ĐỀ ÔN TẬP CUỐI KÌ II NĂM HỌC 2025 - 2026
MÔN: TOÁN; LỚP 12
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ SỐ 1
PHẦN I (3 điểm). Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.

Tìm
.

.

A.

Câu 2.

Tìm nguên hàm
A.

Biết

Câu 4.

Cho hàm số
A.

Câu 5.

A.

B.

.

C.

.

D.

. D.

.

.

C.

.

D.

.

. Viết phương trình mặt phẳng
. C.

, cho

.

.

.

. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp

.

. B.

trên

C.

, cho

Trong không gian

.

?
B.

Trong không gian
vuông góc với
.

D.

.

, cho mặt phẳng

.

.

. D.

A.

B. .

A.

Câu 7.

.

. Tính

Trong không gian

C.

. C.

. Tính

.

.

; biết

B.

tuyến của của mặt phẳng

Câu 6.

B.

của hàm số
.

Câu 3.

.

A.

. D.

và
.

đi qua
.

.Tìm tọa độ hình chiếu
B.

.

và

C.

của

. D.

.
Câu 8.

Trong không gian

, viết phương trình đường thẳng qua

phẳng

Câu 9.

và vuông góc với mặt

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Trong không gian
kính

của

.

, cho mặt cầu

. Tìm tọa độ tâm

và bán

A.

.

B.

Câu 10. Trong không gian

.

C.

.

, viết phương trình mặt cầu có tâm

D.

.

và bán kính bằng .

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 11. Cho hai biến cố
ra là

và

A.

với

thì xác suất của biến cố

. B.

Câu 12. Cho hai biến cố

với điều kiện biến cố

. C.

đã xảy

. D.

thoả mãn

. Khi đó,

bằng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
PHẦN II (2 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở
mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.

Trong không
a)

, cho điểm

và mặt phẳng

.

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

b) Đường thẳng qua

và vuông góc với

c) Tọa độ hình chiếu của
d) Mặt cầu tâm

trên

.

có phương trình là

là

.

.

, bán kính bằng khoảng cách từ

đến

có phương trình

.
Câu 2.

Người ta thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là
Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là
nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là
a) Xác suất cả hai thí nghiệm đều thành công là

.

. Nếu thí
.

.

b) Xác suất có ít nhất một thí nghiệm thành công là

.

c) Xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là

.

d) Nếu thí nghiệm thứ hai thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ nhất là

.

PHẦN III (2 điểm). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1.

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

và

thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
Câu 2.

Trong không gian

và

và

thì được mặt cắt

.

, cho hai mặt phẳng

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

, biết rằng khi cắt vật

và
.

.

Câu 3.

Có hai cây sắt có độ dài
và
. Người ta cắt cây sắt
ra thành hai cây lớn và bé để được
ba cây trụ dùng để đặt một tấm năng lượng phẳng dạng hình tròn, có ba chân trụ là tam giác đều
cạnh bằng

. Hỏi cây sắt lớn cắt ra có độ dài bao nhiêu mét để mặt phẳng chứa tấm năng lượng

hợp với phương ngang góc

Câu 4.

.

Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên một viên bi thứ nhất rồi không trả lại, sau đó rút
tiếp viên bi thứ hai. Tính xác suất rút được một bi đỏ ở lần thứ hai; biết rằng lần thứ nhất đã rút
được một bi đỏ. (Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).

PHẦN IV (3 điểm). Tự luận.
Câu 1.

Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình
tường hình chữ nhật

có chiều cao

là hình chữ nhật có
đỉnh
đồng

là trung điểm của cạnh

ở chính giữa của một bức

, chiều dài

cung

(hình vẽ bên). Cho biết

có hình dạng là một phần của cung Parabol có

và đi qua hai điểm

Kinh phí làm bức tranh là

Hỏi công ty cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Câu 2.

Trong không gian

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

.

Câu 3.

Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, trường THPT A có
học sinh lựa chọn khối D để
xét tuyển đại học. Biết rằng, nếu một học sinh lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại
học là
còn nếu học sinh không lựa chọn khối D thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là
.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT A đã tốt nghiệp trong kì thi trên. Tính xác suất
học sinh đó chọn khối ; biết học sinh này đã đỗ đại học.
……….Hết……..

ĐỀ SỐ 2
PHẦN I (3 điểm). Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu
hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1.

Tìm
A.

.
. B.

. C.

. D.

.

Câu 2.

Tìm nguyên hàm

của hàm số

A.

B.

Câu 3.

Tính

Câu 4.

Biết

.

Câu 6.

.

.

A. .

.

Câu 8.

, mặt phẳng đi qua ba điểm

A.

B.

Câu 9.

B.

.
gian

.
,

.

B.

Trong không gian
kính

của

.

D.

.

tính

.

B.

.

C. .

D. 3.

. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ
C.

góc

đến mặt phẳng

.

giữa

hai

C.

.

D.

đường

.

thẳng

D.

, cho mặt cầu

và

.

. Tìm tọa độ tâm

và bán

D.

.

.

A.

. B.

Câu 10. Trong không gian
cách từ

có phương

A. 2.

A.

A.

.

, tính khoảng cách từ điểm

, cho đường thẳng

không

D.

C.

Trong không gian
phương của d?

Trong

C. . D. .

.

Trong không gian
trình là

Trong không gian

.

.

C.

.

D.

.

Tính

.
Câu 7.

.

B.

B. .

.

.

C.

và

A.
Câu 5.

và thỏa

. C.

.

, viết phương trình mặt cầu tâm

đến mặt phẳng

và có bán kính bằng khoảng

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 11. Cho hai biến cố
A.
Câu 12. Cho

.

có

. Khi đó,
B.

là hai biến cố thỏa

.

C.

.

D.
. Giá trị của

bằng
.
là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

PHẦN II (2 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở
mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1.

Trong không

, cho điểm

a) Đường thẳng

đi qua điểm

b) Đường thẳng qua

và đường thẳng

.

.

và song song với

có phương trình

c) Mặt phẳng qua và vuông góc với có phương trình là
d) Mặt cầu tâm
, bán kính bằng khoảng cách từ

.
đến

.
có phương trình là

.
Câu 2.

Tại một trường THPT có

học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao. Trong số những học sinh

này, có
biết bơi. Ngoài ra, có
số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết
bơi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường. Xét các biến cố: : "Chọn được học sinh thuộc
câu lạc bộ thể thao"; : “Chọn được học sinh biết bơi”.
a) Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là
.
b) Xác suất chọn được học sinh biết bơi, biết học sinh đó không thuộc câu lạc bộ thể thao, là

c) Xác suất chọn được học sinh biết bơi là
d) Giả sử chọn được học sinh biết bơi. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là

PHẦN III (2 điểm). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 2.

Trong không gian

Câu 3.

và song song với
. Tính khoảng cách từ đến
.
Một bể nước hình trụ đặt nghiêng so với mặt phẳng ngang có đựng một lượng nước. Từ mặt nước

, cho mặt phẳng

trong bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau

và

.
. Mặt phẳng

qua

, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm

đáy bể. Phần dây dọi thẳng nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là
. Biết
đáy bể là mặt phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ.

Câu 4.

Hộp thứ nhất có bi xanh và bi đỏ, hộp thứ hai có bi xanh và bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một bi
từ hộp thứ nhất rồi bỏ vào hộp thứ hai, sau đó từ hộp thứ hai lấy ra một bi, Tính xác suất để bi lấy
ra từ hộp thứ hai có màu xanh. ( Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân).

PHẦN IV (3 điểm). Tự luận.
Câu 1.

Một bể nước có hình dạng nửa mặt cầu bán kính

, mực nước trong bể có chiều cao

( như hình vẽ). Tính thể tích nước trong bể.

Câu 2.

Trong không gian

Câu 3.

Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với
.
Điều tra tình hình mắc bệnh ung thư phổi của một vùng thấy tỉ lệ người hút thuốc lá và mắc bệnh
là

, cho đường thẳng

và mặt phẳng

. Tỉ lệ người hút thuốc lá và không mắc bệnh là

.

, tỉ lệ người không hút thuốc và không

mắc bệnh là
và
là người không hút thuốc nhưng mắc bệnh. Tỉ lệ mắc bệnh ung thư phổi
giữa người hút thuốc lá và không hút thuốc lá là bao nhiêu?
……….Hết……..

ĐỀ SỐ 3
PHẦN 1. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3 điểm)

Câu 1. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
A.
.
B.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
C.

.

C.
.

B.
.

D.

?
.

D.

.
.
.

Câu 3. Cho hàm số

liên tục trên

và có một nguyên hàm là

. Giá trị của biểu thức
D.

A.

.

B.

.

C.

.

Câu 4. Cho hàm số

A.

bằng

. Biết rằng

có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của

.

B.

.

bằng

C. .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ

D.

.

, vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

?
A.

.

B.

.

C.

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ

.

D.

, khoảng cách từ điểm

.
đến mặt phẳng

bằng
A.

.

B.

.

C.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ

.

B.

.

C.
, gọi

Khi đó,

.

D.

.

là góc giữa hai đường thẳng

và

bằng

B.

C.

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ

D.

, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ
phương trình là
A.

.

là

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ

A.

D.

, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

và có vectơ chỉ phương

A.

.

.

, mặt cầu

.
.
có tâm

B.

và đường kính bằng
.

có

C.
.
D.
.
Câu 11. Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. An lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài,
rồi lấy tiếp một quả bóng nữa. Xét các biến cố : "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn" và :
"Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ". Khi đó, biến cố

được mô tả là

A.
B.
C.
D.
Câu 12. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn

thì

A.
B.
PHẦN 2. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (2 điểm)
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ

C.

bằng
D.

, cho hai điểm

và

và mặt phẳng

.
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng
b) Đường thẳng

và mặt phẳng

là

cắt nhau tại

.
.

c) Góc (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) giữa đường thẳng
d)

Đường thẳng

đi qua

và mặt phẳng

và vuông góc với mặt phẳng

là

.

có phương trình chính tắc là

.
Câu 2. Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:
▪ Có

bệnh nhân bị đau dạ dày.

▪ Có

bệnh nhân thường xuyên bị stress.

▪ Trong số các bệnh nhân thường xuyên bị stress có
Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.

bệnh nhân bị đau dạ dày.

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là

.\

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là
c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là

.

.

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là
PHẦN 3. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (2 điểm)
Câu 1. Gọi
với

là các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục
lần lượt thuộc các đoạn
lần lượt có diện tích bằng

.

và trục hoành

(hình vẽ). Biết rằng, các hình
và

Giá trị

bằng bao nhiêu?

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ
và

, cho mặt phẳng

và vuông góc với mặt phẳng

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ

qua hai điểm
. Tính tổng

, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm

và chuyển động đều theo đường cáp (giả sử là đường thẳng) có vectơ chỉ phương là
với tốc độ là

m/s (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Giả sử sau

(s) kể từ lúc xuất

phát, cabin đến điểm
. Gọi tọa độ
. Tính
.
Câu 4. Một công ty bảo hiểm nhận thấy có 48% số người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ và có 36% số người
mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 50 tuổi. Biết một người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ, tính xác suất
người đó trên 50 tuổi.
PHẦN 4. TỰ LUẬN (3 điểm)
Câu 1.

Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh
doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình
bên (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là

Câu 2.

Trong không gian với hệ trục tọa độ

a) Tìm tọa độ giao điểm
Câu 3.

). Tính diện tích logo

của

và

, cho đường thẳng

và mặt phẳng

.

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .
a) Một bình đựng 5 viên bi kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc. Trong
đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu
xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai .
b) Trường THPT X, có

học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó thì có

học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có
số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm
nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết
chơi đàn guitar. Xác suất để chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu ?