9. ỨNG DỤNG THỂ TÍCH

Dạng 9.1: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Sinh Bởi Miền ( D ) Giới Hạn Bởi
y = f ( x ) ; y = 0 Và x = a, x = b Khi Quay Quanh Trục Ox.
Câu 1. [Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích
V được xác định theo công thức
y
3

O 1
3

3 x
3

A. V = π   f ( x )  dx .
2

B. V =

1
3

2
1
 f ( x )  dx .

31
3

2
C. V = π   f ( x )  dx .

D. V =   f ( x )  dx .

2

1

2

1

Câu 2. [Mức độ 1] Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2 − 2x , trục hoành, trục tung, đường
thẳng x = 1 . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
8π
4π
15π
7π
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
15
3
8
8

Câu 3. [Mức độ 1] Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , trục Ox và hai
đường thẳng x = 1 ; x = 4 khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?
4

A. V = π  xdx .

4

4

1

4

C. V = π 2  xdx .

B. V =  x dx .
1

D. V = π  xdx .

1

1

Câu 4. [Mức độ 1] Cho hàm số y = π có đồ thị ( C ) . Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi ( C ) , trục hoành
x

và hai đường thẳng x = 2 , x = 3 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được
tính bởi công thức:
2

A. V = π  π dx .
2x

B. V = π

3

3

π

3

x

dx .

C. V = π  π dx .
2x

2

3

D. V = π

3

2

2

π

x

dx .

2

x
Câu 5. [Mức độ 1] Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e , trục hoành và các đường thẳng

x = 0 , x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
e2 − 1
A. V =
.
2

B. V =

π ( e2 + 1)
2

.

C. V =

π ( e2 −1)
2

.

D.

π e2
2

.

Câu 6. [Mức độ 1] Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xex ,
y = 0 , x = 0 , x = 1 xung quanh trục Ox là
1

A. V =  x 2 e 2 x dx .
0

1

B. V = π  xe x dx .
0

1

C. V = π  x 2 e 2 x dx .
0

1

D. V = π  x 2e x dx .
0

Câu 7. [Mức độ 1] Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x.ln x , trục hoành và hai đường
thẳng x = 1 ; x = 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới ( H ) khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V

được xác định bởi

A. V = π  ( x.ln x ) dx .

B. V =  ( x.ln x ) dx .

C. V =  ( x.ln x ) dx .

D. V = π  ( x.ln x ) dx .

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

Câu 8. [Mức độ 1] Cho hình phẳng ( D ) được giới hạn bởi các đường x = 0 , x = π , y = 0 và y = − sin x .
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D ) xung quanh trục Ox được tính theo công thức
π

π

A. V = π  sin x dx .

B. V = π  sin 2 xdx .
0

0

C. V = π

π

π

 ( − sin x ) dx .

D. V =  sin 2 xdx .
0

0

Câu 9. [Mức độ 2] Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các
1
đường y = , y = 0 , x = 1 , x = a , ( a > 1) quay xung quanh trục Ox .
x
 1
 1
 1
 1
B. V = 1 −  π .
C. V = 1 +  π .
D. V = 1 +  .
A. V = 1 −  .
 a
 a
 a
 a
Câu 10. [Mức độ 2]
trục Ox là V =

A. 11.

2
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = 1 − x , y = 0 quanh

aπ
với a , b là số nguyên. Khi đó a + b bằng
b
B. 17 .
C. 31 .

Câu 11. [Mức độ 2]

D. 25 .

Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = tan x , trục hoành và hai đường thẳng

π

x = 0, x = a víi a ∈ (0; ) . Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh trục Ox là
2
A. −π ( a − tana )
B. π ( a − tana )
C. −π ln(cos a)
D. π ln(cos a)

Dạng 9.2: Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Cho Hình Phẳng Giới Hạn
Bởi: y = f ( x ) Và y = g ( x ) Quay Quanh Trục Ox.
Câu 12. [Mức độ 2] Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối
tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
y f1 ( x )

f2 ( x )
O

a

b

b

A. V =   f12 ( x ) − f 22 ( x )  dx .

B. V = π   f12 ( x ) − f 2 2 ( x )  dx .

a
b

C. V = π   f 2 2 ( x ) − f12 ( x )  dx .

a
b

D. V = π   f1 ( x ) − f 2 ( x )  dx .

a

Câu 13. [Mức độ 2]

x

b

2

a

Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x − 4 , y = 2 x − 4 , x = 0 , x = 2 quanh trục Ox.
2

A.

32π
.
5

B.

32π
.
7

C.

32π
.
15

D.

