Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Chương
4

Bài 1

HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU

Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể
tích hình trụ

Tóm tắt lý thuyết
1. Hình trụ
Khi quay hình chữ nhật
một vòng quay cạnh
cố định, ta được một hình trụ (h.73). Khi đó:
 Hai đáy là hai hình tròn
và
nằm trên hai mặt phẳng song song.
 Đường thẳng

bằng nhau và

là trục của hình trụ.


là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai
mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao hình trụ.

Hình 73
2. Diện tích xung quanh của hình trụ

3. Thể tích hình trụ
(

là bán kính đáy,

là chiều cao,

là diện tích đáy).

Các ví dụ
 Ví dụ 1.
Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 2 cm, chiều cao là 6 cm. Hãy tính:
1. Diện tích xung quanh của hình trụ.
2. Diện tích toàn phần của hình trụ.
3. Thể tích hình trụ.

 Lời giải
1

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

 Lời giải
1. Diện tích xung quanh của hình trụ là

2. Diện tích toán phần của hình trụ là

3. Thể tích hình trụ là:

 Ví dụ 2. Một hình trụ có diện tích xung quanh là
trụ đó.

và diện tích toàn phần là

. Tính thể tích của hình

 Lời giải
Ta có

.

Mà
Ta có
Thể tích của hình trụ đó là
 Ví dụ 3. Một hình trụ có chiều cao bằng
hình trụ.

. Biết diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung quanh. Tính thể tích

 Lời giải
Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên

Vậy bán kính đáy là

.

Thể tích của hình trụ là

.

 Ví dụ 4. Một thùng phuy hình trụ có số đo diện tích xung quanh (tính bằng mét vuông) đúng bằng số đo thể tích (tính
bằng mét khối). Tính bán kính đáy của hình trụ.

 Lời giải
Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là
Ta có

và

.

2

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Theo đề bài hai số đo trên bằng nhau nên ta có

suy ra

.

 Ví dụ 5. Một lọ hình trụ được "đặt khít" trong một hộp giấy hình hộp chữ nhật. Biết thể tích của lọ hình trụ là
, tính thể tích của hộp giấy.

 Lời giải
Gọi bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là

và

.

Khi đó hình hộp chữ nhật có cạnh đáy là 2 R và chiều cao là h. Gọi
hình trụ và hình hộp.

Ta có

Do đó

và

lần lượt là thể tích của

.

Suy ra
Vậy thể tích hình hộp là

.

 Ví dụ 6. Cho hình chữ nhật ABCD với
thì được hình trụ có thể tích

. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng

và khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì được hình trụ có thể tích

. Tính tỉ số

 Lời giải
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh A B một vòng thì được hình trụ có chiều cao
bán kính đáy

nên có thể tích
.

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh canh B C một vòng thì được
hình trụ có chiều cao
có thể tích

, bán kính đáy

nên

.

Vậy

.

 Ví dụ 7. Một hộp sữa hình trụ có chiều cao hơn đường kính là
. Tính thể tích của hộp sữa đó.

 Lời giải

3

. Biết diện tích vỏ hộp (kể cả nắp) là

,

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Gọi

là bán kính đáy của hộp sữa,

của hộp sữa là

là chiều cao của nó. Ta có

. Vì diện tích toàn phần

nên

Giải ra được

(chọn);

(loại).

Vậy bán kính đáy hộp sữa là
Chiều cao hộp sữa là

.

. Thể tích hộp sữa là

.

Luyện tập

Bài 1. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là

, chiều cao là

. Hãy tính

1. Diện tích xung quanh của hình trụ.
2. Thể tích của hình trụ.
 Lời giải
1. Diện tích xung quanh của hình trụ là

.

2. Thể tích của hình trụ là

.

Bài 2. Một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là
một vòng quanh chiều dài hay chiều rộng thì thể tích lớn hơn?

. Quay hình chữ nhật đó

 Lời giải
Khi quay quanh chiều dài thì

Khi quay quanh chiều rộng thì

Vì

.

.

nên khi quay quanh chiều rộng thì thể tích sẽ lớn hơn khi quay quanh chiều dài.

Bài 3. Người ta cắt hình trụ bằng một mặt phẳng chứa trục. Biết thiết diện là một hình vuông có diện
tích bằng

. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
 Lời giải

4

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Độ dài mỗi cạnh của thiết diện là

.

