CHƯƠNG IX. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC.
Bài 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Góc đối diện với cạnh trong một tam giác.
Ví dụ 1: Cho

, khi đó góc

Ví dụ 2: Cho

có

Cạnh

đối diện với

gọi là đối diện với cạnh
( Hình

, cạnh

( Hình

A

A

đối diện với

Nhận thấy rằng

B

C

Hình 2

B

C
Hình 1

Kết luận:
 Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Chú ý:
 Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất, nên cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
 Trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất.
B. LUYỆN TẬP.

B

A

Bài 1: Cho Hình
a) Tính
b) So sánh ba cạnh
Bài 2: Cho Hình

500

600

B

300

A

Hình 4

C

Hình 3
A

a) Tính
A

b) So sánh ba cạnh
Bài 3: Cho Hình
a) Góc

C

1100

là góc gì?

b) So sánh
Bài 4: Cho Hình

B

300

B

C

500

Hình 5

và

C

Hình 6

A

A

a) Tính
b) So sánh
Bài 5: Cho Hình
Bài 6: Cho Hình

và
So sánh
với

b) So sánh

với

Bài 8: Cho Hình

B

C

6cm

B

12m

Hình 7

a) So sánh

Bài 7: Cho Hình

và

So sánh
So sánh

11m

10m

4cm

Hình 8

A

và

C

7cm

C

7cm

và cạnh
B

Hình 9

C

A

Hình 10

B

Bài 9: Cho
So sánh

vuông tại
và

điểm

nằm giữa

và

, điểm

nằm giữa

và

( Hình

Bài 10: Cho

có

Chứng minh

. ( Hình

Bài 11: Cho

có

Trên cạnh

B

lấy

A

A

B

là góc tù.

( Hình

B

vuông tại

So sánh

C

và
B

)
A

có

. Gọi

C

D
Hình 14

là trung

A

điểm của
So sánh
và
. ( Hình
( Gợi ý: Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD).
Bài 14: Cho

Lấy

A

E
Hình 13

tia phân giác của

cắt
ở
So sánh
và
( Hình
( Gợi ý: Lấy điểm E trên BC sao cho

Bài 13: Cho

D

Hình 12

lấy điểm

Bài 12: Cho

C

D

a) So sánh
b) Trên cạnh

C

K
Hình 11

trên cạnh

Từ

kẻ

B

A

Chứng minh

Hình 15

K

( Hình

C

M

H

D

B

C

D
Hình 16

Bài 15: Cho
cắt

có

tại

Tia phân giác

giác này cắt nhau tại
a)

và

b)

và
và

cắt

tại

E

Hai tia phân

I

So sánh:
B

( Hình

Bài 16: Cho
Gọi

A

. Tia phân giác

C

D
Hình 17

.
nhọn,

nằm giữa

là chân đường vuông góc từ

a) So sánh

với

b) So sánh

với

và

sao cho
đến

không vuông góc với
( Hình

A

H
B

D
K
Hình 18

C

Bài 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
A. LÝ THUYẾT.
1) Khái niệm về đường vuông góc và đường xiên.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
Khi đó

Từ

gọi là đường vuông góc kẻ từ

Lấy điểm
Khi đó

và điểm

kẻ

đến đường thẳng

( Hình

A

sao cho
gọi là đường xiên kẻ từ

Nhận thấy rằng

vuông tại

đến đường thẳng
nên

d
M

là góc lớn nhất.

H
Hình 1

Khi đó
Kết luận:
 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường
thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
 Vì
là độ dài ngắn nhất đi từ đến
nên
còn gọi là khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình
a) Chỉ ra đâu là đường vuông góc, đâu là đường xiên.
b) So sánh
và
.

O

E

a

x

Bài 2: Cho Hình Biết
a) Chỉ ra các đường vuông góc, đường xiên.
b) So sánh
với
và
với
.

B

C

H
Hình 2

F

O

B

Hình 3

Bài 3: Cho Hình

A

C

a) Xác định khoảng cách từ

đến

b) Xác định khoẳng cách từ

đến

A

B

C

Hình 4

Bài 4: Cho Hình
a) Chỉ ra khoảng cách từ

đến

b) So sánh các đường xiên

B

và

H

So sánh

B

K

E

B

Hình 6

C
Hình 7

C

D

D

với

với

H

A

b) Chứng minh

Bài 6: Cho Hình

A

Hình 5

Bài 5: Cho Hình
a) Chỉ ra các đường vuông góc.
c) So sánh

C

K

Bài 7: Cho

cân tại

a) Chứng minh

là trung điểm của

là đường vuông góc kẻ từ

b) Chứng minh khoảng cách từ
Bài 8: Cho

. ( Hình

.

