Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

Chương
4

Bài 1

. Phương trình bậc hai một ẩn

Hàm số

Phương trình bậc hai một ẩn
Hàm số và đồ thị hàm số

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Hàm số
1. Tập xác định: Hàm số

xác định với mọi

.

2. Tính đồng biến và nghịch biến:
 Nếu

thì hàm số đồng biến với mọi

và nghịch biến với mọi

.

 Nếu

thì hàm số nghịch biến với mọi

và đồng biến với mọi

.

3. Miền giá trị:
 Nếu

thì

với mọi

. Khi đó

 Nếu

thì

với mọi

. Khi đó

.
.

1.2 Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số
tọa độ

là một đường parabol đi qua gốc tọa độ và nhận

làm trục đối xứng. Gốc

là đỉnh của parabol.

 Nếu

thì đồ thị nằm phía trên trục hoành,

là điểm thấp nhất của đồ thị.

 Nếu

thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành,

là điểm cao nhất của đồ thị.

Các dạng toán
Dạng 76. Vẽ đồ thị của hàm số

Để vẽ đồ thị hàm số , ta thực hiện các bước sauBước 1: Lập bảng giá trị (nên lấy ít nhất 5 giá
trị).Bước 2: Đồ thị hàm số bậc nhất có dạng parabol nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 và
nằmphía dưới trục hoành nếu a < 0, đồng thời đi qua các điểm thuộc bảng giá trị.Bước 3: Vẽ
đồ thị.
1

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm hàm số
 Lời giải
Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

Dạng 77. Tính giá trị của hàm số
Để tính , ta thay vào

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Cho hàm số

. Hãy tính
 Lời giải

Ta có:

.
.
.
.
.

 Ví dụ 2. Cho hàm số
, điểm nào thuộc đồ thị

có đồ thị

. Trong các điểm

, điểm nào không thuộc? Vì sao?
2

,

,

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

 Lời giải
Điểm

thuộc đồ thị

vì

Điểm

thuộc đồ thị

vì

Điểm

thuộc đồ thị

vì

! Điểm

thuộc đồ thị hàm số

khi và chỉ khi tọa dộ điểm

 Ví dụ 3. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số

thỏa mãn

biết:

1. Điểm đó có hoành độ bằng -2.
2. Điểm đó có tung độ bằng 5.
 Lời giải
1.

. Vậy tọa độ điểm là

2.

.

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán là

 Ví dụ 4. Tìm m để điểm

thuộc đồ thị hàm số

và

.

 Lời giải
Điểm

thuộc đồ thị hàm số

khi và chỉ khi

.
Vậy với

hoặc

thì điểm

thuộc đồ thị của hàm số

.

Dạng 78. Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn tính chất cho trước.
Hàm số có đồ thị là . Điểm .
 Ví dụ 1. Xác định hàm số bậc hai

BÀI
TẬP
. Biết
đồMẪU
thị đi qua điểm

.

 Lời giải
Điểm

thuộc đồ thị hàm số

.

3

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Vậy hàm số cần tìm là

.

Dạng 79. Tinh biển thiên của hàm số .

Dựa vào tính chất của hàm số
Nếu thì hàm số nghịch biến khi và đồng biến khi .
Nếu thì hàm số nghịch biến khi và đồng biến khi .

BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Cho hàm số

. Tìm

1. Hàm số đồng biến với mọi

.

2. Hàm số đồng biến với mọi

.

để

 Lời giải
1. Hàm số đã cho đồng biến với mọi

khi và chỉ khi

.

2. Hàm số đã cho đồng biến với mọi

khi và chỉ khi

.

 Ví dụ 2. Cho hàm số

. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi
 Lời giải

Ta có

nên hàm số nghịch biến trên khoảng

. Do đó
.

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

khi

và giá trị lớn nhất

4

khi

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 80. Tương giao giữa parabol và đường thẳng.

