CHUYÊN ĐỀ: GÓC Ở VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT. TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
A. Lý thuyết
1. Góc ở vị trí đặc biệt
a) Hai góc kề nhau: Hai góc kề nhau là hai góc có chung đỉnh và chung 1 cạnh, hai cạnh còn lại
nằm về 2 phía của đường thẳng chứa cạnh chung đó.
x

y

z

O

b) Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo của hai góc là
n
x
130°
m

A

50°
y

O

c) Hai góc kề bù: hai góc vừa kề vừa bù gọi là hai góc kề bù
y

x

x'

O

d) Hai góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh
góc kia.
y

x
2
1

O
4

3
x'

y'

*) Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Mỗi góc chỉ có duy nhất một góc đối đỉnh với nó.
2. Tia phân giác của một góc
a) Tia phân giác của một góc: Là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc
bằng nhau.
1

b) Cách vẽ:
y
z

x

O

Để vẽ tia phân giác
Bước 1: Vẽ

của

. Ta thực hiện theo 2 bước.

.

Bước 2: Vẽ tia
nằm giữa hai tia
sao cho
hoặc
Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc được gọi là đường phân giác của góc đó.
B. CÁC DẠNG TOÁN

.

Dạng 1: Góc ở vị trí đặc biệt
*) Phương pháp giải: Nhận biết và tính được một số góc kề bù, đối đỉnh
Bài 1:
Trong các hình
cặp góc nào
đối đỉnh, cặp góc nào không đối đỉnh?
Vì sao?

Lời giải
Vì hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia nên chỉ
có hình a) là cặp góc đối đỉnh.
Bài 2:
Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại
như hình vẽ.
Hãy điền vào chỗ trống (…) trong các phát biểu sau:
1. Góc
đối của cạnh

và góc … là hai góc đối đỉnh vì cạnh
và cạnh

2. Góc
và góc
cạnh … và cạnh …

là … của cạnh
là … vì cạnh

là tia

.
là tia đối của

2

Lời giải
1.

và

của cạnh
2.

là hai góc đối đỉnh vì cạnh

là tia đối của cạnh

và cạnh

là tia đối

là hai góc đối đỉnh vì cạnh

là tia đối của cạnh

và cạnh

là tia đối

.
và

của cạnh

.

Bài 3:
Vẽ ba đường thẳng cùng đi qua một điểm. Đặt
tên cho các góc tạo thành.
1. Viết tên các cặp góc đối đỉnh. Chỉ ra các
cặp góc bằng nhau
2. Viết tên các 3 cặp góc kề bù.
Lời giải
1. Các cặp góc đối đỉnh là
và

;

và

và

;

và

;

và

;

và

;

. Các cặp góc đối đỉnh thì bằng nhau.

2. Các cặp góc kề bù là:

và

;

và

;

và

Bài 4:
Cho

có số đo bằng

. Vẽ góc đối đỉnh

y

với
. Hỏi góc này có số đo bằng bao
nhiêu độ ?

60°

x'

O

x

y'

Lời giải
Vì hai góc đối đỉnh có số đo bằng nhau nên góc đối đỉnh với
Bài 5:

3

cũng có số đo bằng

.

Hai đường thẳng
thành

và

cắt nhau tại

có số đo bằng

1. Tính số đo góc

tạo

N

.

.

P

2. Tính số đo góc
.
3. Viết tên các cặp góc đối đỉnh.
4. Viết tên các cặp góc kề bù.

P M

N

A

30°
30°

Q

A

Q

M
Lời giải

1. Vì

và

là hai góc đối đỉnh nên

2. Vì

kề bù với

.

nên

.

3. Các cặp góc đối đỉnh:

và

;

và

.

4. Các cặp góc bù nhau:

và

;

và

;

và

;

và

.

Bài 6:
1. Vẽ

có số đo bằng

2. Vẽ

kề bù với

.

A'

. Hỏi số đo của

?

