Bài 6: SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn
- Xét phép chia:
+ Số
+ Số

và

được gọi là số thập phân hữu hạn.
được gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì

. Ta viết

- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ưóc nguyên tố khác
số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

.
và

thì phân

- Nếu một phân số tối giản vối mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác và thì phân số đó
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
- Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc hữu hạn. Ngược lại,
mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.
2. Làm tròn số thập phân
2.1. Theo quy ước làm tròn số
+ TH1: Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trường hợp số
nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0
+ Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ
phận còn lại. Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0
Ví dụ: Ti vi loại 20 in-sơ có nghĩa là đường chéo của ti vi dài 20 in-sơ
Từ đó ta có thể xác định được đường chéo của ti vi theo các đơn vị đo độ dài đã học.
Như vậy

.

2.2. Căn cứ vào độ chính xác cho trước
+ Khi làm tròn số đến một hàng nào đó, kết quả làm tròn có độ chính xác bằng một nửa đơn vị
hàng làm tròn.
+ Chú ý: Muốn làm tròn số thập phân với độ chính xác cho trước, ta có thể xác định hàng làm
tròn thích hợp bằng cách sử dụng bảng dưới đây.
Hàng làm tròn

Độ chính xác

trăm

1

chục
đơn vị
phần mười
phần trăm
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết một phân số được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân
vô hạn tuần hoàn
*) Phương pháp giải:
Bước 1. Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu dương.
Bước 2. Phân tích mẫu dương đó ra thừa số nguyên tố.
Bước 3.
+ Nếu mẫu này không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập
phân hữu hạn;
+ Nếu mẫu này có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô
hạn tuần hoàn.
Ví dụ: Phân số
được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay viết được dưới dạng số thập
phân vô hạn tuần hoàn?
Ví dụ. Trong các phân số sau đây phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, phân số
nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? Giải thích.
.
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 2
Bài 1:
Phân số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

D.

.

Bài 2:
Phân số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
A.

.

B.

.

C.

Bài 3:

2

.

Giải thích tại sao các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn rồi viết dưới dạng
đó:
.
Bài 4:
Phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn? Giải
thích.
.
Bài 5:
Phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Bài 6:
Phân số

được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Bài 7:
Phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Bài 8:
Phân số:

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Bài 9:
Phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Bài 10:
Trong bốn phân số dưới đây, có mấy phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn?
.
Bài 11:
Trong bốn phân số dưới đây, có mấy phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
.
Bài 12:
3

Phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Bài 13:
Phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Bài 14:
Với giá trị nào của số tự nhiên
hoàn?

thì phân số

viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần

Bài 15:
Cho
. Hãy điền vào ô vuông một số nguyên tố có một chữ số để
số thập phân hữu hạn.

viết được dưới dạng

Bài 16:
Cho
. Hãy điền vào ô vuông một số nguyên tố có một chữ số để
số thập phân hữu hạn.

viết được dưới dạng

Bài 17:
Cho
. Hãy điền vào ô vuông một số nguyên tố có một chữ số để
số thập phân hữu hạn.

viết được dưới dạng

Bài 18:
Cho
. Hãy điền vào ô vuông một số nguyên tố có một chữ số để
thập phân vô hạn tuần hoàn.

viết được dưới dạng số

Bài 19:
Cho
. Hãy điền vào ô vuông một số nguyên tố có một chữ số để
số thập phân vô hạn tuần hoàn.

viết được dưới dạng

Bài 20:
Tìm số tự nhiên

sao cho phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Bài 21:

4

Tìm số tự nhiên

sao cho phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

sao cho phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Bài 22:
Tìm số tự nhiên
Bài 23:
Tìm số là số nguyên tố có một chữ số sao cho phân số
hữu hạn.

viết được dưới dạng số thập phân

Bài 24:
Tìm số tự nhiên

sao cho phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Phân số nào viết
được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
;

;

.

Bài 2:
Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Phân số nào viết
được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
;

;

.