Để tìm tọa độ giao điểm của và , ta tiến hành làm các bước như sau:
Bước 1: Tìm phương trình hoành độ giao điểm.
Bước 2: Tìm số giao điểm.
Nếu vô nghiệm thì (d) không cắt .
Nếu có 2 nghiệm phân biệt thì cắt tại 2 điểm phân biệt.
Nếu có nghiệm kép nghiệm thì tiếp xúc tại 1 điểm.
Bước 3: Nếu phương trình (4.1) có nghiệm thì suy ra tung độ giao điểm là hoặc
Bước 4: Kết luận.

BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Cho parabol

và đường thẳng

1. Tìm tọa độ giao điểm

của

2. Tính diện tích tam giác

và

.
.

.
 Lời giải

1. Phương trình hoành độ giao điểm

Với
Với
Vậy
2
Gọi

cắt
,

và

.
.
tại hai điểm phân biệt có tọa độ

là hình chiếu của

,

xuống

và

. Ta có
5

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

,
.

Suy ra

Vậy diện tích tam giác

.
bằng 3 (đvdt).

Luyện tập
 Bài 1. Cho hàm số
1. Xác định

biết

2. Vẽ đồ thị

.

3. Tìm điểm thuộc

có đồ thị hàm số
đi qua điềm

.

.

có hoành độ bằng 2 .
 Lời giải

1.
đi qua điểm
2. Bảng giá trị

khi và chỉ khi

.

Vẽ đồ thị.

6

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

 Bài 2. Cho

. Phương trình bậc hai một ẩn

với

.

1. Tìm

để hàm số đồng biến khi

2. Tìm

đễ hàm số nghịch biến khi

.
.
 Lời giải

1. Hàm số đã cho đồng biến với mọi

khi và chỉ khi

2. Hàm số đã cho nghịch biến với mọi
 Bài 3. Cho hàm số

khi và chỉ khi

.

2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 Lời giải

nên hàm số nghịch biến trên khoảng

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
2. Ta có

khi

 Bài 4. Cho parabol
và

khi

.

trên cùng hệ trục tọa độ.
và

.

 Lời giải

1. Vẽ đường thẳng
Cho

.

Cho

.

Vẽ parabol

:

Bảng giá trị

7

khi

. Do đó

và giá trị lớn nhất

và đường thẳng

2. Tìm tọa độ giao điểm của

. Do đó

và giá trị lớn nhất

nên hàm số đồng biến trên khoảng

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

1. Vẽ

.

. Hãy tìm

1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

1. Ta có

.

khi

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Vẽ đồ thị

2. Phương trình hoành độ giao điểm
.
Với

.

Với

.
Vậy

4

và

có hai điểm chung có tọa độ là

và

.

Các bài toán nâng cao

 Bài 5. Cho hàm số

. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

.

 Lời giải

Ta có

Lại có
Mà hàm số

. Đặt

.

.
đồng biến với mọi

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất

. Do đó

khi

.
8

và đạt giá trị lớn nhất

khi

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

 Bài 6. Cho hàm số

. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
 Lời giải

Ta có

. Đặt

Lai có

.

Mà hàm số

đồng biến với mọi

Mặt khác hàm số

Từ

.

và

. Do đó

nghịch biến với mọi

suy ra

. Do đó

.

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất

khi

và đạt giá trị lớn nhất

khi

.
 Bài 7. Trên parabol
nhỏ

của

, ta lấy hai điểm

sao cho diện tích tam giác

và

. Xác định điểm

lớn nhất.
 Lời giải

Giả sử
Gọi

thuộc

với

là hình chiếu của

.
và

xuống trục

Ta có:

,

,

.
Suy ra
.
Vậy tam giác

lớn nhất bằng

khi và chỉ khi

9

trên cung

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

Bài 2

. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn và công
thức nghiệm

Tóm tắt lí thuyết
1.1 Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

trong đó

là ẩn;

là các số cho trước gọi là hệ số và

Nhận xét. Phương trình

.

tương đương với phương trình

1.2 Giải phương trình bậc hai
Để tìm nghiệm của phương trình

ta dựa vào biệt số

.

Nếu

thì phương trình

vồ nghiệm.

Nếu

thì phương trình

có nghiệm kép

Nếu

thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt

Đặc biệt: Nếu

thì ta có

.