Vậy chiều cao của hình trụ là
trụ. Ta có

, bằng đường kính của đáy hình

do đó

.

Diện tích xung quanh của hình trụ là

Thể tích của hình trụ là
Bài 4. Một hình trụ có chu vi đáy là
hình trụ.

và diện tích toàn phần là

. Tính thể tích của

 Lời giải
Ta có

, suy ra

.

Vì dện tích toàn phần của hình trụ là

nên

, hay

Vậy thể tích của hình trụ là

.

Bài 5. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình trụ là
đáy là

. Biết bán kính

, tính chiều cao của hình trụ.
 Lời giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là

và

. ta có

. Theo đề bài ta có
Suy ra

Giải ra ta được

Bài 6. Một hình trụ có thể tích là
phần của hình trụ đó.

.
và diện tích xung quanh là
 Lời giải

Gọi bán kính đáy và chiểu cao của hình trụ lần lượt là

5

và

.

. Tính diện tích toàn

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Ta có

.

Do đó

.

Bài 7. Một hình trụ có diện tích xung quanh là
tích của hình trụ đó.

và diện tích toàn phần là

. Tính thể

 Lời giải
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là

và

.

Ta có

Ta có

.

Do đó thể tích của hình trụ là

.

Bài 8. Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao, thiết diện đi qua trục có diện tích bằng
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

.

 Lời giải
Gọi bán kính đáy là

, chiều cao là

. Theo đề bài ta có

(thỏa mãn),
Do đó

và

(loại).

.

Diện tích xung quanh bằng

.

Diện tích toàn phần bằng
.
Thể tích của hình trụ bằng

.

Bài 9. Một hình trụ có chiều cao là
và diện tích toàn phần là
tích xung quanh hình trụ bằng 9 lần diện tích đáy.
 Lời giải

6

. Chứng minh rằng diện

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là
Vì diện tích toàn phần bằng

Giải ra được

.

nên ta có

(chọn);
.

và

(loại). Vậy diện tích đáy hình trụ là

Diện

tích

xung

quanh

Do đó
Bài 10. Cho hình chữ nhật

hinh

tru

là

(lần).

có

. Biết diện tích hình chữ nhật là

, chu vi là

. Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh
một vòng ta đuợc một hình trụ. Tính dện tích xung
quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ này.
 Lời giải

Từ đề bài ta có
Suy ra

là nghiệm của phương trình:

Giải phương trình ta đươc
Do

nên

.

.
.

1. Diện tích xung quanh của hình trụ là
2. Diện tích toàn phần của hình trụ là
3. Thể tích của hình trụ là

7

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Hình nón – Hình nón cụt – Diện tích xung
quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bài 2

Tóm tắt lý thuyết


Mô tả hình nón

+) Đáy của hình nón là hình tròn
+)

;

là đường sinh.

+)

là đỉnh,


là đường cao.

Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón).
Thể tích hình nón


là chiều cao

Hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần
mặt phẳng bị giới hạn bởi hình nón là một hình tròn. Phần hình
tròn nằm giữa mặt phẳng nói trên và đáy là một hình nón cụt.



Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón

(R, r lần lượt là bán kính hai đáy,


là độ dài đường sinh của hình nón cụt).

Thể tích hình nón cụt:

(h là đường cao của hình nón cụt).
Hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt.
Một hình nón được xác định khi biết 2 trong 3 yếu tố: bán kính đáy, chiều cao, đường sinh.

8

cụt

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Các ví dụ

 Ví dụ 1.Một hình nón có bán kính đáy bằng

, diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy.

Tính theo

1. Diện tích xung quanh của hình nón;
2. Thể tích của hình nón.
 Lời giải
1. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên

, suy ra

.
Vậy

.

Diện tích xung quanh bằng
2. Xét tam giác
nên

.

vuông tại

, ta có

.

 Ví dụ 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng

, đường sinh bằng . Khai triển mặt xung quanh hình nón ta được một

hình quạt. Tính số đo cung của hình quạt theo

và .

 Lời giải
Khi cắtmặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt.
Khi đó bán kính hình quạt tròn
Độ dài

bằng độ dài đường sinh

của hình quạt bằng chu vi đáy của hình nón bằng

Ta có
.
Do đó, số đo cung AB của hình quạt là

 Ví dụ 3. Một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng

và 2a, chiều cao bằng a.

1. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt;
2. Tính thể tích của hình nón cụt.
 Lời giải
9

và độ dài

bằng chu vi đáy.

. Độ dài đường tròn

bằng

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

1. Trong mặt phẳng
Tam giác

, kẻ

. Ta có

nên

vuông cân nên

Ta có

.

2. Tính thể tích của hình nón cụt:
.

 Ví dụ 4. Một hình nón có bán kính đáy bằng

, số đo thể tích (tính bằng

) bằng bốn lần số đo diện tích xung quanh (tính bằng
của hình nón.

). Tính chiều cao

 Lời giải
Gọi

là chiều cao của hình nón. Thể tích của hình nón bằng

Đường sinh SA bằng
Do

. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

nên

Vậy chiều cao của hình nón bằng

.

10

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

 Ví dụ 5. Cho tam giác
quanh cạnh

vuông tại

, đường cao

. Quay tam giác

một vòng

. Tính thể tích hình tạo thành.

 Lời giải
Khi quay tam giác

một vòng quanh cạnh

, hình tạo thành

gồm hai hình nón có đường cao theo thứ tự là
của hình tạo thành bằng.

và

. Thể tích

.

 Ví dụ 6. Cho tam giác
quanh cạnh

vuông tại

, đường cao

. Quay tam giác

một vòng

. Tính thể tích hình tạo thành.

 Lời giải
Quay tam giác vuông cân

một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố

định, ta được hình nón đỉnh

, đường sinh

đáy là

.Tam giác

vuông cân tại

hay

, bán kính đường tròn
, theo định lý Pitago, ta có
, suy ra

, do đó

Diện tích xung quanh của nón là

Thể tích hình nón là

.

Luyện tập
Bài 1. Cho tam giác

vuông tại

giác một vòng quanh cạnh huyền

và

(đơn vị độ dài). Quay xung quanh tam

. Tìm diện tích xung quanh và thể tích hình tạo thành.
 Lời giải

11

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Khi quay tam giác vuông

một vòng xung quanh cạnh huyền

đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao

, ta được hai hình nón có các

kẻ từ

đến cạnh huyền

. Ta có

(đơn vị độ dài).

Diện tích xung quanh hình tạo thành là

(đơn vị diện tích).

Thể tích hình tạo thành là

(đơn vị thể tích).

 Bài 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng

, chiều cao bằng

1. Tính số đo cung hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón;
2. Tính diện tích toàn phần của hình nón;
3. Tính thể tích của hình nón.
 Lời giải

1. Đường sinh bằng

. Số đo cung của hình quạt là

2. Diện tích toàn phần của hình nón
3. Tính thể tích của hình nón

.
12

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

 Bài 3. Một hình nón có bán kính đáy bằng

, đường sinh bằng

.

1. Tính diện tích xung quanh của hình nón;
2. Tính thể tích của hình nón;
3. Một mặt phẳng đi qua trung điểm của đường cao và song song với đáy hình nón chia hình nón thành
một hình nón nhỏ và một hình nón cụt. Tính thể tích hình nón cụt.
 Lời giải
1. Diện tích xung quanh của hình nón
2. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông

, ta có

Thể tích của hình nón

3. Trong

, ta có

nên

.

Thể tích hình nón nhỏ bằng
 Bài 4. Một hình nón cụt có bán kính đáy lớn bằng
.
1. Tính bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt;
2. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt;
3. Tính thể tích của hình nón cụt.
 Lời giải

13

, chiều cao bằng

và đường sinh bằng

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

1. Vẽ

ta được

suy ra

.

2. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt
3. Tính thể tích của hình nón cụt

.

 Bài 5. Mặt xung quanh của một hình nón khai triển thành một hình quạt

, bán kính

.

