Dạng 3. Chứng minh đẳng thức và tính giá trị của biểu thức.
I. Phương pháp giải
1. Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta thường làm như sau:
Cách 1. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi dẫn đến đẳng thức cần chứng
minh.

Cách 2. Dùng tính chất của tỉ lệ thức, nếu ad  thì a  c ;…
bc
b d
Cách 3. Dùng phương pháp “đặt k ” theo các bước sau:
Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k .
Bước 2. Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.
Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ thức
đúng.
2. Tính giá trị của biểu thức:
Cách 1: Đặt giá trị của tỉ số bằng k
+ Tính giá trị của biến theo k
+ Thay giá trị của biến vào biểu thức và thực hiện tính
(Cách này chỉ áp dụng với các bài có cấu trúc không quá phức tạp)
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
+ Biến đổi biểu thức sau khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để làm xuất hiện
biểu thức dạng phải tính giá trị
+ Nếu gặp biểu thức mà các số trong dãy tỉ số bằng nhau có dạng quy luật vòng
quanh thì ta cần cộng thêm vào từng vế hoặc trừ đi từng vế với số 1 để đưa tử và mẫu của tỉ
số về cùng một biểu thức.
II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng:

a

c



b
a)

ac
a
c b  db  d

d
b)

Lời giải:

Bài 2: Chứng minh rằng:

a

nếu biết:



ab a
b c  dc  d

c
1

b

d

nếu biết:

2

a)

a a
b
c c
d

b)

b a
b d c  d

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh rằng:

a

c

a)

a
ab



c
cd



b

nếu biết:
d

b)

b

d

ab cd

Lời giải:

Bài 4:
2a 3c
2a 3c
a c
a)
Cho    . Chứng minh rằng 
b)

2b  3d 2b  3d
b d
4a  3b 4a  3b
a c
Cho
. Chứng minh rằng 

4c  3d 4c  3d
b d

Lời giải:

3

Bài 5:
4a  3b 4c  3d
a c
a)
Cho
. Chứng minh rằng 

b)

a
2a  3b

c
4a  5b

b d
a c
Cho
. Chứng minh rằng 

2c  3d 4c  5d
b d

Lời giải:

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a  c  2b
và
Lời giải:

Bài 7: Chứng minh rằng:
Nếu

2bd  c b  d



b  0, d  0 thì

2  x  y   5 y  z   3 z 
x  thì

a

b


d

c

.

xy
yz

4
5

Lời giải:

Cho

a

Bài 8:
4



rằng:

2009

b



c

2011 2013

. Chứng minh

 a  c
4

2

  a  b  b  c .

5

Lời giải:

a

b

c

3

abc a
  . Chứng minh 
 .
  
d
b c d
 b c d

Bài 9:
Cho
Lời giải:

Bài 10: Cho tỉ lệ thức
rằng
Lời giải:

3a  2b  c
a  2b  c



3a  2b  c

(b  0). Chứng minh

a  2b  c

Bài 11: Cho hai số x; y thoả mãn
a)

b)

x

y
và x   21. Tính giá trị của biểu
2 5
y
thức:
x
 và y  x  4 . Tính giá trị của biểu
y
3

5

thức:

Lời giải:

6

A  5x  4 y .
B  3x  5y .

ac0.

Bài 12:
a) Cho a : b : c  3: 4 : 5 và a  b  c  24 . M  a.b  b.c  ca .
Tính
b) Cho a : b : c : d  2 : 3: 4 : 5 và a  b  c  d  42
N  a.b  c.d
. Tính
Lời giải:

Bài 13:
a) Biết
b)

x



và

5

x

và

2
y
6

Lời giải

y





3
z

7



z

4

xy
z

 24 .

Tính

E  3x  2 y  6z .

x – y  z  2 . Tính E  xy  yz .
6

7

Bài 14:
a) Cho xy 
b)

x
y
3

5


2

và 3x  2

2 y

 44 . Tính giá trị của biểu thức C  20x  22 y .

và 2x  5y  48 . Tính giá trị của biểu
thức

D  x2  y3 .

Lời giải:

Bài 15:
a) Cho x 
y
2

b) Cho xy 
2

3

5

;z

;z

y



và x  y  z  25 .
5 Tính



và 2x  3y  4z  34 .
2 Tính

2
y
3

K

3x  2 y  3z
.
xy  z
xy  5z
L yz .