. Khi đó

Nếu

thì phương trình

vồ nghiệm.

Nếu

thì phương trình

có nghiệm kép

Nếu

thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét. Nếu

thì

, do đó phương trình

.

có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa, hai nghiệm đó trái dấu.

10

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Các dạng toán

Dạng 81. Giải phương trình bậc hai
Biến đổi phương trình về dạng (1), xác định các hệ số rồi lập biệt số (hoặc . Từ đó tìm được
nghiệm (nếu có) của phương trình.
BÀI TẬP MẪU
Chú ý. Trong một vài trường hợp cụ thể (ví dụ như hệ số

) thì ta thường sử dụng cách phân tích

thành nhân tử hoặc sử dụng công thức (2) để giải. Mời các bạn theo dõi ví dụ 1 và ví dụ 2 dưới đây.
 Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)

.

b)

.

c)

 Lời giải

1.

.

Phương trình có tập nghiệm là

.

2.

.

Phương trình có tập nghiệm là
3. Vì

với mọi giá trị của

.
nên phương trình đã cho vô nghiệm.

 Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)

.
 Lời giải

1. Ta có:

Phương trình có tập nghiệm là

.

11

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

2. Ta có :

.

Phương trình có tập nghiệm là

.

3. Ta có:

Phương trình có tập nghiệm là:
 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

 Lời giải
a) Phương trình có dạng:

với

Ta có:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

;
b) Phương trình có dạng:

với

Ta có:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

;

12

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số



. Phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

 Lời giải
a) Phương trình có dạng:

với

Ta có:
Nên phương trình có nghiệm kép:
;
b) Phương trình có dạng:

với

Ta có:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

;
Dạng 82. Giải và biện luận phương trình dạng

Khi giải bài toán giải và biện luận phương trình dạng , trong đó thì ta thực hiện các bước sau:
Xét trường hợp . Lúc đó phương trình đã cho trở thành . Đây là phương trình bậc nhất. Tiếp
tục giải và biện luận phương trình này.
Xét trường hợp . Lúc đó ta thính biệt số (hoặc ).
Dựa vào các trường hợp ta sẽ kết luận được nghiệm của phương trình đã cho.
Nêu kết luận về các trường hợp đã giải quyết ở trên. Kết luận sẽ giúp ta phát hiện sự thiếu sót
trong việc giải và biện luận một phương trình.

BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình ( là ẩn, là tham số) sau:
1. Giải phương trình với .

13

2. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm, nghiệm kép, vô nghiệm?

3. Tính hiệu của nghiệm lớn và nghiệm nhỏ trong trường hợp phương trình có hai nghiệm.
Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

 Lời giải
1. Với

ta có phương trình:

Ta có :

.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
2. Phương trình

có :

 Phương trình

có hai nghiệm

 Phương trình

có nghiệm kép

 Phương trình

vô nghiệm

3. Khi

phương trình

Rõ ràng

Khi ấy

và

có hai nghiệm phân biệt :

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình ( là ẩn, là tham số) sau:

 Lời giải
1. Với
2. Với
 Nếu

. Phương trình

trở thành:

Ta có:
thì phương trình
14

vô nghiệm.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

 Nếu

thì phương trình

có nghiệm kép

 Nếu

thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt:

Kết luận:


phương trình

có một nghiệm



và



phương trình

có nghiệm kép:



phương trình

vô nghiệm.

phương trình

có hai nghiệm phân biệt:

.

