CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

TOÁN 12 CHƯƠNG TRÌNH MỚI

BUỔI 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM
Chuyên đề tính đơn điệu của hàmSỐ
số gồm lý thuyết và ví dụ minh họa
Sưu tầm và biên soạn: Phan Nhật Linh

KẾT NỐI TRI THỨC

Tài liệu khóa học luyện thi THPT Quốc Gia theo chương trình
mới

A

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Tính đơn điệu của hàm số
Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số

xác định trên

, với

Hàm số

đồng biến (tăng) trên

Hàm số

nghịch biến (giảm) trên

là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn

nếu
nếu

Hàm số đồng biến
Nếu hàm số

đồng biến trên

Nếu hàm số

nghịch biến trên

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

Hàm số nghịch biến
thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải
thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải
được gọi chung là đơn điệu trên

Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số

có đạo hàm trên khoảng

Nếu

thì hàm số đồng biến trên khoảng

Nếu

thì hàm số nghịch biến trên khoảng

Chú ý:
1

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2027
ĐTHS

TOÁN 11 - CHƯƠNG
MỚI
CHƯƠNGTRÌNH
I: HÀM
SỐ

Nếu
là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số
hoặc nửa khoảng đó”
Chẳng hạn: Nếu hàm số

liên tục trên đoạn

liên tục trên đoạn

và có đạo hàm

thì

hàm số đồng biến trên đoạn
Chú ý:
Cho hàm số

có đạo hàm trên khoảng

.

a) Nếu

và

chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên

b) Nếu

và

chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên

c) Nếu

thì hàm số không đổi trên

Nhận xét:
Nếu hàm số đồng biến trên

thì

Nếu hàm số nghịch biến trên

thì

2. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số
Để xét tính đơn điệu của hàm số


Bước 1: Tìm tập xác định



Bước 2: Tính đạo hàm

, ta thực hiện các bước sau:
của hàm số.
của hàm số. Tìm các điểm

mà tại đó đạo hàm

bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.


Bước 3: Xét dấu



Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

B
Câu 1:

và lập bảng biến thiên.

VÍ DỤ MINH HỌA
Xét tính đơn điệu của các hàm số cơ bản sau đây:
a)
Lời giải
Tập xác định:

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

2

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐTHS

Đạo hàm

TOÁN
TOÁN1112- CHƯƠNG
CHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHMỚI
MỚI

và giải phương trình

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng

và

Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

b)
Tập xác định:

.

Đạo hàm

và giải phương trình

Bảng biến thiên:

Bước 3: Xét dấu
Ta thầy

:

trên

và

;

trên

Bước 4: Kết luận
Hàm số đồng biến trên

và

Hàm số nghịch biến trên

và

c)
Bước 1: Tập xác định:

3

GV. Phan Nhật Linh -

.

SĐT: 0817 098 716

.

và

.

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2027
ĐTHS

TOÁN 11 - CHƯƠNG
MỚI
CHƯƠNGTRÌNH
I: HÀM
SỐ

Bước 2: Đạo hàm

.

Cho
Bảng biến thiên

Bước 3: Xét dấu
Ta thấy

: Dấu của

trên

phụ thuộc vào tử thức
và

;

(vì mẫu số luôn dương).
trên

và

.

Bước 4: Kết luận
Hàm số đồng biến trên các khoảng

và

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
d)

và

.
.

(nhắc lại công thức đạo hàm hàm hợp

Bước 1: Điều kiện:

)
. Tập xác định:

Bước 2: Đạo hàm

với mọi

Cho

.

.

(thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Bước 3: Xét dấu

, ta thấy

khi

và

khi

.

Bước 4: Kết luận
GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

4

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐTHS

TOÁN
TOÁN1112- CHƯƠNG
CHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHMỚI
MỚI

Hàm số đồng biến trên khoảng
Hàm số nghịch biến trên khoảng
e)

với

Bước 1: Tập xác định trên khoảng đang xét
Bước 2: Đạo hàm

.