Lời giải

8

Bài 16:
a) Cho x 
y
b)

x
y
3

3


2

và x 
2

y2  25 . Tính G  x3  y2

4

và 3x2 – 5y2  63
với

H  x.y2

x  0; y  0 .

Tính

Lời giải:

9

Bài 17:
Cho
Lời giải:

x



y



và
y z

z

x

xyz0.

Tính

Bài 18: Cho x, y, z thoả mãn:
Lời giải:

Bài 19: Cho

x 1



y2



z3

x3.z6
y9

.

x  2 y  3z
x
y
x, y, z  0 .

z   và
P
Tính:
2 5 7
thức
3
4
5

. Tính giá trị của biểu
10

5x

2
y
z

N  2x  y 
2z .

11

Lời giải:

a, b, c  0 và thỏa mãn

Bài 20:
Cho

Tính giá trị biểu
thức

S

abc
c



cab
b



bca
a

(a  b)(b  c)(c  a)
.
abc

Lời giải:

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đề tìm thành phần chưa biết.
Bài 1. Tìm hai số x, y biết:
a)

x
y

c)



và x  y  30

7

4

x

y


90
3

b)

x
y



5

và x  y 

d)

x

và x  y  48
7



y

và
6

Bài 2. Tìm hai
số

2

x, y biết:
12

5

x  y  12

a) 2x  5y và

c) 4x 
5y

xy
30

và 3x  2 y 

b) 3x  4 và 2x  3y  34
y

d)

35

Bài 3. Tìm hai số x, y biết:

13

x
2



y
3

và 4x  3y  9

a)

x

y

c)

3
x

y


4


3



y

25

và x  y  58
2

x

b)

và x2  y2 

2

5
x

d)

3

và x2  y2  400



y

7

và x2  y2  1600

3

4

Bài 4. Tìm hai số x, y biết:
a)

x

y

c)

2
x

y


3


3

x

b)

và x3  y3 



y

35

và x3  y3  98

d)

3
x

2 và x3  y3  37


y

5

và x3  y3  35

3

4

Bài 5. Tìm các số x, y, z biết:
a)

x
y
 
z

và x  y  z 
160

12 13 15
x y z
 
xyz 
9
và
3 5 7
Bài 6. Tìm x, y, z biết:
y
a) x
  và 2x  3y  4z 
z
54
5 3
2
y
z
c) x
  và 2x  3y  4z 
48
3 2 3
Bài 7. Tìm x, y, z biết:
c)

a)

x

z



y y
; 

và x  y  z 

46
2 3
4
x
y x
c)  ;  và x  y  z  10
z
3

3

2 4

b)

5

d)

5
x

b)

x

d)

c)

x

y
 ; 2 y  và x  y  z 
3z 23
49
x



và

3

y
5

;7 y  5z

xyz
45

y



 và 3x – 2 y  2z  24 .

2 3
6
x
y

 và 4x – 3y  2z  81.
z
2

b)

và x – y  z  38 .

16 17
y
z
  và x  y  z  27 .
2 3 4

z

3

x

4

y x
;  và x  y  z  51



z

4

3 2
và x  y  z  33
5
x z y
d)  ; 
z
3

Bài 8. Tìm x, y, z biết:
a)

x
y


z

b)

x

4 2


và

3
d)

y

;5y  3z

14

x  y  z  98

5

2x  3y;

và

3

y



z

3

2

x  y  z  21

Bài 9. Tìm x, y, z biết:
a)

x 1



3

y2

và
4



z3

5

xyz
18

b)

x 1 y  2 z  3 và x  y  z  30
3  4  5

Bài 10. Tìm x, y, z biết:
a)

x



và

5
c)

y



6

z
xy
36

7

x
y


z
5

16

17

b)

x



và

7

và 3x  2 y 
47

d)

y
3



z

y  z  28

4

x y
  và 3y  2z  99
z
3

5

7

Dạng 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán thực tế (Toán
chia tỉ lệ)
Bài 1: Số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7 lần lượt tỉ lệ với 2 : 3: 5 . Tính số học sinh
giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi, khá và trung bình là 180 em.