Chú ý: Đôi khi ta gặp một bài toán giải và biện luận phương trình có mẫu số mà phương trình này đưa
về được dạng phương trình bậc hai. Đây là bài toán khó hơn ví dụ 2. Lúc ấy, nghiệm của phương trình
bậc hai thu được không hẳn là nghiệm của phương trình đã cho mà ta phải so sánh chúng với điều kiện
tồn tại của phương trình ban đầu. Ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình ( là tham số) sau:

 Lời giải
Điều kiện:

Phương trình
 Nếu

và

Khi đó phương trình

trở thành:

có biệt số:
thì phương trình

nên cũng là nghiệm của phương trình

Khi đó:
có nghiệm kép
.
15

Ta thấy nghiệm này thỏa mãn

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

 Nếu

thì phương trình

. Phương trình bậc hai một ẩn

có hai nghiệm phân biệt:
;

* x1 là nghiệm của

khi

* x2 là nghiệm của

khi

Kết luận:


phương trình

có một nghiệm



phương trình

có một nghiệm



phương trình

có một nghiệm



và

phương trình

(loại nghiệm
(loại nghiệm

có hai nghiệm phân biệt

Luyện tập
Bài 1: Giải các phương trình:
a)

b)

c)

d)

 Lời giải
a) Ta có:
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Vậy phương trình có tập nghiệm :
16

).
).
và

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

b) Ta có :
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Vậy phương trình có tập nghiệm :
c) Ta có :
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Vậy phương trình có tập nghiệm :
d) Ta có :
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Vậy phương trình có tập nghiệm :
 Bài 2: Cho phương trình
1. Giải phương trình

(

với

2. Chứng minh rằng phương trình

luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của
 Lời giải

1. Với

thì phương trình

trở thành :

Ta có :
Phương trình có hai nghiệm :
2. Ta có :
 Nếu

là tham số)

thì phương trình

trở thành
17

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình này có nghiệm duy nhất
 Nếu

thì phương trình

là phương trình bậc hai có :

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tóm lại, với mọi giá trị của m thì phương trình
3. Nếu

thì phương trình

Vì nghiệm

Vậy khi

luôn có nghiệm.

có hai nghiệm phân biệt là :

nên ta phải xét nghiệm

thì phương trình

có một nghiệm lớn hơn 2.

Bài 3: Giải và biện luận phương trình (

là ẩn,

là tham số) sau:

 Lời giải
1. Với

. Phương trình

2. Với

Ta có:

trở thành:

 Nếu

thì phương trình

vô nghiệm.

 Nếu

thì phương trình

có nghiệm kép

 Nếu

thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt:

Kết luận:

18

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn



thì phương trình

có một nghiệm



và



thì phương trình

có nghiệm kép



thì phương trình

vô nghiệm.

thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt

 Bài 4: Cho phương trình (

là ẩn,

là tham số) sau:

1. Tìm

để phương trình

có nghiệm.

2. Tìm

để phương trình

có nghiệm duy nhất.
 Lời giải

1. Ta có:
 Khi

Thử trực tiếp ta thấy phương trình chỉ có nghiệm khi

 Khi
Ta có:
Để phương trình
Từ

và

có nghiệm thì
suy ra:

Vậy phương trình
2. Phương trình

và

có nghiệm khi và chỉ khi

.

có nghiệm duy nhất trong hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1:

 Trường hợp 2:
Vậy với

thì phương trình

có nghiệm duy nhất.

19

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

 Bài 5: Cho

. Phương trình bậc hai một ẩn

Chứng minh rằng phương trình sau đây luôn có nghiệm

 Lời giải
Điều kiện:

và

Khi đó phương trình

trở thành:

Phương trình (2) có:


+ Với

thì

+ Với

nên phương trình

thì



khi

nên phương trình

hoặc

Ta đi chứng minh

hoặc

có nghiệm.

, lúc đó phương trình
thỏa mãn

Đặt

có nghiệm.

có hai nghiệm phân biệt

.

và

Khi đó ta có:

Do

Nên

khác

và

không đồng thời bằng

.

Vậy phương trình

4

luôn có nghiệm.