.

Sử dụng công thức

, ta có:
.

Cho

Bước 3: Xét dấu

trên

và có bảng biến thiên như sau:

Trên

Trên

.

Trên
Bước 4: Kết luận

Hàm số đồng biến trên

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
5

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

và

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2027
ĐTHS

TOÁN 11 - CHƯƠNG
MỚI
CHƯƠNGTRÌNH
I: HÀM
SỐ

f)
Bước 1: Tập xác định:
Bước 2: Đạo hàm
Xét hàm số

, có

.

Đẳng thức

chỉ xảy ra tại các điểm rời rạc

Nhận thấy

, mà

Bước 3: Xét dấu

và lập bảng biến thiên

Với

, do

là hàm đồng biến nên

, do đó

đồng biến trên

là nghiệm duy nhất của

.

.

đồng biến nên

Với
, do
đồng biến nên
Bước 4: Kết luận
Hàm số nghịch biến trên

và đồng biến trên

.

g)
Bước 1: Tập xác định:

.

Bước 2: Đạo hàm
Xét hàm

, có

Vì
Suy ra

.
là hàm số liên tục và đồng biến trên

Ta có

và

Tồn tại duy nhất một nghiệm
Bước 3: Xét dấu
Bảng biến thiên:

và thấy rằng

.
sao cho
đồng biến trên

, cắt trục hoành tại

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

6

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐTHS

Ta thấy
trên
Bước 4: Kết luận

và

TOÁN
TOÁN1112- CHƯƠNG
CHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHMỚI
MỚI

trên

Hàm số nghịch biến trên
Hàm số đồng biến trên

(với

là nghiệm duy nhất của phương trình

).

h)
Bước 1: Tập xác định:

.

Bước 2: Đạo hàm
Bước 3: Xét dấu

. Cho

.

:

Bước 4: Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng

Hàm số nghịch biến trên các khoảng

.

i)
Bước 1: Tập xác định:

Bước 2: Đạo hàm

.

.

Cho

7

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2027
ĐTHS

TOÁN 11 - CHƯƠNG
MỚI
CHƯƠNGTRÌNH
I: HÀM
SỐ

.
Bước 3: Xét dấu

:

.

Bước 4: Kết luận

Hàm số đồng biến trên các khoảng

Hàm số nghịch biến trên các khoảng

với

j)
Bước 1: Tập xác định:

.

Bước 2: Đạo hàm
Cho

(vì

Bước 3: Xét dấu

Ta thấy:

trên

)

và lập bảng biến thiên:

và

;

trên

.

Bước 4: Kết luận
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
Hàm số đồng biến trên khoảng

và
.
GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

8

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐTHS

TOÁN
TOÁN1112- CHƯƠNG
CHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHMỚI
MỚI

k)
Bước 1: Điều kiện:

. Tập xác định:

Bước 2: Đạo hàm

.

.

Cho

.

Bước 3: Xét dấu

trên

Ta thấy, trên
Bước 4: Kết luận

: Mẫu số luôn dương và ta có bảng biến thiên:

và trên

Hàm số nghịch biến trên khoảng
Hàm số đồng biến trên khoảng

.

l)
Bước 1: Tập xác định:

.

Bước 2 và 3: Phá dấu giá trị tuyệt đối để tìm các khoảng đơn điệu và có bảng biến thiên:

Với

thì

Với

thì

Với

thì

nên hàm số nghịch biến.
nên hàm số không đổi (hằng số)
nên hàm số đồng biến

Bước 4: Kết luận
9

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2027
ĐTHS

TOÁN 11 - CHƯƠNG
MỚI
CHƯƠNGTRÌNH
I: HÀM
SỐ

Hàm số nghịch biến trên
Hằng số trên
Hàm số đồng biến trên

.

m)
Bước 1: Tập xác định:

.