22π
.
5

Câu 14. [Mức độ 2]

Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi

parabol ( P ) : y = x và đường thẳng d : y = 2 x quay xung quanh trục Ox .
2

2

A. π  ( x 2 − 2 x ) dx .
2

0
2

2

0

0

2

2

0
2

0

B. π  4 x 2 dx − π  x 4 dx .
D. π  ( 2 x − x 2 ) dx .

C. π  4 x 2 dx + π  x 4 dx .

0

Câu 15. [Mức độ 2]

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi

2
2
hai đồ thị y = x − 4x + 6 và y = − x − 2x + 6 .

A. π .

B. π − 1 .

C. 3π .

D. 2π .

Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi

Câu 16. [Mức độ 2]

các đường y = x 2 ; y = x quanh trục Ox .

A. V =

9π
.
10

B. V =

3π
.
10

C. V =

π
10

.

D. V =

7π
.
10

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y ,

Câu 17. [Mức độ 2]

y = − x + 2 và x = 0 quay quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào sau đây?
1
A. V = π .
3

B. V =

3
π.
2

C. V =

32
π.
15

D. V =

11
π.
6

x2
1
y
=
g
(
x
)
=
;
2
1 + x2
.Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng
T = mπ 2 + nπ ;m,n ∈ R thì tổng giá trị m + n là ?
1
13
2
3
A.
B.
C.
D.
2
20
5
5
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : y = f ( x) =

Câu 18. [Mức độ 3]

Câu 19. [Mức độ 2]

Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường

tròn ( C ) : x 2 + ( y − 3) = 1 xung quanh trục hoành là
2

A. V = 6π .

B. V = 6π 3 .

Câu 20. [Mức độ 2]

( C ) :( x + 2 ) + ( y − 3)
2

A. V = 2π 2 (đvtt).

C. V = 3π 2 .

D. V = 6π 2 .

Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn
2

≤ 1 quanh trục Ox .

B. V = 6π 2 (đvtt).

C. V = π 2 (đvtt).

D. V = 6π (đvtt).

x2 y2
Câu 21. [Mức độ 2] Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip ( E ) có phương trình
+
= 1 . Hình phẳng
25 9
( H ) giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình ( H ) xung quanh trục Ox ta được
khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó:

A. V = 60π .
Câu 22. [Mức độ 3]

B. 30π .

C.

1188
π.
25

D.

1416
π.
25

2
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x và y = x quay quanh trục tung tạo nên

một vật thể tròn xoay có thể tích bằng
π
π
A. .
B. .
6
3

C.

2π
.
15

D.

4π
.
15

Câu 23. [Mức độ 3]

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường xy = 4 , x = 0 , y = 1 và y = 4 . Tính

thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục tung.

A. V = 8π .

B. V = 16π .

C. V = 10π .

D. V = 12π .

Dạng 9.3:Tính Thể Tích Vật Thể Tròn Xoay Khi Cho Hình Phẳng Giới Hạn
Bởi Nhiều Hàm Số (3 Hs Trở Lên)
Câu 24. [Mức độ 3]

2
Gọi ( H ) là hình được giới hạn bởi nhánh parabol y = 2x (với x ≥ 0 ), đường thẳng

y = − x + 3 và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình ( H ) khi quay quanh trục Ox bằng

A. V =

52π
.
15

B. V =

Câu 25. [Mức độ 3]

17π
.
5

C. V =

51π
.
17

D. V =

53π
.
17

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x + y − 2 = 0 ; y = x

; y = 0 quay quanh trục Ox bằng

A.

5
.
6

B.

Câu 26. [Mức độ 3]

6π
.
5

C.

2π
.
3

D.

5π
.
6

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi các đường y = 0 , y = x , y = x − 2 .

A.

8π
.
3

B.

16π
.
3

C. 10π .

D. 8π .

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e x −1 , các trục tọa độ và phần đường
thẳng y = 2 − x với x ≥ 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

Câu 27. [Mức độ 3]

1 e2 − 1
A. V = +
.
3 2e 2
Câu 28. [Mức độ 3]

B. V =

π ( 5e2 − 3)
6e2

.

C. V =

1 e −1
+
π.
2
e

D. V =

1 e2 − 1
+
.
2 2e 2

Gọi ( H ) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = 2 x, y =

1− x
,y=0
x

(phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng.
2
2
5

5



A. V = π  − 2 ln 2  .
B. V = π  + 2ln 2  .
C. V = π  2ln 2 −  .
D. V = π  2ln 2 +  .
3
3
3

3




Câu 29. [Mức độ 3]
y=

6 − x2

(−

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , cung tròn có phương trình

)

6 ≤ x ≤ 6 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể

tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox .

y

− 6
22π
B. V = 8π 6 +
.
3

A. V = 8π 6 − 2π .
Câu 30. [Mức độ 3]

O

6

x

C. V = 8π 6 −

22π
.
3

D. V = 4π 6 +

22π
.
3

2
2
2
Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x và đường tròn x + y = 2

(phần tô đậm trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục
hoành.
y

x

O

A. V =

44π
.
15

Câu 31. [Mức độ 3]

B. V =

22π
.
15

C. V =

5π
.
3

D. V =

π
5

.