Các bài toán nâng cao

20

, nên suy ra tồn tại

hay

khác

và

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 6: Giải và biện luận theo tham số

phương trình sau:

 Lời giải
1. Nếu

thì phương trình (1) có dạng :

2. Nếu

. Điều kiện

và

 Nếu

, phương trình

có dạng

 Nếu

, phương trình

có:

Phương trình

(thỏa mãn điều kiện).

có hai nghiệm:

Nghiệm

là nghiệm của phương trình

nếu

Nghiệm

là nghiệm của phương trình

nếu

Kết luận:
 Nếu

thì phương trình

 Nếu

hoặc

hoặc

có một nghiệm
hoặc

thì phương trình
21

có nghiệm

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

 Nếu

thì phương trình

 Nếu

. Phương trình bậc hai một ẩn

có nghiệm

thì phương trình

 Bài 7: Giải và biện luận phương trình: (

có nghiệm

là tham số)

 Lời giải

1. Nếu
 Với
 Với
2. Nếu

, phương trình
, phương trình
và

Khi đó phương trình

, phương trình

là phương trình bậc hai có:

có hai nghiệm là:

Kết luận:
22

và

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

 Nếu

thì phương trình

 Nếu



. Phương trình bậc hai một ẩn

có một nghiệm

thì phương trình

Nếu

và

có nghiệm

thì phương trình

có nghiệm

và

Bài 8: Cho hai phương trình

Với giá trị nào của tham số

thì phương trình

và

có nghiệm chung?

 Lời giải
Giả sử

Do

là nghiệm chung của hai phương trình

là nghiệm nên

Thay

vào phương trình

và

Khi đó từ

. Khi đó ta có:

suy ra:

ta được:

Ngược lại:
 Với
và
 Với
và

thì phương trình

có nghiệm là

Do đó, hai phương trình
thì phương trình

và

; phương trình

có nghiệm chung là

có nghiệm là

Do đó, hai phương trình

và

và

và

23

.

; phương trình

có nghiệm chung là

có nghiệm là:

.

có nghiệm là:

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

Vậy

hoặc

. Phương trình bậc hai một ẩn

là giá trị cần tìm.

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 Lời giải
Gọi

là một giá trị của

. Biểu thức

có nghiệm

nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình

có nghiệm

Vậy

khi và chỉ khi

Chú ý: Phương pháp giải ở bài tập 9 gọi là phương pháp miền giá trị của hàm số. Để tìm được miền
giá trị này, ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là
tập khác có thể sử dụng phương pháp miền giá trị của hàm số để giải.

Sau đây là một vài bài

 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

 Lời giải
Điều kiện xác định:
Gọi

là một giá trị của

có nghiệm

. Biểu thức

nhận giá trị
có nghiệm.

Nếu

thì

Nếu

thì

(là phương trình bậc hai) có nghiệm

Do đó ta có:

24

khi và chỉ khi phương trình

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

khi và chỉ khi

. Phương trình bậc hai một ẩn

.

khi và chỉ khi

.

Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Lời giải.

Điều kiện xác định:

Biểu thức

. Gọi

nhận giá trị

là một giá trị của

khi và chỉ khi phương trình

có nghiệm.

Nếu

thì

Nếu

thì

.

.

(là phương trình bậc hai) có nghiệm

Do đó ta có

khi và chỉ khi

.

khi và chỉ khi

.
25

có nghiệm

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

26

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

Bài 3

. Phương trình bậc hai một ẩn

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1.1 Hệ thức Vi -ét

Phương trình bậc hai tổng quát :

Đảo lại nếu hai số
(điều kiện

. Nếu phương trình

thỏa mãn

thì

là nghiệm của phương trình

).

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng để giải toán.

1.
2.

.
.

3.

.

4.

5.

có hai nghiệm

.

với

27

.

thì

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

6.
7.

với
.

28

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Các dạng toán
Dạng 83. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
giá trị không thay đổi khi ta hoán vị
nghiệm

và

theo

và

và

và

của phương trình

. Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các

, ví dụ như:
.





với



với
BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Giả sử phương trình
a)

và

.

c)

và

.

e)

và

.

Giả sử phương trình

.
b)

và

.

d)

và

.

Lời giải.

có hai nghiệm

ta có:

1. Ta có:
Do đó:

và

là biểu thức có

là nghiệm của phương trình

29

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

2. Ta có :
Do đó:

và

là nghiệm của phương trình

.

3. Ta có:
Do đó:

và

là nghiệm của phương trình

4. Ta có :
Do đó:

và

là nghiệm của phương trình

.