Bài 3:
Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Phân số nào viết
được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
,

.

Bài 4:
Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn? Phân số nào viết
được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

5

,

.

Bài 5:
Cho
. Hãy điền vào ô vuông một số nguyên tố có một chữ số để
dạng số thập phân hữu hạn.

viết được dưới

Bài 6:
Tìm số nguyên tố

sao cho phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Bài 7:
Tìm số chính phương

sao cho phân số

viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Dạng 2: Nhận biết được số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn, xác định
được chu kì của một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Viết phân số dưới dạng số thập phân
*) Phương pháp giải:
- Căn cứ vào khái niệm để nhận biết số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.
- Xét các chữ số sau dấu phẩy để xác định chu kỳ nếu là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
- Viết phân số dưới dạng số thập phân (thực hiện phép chia lấy tử chia cho mẫu, có thể sử dụng
máy tính cầm tay để hỗ trợ).
- Viết số thập phân dưới dạng phân số:
+ Viết dưới dạng phân số thập phân rối rút gọn đến tối giản nếu là số thập phân hữu hạn;
+ Viết dưới dạng phân số thập phân rối rút gọn đến tối giản nếu là số thập phân hữu hạn; Nếu số
thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy thì ta lấy chu kì làm tử còn mẫu
là một số gồm các chữ số

với số chữ số

bằng số chữ số của chu kì;

+ Nếu số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phẩy thì ta lấy số
gồm các chữ số trước chu kì và chu kì trừ đi số gồm các chữ số trước chu kì là tử, còn mẫu là một
số gồm các chữ số kèm theo các chữ số
bằng số chữ số trước chu kì.

, số chữ số

6

bằng số chữ số của chu kì, số chữ số

Ví dụ: Viết các phân số

và

dưới dạng số thập phân.

Bài 1:
Trong các số thập phân sau, số nào là số thập phân hữu hạn, số nào là số thập phân vô hạn tuần
hoàn?
;

;

;

;

Bài 2:
Trong các số thập phân sau, số nào là số thập phân hữu hạn, số nào là số thập phân vô hạn tuần
hoàn?
;

;

;

;

Bài 3:
Số
(viết liên tiếp các số
số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không?

,

,

,

,… sau dấu phẩy) có phải là

,

,

,

,… sau dấu phẩy) có phải là

Bài 4:
Số
(viết liên tiếp các số
số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không?
Bài 5:
Số

có phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không?

* Thông hiểu
Bài 6:
Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân rồi cho biết số nhận được là số thập phân hữu hạn
hay vô hạn tuần hoàn?
;

;

Chỉ ra chu kì rồi viết gọn nếu đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Bài 7:
Hãy viết các phân số sau dưới dạng số thập phân (sử dụng chu kì để viết gọn nếu là số thập phân
vô hạn tuần hoàn).
;

;

;

.

Bài 8:
7

Viết các số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn:

.

Bài 9:
Viết các số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn:

.

Bài 10:
Viết các phân số

dưới dạng số thập phân.
Dạng 3: Viết số thập phân dưới dạng phân số tối giản

Bài toán 1. Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số tối giản
*) Phương pháp giải:
Bước 1. Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng một phân số có tử là số nguyên tạo bởi phần
nguyên và phần thập phân của số đó, mẫu là một lũy thừa của 10 với số mũ bằng số chữ số ở
phần thập phân của số đã cho.
Bước 2. Rút gọn phân số nói trên.
Ví dụ: Viết số 2,25 dưới dạng phân số tối giản.
Bước 1. Ta có:

.

Bước 2.
Vậy

.

Bài 1:
Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản.
a)

b)

c)

d)

Bài toán 2. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản
*) Phương pháp giải: Để giải dạng toán này cần có kiến thức bổ sung sau đây:
+ Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy
Ví dụ:
8

+ Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phẩy. Phần
thập phân đứng trước chu kì gọi là phần bất thường
Ví dụ:

trong đó chữ số 3 là phần bất thường.