1. Tính diện tích toàn phần của hình nón;
2. Tính thể tích của hình nón.
 Lời giải

1. Độ dài cung

của hình quạt là

Chu vi của hình tròn đáy là

. Bán kính của hình tròn đáy là

hình nón là

14

. Chiều cao của

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Diện tích toàn phần của hình nón là
2. Tính thể tích của hình nón là
 Bài 6. Cho tam giác
quay tam giác

vuông tại

. Gọi

theo thứ tự là thể tích của các hình sinh ra khi

một vòng xung quanh các cạnh

. Chứng minh rằng

 Lời giải

Gọi độ dài các cạnh của tam giác là
xuống cạnh huyền

. Ta có

và
. Theo giả thiết ta có:

, suy ra
Tương tự ta có

và

, do đó

Vậy

15

là chiều cao dựng từ đỉnh

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích
hình cầu

Bài 3

Tóm tắt lý thuyết
1.1 Hình cầu
Định nghĩa 13. Khi quay nửa hình tròn

một vòng quanh đường kính

cố định, ta được một hình cầu.
 Nửa hình tròn khi quay quét nên mặt cầu.
 Điểm

gọi là tâm,

là bán kính của hình cầu hay mặt cầu.

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì mặt cắt là một hình tròn.

1.2 Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
Diện tích mặt cầu:

Thể tích hình cầu

hay

, với

là bán kính;

là đường kính.

.

Các ví dụ
 Ví dụ 1. Một phao cơ hình cầu tự động đóng nước chảy vào bể khi bể đầy. Biết diện tích bề mặt của phao là
tính bán kính của phao.

,

 Lời giải

Từ công thức

Bán kính của phao là

.

.

 Ví dụ 2. Phần trên của một chiếc cốc chân cao có dạng nửa hình cầu. Biết cốc này có thể chứa được
Tính đường kính của miệng cốc.

 Lời giải

16

nước.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Vì dung dích của cốc là
của nửa hình cầu là
.

nên thể tích của cốc là

. Ta có

. Theo đề bài, ta có

Vậy đường kính của miệng cốc là

do đó có thể tích
, suy ra

.

 Ví dụ 3. Một trái dưa có dạng hình cầu. Bổ đôi trái dưa này ra thì mặt cắt có diện tích là
trái dưa đó.

. Tính thể tích của

 Lời giải

Khi bổ đôi trái dưa thì mặt cắt là một hình tròn. Ta có:
Vậy bán kính của trái dưa là

 Ví dụ 4. Trái đất có bán kính

. Thể tích của trái dưa là:

. Diện tích biển và đại dương chiếm

và đại dương của trái đất (làm tròn đến triệu

bề mặt trái đất. Hãy tính diện tích biển

).

 Lời giải
Diện tích bề mặt trái đất là

.

Diện tích các biển và đại dương là

.

 Ví dụ 5. Hình bên minh họa bộ phận lọc của một bình nước. Bộ phận này
gồm một hình trụ và một nửa hình cầu với kích thước ghi trên hình. Hãy
tính:

1. Thể tích của bộ phận đó;
2. Diện tích mặt ngoài của bộ phận này.

 Lời giải
1. Thể tích phần hình trụ là

.

17

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Thể tích nửa hình cầu:
Thể tích bộ phận lọc là:
2. Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Diện tích đáy hình trụ là:
Diện tích nửa mặt cầu là:
Diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc:

Luyện tập

 Bài 1. Cho hình cầu có bán kính

.

1. Tính diện tích mặt cầu.
2. Tính thể tích của khối cầu tương ứng.
 Lời giải

1. Ta có

đvdt.

2.

đvtt.

 Bài 2. Cho đường tròn

đường kính

, dây

. Quay đường tròn này một vòng quanh
được tạo thành.

tại

. Cho biết

. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

 Lời giải

Vẽ các đoạn thẳng

ta được:

. Vì
18

và

nên

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có
Suy ra:

.

Do đó, bán kính của đường tròn là

, bán kính hình cầu là

Diện tích mặt cầu là

.

.

Diện tích hình cầu là

.

 Bài 3. Cho đường tròn

ngoại tiếp tam giác đều

. Quay đường tròn này một vòng quanh

đường kính
ta được một hình cầu ngoại tiếp một hình nón. Tính thể tích phần bên trong hình
cầu và bên ngoài hình nón.
 Lời giải

Độ dài cạnh của tam giác đều là
nón là

. Bán kính đáy hình tròn là

. Chiều cao của hình

.

Thể tích hình cầu là

.

Thể tích hình nón là
Thể tích phần cần tìm là
 Bài 4. Bạn An lấy thước dây đo vòng theo đường xích đạo của quả địa cầu trong thư viện được độ
dài

. Hãy tính

1. Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu.
2. Thể tích của quả địa cầu.
19

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

 Lời giải
Ta có chu vi của đường tròn xích đạo là

nên

Do đó
1. Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu là

.