15

Bài 2: Ba lớp 9A, 9B, 9C quyên góp được 240 kg giấy vụn. Tính số kg giấy vụn của mỗi
lớp quyên góp được, biết rằng số kg giấy vụn quyên góp được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với
3: 4 : 5 .
Bài 3: Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; 7 . Hỏi mỗi nhà sản xuất phải góp bao nhiêu
vốn biết rằng tổng số vốn của nhà thứ nhất và nhà thứ hai nhiều hơn nhà thứ ba là 80 triệu
đồng.
Bài 4: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6 . Biết rằng số học sinh khối
6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 30 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Bài 5: Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5 . Tính số viên bi của
mỗi bạn, biết rằng: 3 lần số bi của bạn Hùng nhiều hơn 2 lần số bi của bạn Minh là 40 viên.
Bài 6. Chia số 135 thành ba phần tỉ lệ với 3; 4; 8 . Hãy tìm mỗi phần của số đó?
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức và tính giá trị của biểu thức.
a
Bài 1: Chứng minh rằng:  nếu biết:
c

b
a)

ac b
d a 
cb
d

d
ab cd
b  d

b)

Bài 2: Chứng minh rằng:
c

a



nếu biết:

b d
2a  3b 2c  3d
7a 11b 7c 11d


a)
.
b)
.
2a 
2c 
4a 
4c  5d
3b
3d
5b
Bài 3: Cho hai số x; y thoả mãn
x
a)

y
và x  y  27 . Tính giá trị của biểu
A  2x  3y .
7 4

thức:

b)

Cho 4x 
5y

và 3x  2
y

 35 . Tính giá trị của biểu

thức

Bài 4:
a) Biết x  y  z và x  y  z  27 . Tính C 
2 3 4
b) Cho xy 
Bài 5:

3

và 3x2  5y 2  28 .
2 Tính

a) Cho 3x  4 y; 2 y 
5z

b) Cho x  99
thức
1
2



y  98

z  97

2x  3y  z
yz

.

D  x3  y2

và 2x  3y  5z  55 .
Tính


B  11y  4x .

E

7x  2 y  x.z
.
x.z  y

. Tính giá trị của biểu

Fx2yz.

3

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
16

Dạng 1. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đề tìm thành phần chưa biết.
Bài 1.

Bài 2.

17

Bài 3.

Bài 4.

Bài 5.

Bài 6.

Bài 7.

Bài 8

Bài 9.
Bài 10.

Dạng 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán thực tế (Toán
chia tỉ lệ)
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Bài 5:
Bài 6.
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức và tính giá trị của biểu thức.
Bài 1:

18

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đề tìm thành phần chưa biết.
Bài 1. Tìm hai số x, y biết :
a.

x

y

3



và x  y 
5

16

b)

x

y

5



và x  y  20
3

19

x

Bài 2. Cho tỉ lệ
thức

7

a) x  y  110

x

Bài 3. Cho tỉ lệ
thức

3



=

y
3
y
7

. Tính x và y biết:
b) x  y  52

. Tính x và y biết:

a) x  y  50
Bài 4. Tìm hai số x, y biết :
a) 3x  5y
x 
và
y
40
Bài 5. Tìm x, y biết:
a) 2x  3y
x y
và
10
Bài 6. Tìm x, y, z biết:
a)

x

y



và

2



z

xy
z

4
Bài 7. Tìm x, y, z biết:
y
a) x
  và x  y   2
z
z
14
7

3

 18

4
x, y biết:
Bài 8.
Tìm
và 2x  3y 
a) 3x  4 y34
Bài 9. Tìm hai số x, y biết :
a) x
 và 3x  2 
y
44
y
5 2
Bài 10. Tìm x, y biết:
x
a)

và 4x – 3y 
y
9

b) x  y  56
b) 2x  5y và x  y  30
b) 4x  3y
và
b)

b)

x

3

y

7

và 2x  4 y 

b)

5

2

b)

18

c)

2 3 4
x
y
 
z



b)

16

x

z

10
b)

và 3x  y  35

và 3x  2 y  35

4x 
5y

b)

x–y 7

và 2x  5y  32

x

y

y

 và 2x  3y – 2z  16

6

3

x
y

 và y – z  39
z
5

và 3x  2 y  52

13 15
Bài 14. Tìm x, y biết:

7

2

3

3

x y
  và x  z
z

x – y  z  36 .

