CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
A. Kiến thức cơ bản:
1. Phép chia đa thức
Cho hai đa thức A và B với
B  0 . Nếu có một đa thức Q sao
hết
cho
A: Q
B

A
B.Q

thì ta có phép chia

hay AQ B trong đó:

A là đa thức bị chia

B là đa thức chia
Q là đa thức thương (gọi tắt là thương)

Ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B .
2. Chia đơn thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B B 0

khi số mũ của biến trong A lớn hơn hoặc bằng

số mũ của biến đó trong B , ta làm như sau:
+ Chia hệ số của A cho hệ số của B ;
+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B ;
+ Nhân các kết quả với nhau.
3. Chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức P cho đơn thức Q Q 0

khi số mũ của biến trong P lớn hơn hoặc bằng

số mũ của biến đó trong Q , ta chia mỗi đơn thức của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các
thương với nhau.
4. Chia đa thức cho đa thức
* Trường hợp chia hết:
Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều đã thu gọn và sắp
xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần của biến) khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc
bằng bậc của đa thức chia, ta làm như sau:
Bước 1:
+ Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia
+ Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có
cùng số mũ của cùng một biến ở cùng một cột.
+ Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.
Bước 2:
+ Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức có bậc nhỏ hơn bậc
của đa thức chia.
1

* Trường hợp chia có dư:
Khi chia đa thức A cho đa thức B
+ Đa thức dư R phải bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B .
+ Nếu thương là đa thức Q và dư R ta có đẳng
thức

A

B.Q R .

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Thực hiện tính
I. Phương pháp giải:
* Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức
+ Chia hệ số của A cho hệ số của B ;
+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B ;
+ Nhân các kết quả với nhau.
* Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức P cho đơn thức Q Q 0

khi số mũ của biến trong P lớn hơn hoặc bằng

số mũ của biến đó trong Q , ta chia mỗi đơn thức của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các
thương với nhau.
* Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đa thức
II. Bài toán.
Bài 1. Tính
1

4
a) 3x7 : x

2

b) 2x : x
c) 0, 25x5 : 5x2
Lời giải:
a)

3x7

b)

:

1

x4 3 : 1 . x7 : x46x3
2 2

2x : x

c) 0, 25x5 :

2 :1 . x : x
5x2

2

0, 25 :5 . x5 : x2

0, 05x3

Bài 2. Tính
a) 12x3 : 4x
b) 2x4 : x4
c) 2x5 : 5x2
Lời giải:
2

a) 12x3 : 4x 12 : 4 .

x3 :
x

=3x2

b) 2x4 : x4 = 2 :1 . x4 : x4

=2
2

c) 2x 5 : 5x2 = 2 : 5 x5 : x2 = x3
5

.

Bài 3. Tính
a) 120x7: 24x5
b)

3 x 3:1x
4 8

c) -3,72x5 : 4x 2
Lời giải:
a) 120x7:
b)

3
4

24x5

120 : 24 . x7 : x5

1
x 3: x
8

c) -3,72x5 :

3

1
x3 : x
4
8

5x2

3 : 1 . x3 : x
48

6x2

3, 72 :4 . x5 : x20, 93x3

4x2

Bài 4. Tính
a) 12x4 : 6x2
b) 24xm :

m, n

6x n

; mn

Lời giải:
a) 12x4 : 6x2 12 : 6 . x4 : x22x2
b) 24xm :

6x n

m, n

24 : 6 . xm : xn

; mn
4xm

n

Bài 5. Tính
a) 3x6 : 0, 5x4
d) 4x3 : x2
c) axm : bxn

a

d) 12xm 2 : 4xn 2

0;b0; m, n
m, n

; mn

; mn

Lời giải:
a) 3x6 : 0, 5x4 3 : 0, 5 . x6 : x46x2
b) 4x3 : x2 4 :1 . x3 : x24x

3

c) axm : bxn

a

0;b0; m, n

a12xm
. xm 2: xn: b4xn
a .x2m
b

n

d)

; mn

; mn
m, n

12 : 4 . xm 2 : xn 2
3. xm

2 n 2

3xm n

Bài 6. Tính
a) x3 12x25x : x
b) 5x415x318x :5x
c)

x6

5x42x3 : 0, 5x2

Lời giải:
a) x3

12x25x : xx3 : x12x2 : x5x : x

b)