Cho hình ( H ) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng

tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A ( 2; 4 ) , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình ( H )
quay quanh trục Ox bằng

y
4

2

1

O

A.

16π
.
15

B.

32π
.
5

C.

2

x

2π
.
3

D.

22π
.
5

Câu 32. [Mức độ 4] Cho nửa đường tròn đường kính AB = 4 5. Trên
đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục
đối xứng là đường kính vuông góc với AB . Parabol cắt nửa đường tròn tại
hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng
nhau và bằng 4 cm . Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi
đường tròn và parabol (phần tô màu trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB . Thể tích
của khối tròn xoay thu được bằng:
π
π
A. V =
B. V =
800 5 − 464 cm 3 .
800 5 − 928 cm3 .
15
3
π
π
C. V =
D. V =
800 5 − 928 cm3 .
800 5 − 928 cm3 .
5
15

(
(

)
)

(
(

)
)

Câu 33. [Mức độ 4]

y=

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi ( H 1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

x2
x2
, y = − , x = −4 , x = 4 và hình ( H 2 ) là hình gồm các điểm ( x; y ) thỏa: x 2 + y 2 ≤ 16 ,
4
4

x2 + ( y − 2) ≥ 4 , x2 + ( y + 2) ≥ 4 .
2

2

Cho ( H1 ) và ( H 2 ) quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức nào
sau đây đúng?
1
2
A. V1 = V2 .
B. V1 = V2 .
C. V1 = 2V2 .
D. V1 = V2
2
3

Câu 34. [Mức độ 3] Cho hai đường tròn ( O1 ;5 ) và ( O2 ;3) cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một
đường kính của đường tròn ( O2 ;3) . Gọi ( D ) là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài
đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay ( D ) quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay.
Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

A
D
O1

C

O2

B
A. V = 36π .
Câu 35. [Mức độ 3]

B. V =

68π
.
3

C. V =

14π
.
3

D. V =

40π
.
3

Cho hai đường tròn ( O1;10 ) và ( O2 ;8 ) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là

một đường kính của đường tròn ( O2 ) . Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn ( phần được tô
màu như hình vẽ). Quay ( H ) quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn
xoay tạo thành.

A

O1

O2

C

B

A.

824π
.
3

B.

608
π.
3

C.

97
π.
3

D.

145
π
3

Dạng 9.4: Thể Tích Tính Theo Mặt Cắt S(X)
Câu 36. [Mức độ 2]

Trong không gian Oxyz , cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P ) , ( Q )

vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a , x = b ( a < b ) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm
có hoành độ x , ( a ≤ x ≤ b ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S ( x ) với y = S ( x ) là hàm số liên tục
trên [ a; b ] . Thể tích V của thể tích đó được tính theo công thức
z

S(x)

y
O

a
b

A. V =  S 2 ( x ) dx .
Câu 37. [Mức độ 3]

x

b

b

C. V = π  S ( x ) dx .

a

a

B. V = π  S 2 ( x ) dx .

a

x
b

b

D. V =  S ( x ) dx .
a

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt

vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 3 ) thì được thiết diện là
hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 − 2 .
124 π
B.
.
A. 32 + 2 15 .
3

Câu 38. [Mức độ 3]

C.

124
.
3

(

)

D. 32 + 2 15 π .

Cho phần vật thể ( ℑ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2 .

Cắt phần vật thể ( ℑ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) , ta được
thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2 − x . Tính thể tích V của phần vật thể ( ℑ) .
4
A. V = .
3

Câu 39. [Mức độ 3]

B. V =

3
.
3

C. V = 4 3.

D. V = 3.

Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi

mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

( −1 ≤ x ≤ 1)

thì được thiết diện là một tam giác

đều. Tính thể tích V của vật thể đó.

A. V = 3 .

B. V = 3 3 .

C. V =

4 3
.
3

D. V = π .

Câu 40. [Mức độ 3]

Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x =

π
3

.

π

Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0 ≤ x ≤  ta được
3

thiết diện là một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 x và cos x . Thể tích vật thể B
bằng
A.

3π + 3
.
6

Câu 41. [Mức độ 3]

B.

3π − 3
.
3

C.

3π − 3
.
6

D.

3π
.
6

Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π , biết rằng thiết

diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ π ) là một tam
giác đều cạnh 2 sin x .

A. V = 3 .

B. V = 3π .

C. V = 2π 3 .

D. V = 2 3 .