*) Xét số thập phân với phần nguyên là 0, người ta đã chứng minh được các quy tắc sau:
+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu
kì làm tử số, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì
Ví dụ:

.

+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy số
gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số
9 và 0 trong đó số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường, số chữ số 9 bằng số chữ số của
chu kì.
Ví dụ:

.

*) Chú ý: Nếu phần nguyên khác 0, thì ta chuyển phần thập phân sang phân số rồi cộng với phần
nguyên.
Ví dụ:
Bài 2:
Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản.
a)

b)

c)

Bài 3:
Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản.
a)

b)

c)

d)

c)

d)

Bài 4:
Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản.
a)

b)

Bài 5:
Viết các số thập phân hữu hạn sau đây dưới dạng phân số tối giản.

9

a)

b)

c)

d)

Bài 6:
Hãy viết số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:

Bài 7:
Hãy viết số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:

Bài 8:
Hãy viết số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:

Bài 9:
Hãy viết số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:

Bài 10:
Hãy viết số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:

BÀI TẬP TỰ LYỆN
Bài 1:
Trong các số thập phân sau, số nào là số thập phân hữu hạn, số nào là số thập phân vô hạn tuần
hoàn?
;

;

;

;

Bài 2:
Số
(viết liên tiếp các số tự nhiên liên tiếp,… sau dấu phẩy) có phải là số thập phân
vô hạn tuần hoàn hay không?
Bài 3:
Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân, viết gọn với chu kì nếu đó là số thập phân vô hạn
tuần hoàn.
;

;

Bài 4:
Hãy viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:
10

;

;

;

.

Bài 5:
Sử dụng chu kỳ, hãy viết gọn số thập phân vô hạn tuần hoàn
Bài 6:
Sử dụng chu kỳ, hãy viết gọn số thập phân vô hạn tuần hoàn
Bài 7:
Chứng tỏ rằng:

;

Bài 8:
Chứng tỏ rằng:

.
Dạng 4: Làm tròn số

*) Phương pháp giải:
Quy ước làm tròn số
+ Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trường hợp số nguyên,
ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0
Ví dụ:

(chính xác đến chữ số thập phân thứ hai).
(chính xác đến hàng trăm).

+ Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ
phận còn lại.
Ví dụ:
(chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất).
(chính xác đến hàng trăm).
+ Trường hợp số nguyên, ta thay các chữ số bỏ đi bằng các chữ số 0.
Bài 1:
Làm tròn số
a) đến chữ số thập phân thứ tư;
b) đến hàng phần trăm.
Bài 2:
Làm tròn số
a) đến hàng nghìn;
11

b) với độ chính xác là

.

Bài 3:
Làm tròn số
a) với độ chính xác
b) với độ chính xác là

;
.

Bài 4:
Theo https://danso.org/viet-nam, vào ngày 24/4/2022, dân số Việt Nam là
làm tròn dân số của Việt Nam đến hàng triệu.
Bài 5:
Một chiếc xe có khối lượng là
chở

người. Hãy

tấn (khối lượng của xe lúc không có hàng hóa trên xe). Trên xe

thùng hàng, mỗi thùng có khối lượng là

nhiêu tấn (làm tròn với độ chính xác

tấn. Hỏi khối lượng của cả xe và hàng là bao

)?

Bài 6:
Làm tròn số
a) đến chữ số thập phân thứ năm;
b) đến hàng phần trăm.
Bài 7:
Làm tròn số
a) với độ chính xác
b) với độ chính xác là

;
.

Bài 8:
Làm tròn số
a) đến hàng phần mười;
b) đến hàng phần nghìn.
Bài 9:
Theo vast.gov.vn, Báo Cheetah là loài nhanh nhất thế giới được biết đến với tốc độ siêu việt có
thể đạt đến 120km/h, còn tốc độ tối đa của ngựa đạt 88km/h. Tính tỉ số giữa tốc độ tối đa của báo
Cheetah và tốc độ tối đa của ngựa (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

12

Bài 10:
Làm tròn số

với độ chính xác là

.

