ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam
giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau. Bài
1. Bài 1: Bài Bài 1. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều?
E
Q

K
G

70°

I

36°

40°

60°

36°

J

N

M
S

R

D

Lời giải:

Bài 2. Tìm số đo x trong hình vẽ sau:
T

S

X

70°

V

Y

Lời giải:
1

72°
F

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên đường thẳng AB lấy điểm D sao cho
BD  BC ( D A khác phía so với B ). Tính số đo các góc của tam
ADC.
và
giác
Lời giải:

Bài 4. Cho ABC cân tại A . Trên các cạnh AC AB lần lượt lấy M , N sao cho AM  AN .
,
a) Chứng minh ABM  ACN
b) Gọi O

là giao điểm của
BM

và CN . Chứng minh tam giác OBC cân.
Lời giải:

2

Bài 5. Cho xOy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác của xOy . Kẻ AB 
Ox

AC 
Oy

( C Oy ). Tam
giác

( B Ox ) và

OBC là tam giác gì? Tại sao?

Lời giải:

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , BC  2AB D là trung điểm
.
cạnh
vuông góc
AC tại D
BC tại E . Chứng minh
với
cắt
b) ABE đều.

a) EAC cân.
3

AC . Đường thẳng

Lời giải:

4

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông
A(AB  AC) . Tia phân giác
góc
tại
đường thẳng vuông góc với BC tại D ,
AC
F.
AE  AF . Chứng minh
tại
cắt
Trên
a) ABC 
DEC

;

b) DBF là tam giác cân;
Lời giải:

5

A cắt BC tại D .
Qua

D kẻ

AB lấy điểm F sao cho

c) DB  DE .

Dạng 2. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán.
Bài 1. Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực của BC . Biết B  40. Tính số đo
của các góc trong ABC
Lời giải:

Bài 2. Cho AB
C

cân tại A có A  90 . Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC

theo thứ tự ở D và E và hai trung trực cắt nhau ở F .
a) Biết A  110 . Tính số đo
góc

DAE .

b) Chứng minh 2BAC  DAE 180
c) Tính số
đo

DFE .

Lời giải:

6

Bài 3. Cho góc

xOy . Từ điểm A nằm trong góc đó kẻ AH vuông góc với Ox (
H

thuộc Ox )

và AK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). Trên tia đối của tia HA lấy điểm B sao cho
HB  HA . Trên tia đối của
KA lấy điểm C sao cho KC  KA . Chứng minh
tia
OB  OC .
Lời giải:

Bài 4. Cho AB
C

vuông tại A .
M

là trung điểm của cạnh AB . Đường trung trực của cạnh

AB cắt cạnh BC tại N . Gọi I là giao điểm của CM và AN .

a. Chứng
minh

AN
B

là tam giác cân. So
sánh:

b. Chứng minh N
7

NAB và NBA .

là trung điểm của

BC .

c. Nếu IB  IC , tính số đo
của

ABC .

Lời giải:

8

Dạng 3. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là
đường trung trực của một đoạn thẳng.
Bài 1. Cho

xOy  90 . Trên tia
Ox

lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Kẻ đường trung trực

HM của đoạn thẳng OA ( H OA M  AB ). Chứng minh
,
M
của OB .

Lời giải:

9

thuộc đường trung trực

Bài 2. Cho tam
giác

AB
C

có cân
tại

a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh
rằng
c) Trên tia đối của
tia

A . Gọi H là trung điểm
của

BC .

ABH  ACH

AH là đường trung trực của BC
HA lấy điểm I sao cho HA  HI . Chứng minh
rằng:

d) Chứng minh CAH  CIH

10

IC // AB

Bài 3. Cho tam
giác

ABC có AB  AC . Xác định điểm D trên AC sao cho DA  DB  AC .

Bài 4. Cho bốn
điểm
Giao điểm của

Lời giải:

A , B , C , D tạo thành hình
có
AC và BD là O . Từ
O

AB // CD

và

BC // AD như hình vẽ.

vẽ vuông góc với AC cắt cạnh BC
,

AD lần

lượt tại M , N . Chứng minh AC là trung trực của MN và AM  MC  CN  NA .
Lời giải:

11

Bài 5. Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I  BC ). Trên đoạn thẳng
IC

điểm H . Từ
kẻ đường thẳng song song với AI ,
H
cắt
F . Chứng minh:
a) Đường trung trực của EF luôn đi qua
đỉnh

lấy

AB kéo dài tại E và cắt AC tại

A của tam giác ABC ;

b) Khi H
di động trên đoạn thẳng IC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố
định.