7

6

3

Bài 13. Tìm x, y, z biết:
a)

x
y

68

x y
  và 2x – 3y  5z 
z
9,5

6

z

b) x : 2  y : (5)
và

Bài 12. Tìm x, y, z biết:
a)



x
y

 và x  y  z  32 .
z
5

3



y



và

Bài 11. Tìm x, y biết:
a)

x
5

3

2

x – y  11

12

20

6

7

a)

x
y



4

b)

và x2  y2  33

5

x



y
3

và x2  y2 

b)

100

4

a) 3x  5y
và

x2 – y2  48

y
3


4

và x3  y3 
91



4

b)

x
y
3

Bài 17. Tìm x, y biết:
x

x
y

Bài 16. Tìm x, y biết:

a)



y
3

và x2  y2  34

7

Bài 15. Tìm x, y biết:
a)

x

b)

và x.y  3
3



và 3x2 – 5y 2  63
2

2x 
5y

và x3  y3  133 .

Bài 18. Tìm x, y, z biết:

21

a)

x
y



2

;z
3

y

 và x  y  z 

2

5

b)

50

x

y



2

;z
5

y
3



và 2x  3y  4z 

2 34



;

3

Bài 19. Tìm x, y, z biết :
a)

x

z

y
và x – y – z  33
z 
2 3

4

b) 2x  3y ; 5y 
7z

và 3x  7 y  5z  30 .

Bài 20. Tìm x, y, z biết:
a) 4x 

và (x  y)2  (x  y)2 
50
Bài 21. Tìm x, y, z biết :

b) 3x  2 và (x  y)3  (x  y)3  126

3y

a)

y

x 1 y  2 z  3
2  3  4 và 2x  3y  z  50

x 1 y  2 z 
3 2 3  4 và x  2 y  3z  14
Bài 22. Tìm x, y, z biết :

b)

x 1 y  3 z 
5 2 4  6 và 5z  3x  4 y  50
4
b)
3
2
và x  y  z  10
 2z  4x  4 y 
3x  2 y
3z

a)

Bài 23. Tìm các số x, y, z biết chúng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 3x  2 y  z 
169

3x  25 2 y 169 z
 25  169
144 144
Bài 24. Tìm các số x, y, z biết
x y z
a)  
x2  y2  z2  585

và

và

5 7 3
b) x : y : z  3: 4 : 5 và 2x2  2 y2  3z2  100

Dạng 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán thực tế (Toán
chia tỉ lệ)
Bài 1: Ba lớp 8A, 8B, 8C trồng được 120 cây. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết
rằng số cây trồng được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với 3: 4 : 5 .
Bài 2: Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; 7 . Hỏi mỗi nhà sản xuất phải góp bao nhiêu
vốn biết rằng tổng số vốn là 300 triệu đồng.
Bài 3: Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5 . Tính số viên bi của
mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả 44 viên bi.
Bài 4: Một số được chia thành 3 phần lần lượt tỉ lệ với 5 : 4 : 3. Tìm mỗi phần biết rằng tổng
ba phần bằng 240 .
Bài 5: Một công ty chi 182 triệu đồng để thưởng cuối năm cho nhân viên ở ba tổ sản xuất.
Số tiền thưởng của ba tổ tỉ lệ với ba số 3; 4;5 . Tính số tiền thưởng của mỗi tổ?
Bài 6: Hưởng ứng Tết trồng cây, học sinh ba lớp 9A;9B;9C đã trồng tổng cộng 240 cây. Số
cây các lớp 9A;9B;9C đã trồng được lần lượt tỉ lệ với 5; 4;3 . Tính số cây mỗi lớp đã trồng.
Bài 7. Thành phần của mứt dừa khi hoàn thành chỉ gồm có dừa và đường theo tỉ lệ 2 :1. Em
22

hãy tính xem trong 12kg mứt dừa có bao nhiêu kilôgam dừa và bao nhiêu kilôgam đường.
Bài 8: Số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7 lần lượt tỉ lệ với 2 : 3: 5 . Tính số học
sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh khá và học sinh trung bình hơn học sinh giỏi
là 180 em.