đến

đến hai cạnh

bằng nhau.
B

lần lượt là trung điểm của

Vẽ

và

là bằng nhau.
A

A

B

H

H

K

C

B

Hình 9

sao cho

M

N

N

I

Bài 9: Cho

M
Hình 8

Biết

a) Chứng minh
( Hình
b) Chứng minh khoảng cách từ
và
đến

M

A

cân tại

K
D

C

Hình 10

là trung điểm của

Trên

( Hình

a) Chứng minh
b) Chứng minh khoảng cách từ

tới

là bằng nhau.

lấy hai điểm

C

Bài 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
a) Bất đẳng thức trong tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ
biết
Nhận thấy rằng ta không thể vẽ được

2cm

1cm

B
C
5cm
Nhận xét, giả sử
biết
Khi đó điểm nằm trên cạnh
Hình 1
Kết luận:
 Trong một tam giác , độ dài một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Cụ thể:
( Hình
thì
 Ngược lại, trong một tam giác độ dài một cạnh bất kì luôn
lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.
Cụ thể:
thì
 Để kiểm tra độ dài ba đoạn thẳng có là ba cạnh của một tam giác
hay không ta chỉ cần kiểm tra cạnh lớn nhất với tổng hai cạnh
còn lại.
 Với ba điểm

A

C

B
Hình 2

ta luôn có

B. LUYỆN TẬP.
Bài 1: Hãy kiểm tra xem độ dài ba đoạn thẳng sau có là 3 cạnh của một tam giác hay không?
a)
b)
c)
.
Bài 2: Hãy kiểm tra xem độ dài ba đoạn thẳng sau có là 3 cạnh của một tam giác hay không?
a)

b)

c)

Bài 3: Cho

cân. Tính chu vi biết

.

Bài 4: Cho

cân. Tính chu vi biết

.

Bài 5: Cho

cân. Tính chu vi biết

Bài 6: Tính chua vi của
Bài 7: Cho
, trong đó
đến
( Hình
a) So sánh
b) Chứng minh
Bài 8: Cho
có
Vẽ đường cao

biết
là cạnh lớn nhất. Gọi

và

là một số nguyên.
là đường vuông góc kẻ từ
A

với

.

.
là cạnh lớn nhất.

A

( Hình

B

Hình 3

a) Vì sao
không thể là góc tù hoặc vuông.
b) Chứng minh
.
Bài 9: Cho
giác
a) Chứng minh
b) Gọi
cắt

vuông tại
Từ

Vẽ tia phân

vẽ
tại

C

H

B

.
. ( Hình
.

F
H

C

Hình 4

A
D

B

E
Hình 5

C

Chứng minh
Bài 10: Cho

rồi suy ra
Điểm

Chứng minh

nằm giữa

.

A

và

( Hình
B

Bài 11: Cho

Gọi

a) Chứng minh rằng

D

C

Hình 6

là một điểm bất kì nằm trong
( Hình
A

b)

M
B
Hình 6

C

Bài 4. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN,
BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong tam giác.
Ví dụ 1: Cho
Khi đó đoạn thẳng

,

A

là trung điểm của
gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh

hoặc đường trung tuyến ứng với cạnh

( Hình

B

C

M

Đường thẳng
cũng được gọi là đường trung tuyến của
Hình 1
Kết luận:
 Đường trung tuyến của một tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm của
cạnh đối diện.
 Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.
 Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi
đỉnh bằng

A

độ dài đường trung tuyến ấy. ( Hình

G

Cụ thể:
 Điểm gọi là trọng tâm của
 Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong một tam giác vuông
bằng một nửa cạnh huyền. ( Hình

B

Hình 2

B
M

Cụ thể:
 Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai

A

cạnh bên bằng nhau. ( Hình

2) Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác.
Khi đó đoạn thẳng

tia phân giác

cắt

A

N

M

B

Hình 4

tại

gọi là đường phân giác xuất phát từ đỉnh

Đường thẳng
cũng gọi là đường phân giác của
Kết luận:
 Trong một tam giác có ba đường phân giác.
 Ba đường phân giác của một tam giác cùng
cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó. ( Hình

C
Hình 3

Cụ thể:
cân tại
Và ngược lại nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau
Thì tam giác đó là tam giác cân.
 Trong tam giác đều, ba đường trùng tuyến bằng nhau.

Ví dụ 2: Cho

C

M

C

của
A

( Hình

A
K

B

D
Hình 5

I

Cụ thể:
B
C
H
 Trong tam giác cân, hai đường phân giác xuất phát từ hai cạnh đáy bằng nhau
Hình 6

C

và ngược lại nếu một tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thì đó là

A

tam giác cân. ( Hình
Cụ thể:

N

có hai đường trung tuyến

và
cân tại
 Một tam giác có một đường phân giác cũng là đường trung tuyến

M

C

B
Hình 7

Thì tam giác ấy là tam giác cân. ( Hình
Cụ thể:
có
là tia phân giác cũng là trung tuyến
cân tại
B. BÀI TẬP.

A

Bài 1: Cho Hình
a) Chỉ ra các đường trung tuyến.
b)
Bài 2: Cho Hình
a) Chỉ ra các đường trung tuyến.
b)
Bài 3: Cho Hình
a) Chỉ ra các đường trung tuyến.
b)
là tam giác gì?
c)
Bài 4: Cho Hình
a) Chỉ ra các đường phân giác.
b)

A

M

N

B

G
B

C

M
Hình 8

C

Hình 9

A
D

A

G
B

M

N

C

E
Hình 10

G
B

A

C
Hình 11

là đường gì của

A

Bài 5: Cho Hình
biết
a) Chỉ ra các đường phân giác.

D

E
I

C

B

I

Hình 12

b) Tính
Bài 6: Cho Hình
a) Chỉ ra các đường phân giác.
b) Chỉ ra các cạnh bằng nhau.
Bài 7: Cho Hình
Biết
đều
a) Chỉ ra các đường phân giác.

B

C
Hình 13

B
H

A

E
A

b) Tính

C

K
Hình 14

I
B

I

A

C
Hình 15

Bài 8: Cho
vuông tại
có
Tính khoảng cách từ đến trọng tâm

G

của tam giác.

B

Hình 16

( Hình
Bài 9: Cho
a) Chứng minh

C

M

cân tại

có hai đường trung tuyến

và

A

( Hình
N

M

b) Chứng minh
D

Bài 10: Cho

cân tại

kẻ

a) Chứng minh

. ( Hình

b) Tính số đo hai góc
c)

M

.

là trung điểm của

E

Biết

. Tính

Bài 11: Cho

vuông tại

sao cho

F

H
Hình 18

là trung điểm của

trên tia đối của tia

lấy

. ( Hình

a) Chứng minh
b) Gọi
là trung điểm của
Chứng minh
c) Chứng minh
cân.
B

cắt

tại

tại
A

D

A

E
K

K
N

M

cắt

B

N

D

I

E

C

H

M

A

C

H

B

, đường trung tuyến

. Gọi

với

Bài 13: Cho

cân tại

cắt

Bài 14: Cho

tại
vuông tại

sao cho là trung điểm của
a) Chứng minh
b) Vẽ đường trung tuyến

đường cao

Bài 15: Cho

tại

Gọi

sao cho

theo thứ tự là

. ( Hình
Trên tia đối của tia
sao cho
.

lấy điểm

sao cho

. ( Hình
E

Trên tia đối của tia

lấy điểm

( Hình
.
của

Chứng minh
có

lấy điểm

Chứng minh

Chứng minh
là trọng tâm của
c) Từ vẽ đường thẳng song song với
cắt

và

Chứng minh

. Trên tia đối của tia
lấy điểm
a) Chứng minh là trọng tâm của
b) Tia

trên tia đối của tia

theo thứ tự là trung điểm của

giao điểm của

Hình 21

D

Hình 20

Hình 19

Bài 12: Cho

C

M

A

H
M

cắt cạnh

tại

và tính độ dài
đường thẳng này

B

C

K
Hình 22

thẳng hàng.
Trên tia đối của tia

lấy điểm

sao cho

.

a) Chứng minh
b) Gọi

cân. ( Hình

là trung điểm của cạnh

Tính
c) Từ trung điểm
với

cắt

Gọi

Kẻ

A

thẳng hàng.