12

Lời giải:

13

PHIẾU BÀI TẬP.
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam
giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng
nhau.
14

Bài 1. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại
sao?
E

I

D

A

60°

80°

B

50°

C
M

G

K

F

H

Bài 2. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại
sao?
F

M

E

G

H

D

Bài 3. Cho tam
giác

L

O

N

P

ABC cân tại A . Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC nếu biết:

a) A = 40°;

c) C = 60°.

b) B = 50°;

Bài 4. Tìm số đo x trong hình vẽ sau:
B

C

D

x

A

Bài 5. Cho tam giác ABD cân tại A có A = 40°. Trên tia đối của tia DB lấy điểm C sao cho
DC  DA . Tính số đo góc ACB .
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , B  30 . Trên
cạnh
Chứng minh AMC đều.
Bài 7. Cho tam giác

BC lấy M sao
cho

AM  BM .

ABC . Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D . Qua D kẻ đường

thẳng song song với BC , nó cắt cạnh AB tại E . Chứng minh tam giác EBD cân.
15

Bài 8. Cho tam giác
cạnh

ABC vuông cân tại A . Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D . Trên
AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho AE  CF . Chứng minh

AB
và
ABD,ADC,AEF vuông cân.

16

Bài 9. Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
AM  BN  CP . Chứng minh tam giác MNP đều.
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D , tia phân giác
góc C cắt cạnh AB tại E . Chứng minh tam
ADE cân.
giác
Bài 11. Cho tam giác ABC

cân tại A . Trên tia đối của tia
BC

CB lấy điểm E sao cho BD  CE . Chứng minh tam

giác

lấy điểm D , trên tia đối của tia
ADE cân.

Bài 12. Cho xOy = 120°, điểm A thuộc tia phân giác của xOy . Kẻ AB 
Ox

AC 
Oy

( C Oy ). Tam
giác

( B Ox ) và

ABC là tam giác gì? Tại sao?

Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A ( A < 90°).
Kẻ
vuông góc với AB tại E .

BD vuông góc với AC tại D , kẻ CE

a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Chứng minh DE // BC .
c) Gọi I

là giao điểm của BD và CE . Chứng minh IB  IC .

d) Chứng minh AI BC

.
Bài 14. Cho tam giác
ABC cân tại A . Lấy điểm M trên cạnh BC (MB  MC) . Trên tia đối của
tia CB lấy điểm N sao cho BM  CN . Đường thẳng
M vuông góc với BC cắt AB
qua
tại E . Đường thẳng qua vuông góc BC cắt AC tại F .
N

a) Chứng minh: EM  FN
b) Qua E

kẻ ED // AC ( D  BC ). Chứng
minh

MB  MD .

c) EF cắt BC tại O . Chứng minh OE  OF .
Dạng 2. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán
I. Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai
mút của đoạn thẳng đó.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho hai điểm

A,
B

nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN , Chứng minh
17

MAB

NAB .

Bài 2. Cho

ABC cân tại B . Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC . Chứng minh
ABD
CBD .

Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A có C 
30

AD AC

. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho

. Tính số đo góc BDA .

Bài 4. Cho góc vuông

xOy . Điểm
M

nằm trong góc đó. Vẽ điểm N và P sao cho tia Ox là

đường trung trực của MN và Oy là đường trung trực
của
a) Chứng minh ON  OP .
b) Chứng minh ba
điểm

P, O,
N

thẳng hàng.

18

MP .

Bài 5. Cho AB
C

vuông tại A . Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC tại H , cắt BC

tại D . Nối A và D .
a) So sánh số đo
góc

DAB và DBA .

b) Chứng minh D là trung điểm của BC
Bài 6.
Cho

ABC . Các đường trung trực

của

a) Biết B  30 , C  45 . Tính số đo
góc
b) Chứng
minh

AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở M và N .
BAC và MAN .