5x415x318x :5x

c)

x6

5x4

x2

12x5

5x4 :5x15x3 :5x18x :5x

2x3 : 0, 5x2

x6 : 0, 5x2 5x4 : 0, 5x2

x3
2x3 : 0, 5x2

Bài 7. Thực hiện các phép chia đa thức sau
a) 3x315x281x :3x
b) 3x55x3x2 : 2x2
c)6x57x46x3 : 3x3
Lời giải:
a)

3x315x281x :3x

3x3 :3x15x2 :3x81x :3x
x2

b)

3x55x3

x2 : 2x2

6x57x46x3 : 3x3

5x27

3x5 : 2x2

5x3 : 2x2x2 : 2x2

3 x35 x1
6x5 : 3x37x4 : 3x3
222

c)
2x2

7x
2
3

Bài 8. Thực hiện phép chia

4

6x3 : 3x3

3x218
5

2x410x24x

a)

x5

b)

5x4
x6

2x2 : 0,5x

5x5

2

2x4 : 2x2

2

Lời giải:
a)

x5

5x4

2x2 : 0,5x

2

x5

5x4

2x 2 : 0, 25x2

x5 : 0, 25x25x4 : 0, 25x22x2 : 0, 25x2
4x320x28

b)

x6

5x5

2x4 : 2x2

2

x6

5x5

2x4 : 4x4

x6 : 4x4 5x5 : 4x42x4 : 4x4

1 x25 x1
442

Bài 9. Thực hiện phép chia
1 x4

a) 2

1 x5

b) 2

1 x3
4

x :

1x
8

2x2

x :

1x
4

1 x3
4

x :

1x
8

Lời giải:
1 x4

a) 2

1 x4 :
2

1x
8

1 x3 :
4

1x
8

x:

1x
8

2x2 :

1x
4

x:

1x
4

4x32x28
1 x5

2x2

b) 2

1x
4

x :

1 x5 :
2

1x
4

2x48x4

Bài 10. Thực hiện phép
chia

0, 25x7

3x5

x4 cho 0, 5xn trong mỗi trường hợp sau:

a) n 3
b) n 4
Lời giải:
a)
Với

n3

ta có: 0, 25x7

3x5

x4 : 0,5x3

=0, 25x7: 0,5x3 3x5: 0,5x3x4: 0,5x3
=0,5x4 6x22x

a)

Với
4

n

có:

5

0, 25x7 3x5

x4 :

0,5

=0, 25x7: 0,5x4

x4

3x5: 0,5x4

x4:

6

=0,5x3 6x2

Bài 11. Tính
a) 2x3 5x2x1 : 2x1
b) x32x4 : x2
c) 6x3 19x223x12 : 2x3
d) x4 2x312x : x21
Lời giải:
a)
2x3
2x3

5x2 x
1 2x
x2
x2
6x2
1
x
6x2
3x 2x
2x
1
1

1
3x

1

0

Vậy 2x3

5x2x1 : 2x1

x2

3x1

b)
x3
x3

Vậy x3

2x

4 x x2

2x2
2x2 2x 4x
2x2 2x
2x

2x4 : x2

2
2x

2

4
4
4
0

x2

2x2

c)
6x3
6x3

19x2
12 2x 3x2 3
23x
9x2
12
5x
10x2
10x2 23x 15x
8x
8x
12
12

4

0

Vậy 6x3 19x223x12 : 2x33x25x4

7

d)
x4
x4

2x3

2x
x2
x2

2x3
2x3

1 x2
x2
1

2x
2x

x2
x2

1
2x

1

1
1
0

Vậy x4

2x312x : x21

x2

2x1

Bài 12. Thực hiện phép chia đa thức sau
a) x4 8x216 : x24
b)

x2

25 : x 5

c) x3 1 : x2x1
Lời giải:
a)
x4
x4

8x2
4x2
4x2
4x2

16 x2
x2

4
4

16
16
0

Vậy x4

8x216 : x24

x2

4

b)
x2
x2

25 x
5x 5x
5x

5
5

x
25
25
0

Vậy 25 x2 : x 5

x5

c)

