Đề bàiCho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = xyz.
Tìm GTNN của biểu thức Q =
𝑦+2
𝑥
2+
𝑧+2
𝑦
2
𝑥+2
𝑧
2

Lời giảiTừ gt x + y + z = xyz. Và x,y,z > 0
1
𝑥𝑦
1
𝑦𝑧
1
𝑥𝑧=1 (*)
Ta có Q =
𝑦+2
𝑥
2+
𝑧+2
𝑦
2
𝑥+2
𝑧
2


𝑦+2
𝑥
2
1
𝑥
𝑧+2
𝑦
2
1
𝑦
𝑥+2
𝑧
2
1
𝑧
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧)
=
𝑥+1+(𝑦+1
𝑥
2
𝑦+1+(𝑧+1
𝑦
2
𝑥+1+(𝑧+1
𝑧
2
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧)
= (x+1
1
𝑥
2
1
𝑧
2
𝑦+1
1
𝑦
2
1
𝑥
2
1+𝑧
1
𝑦
2
1
𝑧
2
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧)
≥ (x+1
2
𝑥𝑧
𝑦+1
2
𝑥𝑦+(𝑧+1
2
𝑦𝑧
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧) (theo cosi)

2𝑥
𝑥𝑧
2
𝑥𝑧 +
2𝑦
𝑥𝑦
2
𝑥𝑦
2𝑧
𝑦𝑧
2
𝑦𝑧-
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧)
≥
2
𝑥
2
𝑦
2
𝑧+2
1
𝑥𝑦
1
𝑦𝑧
1
𝑥𝑧
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧


1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧+2 (Do
1
𝑥𝑦
1
𝑦𝑧
1
𝑥𝑧=1)
Đặt P =
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧 Do x,y,z >0 nên P>0
Từ đó suy ra P2 =
1
𝑥
1
𝑦
1
𝑧)2 =
1
𝑥
2
1
𝑦
2
1
𝑧
2+2
1
𝑥𝑦
1
𝑦𝑧
1
𝑥𝑧

=
1
2
2
𝑥
2
2
𝑦
2
2
𝑧
2) +2
1
2
1
𝑥
2
1
𝑦
2
1
𝑦
2
1
𝑧
2
1
𝑥
2
1
𝑧
2+2
≥
1
2
2
𝑥𝑦
2
𝑦𝑧
2
𝑥𝑧)+2=3=> P ≥
3 => Q ≥
3+2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
3

Vậy GTNN của Q bằng
3 khix = y = z
3

Lời giải của Đỗ Đình Thuần GV trường THCS Tây Đô- huyện Vĩnh Lộc - Tỉnh Thanh Hóa