3.

Câu 13. [Mức độ 2] Cho biết

 xe

2x

đề nào dưới đây là đúng.
A. a + 2b = 0 .

C. 4.

D. 5.

dx = 1 e 2 x ( ax + b ) + C , trong đó a , b ∈ ℤ và C là hằng số bất kì. Mệnh
4

B. b > a .

D. 2a + b = 0 .

C. ab.

Câu 14. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm I =  ( 2 x − 1) e − x dx .
−x
A. I = − ( 2x +1) e + C .

−x
B. I = − ( 2x −1) e + C .

−x
C. I = −( 2x + 3) e + C .

Câu 15. [Mức độ 2] Biết

−x
D. I = −( 2x − 3) e + C .

 ( x + 3 ) .e

A. S = 10 .

−2 x

dx = −

1 −2 x
e ( 2 x + n ) + C , với m , n ∈ ℚ . Tính S = m 2 + n 2 .
m

B. S = 5 .

C. S = 65 .

D. S = 41 .

x
Câu 16. [Mức độ 1] Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( 5x +1) e và F ( 0) = 3. Tính F (1) .

A. F (1) = 11e − 3 .

B. F (1) = e + 3.

C. F (1) = e + 7 .

D. F (1) = e + 2 .

Câu 17. [Mức độ 1] Cho hàm số f ( x) = ( 2x − 3) e . Nếu F ( x) = ( mx + n) e ( m, n∈ℝ) là một nguyên hàm
x

của f ( x) thì hiệu

x

m−n bằng

A. 7.
Câu 18. [Mức độ 2] Cho
A. 6 − 15 .
e

B. 3.

F ( x)

C. 1 .

là một nguyên hàm của hàm số

B. 4 − 10 .
e

D. 5.

f ( x) = e

3

C. 1 5 − 4 .
e

Dạng 3.3.
Câu 19. [Mức độ 1] Kết quả của  ln xdx là:
A. x ln x + x + C

B. Đáp án khác

x

và

F ( 0) = 2
D. 10 .
e

. Hãy tính

F ( −1)

.

C. x ln x + C

D. x ln x − x + C

Câu 20. [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln ( x + 2) .
A.
B.
C.
D.

x2
x2 + 4 x
 f ( x) dx = 2 ln ( x + 2) − 4 + C .
x2 − 4
x2 − 4 x
f
x
d
x
=
ln
x
+
2
−
+C .
(
)
(
)

2
4
x2
x2 + 4 x
 f ( x) dx = 2 ln ( x + 2) − 2 + C .
x2 − 4
x2 + 4 x
d
ln
2
f
x
x
=
x
+
−
+C .
(
)
(
)

2
2

Câu 21. [Mức độ 1] Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g ( x ) =

− ln 2x − x ln 2
x
+ ln
+1999 .
x +1
x +1
ln x
x
− ln
+ 2016 .
C.
x +1
x +1

ln x

( x + 1)

2

?

− ln x
x
− ln
+ 1998 .
x +1
x +1
ln x
x
+ ln
+ 2017 .
D.
x +1
x +1

A.

B.

Câu 22. [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x .

1 32
f
x
x
=
x ( 3ln x − 2) + C .
d
(
)

9
2 32
f
x
d
x
=
x ( 3ln x −1) + C .
C.  ( )
9

2 32
f
x
x
=
x ( 3ln x − 2) + C .
d
(
)

3
2 32
f
x
d
x
=
x ( 3ln x − 2) + C .
D.  ( )
9

A.

Câu 23. [Mức độ 2] Họ nguyên hàm của I =
A. cot x.ln ( cos x) + x + C .

B.



ln ( cos x )
sin2 x

dx là:
B. − cot x.ln ( cos x) − x + C .

C. cot x.ln ( cos x) − x + C .
Câu 24. [Mức độ 2]
hai số hữu tỉ. Giá trị
A. 3.

 ( 2x

D. − cot x.ln ( cos x) + x + C .

)

(
3

x 2 + 1 + x ln x dx có dạng a

x2 + 1

) + b6 x
3

2

ln x −

1 2
x + C , trong đó a , b là
4

a bằng:
B. 2.

C. 1 .

D. Không tồn tại.

x
Câu 25. [Mức độ 2] Cho F ( x ) = a ( ln x + b ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + ln
, trong đó a,
2
x

b ∈ ℤ . Tính S = a + b .
A. S = −2 .

B. S = 1 .

x

C. S = 2 .

Câu 26. [Mức độ 2] Cho các số thực a, b khác không. Xét hàm số f ( x ) =

−1. Biết f ' ( 0) = −22 và

D. S = 0 .
a

( x + 1)

3

+ bxe x với mọi

1

 f ( x ) dx = 5 . Tính a + b ?
0

A. 19 .

B. 7.

C. 8.

D. 10 .

x khác

Câu 27. [Mức độ 3] Cho

a là số thực dương. Biết rằng F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

1

1
f ( x ) = ex  ln ( ax ) +  thỏa mãn F   = 0 và F ( 2018) = e2018 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
x

a
1 
 1 

;1 .
A. a ∈
B. a ∈  0;
.
C. a∈[1;2018) .
D. a∈[ 2018; +∞) .
 2018 
 2018 
Câu 28. [Mức độ 3] Cho F ( x ) = 1 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Tính
2x

e −3
A. I =
.
2e2
2

x

2−e
B. I = 2 .
e
2

e −2
C. I = 2 .
e
 4 − x2
2
4+ x

 4 − x2
2
 4+ x


2
 − 2x .

4
2
 x − 16   4 − x 
D. 
+ 2 x2 .
 ln 
2 
 4  4+ x 

ln ( x + 3)

trị của F ( −1) + F ( 2) bằng
6


?


B. 

Câu 30. [Mức độ 4] Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x ) =

3

3 − e2
D. I =
.
2e2

 x 4 − 16   4 − x 2
 ln 
2
 4  4+ x


2
 − 2x .

2
4−x 
C. x 4 ln 
+ 2x2 .
2 
 4+ x 

A. x 4 ln 

A. 10 ln 2 − 5 ln 5 .

 f '( x) ln xdx bằng:
1

2

Câu 29. [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 ln 

e

B. 0.

C. 7 ln 2 .
3

x2

sao cho F ( −2) + F (1) = 0 . Giá

D. 2 ln 2 + 3 ln 5 .
3

6

Dạng 3.4:
Câu 31. [Mức độ 2] Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.  e x sin xdx = e x cos x −  e x cos xdx. .

B.  e x sin xdx = −e x cos x +  e x cos xdx. .

C.  e x sin xdx = e x cos x +  e x cos xdx. .

D.  e x sin xdx = −e x cos x −  e x cos xdx.

Câu 32. [Mức độ 3] Tìm J =  e x .sinxdx ?

ex
( cos x − sin x) + C .
2
ex
C. J = ( sin x − cos x ) + C .
2

A. J =

ex
( sin x + cos x) + C .
2
ex
D. J = ( sin x + cos x +1) + C .
2
B. J =