MAN = 2BAC 180 .

Bài 7. Cho góc vuông xOy . Trên các tia Ox , Oy lấy hai điểm A và B (không trùng với O ).
Đường trung trực của các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau M . Chứng minh:
ở
a) A , M , B thẳng hàng.
b) M
Bài 8.

là trung điểm của AB .

ABC có B  C = 30°. Đường trung trực của BC cắt AC ở K .

a) Chứng
minh
b) Tính số đo
góc
c) Biết

AB  3
cm,

KB
C

 KCB .

ABK
AC  5 cm. Tính chu vi tam

giác

ABK .

Dạng 3. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng
là đường trung trực của một đoạn thẳng.
Bài 1. Cho đoạn thẳng

AB  5 cm. Vẽ đường tròn

A bán kính 4 cm và đường tròn tâm B

tâm
bán kính 3 cm . Hai đường tròn này cắt nhau tại D , E . Chứng minh:
a) Điểm
b) AB

A thuộc đường trung trực
của

là đường trung trực
của

DE .

DE .

Bài 2. Cho đoạn thẳng

AB . Dựng các tam giác cân MAB , NAB lần lượt tại M và N ( M , N
nằm khác phía so với AB ). Chứng minh:
19

a) Điểm M
b) M

AB ;

là đường trung trực của AB .

N

Bài 3. Cho

thuộc đường trung trực
của

ABC , đường phân

giác
minh:

AD . Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE  AB . Chứng

a) BD  DE ;
b) AD

là đường trung trực
của

BE .

Bài 4. Cho

DEF có DE  DF . Lấy điểm nằm trong tam giác sao cho KE  KF . Kẻ KP
K
vuông góc với DE ( P  DE KQ vuông góc với DF ( Q  DF ). Chứng minh:
),

a) K thuộc đường trung trực của EF và PQ ;
b) D
K

là đường trung trực của EF và PQ . Từ đó suy
ra

20

PQ // EF .

Bài 5. Cho AB

cân tại A ,
là trung điểm của BC .
M
ME
góc với AC . Chứng minh:
C

a) A
M

vuông góc với AB , MF vuông

là trung trực của của BC ;

b) ME  MF và
AM
c) EF // BC .

EF ;

là trung trực
của

Bài 6. Cho góc xOy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của xOy . Gọi M là một điểm bất kì
thuộc tia Oz . Qua
vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và vẽ
M
đường thẳng b vuông góc với
Oy

tại B , cắt
Ox

a) Điểm O thuộc đường trung trực
của
b) O

M

là đường trung trực
của

tại D . Chứng minh:

AB ;

AB ;

c) OM là đường trung trực của CD .
d) AB // CD
Bài 7. Cho hai điểm

A , B nằm cùng phía với đường thẳng d . Xác định vị trí điểm M trên

đường thẳng d sao cho M cách đều hai
điểm

A và B

Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A ( A < 90°). Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại
điểm D . Trên tia đối của
AD lấy điểm E sao cho AE  BD . Chứng minh.:
tia
a) Chứng minh

ADC cân;

b) Chứng minh DAC  ABC
c) Chứng minh ;
AD  CE ;

d) Lấy F
Bài 9. Cho
AB
AB ; C

là trung điểm
của

DE . Chứng minh CF là đường trung trực
của

DE .

nhọn, đường cao AH . Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng với H qua

AC .

a) Chứng minh AP  AQ .
b) Gọi I , K lần lượt là giao điểm

của
21

PQ với

AB ,

AC . Chứng

minh

API 

AHI và

AHK  AQK .

c) Chứng
minh

HA là tia phân giác của IHK .

d) Cho BAC = 60°. Tính số đo
góc

PAQ

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác của B cắt AC tại E . Từ E kẻ EH
vuông góc với BC tại H .
a) Chứng minh: ABE  HBE .
b) Chứng
minh
c) Kẻ

BE là đường trung trực của đoạn
thẳng

AD  BC (D  BC) . Chứng minh
AH

AH .

là tia phân giác của DAC

Phần III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI

22

Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam
giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng
nhau.
Bài 1: Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều?
E

Q

K
G

70°

36°

40°

I

60°

72°

36°

J

N

S

M

F

D

R

Bài 2. Tìm số đo x trong hình vẽ sau:
T

S

X

70°

V

Y

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên đường thẳng AB lấy điểm D sao cho
BD  BC ( D A khác phía so với B ). Tính số đo các góc của tam
ADC.
và
giác
Bài 4. Cho

cân tại A . Trên các cạnh AC AB lần lượt lấy M , N sao cho AM  AN .
,

AB
C

a) Chứng minh ABM  ACN
b) Gọi O

là giao điểm của
BM

và CN . Chứng minh tam giác OBC cân.