2. Thể tích của quả địa cầu

.

 Bài 5. Quả bóng bàn có số đo diện tích bề mặt (tính bằng
bằng

) gấp

lần số đo thể tích của nó (tính

). Tính bán kính, diện tích và thể tích của quả bóng bàn.
 Lời giải

Theo đề bài, ta có

.

Do đó, diện tích quả bóng là

.

Thể tích của quả bóng là

.

 Bài 6. Một hình cầu đặt vừa khít trong một hình trụ có chiều cao là
gian nằm trong hình trụ nhưng nằm bên ngoài hình cầu.

. Tính thể tích phần không

 Lời giải

Vì hình cầu đặt vừa khít trong hình trụ nên chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy và bằng đường
kính của hình cầu. Bán kính đáy của hình cầu là

.

Khi đó, thể tích hình trụ là
Thể tích hình cầu là

.
.

Vậy thể tích cần tính là

.

 Bài 7. Một trái bưởi hình cầu có đường kính

. Lớp vỏ dày
 Lời giải
20

. Tính thể tích của lớp vỏ bưởi.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Bán kính trái bưởi là

. Bán kính trái bưởi sau khi gọt hết vỏ là

tích lớp vỏ bưởi là:

.

 Bài 8. Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính bằng
bằng

. Khi đó, thể

) đúng bằng số đo thể tích của nó (tính

). Tính bán kính của hình cầu đó.
 Lời giải

Theo đề bài, ta có

.

 Bài 9. Một hình cầu có diện tích bề mặt là

. Tính thể tích của hình cầu đó.
 Lời giải

Theo đề bài, ta có

. Vậy thể tích hình cầu là

 Bài 10. Cho tam giác đều

cạnh

, đường cao

đường tròn ngoại tiếp tam giác đều này một vòng quanh

.

. Ta quay nửa đường tròn nội tiếp và nửa
. Tính

1. Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình nón.
2. Tỉ số thể tích của hai hình cầu nói trên.
3. Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón.
 Lời giải

Gọi

và
. Vì

lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đều. Ta có
nên

. Và

.

1. Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón là

21

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

2. Tỉ số thể tích hai hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón là

3. Thể tích hình cầu ngoại tiếp là

đvtt.

Thể tích hình nón là

đvtt.

Thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp là
đvtt.

22

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Bài 4

Ôn tập chương IV

Các ví dụ
 Ví dụ 1. Cho hình tròn

nội tiếp hình vuông

.

1. Tính thể tích và diện tích của hình cầu tạo thành khi quay hình tròn

quanh một đường kính của nó.

2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ tạo thành khi quay hình vuông
lượt là trung điểm

và

quanh

, với

lần

.

 Lời giải

1. Hình cầu tạo thành khi quay hình tròn
bán kính

quanh một đường kính của nó cũng có tâm là

.

Do đó, thể tích của khối cần là

và diện tích mặt cầu là

2. Hình trụ tạo thành khi quay hình vuông

Vì hình vuông

quanh

ngoại tiếp đường tròn

. Do đó

đều cạnh

và

.

.

Diện tích toàn phần của hình trụ là
 Ví dụ 2.Cho

.

có hai đáy là hai hình tròn

nên

Suy ra, thể tích hình trụ là

, đường cao

.
, nội tiếp đường tròn tâm

1. Tính thể tích hình nón và hình cầu tạo thành khi quay
.

.

và đường tròn

2. Tính tỉ số diện tích xung quanh hình nón và diện tích mặt cầu tạo thành khi quay
trục

và

.
23

quanh trục

, biết

và đường tròn

quanh

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Lời giải
1. Hình nón tạo thành khi quay

quanh trục

tạo thành hình nón có đáy là hình tròn tâm
, chiều cao

bán kính

.

Hình cầu tạo thành khi quay hình tròn tâm

ngoại

tiếp

bán kính

quanh trục

là hình cầu tâm

.
Lại có

Do

đều nên

là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm

Khi đó thể tích hình nón là

Thể tích hình cầu
2. Đường sinh của hình nón là

. Diện tích xung quanh hình nón là

24

, suy ra

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Diện tích mặt cầu là
Do đó tỉ số diện tích xung quanh hình nón và diện tích mặt cầu là

 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại
1. Tính

,

và

, đường cao

. Biết

.