23

Bài 9. Điểm số bài kiểm tra Toán vừa qua của lớp 7 A được phân loại như sau: số điểm
kém, số điểm trung bình, số điểm khá, số điểm giỏi tương ứng tỉ lệ với các số 2; 6;5; 2 .
Biết rằng số điểm kém và trung bình nhiều hơn số điểm khá, giỏi là 3 . Hỏi với mỗi loại
điểm có bao nhiêu người?
Bài 10. Bác Long xây một ngôi nhà. Bác phải chi ba khoản lớn là: thiết kế, xây thô, hoàn
thiện. Chi phí cho các khoản này tỉ lệ với các số 2;36; 62 . Số tiền hoàn thiện nhiều hơn tổng
số tiền thiết kế và xây thô là 180 triệu đồng. Hỏi mỗi khoản phải chi bao nhiêu tiền?
Bài 11: Số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp 7E lần lượt tỉ lệ với 2 : 3: 5 . Tính số học
sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi và học sinh trung bình nhiều hơn học
sinh khá là 16 em.
Bài 12: Ba bạn Minh, Hùng, Dũng quyên góp tiền để làm từ thiện theo tỉ lệ 3; 5; 4 . Hỏi mỗi
bạn quyên góp được bao nhiêu tiền biết rằng Minh và Hùng quyên góp được 400 ngàn đồng.
Bài 13: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6 . Biết rằng số học sinh
khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Bài 14: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 18;17;16;15 . Biết rằng số học sinh
khối 7 nhiều hơn số học sinh khối 8 là 15 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Bài 15: Cho tam giác ABC có số đo các góc tỉ lệ với 3; 5; 7 . Tính số đo các góc của tam
giác ABC .
Bài 16. Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số độ dài hai cạnh của nó bằng

5
3

và

chu vi bằng 64 m. Tính diện tích của mảnh vườn đó.
Bài 17. Minh và Khôi thi nhau giải toán ôn tập cuối kì. Kết quả là Minh làm được nhiều hơn
Khôi 3 bài và số bài Khôi làm được bằng số bài Minh làm được. Hãy tìm số bài mỗi bạn
3

4

làm được.
Bài 18. Trong cửa hàng lương thực có 15 bao gạo, 8 bao đỗ, 5 bao lạc. Khối lượng của mỗi
bao gạo, mỗi bao đỗ, mỗi bao lạc tỉ lệ với các số 10; 6;3 . Hỏi một bao của mỗi loại nặng
bao nhiêu kg, biết rằng lượng gạo nhiều hơn lượng đỗ và lạc là 435 kg?
Bài 19: Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235 m3 . Biết rằng thời
gian để bơm được 1 m3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4 phút và 5 phút. Hỏi mỗi máy
bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?
Bài 20: Ba lớp 7 có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng
số học sinh lớp 7C bằng

17
16

8

9

số học sinh lớp 7 A ,

số học sinh lớp 7B . Tính số học sinh của mỗi lớp.

Bài 21: Trong vận chuyển hàng cứu trợ đồng bào do ảnh hưởng của dịch Covid- 19 , ba đội
xe được giao vận chuyển ít nhất 3030 tấn hàng. Cuối đợt, đội I vượt mức 26% , đội II vượt
mức 5%, đội III vượt mức 8% định mức của mỗi đội nên khối lượng hàng mà ba đội đã
vận chuyển được đều bằng nhau. Tính định mức vận chuyển của mỗi xe.
Bài 22: Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi
kho II và

1
11

1

5

số thóc ở kho I ,

1

6

số thóc ở

số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi

kho có bao nhiêu tấn thóc.
24

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức và tính giá trị của biểu thức.

25

Bài 1: Chứng minh rằng:

a

c



b
a)

ac
a
c b  db  d

d
b)

Bài 2: Chứng minh rằng:

a

c

nếu biết:
ab a
b c  dc  d



nếu biết:

b

d
a
a) a
a
b) b
b
c c
b d c  d
d
a
Bài 3: Chứng minh rằng:  nếu biết:
c

a)

a
ab



b

c
cd

b)

d

b

d

ab cd

Bài 4:
2a  3c
2a  3c
a c
a)
Cho
. Chứng minh rằng 

b)