Bước 2 và 3: Các điểm làm biểu thức trong trị tuyệt đối bằng 0 là

và

.

Ta xét trên từng khoảng và lập bảng biến thiên như sau:

Với

thì

Với

thì

Với

thì

Vậy
Với
biến.

trên

nên hàm số nghịch biến.
nên hàm số đồng biến.
.
và

trên

.

thì

(vì

) nên hàm số đồng

Bước 4: Kết luận
Hàm số đồng biến trên các khoảng
Hàm số nghịch biến trên các khoảng

và
và

.

n)
Bước 1: Xét hàm số bên trong dấu trị tuyệt đối

.

Tập xác định của hàm số là

Bước 2: Đạo hàm

.
GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

10

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐTHS

TOÁN
TOÁN1112- CHƯƠNG
CHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHMỚI
MỚI

Cho

Nghiệm của
Bước 3: Sự biến thiên của hàm
bảng biến thiên:

phụ thuộc vào tính đơn điệu và dấu của

, ta có

Từ bảng biến thiên, ta thấy:
Trên

thì

đồng biến và nhận giá trị âm, do đó

Trên

thì

đồng biến và nhận giá trị dương, do đó

Trên

thì

nghịch biến

nghịch biến và nhận giá trị dương, do đó

Trên

thì

nghịch biến và nhận giá trị âm, do đó

Trên

thì

nghịch biến và nhận giá trị dương, do đó

Trên

thì

đồng biến.
nghịch biến.
đồng biến.

đồng biến và nhận giá trị dương, do đó

nghịch biến
đồng biến

Bước 4: Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng

,

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
Câu 2:

Cho hàm số

liên tục trên

cả bao nhiêu bộ số nguyên
Trả lời:

và
,

và

và có đạo hàm

sao cho hàm số

. Có tất
nghịch biến trên khoảng
4

Lời giải
Tập xác định của hàm số là:
Ta có đạo hàm:
11

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

5

?

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2027
ĐTHS

TOÁN 11 - CHƯƠNG
MỚI
CHƯƠNGTRÌNH
I: HÀM
SỐ

Bảng biến thiên:

Hàm số

nghịch biến trên khoảng

Số cách chọn bộ số nguyên

.

là ta chọn các bộ số

sao cho

là:

cách.
Câu 3:

Cho hàm số
để hàm số
Trả lời:

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
nghịch biến trên
1
Lời giải

Tập xác định của hàm số là:
Ta có đạo hàm:
Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán
Mà
Câu 4:

nên giá trị của

Cho hàm số

suy ra chỉ có một giá trị nguyên của tham số

có đạo hàm

thỏa mãn.

với mọi

. Mỗi giá trị

được xác định độc lập bằng cách gieo ngẫu nhiên đồng thời ba lần hai con súc sắc cân
đối đồng chất rồi lấy tổng số chấm xuất hiện trong mỗi lần đó. Hãy tính xác suất để hàm số
nghịch biến trên khoảng
Trả lời:

(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
0
GV. Phan Nhật Linh -

,

7

SĐT: 0817 098 716

9
12

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐTHS

TOÁN
TOÁN1112- CHƯƠNG
CHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHMỚI
MỚI

Lời giải
Hàm số

nghịch biến (giảm) trên khoảng

dương trên khoảng này nên suy ra

khi và chỉ khi đạo hàm của nó không

với mọi

với mọi
Mỗi giá trị

(đại diện cho

) là tổng số chấm khi gieo một cặp súc sắc

Do đó
Với

, ta xét dấu của một thừa số bất kỳ

:

Nếu
(tức là tổng số chấm là 2 hoặc 3) thì
dương (+)

và thừa số này mang dấu

Nếu
âm (-)

và thừa số này mang dấu

(tức là tổng số chấm từ 4 đến 12) thì

Để tích

thì phải có một số lẻ các thừa số âm

Số phần tử của không gian mẫu khi gieo hai con súc sắc
Xác suất để tổng

(thừa số dương): Các cặp có tổng bằng 2 là

; các cặp có tổng bằng 3

là
Vậy
Trường hợp 1: Có đúng một thừa số âm và hai thửa số dương (một tổng
Chọn 1 trong 3 lẩn gieo có tổng
có
cách chọn
Trường hợp 2: Có đúng ba thừa số âm (cả ba tổng
đều

và hai tổng

3)

)

Suy ra

Vậy xác suất cần tính là:
Câu 5:

Cho hàm số

có đạo hàm

bao nhiêu cặp số nguyên dương
trên khoảng
Trả lời:

với điều kiện

và nghịch biến trên khoảng

với mọi

. Hỏi có tất cả

để hàm số

đồng biến

?
2

Lời giải
Xét tam thức bậc hai

có

Ta chia thành 2 trường hợp để biện luận dấu của
Trường hợp 1:
13

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

9

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2027
ĐTHS

Vì giới hạn của đề bài là

nên

Khi

.

thì

Dấu của

TOÁN 11 - CHƯƠNG
MỚI
CHƯƠNGTRÌNH
I: HÀM
SỐ

lúc này hoàn toàn phụ thuộc vào nhị biểu thức

Ta có:
Để hàm số thỏa mãn cả hai điều kiện là:
Đồng biến trên

.

Nghịch biến trên
Kết hợp lại ta được:
Cứ mỗi giá trị của

mà

nên

sẽ ghép được với một giá trị của

nên có

cặp

thỏa mãn

Trường hợp 2:
Lúc này

có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Vi-ét, ta có:

mà

nên chắc chắn

Đạo hàm
Để hàm số đồng biến trên

thì

Tuy nhiên, ta lại có một nghiệm

.

Nếu
không có nghiệm kép tại
mãn điều kiện đồng biến.
Do đó, bắt buộc phải có
Khi
Dấu của

.

, đạo hàm sẽ đổi dấu khi đi qua

và sẽ không thỏa

để tạo thành nghiệm bội chẵn

, ta có
bây giờ chỉ phụ thuộc vào

Hàm số đồng biến trên

nên

(luôn đúng vì

)

Hàm số nghịch biến trên
Suy ra:

. Vì

Các giá trị có thể của

nên

cũng phải là số nguyên

là

Ta lập bảng các cặp số tương ứng (nhớ điều kiện
Với

(thỏa mãn)

Với

(thỏa mãn)

Với

(thỏa mãn)

Với

(thỏa mãn)

Trường hợp 2 có thêm

cặp

thỏa mãn nên tổng cả hai trường hợp có

GV. Phan Nhật Linh -

cặp thỏa mãn

SĐT: 0817 098 716

14

Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ
CHƯƠNG I. HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
ĐTHS

Câu 6:

TOÁN
TOÁN1112- CHƯƠNG
CHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHMỚI
MỚI

Một cửa hàng bán Tivi với các số liệu kinh doanh như sau: Giá bán ban đầu là
một cái, tại mức giá này cửa hàng bán được

cái mỗi tháng. Cứ mỗi lần giảm giá

triệu đồng
nghìn

đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm
cái mỗi tháng. Hỏi cửa hàng có thể thực hiện tối
đa bao nhiêu lần giảm giá để đảm bảo rằng doanh thu vẫn đang trong giai đoạn tăng?

Trả lời:
9
Lời giải
Gọi

là số lần giảm giá với mỗi lần giảm là

Số lượng tivi bán ra là

triệu đồng thì giá bán là:

nên doanh thu nhận được là

. Xét hàm số
có đạo hàm
Hàm doanh thu luôn tăng tức là hàm đồng biến khi và chỉ khi:
Bảng biến thiên:

Vậy số lần giảm giá tối đa để doanh thu vẫn còn trong giai đoạn tăng (tức là chưa bắt đầu giảm)
là

lần.
---------------- HẾT----------------

15

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716