5. Ta có:

Do đó:84. Tìm
và giá là
củasố
phương
trình
. nghiệm
Dạng
trịnghiệm
của tham
khi biết
hệ số đối xứng giữa các
 Ta tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm

(thường là

và
 Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hê thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham
số).
BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Cho phương trình
1. Giải phương trình trën khi
2. Tìm

(

là tham số).

.

để phương trình có hai nghiệm Lời thỏa
giải. mãn

30

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

1. Với

. Phương trình bậc hai một ẩn

, ta có phương trình

.

. Suy ra phương trình có hai nghiệm
2. Ta có

.

.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì

(*)

Theo hê thức Vi-ét, ta có

Mặt khác theo đề bài ta có
Từ

và

suy ra

Suy ra
Từ

.

hoặc
và

suy ra

. Thử lại thì thỏa mãn. Vậy với

 Ví dụ 2. Giải phương trình
1. Giải phương trình với
2. Với giá trị nào của

(với

thì phương trình

ta có phương trình

2. Phương trình

là tham số).

.

Lời giải.

1. Với

thỏa yêu cầu bài toán.

có 2 nghiệm phân biệt khi

31

có các nghiệm

thỏa mãn

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

đúng với mọi
Vậy chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi

.

Theo hệ thức Vi-ét ta có
Ta có:

Vậy với

hoặc

thỏa yêu cầu bài toán

 Dạng 85. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Cho hai số

biết

thì

là hai nghiệm của phương trình bậc hai

(điều kiện của hai số đó là

.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tìm hai số

biết tổng

và tích

.

Lời giải.
Vì

và

nen

ta được

và

. Vậy nếu

là nghiệm của phương trình
thì

, nếu
32

. Giải phương trình tren
thì

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

 Dạng 86. Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số

 Bước 1: Tìm điều kiện của

để phương trình có hai nghiệm

khi và chỉ khi

 Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et, ta được
 Bước 3: Khử

từ hệ

ta được hệ thức cần tìm.

BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Cho phương trình

. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm

của phương trình không phụ thuộc

Điều kiện của

từ hệ

Lời giải.

để phương trình có hai nghiệm

Khi đó phương trình có hai nghiệm

Khử

.

ta được

là:

thỏa mãn

. Vậy đây là hê thức cần tìm.

 Ví dụ 2. Cho phương trình
1. Giải phương trình với

.

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của
Lời giải.

33

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

1. Với

. Phương trình bậc hai một ẩn

ta có phương trình

2. Phương trình (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
8.

đúng với mọi m.
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi

.

Theo hệ thức Vi-et ta có
Từ (2) ta có

thế vào

ta có
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm

không phụ thuộc

.

34

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

 Dạng 87. Xét dấu hai nghiệm của phương trình bậc hai

1. Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi

2. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi
3. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
điều kiện

do khi

. (Khi phương trình có hai nghiệm trái dấu không cần
thì hiển nhiên

)

4. Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

ẬP và
MẪ
U khi
5. Phương trình có hai nghiệm âm phânBÀI
biệtTkhi
chỉ
 Ví dụ 1. Cho phương trình

(với

1. Tìm

để phương trình đã cho có nghiệm.

2. Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

3. Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.

4. Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

5. Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

Lời giải.

35

là tham số).

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

1. Để phương trình có nghiệm thì

Vậy khi

thì phương trình đã cho có nghiệm.

2. Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi:

9.

10. Vậy khi

hoặc

phương trình có hai nghiệm cùng dấu.

3. Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi và chỉ khi

4. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

11.

Vậy khi

hoặc

phương trình có hai nghiệm dương.

5. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

36

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

12.
13. Vậy không tìm được

đề phương trình có hai nghiệm âm.

Luyện tập
Tóm tắt lý
thuyết
Bài 1. Cho phương trình

. Không giải phương trình, gọi

phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức

a)

c)

b)

.

d)

.

.

Lời giải.

Vì

nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có
a) Ta có:

b) Ta có:

c) Vì

và

nên

. Ta có

37

là hai nghiệm của

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

d) Ta có:
14.