N
B

Hình 23

và tia
cân.
Trên tia đối của tia

nằm trên đoạn
hàng.

lấy điểm

sao cho

sao cho

. Chứng minh

F

H

D

và

N

G

của
điểm của

B

C

M

A

có cạnh

cắt nhau tại

C

M

Hình 25

cân tại

E

K
I

D

K

Hình 26

là cạnh lớn nhất, các đường trung tuyến

Trên tia đối của tia

lấy điểm

sao cho

và

là trung

( Hình

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 18: Cho
có
phân giác của
cắt
a) Chứng minh

. Từ đó chứng minh
.
.
. Trên cạnh
tại

b) Trên tia đối của tia
c) Kéo dài
Bài 19: Cho

B

C

E

thẳng
D

I

Bài 17: Cho

. Vẽ điểm

A

A

Hình 24

C

K

( Hình
tại

B

I

M

vuông góc với

a) Chứng minh
b) Chứng minh
cắt

tại

tia phân giác

là giao điểm của tia

c)

cắt

kẻ đường thẳng vuông góc

Chứng minh

vuông tại

tại

Đường thẳng

của đoạn
tại

Bài 16: Cho
cắt

D

. Kẻ
a) Chứng minh

( Hình
. Từ đó suy ra

lấy điểm

cắt cạnh
vuông tại

lấy điểm

tại
có

sao cho
và cắt

vuông góc với
.

sao cho

.
là trung điểm của

tại
Chứng minh
, kẻ đường phân giác
tại

. Tia

( Hình

Chứng minh
thẳng hàng.
của

b) Chứng minh
c) Gọi

K

là đường trung trực của

là giao điểm của đường thẳng

đường thẳng

cắt

và đường thẳng

A

tại

Chứng minh

và

N
D

cân tại
B

C

M
Hình 27

Bài 20: Cho

cân tại

đường phân giác góc

Qua điểm

và góc

kẻ đường thẳng

lần lượt cắt đường thẳng

song song với
tại

và

Các

Chứng minh: (

Hình
a)

là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh
của
.
vuông.

b)

A

E

D

C

B

Bài 21: Cho
từ

có

kẻ
a)
b) Để có

Bài 22: Cho
góc

cắt

. Kẻ đường phân giác
A

. Chứng minh ( Hình
và
thì

vuông tại
tại

Hình 28

. Từ

vuông góc với

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Kẻ
Chứng minh

B

biết cạnh. Tia phân giác của

kẻ

D

E

là tam giác gì?

C
Hình 29

tại

. ( Hình

A

là đường trung trực của đoạn

E

.
là tia phân giác

.

B

H

D

Hình 30

C

Bài 5. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC,
BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC.
A, LÝ THUYẾT.
1) Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác.
Ví dụ 1: Cho

, vẽ đường thẳng

là đường trung trực của

Khi đó đường thẳng gọi là đường trung trực của
Kết luận:
 Trong một tam giác có ba đường trung trực.
 Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
Cụ thể: là giao điểm đường trung trực
Nên
( Hình
 Vì các đều ba đỉnh
nên

, từ kẻ
hoặc ứng với cạnh

C

B
Hình 1

A

là tâm đường tròn đi qua

ba đỉnh
 Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy cũng là
đường trung tuyến, phân giác.
2) Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác.
Ví dụ 2: Cho
xuất phát từ đỉnh

Khi đó
của

O
C

B

gọi là đường cao
.

Hình 2

Đường thẳng
cũng gọi là đường cao của
Kết luận:
 Trong một tam giác có ba đường cao.
 Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm





d

A

A

Này gọi là trực tâm của
B
I
là tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh vuông.
Hình 3
là tam giác tù thì trực tâm nằm bên ngoài tam giác.
Trong tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
Trong tam giác cân thì đường cao từ đỉnh cân cũng là trung tuyến, phân giác, trung

C

trực.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình

A

Hãy chỉ ra các đường cao của

Bài 2: Cho Hình

M

N

a) Cho biết đường cao ứng với cạnh
b) Chỉ ra trực tâm của

B

B

C
Hình 4

H

Bài 3: Cho Hình
a) Chỉ ra các đường cao của
b) Chỉ ra trực tâm của

B
A

K

C
Hình 5

H

C

A
Hình 6

Bài 4: Cho Hình

Biết

A

cân tại

a) Chỉ ra các đường cao của
b) Chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 5: Cho Hình
Hỏi

Biết

Q

cân tại

P

là trung tuyến.