2b  3d 2b  3d
b d
4a  3b 4a  3b
a c
Cho
. Chứng minh rằng 

4c  3d 4c  3d
b d

Bài 5:
4a  3b 4c  3d
a c
a)
Cho
. Chứng minh rằng 

b)

a
2a  3b

c
4a  5b

b d
a c
Cho
. Chứng minh rằng 

2c  3d 4c  5d
b d

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a  c  2b
và
Bài 7: Chứng minh rằng:
Nếu
a

Bài 8:
Cho

b

c

2bd  c b  d

b  0, d  0 thì



b

2  x  y   5 y  z   3 z 
x  thì

. Chứng minh rằng:


2009 2011 2013
3
a b c
abc a

a  c
4

a  2b  c

a)

2

  a  b  b  c .

b)

a  2b  c

x

y
và x   21. Tính giá trị của biểu
2 5
y
thức:
x
 và y  x  4 . Tính giá trị của biểu
y
3

5

thức:

A  5x  4 y .
B  3x  5y .

Bài 12:
a) Cho a : b : c  3: 4 : 5 và a  b  c  24 . Tính M  a.b  b.c  ca .
b) Cho a : b : c : d  2 : 3: 4 : 5 và a  b  c  d  42
. Tính
26


d

xy
yz

4
5

Bài 9:
  . Chứng minh 
  .


b
c
d
d
b
c
d
Cho


3a  2b  c 3a  2b  c
Bài 10: Cho tỉ lệ thức

(b  0). Chứng minh
rằng
Bài 11: Cho hai số x; y thoả mãn

a

ac0.

c

.

Bài 13:

a) Biết x  y  z
và
b)

x

2
y



và

5

6

Bài 14:



b)

y
3

5


2

xy
z

4

 24 .

Tính

E  3x  2 y  6z .

x – y  z  2 . Tính E  xy  yz .
6

7

a) Cho xy 
x

3
z

N  a.b  c.d

và 3x  2

2 y

 44 . Tính giá trị của biểu thức C  20x  22 y .

và 2x  5y  48 . Tính giá trị của biểu
thức

27

D  x2  y3 .

Bài 15:
a) Cho x 
y
2

;z

3

y



2

và x  y  z  25 .
5 Tính

K

b) Cho x
y
y  ;z  và 2x  3y  4z  34 .
Bài
2 5 3 2 Tính
16:
a) Cho x
y
b)

x
y

3



3

2

3x  2 y  3z
.
xy  z
xy  5z
L yz .

và x2  y2  25 . Tính G  x3  y2
4

và 3x2 – 5y2  63
với
x

Bài 17:
Cho



y



z

x  0; y  0 .

H  x.y2

Tính

x3.z6

xyz0.

y9

Tính
và
y z x
Bài 18: Cho x, y, z thoả mãn:

.

x
y
x, y, z  0 . Tính: P x  2y  3z
z   và
=
5x  2 y  z
2 5 7
x 1 y  2 z  3
. Tính giá trị của biểu N  2x  y  2z .



Bài 19: Cho

3

4

5

thức

abc cab bca
Bài 20:
a, b, c  0 và thỏa mãn


Cho
c
b
a
(a  b)(b  c)(c  a)
Tính giá trị biểu thức S =
.
abc

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đề tìm thành phần chưa biết.
Bài 1. Tìm hai số x, y biết:
a)

x
y



7
x

và x  y 
4
y

x
y

30

 và x  y 
90
3 6
x, y biết:
Bài 2. Tìm hai
c)

b)

d)



và x  y  48

5 7
x
y


và

2

x  y  12

5

số
a) 2x  5y và x  y 

b) 3x  4 và 2x  3y  34

c) 4x 

d)

30

5y

và 3x  2 y 

y

35

x
2



y
3

và 4x  3y  9

Bài 3. Tìm hai số x, y biết:
a)
y

x



c)

3
x
3



4
y

7

và x2 

y2  25
28

và x2  y2  58

b)

x

y



d)

5
x
3



3
y
4

y2 

Bài 4. Tìm hai số x, y biết:
a)

x

y

c)

2
x

y

3



và x3  y3 
3

35

và x  y  98



3

3

1600

và x2 

b)

x

y

d)

3
x

y

5

3

29

và x2  y2  400


và x3  y3  35
2 và x3  y3  37


4

Bài 5. Tìm các số x, y, z biết:
a)

x
y
 
z

và x  y  z 
160

12 13 15
x y z
 
xyz 
9
và
3 5 7
Bài 6. Tìm x, y, z biết:
c)

b)

d)

x
y


z
5
x

và x – y  z  38 .