Bài 5. Cho xOy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác của xOy . Kẻ AB 
Ox

AC 
Oy

( C Oy ). Tam
giác

Bài 6. Cho tam giác
vuông góc
với

OBC là tam giác gì? Tại sao?

ABC vuông tại A , BC  2AB D là trung điểm
.
cạnh
AC tại D
cắt

( B Ox ) và

BC tại E . Chứng minh

b) ABE đều.

a) EAC cân.
23

AC . Đường thẳng

Bài 7: Cho tam giác

ABC vuông
tại

A(AB  AC) . Tia phân giác

góc

đường thẳng vuông góc với BC tại D ,
AE  AF . Chứng minh
cắt
a) ABC  DEC

AC
tại

b) DBF là tam giác cân

F.
Trên

A cắt BC tại D .
Qua

D kẻ

AB lấy điểm F sao cho

c) DB  DE .

Dạng 2. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán
Bài 1. Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực của BC . Biết B  40 . Tính số đo
của các góc trong AB

24

Bài 2.
Cho

AB cân có A  90 . Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ
C
tự ở D và E và hai trung trực cắt nhau ở F .

a) Biết A  110 . Tính số đo
góc

DAE .

b) Chứng minh 2BAC  DAE 180
c) Tính số đo DFE .
Bài 3. Cho góc

xOy . Từ điểm A nằm trong góc đó kẻ AH vuông góc với Ox (
H

thuộc Ox )

và AK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). Trên tia đối của tia HA lấy điểm B sao cho
HB  HA . Trên tia đối của
KA lấy điểm C sao cho KC  KA . Chứng minh
tia
OB  OC .
Bài 4. Cho

vuông tại A .
là trung điểm của cạnh AB . Đường trung trực của cạnh
M
AB cắt cạnh BC tại N . Gọi I là giao điểm của CM và AN .
AB
C

a. Chứng
minh

AN
B

b. Chứng minh N

là tam giác cân. So
sánh:

là trung điểm
của

c. Nếu IB  IC , tính số đo
của

NAB và NBA .

BC .

ABC .

Dạng 3. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là
đường trung trực của một đoạn thẳng.
Bài 1. Cho

xOy  90 . Trên tia
Ox

lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Kẻ đường trung trực

HM của đoạn thẳng OA ( H OA M  AB ). Chứng minh
,
M
của OB .

Bài 2. Cho tam
giác

ABC có AB  AC . Xác định

Bài 3. Cho bốn
điểm
Giao điểm của

điểm

A , B , C , D tạo thành hình
có
AC và BD là O . Từ
O

thuộc đường trung trực

D trên AC sao cho DA  DB  AC .
AB // CD

và

BC // AD như hình vẽ.

vẽ vuông góc với AC cắt cạnh BC
,

AD lần

lượt tại M , N . Chứng minh AC là trung trực của MN và AM  MC  CN  NA .
25

B

M

C

O

A

N

D

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của B cắt AC tại E. Từ E kẻ EH vuông
góc với BC tại H.
a) Chứng minh: ABE  HBE .
b) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
c) Kẻ

AD  BC (D  BC) . Chứng minh AH là tia phân giác

của

26

DAC

Bài 5. Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I  BC ). Trên đoạn thẳng
IC

điểm H . Từ
kẻ đường thẳng song song với AI ,
H
cắt
F . Chứng minh:
a) Đường trung trực của EF luôn đi qua
đỉnh

lấy

AB kéo dài tại E và cắt AC tại

A của tam giác ABC ;

b) Khi H
di động trên đoạn thẳng IC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố
định.

27