.

2. Tính thể tích khối tạo thành khi quay

quanh trục

.

3. Tính thể tích khối tạo thành khi quay

quanh trục

.

Lời giải
1. Ta có

vuông nên

Theo định lí Pytago ta lại có
cm
Mặt khác

vuông tại

nên

cm
2. Khi quay
hình tròn tâm

quanh trục
bán kính

tạo thành khối nón đỉnh

đáy là

.

Thể tích khối nón là
3. Khi quay
tâm

, bán kính

quanh trục

tạo thành hai khối nón đỉnh

( hình vẽ )

Lại có

cm

Khi đó thể tích khối nón đỉnh

Thể tích khối nón đỉnh

cm

, đáy hình tròn

, đáy hình tròn

là

là

25

và đỉnh

chung đáy là hình tròn

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Vậy thể tích khối cần tính là
 Ví dụ 4. Cho hình trụ
tròn

có hai đáy là hình tròn

và

và hình nón

có đỉnh là

, đáy là hình

.

1. Từ miếng xốp hình trụ
Biết

.

cm và

, người ta gọt bỏ để tạo thành khối xốp hình nón

. Tính thể tích phần bị gọt bỏ đi.

.

2. Nếu tăng gấp đôi bán kính

thì thể tích hình trụ

và hình nón

thay đổi như nào?

Lời giải
1. Thể tích khối xốp hình trụ là

.

Thể tích khối xốp hình nón là

.

Vậy thể tích phần xốp bị gọt bỏ là
2. Thể tích hình trụ với bán kính

.
là

Thể tích hình trụ với bán kính

Khi đó ta có

.
là

.

.

Vậy khi tăng gấp đôi bán kính

thì thể tích hình trụ tăng lên 4 lần.

Thể tích hình nón với bán kính

là

Thể tích hình nón với bán kính

Khi đó ta có

.
là

.

.

Vậy khi tăng gấp đôi bán kính

thì thể tích hình nón tăng lên

lần.

 Ví dụ 5. Cho một cái phễu chứa nước hình nón ngược. Miệng phễu là đường tròn đường kính
1. Tính lượng nước để đổ đầy phễu (giả thiết rằng thành phễu có độ dày không đáng kể )

2. Người ta đổ đầy nước vào phễu rồi rút ra sao cho chiều cao của lượng nước còn lại chỉ bằng một
nửa lượng nước ban đầu. Tính thể tích lượng nước còn lại trong phễu.

Lời giải

26

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

1. Gọi

là tâm đường tròn đáy của cái phễu và
và

là một điểm trên đường tròn ấy, khi đó

,

.

Suy ra, chiều cao của cái phễu là

Thể tích của cái phễu là

Lượng nước đồ đầy phễu cũng chính là thể tích của cái phễu, tức là
2. Gọi

là trung điểm

,

là trung điểm

thì

phần nước còn lại trong phễu cũng là một khối nón đỉnh
đáy là hình tròn tâm

bán kính

.

,

.

Ta có IK là đường trung bình

nên

Luyện tập
 Bài 1. Cho hình chữ nhật
và

có

cm và

cm. Gọi

lần lượt là trung điểm

.

1. Khi quay hình chữ nhật
2. Khi quay

quanh trục

quanh trục

thì được khối gì? Tính thể tích của khối đó.

thì được khối gì? Tính diện tích xung quanh của khối đó.

Lời giải
1. Khi quay hình chữ nhật

quanh trục

khối trụ có đáy là hình tròn tâm
hình tròn tâm

2. Khi quay
đường sinh là

bán kính

thì được

bán kính

và

có thề tích là

quanh trục

thì được khối nón đỉnh

và có diện tích xung quanh là

27

đáy là hình tròn

, độ dài

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

 Bài 2. Cho hình tròn
hình cầu tâm

bán kính

) có diện tích bằng

. Quay hình tròn quanh một đường kính ta được

.

1. Tính thể tích hình cầu.
2. Nếu diện tích hình tròn giảm một nửa thì diện tích của mặt cầu sẽ thay đổi như nào?

Lời giải
1. Diện tích hình tròn là
Do đó thể tích hình cầu là

2. Diện tích mặt cầu là
Nếu diện tích hình tròn giảm một nửa thì được tròn bán kính

và

Khi đó diện tích của mặt cầu mới là

Suy ra

. Vậy diện tích mặt cầu cũng giảm đi một nửa.