C'

C

3. Vẽ

kề bù với

56°

. Tính số đo

B

?
Lời giải

A

1. Xem hình vẽ.
2. Vì

kề bù với

3. Vì

nên

kề bù với

.

nên

.
Bài 7:

Cho hai góc kề nhau
đo bằng

và

của các tia

y

có tổng số
.

1. Tính số đo các góc
2. Vẽ các tia

và
và

z

.

lần lượt là các tia đối
. Tính số đo các

x
O

, . .,

.
y'

Lời giải
4

x'

1. Ta có

. Thay vào

2.

tìm được

,

và

. Tương tự, ta tìm được

Bài 8:
Vẽ hai đoạn thẳng cắt nhau sao cho trong số
các góc tạo thành có một góc bằng
. Tính
số đo các góc còn lại.

.
.

A'

47°

C

C'

B
A

Lời giải
Vì

và

Vì

kề bù

là hai góc đối đỉnh nên

.

nên

suy ra
.

Do

và

là hai góc đối đỉnh nên

.
Bài 9:

Cho

. Vẽ tia

là phân giác

là tia đối của tia

. Vẽ

. Vẽ góc kề bù

với
. Khi đó hai
hai góc đối đỉnh không?

và

có phải là

Lời giải
Vì

kề bù với

Theo đề bài

nên

là hai tia đối nhau.

là tia đối của tia

nên

và

là hai góc đối đỉnh.

Bài 10:
Cho

. Vẽ góc kề bù

với

kề bù với
. Khi đó
phải là hai góc đối đỉnh không?

. Vẽ
và

có

Lời giải
Vì
kề bù với
là hai tia đối nhau.

nên

và

là hai tia đối nhau;

5

kề bù với

nên

và

Do đó

và

là hai góc đối đỉnh.

Bài 11:
Cho

. Vẽ

bù với

kề bù với

. Vẽ

. Vẽ

là phân giác

kề
. Vẽ

là phân giác
. Khi đó
và
phải là hai góc đối đỉnh hay không?

có

Lời giải
Vì

kề bù với

nên

và

là hai tia đối . Ta có
Do

và

là hai tia đối nhau, vì

kề bù với

nên

và

(đối đỉnh).

lần lượt là phân giác

và

nên

. Lại có:

hay

và

Từ đó suy ra

kề bù.
và

là hai tia đối nhau nên

và

là hai góc đối đỉnh.

Bài 12:
Cho góc bẹt

. Vẽ tia

sao cho góc

z
t

a) Tính góc
b) Trên nửa mặt phẳng bờ
sao cho

chứa

vẽ tia

. Chứng tỏ

là tia

phân giác của
c) Vẽ tia
là tia đối của tia

, tia

tia đối của tia

và so sánh

. Tính góc

140°
70°

x

y

O

là

n

m

với
Lời giải
a) Vì

là góc bẹt và

b) Vì ba tia
nằm giữa hai tia

.
cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là
.
6

và

nên tia

Lại có

nên tia

c)Vì Vẽ tia
Vì tia

là tia phân giác của góc

là tia đối của tia

là tia đối của tia

và

.Vậy

và

;

. Vậy

Suy ra

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Hai đường thẳng
thành

và

cắt nhau tại

có số đo bằng

1. Tính số đo

tạo

y

.

.

x

2. Tính số đo
.
3. Viết tên các cặp góc đối đỉnh.

O
y'

Lời giải
1. Vì

đối đỉnh

2. Vì

và

nên
là hai góc kề bù

nên
3.

.

.
đối đỉnh

và

đối đỉnh

.

Bài 2:

7

x'

1. Vẽ

có số đo bằng

.

2. Vẽ

đối đỉnh với góc

y

.

x'
z

3. Vẽ tia phân giác
của
. Vẽ tia đối
của tia
. Kể tên các cặp góc đối đỉnh.

80°
z'

O
x

y'

Lời giải
1. Vẽ tia

.

Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với đỉnh
Vẽ tia

đi qua vạch

2. Vẽ tia
. Hình vẽ

của thước. Ta vẽ được

là tia đối của tia

3. Các cặp góc đối đỉnh là
và

;

và

, tia

. Vẽ tia
và

và

;

ta được
và

đối đỉnh với
;

và

.

Bài 3:
Cho góc bẹt
phẳng bờ

. Trên cùng một nửa mặt
, vẽ các tia

C

sao cho

,
. Tia
và
vuông góc với nhau không? Tại sao ?

có

D

80°

A

O

Lời giải
Vì
kề bù với
suy ra
Vì OD nằm giữa hai tia OC và OB suy ra

Hay đường thẳng chứa tia

.

vuông góc với đường thẳng chứa tia
Bài 4:

8

.

. Hình vẽ

là tia đối tia
;

đi qua vạch

10°

B

;

Cho
là góc bẹt . Trên cùng một mặt
phẳng bờ
, vẽ tia
. Vẽ tia phân giác
của
và
sao?

, tia phân giác
của
. Tia
có vuông góc với nhau không? Vì
Lời giải

Tia

là tia phân giác của

Tương tự
Vì
nằm giữa

nên

và

.

nên

Dạng 2: Vẽ tia phân giác của một góc và áp dụng tính chất tia phân giác
*) Phương pháp giải:
+ Bước 1: biết vẽ góc với một số đo cho trước
+ Bước 2: biết áp dụng vẽ tia phân giác của góc theo số đo hoặc theo cách vẽ bằng thước hai lề.
*) Bài toán:
Bài 1:
a) Vẽ góc

có số đo

b) Vẽ tia phân giác

.

của góc

ở ý trên.

Lời giải
Cách vẽ
9

Vẽ tia
.
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với gốc
Vẽ tia

đi qua vạch

của tia

của thước. Ta vẽ được

và tia

của tia

. Vẽ tia

và

và tia

.

.

Vì tia
là tia phân giác của
nên ta có
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm
đi qua vạch

đi qua vạch

nằm giữa hai tia

và tia

đi qua vạch

, ta được tia phân giác

của

.
Bài 2:
a) Vẽ góc

có số đo

b) Vẽ tia phân giác

.

của góc

y

ở ý trên.
t

44°

O

x

Lời giải
Cách vẽ:
a) Vẽ tia
.
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm
.
Vẽ tia

đi qua vạch

của thước. Ta vẽ được

b) Vì tia
là tia phân giác của
nên ta có
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm
. Vẽ tia
của

đi qua vạch

và tia

nằm giữa hai tia

.
Bài 3:

10

của tia

và tia

đi qua vạch

.

của tia
và

và tia

đi qua vạch

, ta được tia phân giác

a) Vẽ

có số đo

b) Vẽ tia phân giác

.

y

của

t

ở ý trên.

45°
x

O

Lời giải
Cách vẽ
Vẽ tia
.
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm
.
Vẽ tia

đi qua vạch

của thước. Ta vẽ được

của tia

của tia

. Vẽ tia

và

và tia

nằm giữa hai tia

đi qua vạch

và tia

đi qua vạch

.

Vì tia
là tia phân giác của
nên ta có
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm
đi qua vạch

và tia

, ta được tia phân giác

của

.
Bài 4:
Vẽ tia phân giác của các góc
được cho dưới đây:

Lời giải
Cách 1: Dùng thước kẻ hai lề vẽ tia phân giác dựa theo tính chất hình thoi có hai đường chéo là
hai đường phân giác. Ta có các tia phân giác cần vẽ, riêng ý c) là góc bẹt vì vậy kẻ vuông góc
ta có tia phân giác

Cách 2: Dùng thước đo góc ta tiến hành đo góc cần dựng tia phân giác áp dụng tính chất chia
đôi góc ta vẽ góc nhỏ có số đo bằng một nửa góc đã cho có chung 1 cạnh, riêng ý c) là góc bẹt
vì vậy kẻ vuông góc ta có tia phân giác
11

Bài 5:
Vẽ tia phân giác của

được cho dưới đây:

Lời giải

Vẽ đường tròn tâm

bán kính

Vẽ các đường tròn Tâm
Vẽ tia
Khi đó tia phân giác của

cắt hai cạnh của

có cùng bán kính
là tia

tại

cắt nhau tại

.
Bài 6:

Cho hình vẽ. Biết

và hai tia

đối nhau. Chỉ ra các tia phân giác trên
hình bên; Tính số đo của

m
n

z
4

.