16 17
y
z
  và x  y  z  27 .
2 3 4

30

a)

x
z



5

y



3

5
Bài 8. Tìm x, y, z biết:
y
a) x
 ;2y
và x  y  z 
3z 23
49
c)

x

và

3

z

d)

b)

y

;7 y  5z

xyz
45

y



x

z
2

 và 3x – 2 y  2z  24 .

3
6
y

 và 4x – 3y  2z  81.

3

x



z

4

y x
;  và x  y  z  51

4

3 2
và x  y  z  33
5
x z y
d)  ; 
z

2 4



x
2

z
  và 2x  3y  4z 
48
3 2 3
Bài 7. Tìm x, y, z biết:
x
y y
a)  ;  và x  y  z 
z
46
3 2 3
4
và x  y  z  10
x
y x
c)  ; 
z
c)

b)

54

3
2
y

x

và 2x  3y  4z 

3
b)

x

4 2


y

;5y  3z

x  y  z  98

3 5
y
z
2x  3y; 

x  y  z  21

và

d)

và

5

3

Bài 9. Tìm x, y, z biết:
z3 xyz
và
18
3
4
5
Bài 10. Tìm x, y, z biết:
y z
a) x
 
xy
36
và
5 6 7
y
c) x

 và 3x  2 y 
z
47

a)

x 1

5



16

y2

17



3

b)

b)

2

x 1 y  2 z  3 và x  y  z  30
3  4  5
x



y



z

và

d)

y  z  28

7 3 4
x y
  và 3y  2z  99
z
3

5

7

Dạng 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán thực tế (Toán
chia tỉ lệ)
Bài 1: Số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7 lần lượt tỉ lệ với 2 : 3: 5 . Tính số học sinh
giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh giỏi, khá và trung bình là 180 em.
Bài 2: Ba lớp 9A, 9B, 9C quyên góp được 240 kg giấy vụn. Tính số kg giấy vụn của mỗi lớp
quyên góp được, biết rằng số kg giấy vụn quyên góp được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với
3: 4 : 5 .
Bài 3: Ba nhà sản xuất góp vốn theo tỉ lệ 3; 5; 7 . Hỏi mỗi nhà sản xuất phải góp bao nhiêu
vốn biết rằng tổng số vốn của nhà thứ nhất và nhà thứ hai nhiều hơn nhà thứ ba là 80 triệu
đồng.
Bài 4: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6 . Biết rằng số học sinh khối
6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 30 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Bài 5: Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5 . Tính số viên bi của
31

mỗi bạn, biết rằng: 3 lần số bi của bạn Hùng nhiều hơn 2 lần số bi của bạn Minh là 40 viên.
Bài 6. Chia số 135 thành ba phần tỉ lệ với 3; 4; 8. Hãy tìm mỗi phần của số đó?
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức và tính giá trị của biểu thức.
a
Bài 1: Chứng minh rằng:  nếu biết:
c

b
a)

ac b
d a 
cb
d

Bài 2: Chứng minh rằng:

b)

a

c

a)

2a  3b 2c  3d

.
2a 
2c 
3b
3d

d

b

ab cd
b  d



nếu biết:
d

b)

7a 11b 7c 11d

.
4a 
4c  5d
5b

32

Bài 3: Cho hai số x; y thoả mãn
a)

x

y
và x  y  27 . Tính giá trị của biểu
7 4

thức:

A  2x  3y .

b)

Cho 4x 
5y

và 3x  2
y

Bài 4:

a) Biết x y
z 
2

3

b) Cho xy 
Bài 5:

3

 35 . Tính giá trị của biểu

4

và 3x2  5y 2  28 .
2 Tính

5z

b) Cho x  99
thức
1

2x  3y  z

và x  y  z  27 . Tính C 

a) Cho 3x  4 y; 2 y 



y  98
2

z  97

yz

.

D  x3  y2

và 2x  3y  5z  55 .
Tính


B  11y  4x .

thức

E

7x  2 y  x.z
.
x.z  y

. Tính giá trị của biểu

3

33

Fx2yz.