 Bài 3. Cho một khối xốp hình nón có đường kính đáy bằng
trên đường tròn đáy bằng

cm và độ dài từ đỉnh đến một liềm

cm.

1. Tính chiều cao và thể tích của hình nón đó.
2. Cắt chỏm của khối xốp sao cho phần còn lại là hình nón cụt có chiều cao bằng một nửa chiều cao
của hình nón ban đầu. Tính thể tích của phần bị cắt bỏ đi.
3. Tiếp tục cắt khối nón cụt trên để tạo thành hình trụ có đáy là đáy nhỏ của hình nón cụt. Tính thể tích
của hình trụ mới tạo thành.

Lời giải
1. Giả sử hình nón có đỉnh là điểm
Khi đó bán kính đáy hình nón là

đáy là đường tròn tâm

là một điểm trên đường tròn đáy.

cm

và chiều cao của hình nón là

cm

Thể tích của hình nón là

28

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

2. Gọi

là trung điểm

hình tròn

,

là trung điểm

. Phần bị cắt bỏ đi cũng là khối nón có đỉnh

. IB là đường trung bình của

nên

đáy là

.

Thể tích khối nón bị cắt là

3. Khối trụ có đáy là hình tròn

chiều cao

 Bài 4. Một cái hộp hình trụ chứa vừa khít

nên có thể tích là

quả ten – nít. Biết diện tích toàn phần của hình trụ là

. Tính đường kính và thể tích của mỗi quả ten – nít.

Lời giải

Gọi

là bán kính của mỗi quả ten-nít thì bán kính đáy hộp là

Ta có

, chiều cao của trụ là

.

.

Ta lại có diện tích xung quanh đề bài cho là
Vậy

.

.

 Bài 5. Cho hình vẽ bên. Tính tổng thể tích của các khối tạo thành khi quay
hình bên quanh trục

.

Lời giải
Tam giác

quay quanh trục

bằng cạnh

và đường cao là

sẽ tạo thành hình nón với bán kính đáy
.

Thể tích hình nón này là
( đvtt )
Hình chữ nhật
đường cao là

quay quanh trục

sẽ tạo thành hình trụ với bán kính đáy bằng cạnh

. Thể tích hình trụ này là
( đvtt )

29

và

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Thể tính khối tạo thành khi quay hình trên quanh trục

là

( đvtt )
 Bài 6. Một hình nón có đỉnh là tâm một hình cầu và có đáy là hình tròn tạo bởi một mặt phẳng cắt
hình cầu. Biết diện tích đáy hình nón là
và diện tích xung quanh của nó là
thể tích phần không gian bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón.

. Tính

Lời giải
Tính bán kính đáy hình nón là
Tính đường sinh hình nón là

Chiều cao hình nón là

Tính hiệu thể tích giữa hình cầu và hình nón được

 Bài 7. Tam giác đều ABC có độ dài cạnh là , ngoại tiếp một đường tròn. Cho hình quay một vòng
xung quanh đường cao AH của tam giác đó, ta được một hình nón ngoại tiếp hình cầu. Tính thể tích
phần hình nón nằm ngoài hình cầu.
 Lời giải
Gọi

là tâm của tam giác ABC. Bán kính hình cầu là

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC, nghĩa là IH.
Ta có
Vậy
Do đó thể tích hình cầu là

.
.
(đvtt).

Thể tích hình nón là

(đvtt).
Vậy phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu là

(đvtt).

30

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

 Bài 8. Một hình nón cụt có bán kính đáy lớn là

và bán kính đáy bé là

, chiều cao bằng

.
1. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt.
2. Tính thể tích của hình nón sinh ra hình nón cụt đó.
 Lời giải
Kẻ

(tại

. Khi đó

.

Mặt khác,

.

Vậy

.

Diện tích xung quanh hình nón cụt là

2. Gọi giao điểm của

và CA là

Theo hệ quả của định lý Ta-lét, ta có
Gọi

.
.

thì từ đẳng thức trên ta có

Giải phương trình này ta có nghiệm

(nhận).

Vậy chiều cao của hình nón sinh ra hình nón cụt đó là
Thể tích cần tìm là
 Bài 9. Cho hình chữ nhật

.

(đvtt).
có chu vi là diện tích lần lượt là

và

.