Suy ra

 Bài 2. Tìm hai số
a)
c)

và

biết

và
và

.

b)

.

d)

và
và

.
.

Lời giải.

a) Vì

và

nên

là hai nghiệm của phương trình

Giải phương trình trên ta được

Vậy hai số

b) Vì

cần tìm là

và

.

nên

Phương trình trên có

là hai nghiệm của phương trình
nên vô nghiệm.

Vậy không tồn tại hai số

c) Vi

.

và

thỏa đề bài.

nên

38

là hai nghiệm của phương trình

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Giải phương trình trên ta được các nghiệm

Do đó

.

hoặc

Vậy hai số

cần tìm là

.

d) Ta có:

15.



Suy ra,

Với

, ta được hệ

là hai nghiệm của phương trình

Do đó

hoặc

 Với

Suy ra,

Do đó

Vậy hai số

, ta được hệ

là hai nghiệm của phương trình

hoặc

cần tìm là

.

 Bài 3. Cho phương trình

(1), với

39

là tham số.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

1. Tìm

. Phương trình bậc hai một ẩn

để phương trình có hai nghiệm

thỏa mãn

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào tham số
16. Lời giải.

1. Vì
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hệ thức Vi-ét:

Theo đề:

Vậy

là giá trị cần tìm.

2. Hệ thức Ví - ét:
Từ

ta được:

Thay vào
Biểu thức

ta được:
:

.

luôn đúngvới mọi

Vậy đây là biểu thức cần tìm.
40

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

 Bài 4. Cho phương trình:

.

1. Chứng minh rằng phương trình

, với

.

luôn có hai nghiệm phân biệt.

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào
Lời giải

1. Ta có
Vì
biệt

và

với mọi

nên phương trình

luôn có hai nghiệm phân

.

Hệ thứcVi-ét:
2.
Mà
là biểu thức liên hệ giữa

Nên suy ra
 Bài 5. Cho phương trình

với

1. Tìm

để phươngt rình có hai nghiệm trái dấu.

2. Tìm

để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

mà không phụ thuộc vào
là tham số.

Lời giải
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
.
2. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

 Bài 6. Cho phương trình
1. Chứng minh rằng với mọi

,với là tham số.
,phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu.

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

41

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Lời giải
1. Vì

,

nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu.

2. Theo hệ thức Vi- ét :
Ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của

4

bằng

khi

Các bài toán nâng cao

 Bài 7: Cho phươngtrình
Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là lũy thừa bậc 6 của các nghiệm của phương trình
.
Lời giải
Vì phương trình

có

nên

luôn có hai nghiệm trái dấu.

Gọi

là các nghiệmcủa phương trình đã cho, theoVi-ét ta có:

Gọi

là các nghiệm của phương trình phải lập, khi đó giả sử

Ta có:
Do đó:
Và
Phương trình phải có tổng hai nghiệm bằng

 Bài 8: Cho phương trình

và tích hai nghiệm bằng

,vớ i

42

là tham số.

nên có dạng là:

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

1. Chứng minh rằng phương trình

luôn có hai nghiệm

với mọi giá trị

.

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
1. Vì
Nên phương trình

luôn có nghiệm

.

2. Hệ thức Vi-ét:
Do đó:
Ta có:
Và
Vậy giá trị nhỏ nhất của

bằng

khi

Giá trị lớn nhất của

bằng

khi

 Bài 9: Tìm tham số

để phương trình

có hai nghiệm

mãn
Lời giải
 Điều kiện 1: Phương trình có hai nghiệm

 Điều kiện 2: Với điều kiện

khi và chỉ khi

, theo hệ thức Vi- ét, ta có:

Yêu cầu:

43

thỏa

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

Đối chiếu với điều kiện

. Phương trình bậc hai một ẩn

ta được

là giá trị cần tìm.

 Bài 10: Cho phương trình
trình có hai nghiệm

có

là tham số. Tìm các giá trị của

để phương

thỏa mãn
Lời giải

 Điều kiện 1: Phương trình có hai nghiệm

 Điều kiện 2: Với điều kiện
Ta có:

khi và chỉ khi

, theo hệ thức Vi- ét, ta có:

và

Khi đó, yêu cầu đề bài :

Đối chiếu với điều kiện

Bài 4

, ta được

là giá trị cần tìm.