O

3

2

y

1

x

Lời giải
Vì

là tia phân giác của
là tia phân giác của

Ta có

.
Bài 7:
12

Cho hai góc kề bù

y

sao cho
t

.
a) Tính
b) Gọi

là tia phân giác của

. Chứng tỏ

z

x

O

Lời giải
a) Vì hai

là hai góc kề bù

Vậy
b) Vì

là tia phân giác của

mà

có:

vậy
Bài 8:

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia
vẽ hai tia

và

,

t

z

sao cho

y

a) Tính

Tia

có là tia phân giác của

không? Vì sao?
b) Gọi tia
đo của
c) Gọi
đo của

m
O

là tia đối của tia

.Tính số

?
là tia phân giác của

. Tính số

?
Lời giải

a) Vì

Tia

nằm giữa hai tia

Vậy

13

và

70°
30°

x

không là tia phân giác của

b) Vì tia

vì:

là tia đối của tia

nên tia

nằm giữa hai tia

và

suy ra:
Vậy
c) Vì

là tia phân giác của

Mà tia

nằm giữa hai tia

nên
và

nên ta có:

.
Vậy
Bài 9:
Vẽ 2 góc kề bù
Gọi

và

, biết

.

,

là tia

là tia phân giác của

phân giác của

y

t'

t

. Tính
70°

x

O

Lời giải
Ta có
Vì
Vì

và

là 2 góc kề bù

là tia phân giác của
là tia phân giác của

Vì

và

đối nhau

Có

và

là 2 góc kề bù

và

nằm giữa

Bài 10:

14

và

x'

Cho

và

là hai góc kề bù. Biết

D
B

a) Tính số đo mỗi góc.
b) Gọi
đo

là tia phân giác của

A

. Tính số

O

C

.
Lời giải

a) Vì

và

là hai góc kề bù nên:

mà
Do đó:
b) Vì
Vì

là tia phân giác của
và

nên

là hai góc kề bù nên:

Do đó
Bài 11:
Cho điểm
thuộc đường thẳng . Trên nửa
mặt phẳng bờ , vẽ các tia
và
sao cho
.
a) Tính số đo

. Từ đó suy ra

phân giác của

.

b) Tính số đo

và

là tia

.

c) Tia
có phải tia phân giác của
không ? Vì sao ?

a) Ta có tia

và tia

Lời giải
cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

Mà
Suy ra tia

nằm giữa hai tia

và

(1)

(2)
15

.

Từ (1) và (2)
b) Ta có

là tia phân giác của
và

là hai góc có chung cạnh

, hai cạnh còn lại

và

là hai tia đối

nhau
và

là hai góc kề bù .

Ta có :
Ta có

và
và

c) Ta có tia

là hai góc có chung cạnh

, hai cạnh còn lại

và

là hai góc kề bù:
và tia

cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

mà
Suy ra tia

nằm giữa hai tia

và

(4)
Từ (3) và (4)

là tia phân giác của

.
Bài 12:

Cho hai đường thẳng
. Biết

và

cắt nhau tại

.

a) Tính các góc
b) Vẽ tia phân giác
của góc
và tia
phân giác
của góc
. Hai tia
và
có phải là hai tia đối nhau không?
Lời giải
a) Ta có:
Mặt khác ta cũng có:

(đối đỉnh)

(bù nhau), do đó:
(đối đỉnh)
b) Oc, Oc' theo thứ tự là các tia phân giác của hai góc aOb và a'Ob' nên
và
mà

. Do đó:

16

là hai tia đối nhau

Suy ra: góc

là góc bẹt hay hai tia

và

là hai tia đối nhau.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Vẽ tia phân giác của các
góc được cho dưới đây:

x

M

H

y

b

a
O

A

N

Lời giải
Áp dụng cách vẽ ta có các tia phân giác là:
x

z

M
y

2

b

H
2

D

1

1

O

a

N

A

c

Bài 2:
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia
, vẽ tia

,

sao cho

,

.
a) Trong ba tia
,
,
thì tia nào nằm
giữa hai tia còn lại? Vì sao?
b) So sánh góc
và góc
.
c) Tia
có phải là tia phân giác của góc
không? Vì sao?

D

C
100°

A

B

Lời giải
a) Vì
nên tia

,

nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia
nằm giữa hai tia
và
.
17

, mà

(do

)

b) Theo tính chất cộng góc ta có
Suy ra
c) Do tia

.
nằm giữa hai tia

và

lại có

nên

là phân giác của

.
Bài 3:
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia
vẽ  

;  

,

C

B

.

a) Tính 
b) Chứng tỏ tia
c) Vẽ tia

là tia phân giác

là tia đối của tia

  .

120°
60°
O

D

. Tính 

A

Lời giải
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia

ta có :  

Suy ra tia

.

nằm giữa hai tia

và

 

Hay 
Ta có: tia

nằm giữa hai tia

Suy ra tia

là tia phân giác 

Vẽ tia

là tia đối của tia

và 
.
(gt)

  là hai góc kề bù.

hay

 
Bài 4:

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox,
vẽ hai tia Oy và Ot sao cho

t
z
y

a) Tính

Tia Oy có là tia phân giác của

không? Vì sao?
b) Gọi tia

là tia đối của tia

.Tính số đo

là tia phân giác của

. Tính số

của
c) Gọi

70°
30°

m

đo của
Lời giải

18

O

x

a) Vì

Tia

Vậy

nằm giữa hai tia

không là tia phân giác của

b) Vì tia

là tia đối của tia

nên tia

và

vì:

nằm giữa hai tia

và

suy ra:
Vậy
c) Vì

là tia phân giác của

nên

mà tia

nên ta có:

.

Vậy
Bài 5:
Cho

Bên trong

sao cho

và vẽ tia

a) So sánh số đo các
b) Gọi
tỏ

vẽ tia

và

là tia phân giác của

cũng là tia phân giác của

sao cho
.
. Chứng
.
Lời giải

a) Theo tính chất cộng góc, ta có:

Vậy
b) Vì

là tia phân giác của

nên:
Từ đó, ta có
Mặt khác,
Do đó,
Vậy

(cùng bằng 30°).
cũng là tia phân giác của

.

19

nằm giữa hai tia

và

Bài 6:
Vẽ hai góc

kề

Vẽ

bù

và

, biết

là tia phân giác của

a) Tính số đo

.

và

b) Tính số đo

.
Lời giải

a) Sử dụng tính chất hai góc kề bù, suy ra
Vì

là tia phân giác của

b) Ta có

nên
Từ đó, suy ra
Bài 7:

Cho góc

. Vẽ tia

. Vẽ tia
tia

là tia phân giác của

là tia phân giác của

. Vẽ

là tia phân giác của

a) Chứng tỏ tia

là tia phân giác của

b) Chứng tỏ

.

c) Tính giá trị lớn nhất của góc

.

Lời giải
a) Theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có:

(1)

Từ đó, suy ra

Mặt khác,

và

cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia

cùng thuộc nửa mặt phẳng còn lại.
Do đó, tia

nằm giữa hai tia

và

. Vậy tia

b) Từ (1), ta suy ra

là tia phân giác của
Do đó,

c) Từ ý a), suy ra
Kết hợp với ý b), ta có

20

Mà góc

có số đo lớn nhất bằng

(góc bẹt) nên góc

Nên

21

có số đo lớn nhất bằng