1. Tính thể tích và diện tích hình trụ được sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh cạnh AB.
2. Hình trụ này có thể chứa vừa khít một khối cầu bán kính
và khối cầu.
 Lời giải
1. Ta có

Thể tích của hình trụ

Diện tích của hình trụ

31

. Tính

và phần thể tích giữa hình trụ

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

2. Ta có bán kính khối cầu
Thể tích khối cầu
Phần thể tích giữa khối trụ và khối cầu bằng
 Bài 10. Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó và
góc với AB. Qua

vẽ hai tia vuông góc với nhau tại

. Vẽ hai tia Ax, By vuông
và lần lượt cắt Ax, By tại C, D. Cho

.
1. Tính tỉ số thể tích của các hình do tam giác AOC và BOD tạo thành khi quay hình này quanh trục
AB.
2. Giả sử

. Tính thể tích hình nón cụt được tạo thành khi quay hình vẽ quanh trục AB.
 Lời giải

1. Quay

quanh trục AB ta được hình nón có

+ Chiều cao
+ Bán kính đáy
Khi đó thể tích của hình nón này là

Quay

quanh trục AB ta được hình nón có

+ Chiều cao
+ Bán kính đáy

.

Khi đó thể tích của hình nón này là
.

Vậy thề tích cần tìm là

.

2. Quay hình vẽ quanh trục AB ta được hình nón cụt có
+ Bán kính đáy lớn

.

+ Bán kính đáy nhỏ

.

32

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

+ Chiều cao

.

Suy ra thể tích của hình nón cụt cần tìm là
 Bài 11. Cho hình thang vuông

có

Khi quay hình thang vuông

,

quanh trục

,

,

.

tạo thành một hình nón cụt.

1. Tính thể tích của hình nón cụt.
2. Cắt hình nón cụt trên bởi một mặt phẳng qua trục
tích của hình đó.

thì mặt cắt tạo thành là hình gì? Tính diện

 Lời giải

1. Ta có

,

,

.

Vậy

.

2. Cắt hình nón cụt trên bởi một mặt phẳng qua trục
dài 2 đáy lần lượt là

và

thì mặt cắt tạo thành là hình thang cân có độ

và chiều cao là . Diện tích của hình thang này là

 Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại

. Gọi

theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra

khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh

 Lời giải

33

,

,

. Chứng minh rằng

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Gọi

là chân đường cao xuất phát từ

cạnh

. Khi quay

quanh

, ta thu được hai hình nón có bán kính đáy chung là

chiều cao lần lượt là
và
thể tích hai hình nón này.

,

. Thể tích của hình sinh ra là tổng

Vậy

Khi quay

quanh cạnh

hình nón có bán kính đáy
chiều cao

, ta thu được
,

. Vậy

Khi quay

.

quanh cạnh

kính đáy

, chiều cao

Vậy

, ta thu được
.

. Do đó

 Bài 13. Cho nửa đường tròn
1. Trên
2. Qua

lấy điểm

, đường kính

sao cho

. Tính

kẻ đường thẳng vuông góc với

nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại
vuông và

.
,

theo

.

cắt nửa đường tròn
,

lần lượt tai

.
34

,

tại

; tiếp tuyến tại

. Chứng minh rằng tam giác

với

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

3. Đặt

;

. Tính

4. Cho nửa hình tròn

,

theo

.

quay một vòng quanh cạnh

thang vuông

quay quanh

được một hình có thể tích là

ta được một hình có thể tích là

; cho hình

. Tính tỉ số

 Lời giải
1. Ta có

b) Hai tam giác

và

Suy ra

có

.

Do đó
Mà

.

Suy ra
Vậy

hay tam giác

là tam giác vuông. Mặt khác, do
.

Cách khác:
Gọi

là giao điểm của

và

. Ta có

Mà
Suy ra
Tam giác vuông AON có

hay

Do đó

35

nên

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.

Suy ra
Vậy tam giác
ta có

là tam giác vuông. Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

,

.

Mà theo tính chất của tiếp tuyến thì
Suy ra

.

.

c) Ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

, ta có

Mặt khác, ta đã chứng minh được

Vậy
d) Nửa hình tròn

quay một vòng quanh cạnh

Hình thang vuông
và chiều cao bằng

quay quanh

được hình cầu bán kính

có thể tích là

được ...