Phương trình quy về phương trình bậc hai

44

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Tóm tắt lý thuyết
1.1 Phương trình trùng phương.

1. Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
(

).

.

2. Phương pháp giải: Để giải phương trình trùng phương, ta thực hiện theo ba bước

 Bước1:Đặt

Phươngtrình

trở thành

 Bước2:Giải phương trình bậc hai theo ẩn
 Bước3:Với giá trị

.

(chú ý điều kiện của ).

vừa tìm được, ta trả về biến

và kết luận nghiệm của phương trình

.

1.2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo ba bước
 Bước1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 Bước2: Q u y đ ồ n g m ẫ u t h ứ c h a i v ế r ồ i k h ử m ẫ u .
 B ư ớ c 3 : Giải phương trình vừa nhận được.
 Bước4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị
thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

1.3 Phương trình bậc cao có thể đưa về phương trình tích.
1. Lược đồ Hooc-ne
 Lược đồ Hooc-ne dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thứ

cho đa

. Cách làm như sau:
Giả sử

Khi đó đa thức thương

được xác định theo lược đồ sau:

 Quy tắc nhớ: “ Nhân ngang cộng chéo”.
, kể cả hệ số bằng

Trong lược đồ trên, dòng đầu phải viết tất cả các hệ số của
2. Phương pháp giải.

 Phân tích vế trái thành nhân tử, về phải bằng

.

 Giải phương trình tích
45

. Nếu

thì

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

1.4 Phương trình vô tỉ.
Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. Trong nội dung bài học này ta chỉ
xét các phương trình vô tỉ là các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
1.5 Một số phương trình có dạng đặc biệt.

Các dạng toán

Tóm tắt lý thuyết
Tóm tắt lý thuyết

Dạng 88. Giải và biện luận phương trình trùng phương.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
a,

b,
Lời giải

a. Đặt
Phương trình đã cho trở thành
Ta có:
Vì

nên phương trình

có hai nghiệm phân biệt.

( loại)

(Thỏa mãn)
Với

hoặc

Vậy tập nghiệm của phương trình là
b. Đặt

Phương trình đã cho trở thành

Ta có:

46

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

Phương trình đã cho có

nghiệm phân

Với

hoặc

. Phương trình bậc hai một ẩn

( nhận) ,

(loại).

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của để phương trình ( là tham số) có bốn nghiệm.

Lời giải
Đặt
Phương trình đã cho trở thành
Để phương trình đã cho có

nghiệm thì phương trình

phải có hai nghiệm dương phân biệt.

Tức là: .
Vậy với

thì phương trình đã cho có bốn nghiệm.

 Dạng 89. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
a,

b,
Lời giải

1. Mẫu thức chung
Điều kiện xác định:

Ta có:

47

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Vậy tập nghiệm của phương trình là
2. Mẫu thức chung
Điều kiện xác định:

Ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình là
 Dạng 90. Phương trình đưa về phương trình dạng tích.

BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
a,
b,
c,
Lời giải
1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
2.

48

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

Vậy tập nghiệm của phương trình là
3.

 Giải

: Phương trình

có

nên phương trình

có hai

nên phương trình

vô

nghiệm
 Giải
nghiệm.

: Phương trình

có

Vậy tập nghiệm của phương trình là
 Dạng 91: Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp giải:
 Đặt điều kiện để phương trình xác định.
 Đặt ẩn phụ thích hợp và giải phương trình theo ẩn mới.
 Trở về ẩn ban đầu và so sánh với điều kiện.
BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
a,
c,

b,
d,

Lời giải

49

Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số

. Phương trình bậc hai một ẩn

1. Đặt

Phương trình đã cho trở thành
 Với

hoặc

 Với
Vậy tập nghiệm của phương trình là
2. Ta có:

Đặt:

Phương trình đã cho trở thành

Với
Vậy tập nghiệm của ...