H
B

có thể là các đường gì của

C

Hình 7

A

B

B

O

D

E

E

F
B

C

M

A

Hình 8

Bài 6: Cho
ở

có

và

Tính
có

, các đường trung trực

và

cắt cạnh

c) Chứng minh

. Các đường trung trực

và

cắt nhau tại

là phân giác của
và điểm

.
nằm trong góc đó. Ở ngoài

sao cho
là đường trung trực của đoạn
a) Chứng minh
.
b) Tính

theo

c) Nếu

là trung trực của

( Hình

y

cân tại

và
sao cho

O
E

B

I

.
cần

x

Hình 11

đi qua

và

M

Vì sao?

E

Chứng minh
là phân giác của
e) Để là trung điểm của
thì
có thêm điều kiện gì?
Biết

( Hình
F

.
là điểm nằm giữa
là trung trực của
, Điểm

lần lượt ở

Bài 10: Cho

là trung trực của

nằm ở vị trí nào trên đoạn

a) Chứng minh trung trực của
b) Chứng minh
.
c) Tính các góc của
.
cắt

lấy hai điểm

.

thì điểm

Bài 9: Cho
có
Vẽ điểm sao cho

cắt nhau tại

và cắt

cân. ( Hình
bán kính
đi qua những điểm nào trong hình vẽ.

Bài 8: Cho

d)

theo thứ tự

và

a) Chứng minh
b) Đường tròn tâm

và

C
Hình 10

( Hình

Bài 7: Cho
theo thứ tự tại

A

C
Hình 9

A

M

C

K
Hình 12

A

F
I

có các đường cao
. Tính các góc của

. ( Hình

B

Hình 13

C

Bài 11: Cho

nhọn và cân tại

cắt nhau tại

Hai đường cao xuất phát từ đỉnh

Hãy tìm các góc của

Bài 12: Hai đường cao

và

. Biết

của

a) Tính
khi
b) Chứng minh nếu

và

A

. ( Hình

nhọn cắt nhau ở
A

. ( Hình
thì

M

cân.

B

K

C
Hình 14

D

Bài 13: Cho

nhọn, hai đường cao

giặp nhau tại
của

Vẽ điểm

và

sao cho

Chứng minh

A

C

B

C

B

vuông tại
ở

cắt

Chứng minh

Lấy điểm

C

M

Hình 17

Bài 14: Cho

Hình 18

trên tia

ở I. Trên cạnh

sao cho

lấy điểm

. Phân giác

sao cho

.

thẳng hàng. ( Hình

Bài 15: Cho

cân tại

sao cho

Trung tuyến

, đường cao

. Chứng minh

Bài 16: Cho
Trên cạnh

lấy điểm

b) So sánh
cắt

cắt

tại
.

B

C

D

H

M

Chứng minh

a) Chứng minh

K

cân tại
thẳng hàng.
sao cho

.

. ( Hình
vuông góc với

Chứng minh

c) Kéo dài

E

( Hình

là trung điểm của
Chứng minh ba điểm
vuông tại . Trên tia đối của tia
lấy điểm
kẻ

A

Hình 19

tại

lấy điểm

đường cao
. Qua kẻ đường

và

c) Gọi
d) Gọi
Bài 17: Cho

Trên tia

đồng quy. ( Hình

vuông tại
sao cho

thẳng vuông góc với
a) Chứng minh

Gọi

E

F

N

Hình 16

tại

I
K

B

b) Từ

A

H

cắt

Hình 15

M

D
E

C

H

. ( Hình

A

K

B

là trung trực

cắt tia

là trung điểm của

tại

kẻ

M

.
tại

kéo dài
Chứng minh

cắt tia

D

tại

I

A

thẳng hàng.
N

B

K
Hình 20

H

C

Bài 18: Cho
cao

vuông tại

Trên đoạn

có

lấy điểm

a) Chứng minh
b) Chứng minh

sao cho

vuông góc với

d) Từ

kẻ

vuông góc với

và

Chứng minh

D

Hình 21

I

thẳng hàng.
A

nhọn. Vẽ tia phân giác
. Trên cạnh

a) Chứng minh
b) Đường thẳng
Chứng minh

lấy điểm

của
Bài 20: Cho

và

và cắt tia

tại

C

I

tại

Gọi

là giao điểm

Hình 22

K

của

sao cho

.
A

Chứng minh

vuông tại

trên tia

. Phân giác của
cắt

F

( Hình

lấy điểm

tại

Tia

B

D

.

cắt

Bài 21: Cho

E

K

Chứng minh

sao cho

.

Chứng minh là trung điểm của
vuông tại . Vẽ đường phân giác

. Vẽ
a) Chứng minh
b) Trên tia đối của tia
c) Tia

sao cho

. ( Hình
và
cắt nhau tại
.

kẻ tia

B

H

E

.

là giao điểm

Chứng minh

Bài 19: Cho

tại

C

đều.

kẻ

c) Qua

F

.

. ( Hình

c) Từ
của

A

. Đường

ở

I
D

.
B

lấy điểm

cắt

tại

Hình 23

cắt

M

( Hình

a) Chứng minh
b) Chứng minh

là trung trực của
.

c) Nếu

. Tính

C

E

và

A

K
I

.
B

C

H
Hình 24

Bài 22: Cho

cân tại

đường cao

a) Chứng minh

.

. ( Hình

A

b) Từ
kẻ đường thẳng song song với
Chứng minh
cân từ đó suy ra
c) Gọi

là trung điểm của

Chứng minh
d) Chứng minh chu vi

cắt

tại
.

cắt

D

tại

E
G

thẳng hàng.
.

B

H
Hình 25

C

Bài 23: Cho

vuông tại

. Trên cạnh
a) Chứng minh
b) So sánh

. Kẻ
lấy điểm
.

của

cắt

tại

vuông tại

góc
cắt
tại
a) Chứng minh

Gọi

A

Bài 25: Cho

Hình 26

Tia phân giác

M

( Hình

.

A
D

là trung trực của

d) Chứng minh

và

Chứng minh

.

B

Hình 27

Đường phân giác

là trung điểm của

kẻ đường thẳng song song với
Chứng minh
a)
và

A

cắt

tại

Từ

cắt

tại

( Hình

K

.
B

vuông tại

Hình 28

Trên tia đối của tia

sao cho là trung điểm của đoạn
a) Chứng minh
cân.

lấy điểm

d
A

Đường thẳng

Q

M

cắt

Tính
tại

của đoạn

Chứng minh

là điểm nằm trên
là giao điểm của
và

B

cắt đường thẳng

sao cho
và
,

Chứng minh

.
là giao điểm
.

C

K
Hình 29

thẳng hàng.

Bài 27: Cho
vuông tại
là trung điểm của
a) Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
Chứng minh
và
.

của

D

( Hình

là trung điểm của cạnh

c) Đường trung trực

b) Gọi
Gọi

C

H

thẳng hàng.

Bài 26: Cho

tại

E
G

là trọng tâm của

c) Ba điểm

C

E

.
cân tại

C

E

thẳng hàng.

tại

là giao điểm của

b) Gọi

S

B

là trung điểm

có

Kẻ

b) Chứng minh

b)

. ( Hình

D

Chứng minh ba điểm

Bài 24: Cho

Gọi

sao cho

và

c) Đường thẳng

c) Gọi

F

là tia phân giác của

( Hình
.
A

N
K

C

M

D
I
B

Hình 30

Bài 28: Cho

cân tại

a) Chứng minh
b) Kẻ

là trung điểm của
tại

Chứng minh

tại

điểm

sao cho

M

,

cắt

K

C

H

P

tại

Hình 31

đồng quy.
cân tại

Gọi

là trung điểm của

Trên tia đối của tia

. Chứng minh ( Hình

a)
và
b)
và
là tam giác cân.
c) Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
Chứng minh

B

là trung trực của đoạn
tại

N
D

là trung điểm của đoạn

Chứng minh
Bài 29: Cho

. ( Hình

cân tại

sao cho

cắt

và

và

Chứng minh
c) Vẽ điểm

A

Đường cao

đi qua trung điểm

của

lấy
A

D

M

.

C

B
I
Hình 32

E