Bài 11:
Làm tròn mỗi số đến hàng đơn vị, rồi tính giá trị của biểu thức

Bài 11:
Làm tròn mỗi số đến hàng đơn vị, rồi tính giá trị của biểu thức

Bài 12:
Làm tròn mỗi số đến hàng đơn vị, rồi tính giá trị của biểu thức

Bài 13:
Cho biết

inch

cm. Tính độ dài đường chéo bằng đơn vị cm một màn hình

làm tròn với độ chính xác

inch và

.

Bài 14:
Một hãng hàng không quốc tế quy định mỗi hành khách được mang hai vali không tính cước; mỗi
vali cân nặng không vượt quá

kg. Hỏi với vali cân nặng

pound sau khi quy đổi sang

kilôgam và làm tròn đến hàng đơn vị thì có vượt quá quy định về khối lượng không? (Cho biết
pound

kg).

Bài 15:
Cho số

trong đó ở bên phải dấu phẩy ta viết các số từ

nhau. Làm tròn số đó với độ chính xác

đến

liên tiếp

đến

liên tiếp

đến

liên tiếp

.

Bài 16:
Cho số
trong đó ở bên phải dấu phẩy ta viết các số từ
nhau. Làm tròn số đó đến chữ số thập phân thứ mười sáu.
Bài 17:
Cho số

trong đó ở bên phải dấu phẩy ta viết các số từ

nhau. Làm tròn số đó đến chữ số thập phân thứ

.

Bài 18:

13

Cho số

trong đó ở bên phải dấu phẩy ta viết các số từ

nhau. Làm tròn số đó đến chữ số thập phân thứ

đến

liên tiếp

đến

liên tiếp

.

Bài 19:
Cho số

trong đó ở bên phải dấu phẩy ta viết các số từ

nhau. Làm tròn số đó đến chữ số thập phân thứ

.

Bài 20:
Làm tròn các số 5724; 991,23 đến hàng chục.
Bài 21:
Làm tròn các số 6251; 73,83 đến hàng trăm.
Bài 22:
Làm tròn các số 55,2173; 0,346 đến chữ số thập phân thứ hai.
Bài 23:
Làm tròn số 4367,56:
a) Đến hàng chục.
b) Đến hàng đơn vị.
Bài 24:
Làm tròn số 523,245:
a) Đến hàng chục.
b) Đến hàng đơn vị.
Bài 25:
Làm tròn các số sau đến chữ số hàng nghìn: 59436; 56873; 754144,5; 247,91.
Bài 26:
In-sơ (inch, số nhiều là inches), kí hiệu là “in”, là đơn vị đo chiều dài thuộc hệ thống đo lường
của Anh, Mỹ. Biết

.

a) Hỏi 1 cm gần bằng bao nhiêu in-sơ (làm tròn đến số thập phân thứ hai)?
b) Khi nói “Ti vi 23in”, ta hiểu là một loại ti vi có đường chéo màn hình bằng 23in. Tính đường
chéo màn hình theo đơn vị xen-ti-mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Làm tròn số

14

a) với độ chính xác

;

b) đến hàng phần nghìn.
Bài 2:
Theo https://danso.org/viet-nam, vào ngày 24/4/2022, dân số Việt Nam là
làm tròn dân số của Việt Nam đến hàng nghìn.

người. Hãy

Bài 3:
Làm tròn số

với độ chính xác là

.

với độ chính xác là

.

Bài 4:
Làm tròn số
Bài 5:
Làm tròn các số đến hàng đơn vị rồi tính giá trị của biểu thức
Bài 6:
Tìm

trong tỉ lệ thức:

(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài 7:
Một số nguyên sau khi làm tròn đến hàng nghìn thì được
Nhỏ nhất là bao nhiêu?

. Hỏi số đó lớn nhất là bao nhiêu?

Bài 8:
Có bao nhiêu số nguyên sau khi làm tròn trăm cho kết quả là

15

?