8

x3
x3x2
x2
x2

1 x2
x
xx
1
x
1

x1
1

0

Vậy x3 1 : x2x1x1
Bài 13. Thực hiện phép chia
a) 0, 5x6

x4x3

1, 5x2 2x3 : 0, 5x21

b) 9x2 4 : 3x2
Lời giải:
a) 0, 5x6

x4x3

0, 5x6
0, 5x6

1, 5x2 2x3 : 0, 5x21

x4
x4

x3

1, 5x2

2x

x3
x3

1, 5x2

2x
2x

3 0, 5x2
x4
3

1
2x

3

1, 5x23
1, 5x23
0

Vậy 0, 5x6

x4x3

1, 5x2 2x3 : 0, 5x21

x4

2x3

b) 9x2 4 : 3x2
9x2
9x2

4 3x 3x 2
4
2
6x 6x
4
6x
0

Vậy 9x2 4 : 3x23x2
Bài 14. Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia
a) 4x2 4x34x3x41 : 14x3x2
b) 9

x4 10x2 : 4x 3

x2

Lời giải:
a) 4x2 4x34x3x41 : 14x3x2
Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến:
9

3x4

4x3

4x2

3x4
3x4

1 ; 3x2

4x

4x1

4x34x2

4x

4x3 x2
3x2
3x2

4x
4x

1 3x2
x2
1
1

4x
1

1

0

Vậy 4x2
b) 9

4x34x3x41 : 14x3x2

x4 10x2 : 4x 3

x2

1

x2

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến:
x4

10x2

9 ; x24x3

10x2

x4
x4

4x3
4x3

3x
13x2

4x

16x
3x2

3

9 x2
x2

2

4x
4x

3
3

9

2

3x2

12x
12x

9
9

12x

9
0

Vậy 9

x4 10x2 : 4x 3

x2

x2

4x

3

Bài 15. Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia
a) 3x2 3x5 x3 4x4x41 : 1
b) 3 x3

7x5x2 : 4x

3

x3
x2

Lời giải:
a) 3x2 3x5 x3 4x4x41 : 1

x3

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến:
3x4

4x3

3x4
3x4

4x2

4x

1 ; 3x2

4x1

4x34x2

4x

4x3 x2
3x2
3x2

4x
4x

1 3x2
x2
1
1

4x
1

1

0

Vậy 4x2

4x34x3x41 : 14x3x2

b) 3 x3

7x5x2 : 4x

3

x2

x2

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến:
10

1

x3

5x2

x3
x3

4x3

7x3 ; x2

5x2
4x2
x2
x2

7x 3x 4x
3 x2
4x
x

4x
1

3

3
3
0

Vậy 3

x3

7x5x2 : 4x

3

x2

x1

Bài 16. Tìm thương Q và dư R sao cho A B.QR
a) A

x4

và B

3x3 2x2x4

b) A 2x33x26x4
c) A

2x4

x3

và B

x2

x2

và B

3x24x9

x

2x

biết

3

3

x2

1

Lời giải:
a)
x4
x4

3x3 2x3 2x2
5x3
3x2
x2
5x3

4x2
x2

x

4

10x2

15x

11x

14x

4

11x

22x
8x

33
29

2
2

Vậy thương Q

x

x2

5x11

2x
5x

3
11

và dư R 8x29

b)
2x3
2x3

3x2
2x2
x2
x2

6x
6x
x
x

Vậy thương Q 2x1

4 x2
2x

x
1

3

4
3
1

và dư R x1

c)

11

2x4
2x4

x3
x3
x3

3x2
2x2
x2

4x

9 x2
2x2

4x x 9
3x

x2
x2

1

9
1
8

3x

Vậy thương Q 2x2x1
Bài 17. Cho hai đa
thức

1
x

và dư R 3x8
A x 4x46x27x37x35x6

thương và đa thức dư của phép
chia

và đa
thức

B x

x 1. Tìm

A x :B x

Lời giải:
A x 4x46x27x37x35x6
4x46x2

7x37x35x6

4x46x25x6
A x : B x 4x46x25x6 : x1

4x4
4x4

6x2

5x

4x3 4x3
4x3
6x2
5x
4x2
10x2
10x2 5x 10x
5x
5x

Vậy thương của phép
chia

6 x
4x3

1
4x2

10x

6

5

6
6
5
1

A x : B x là 4x3

4x2

10x

5 , đa thức dư là

Bài 18. Tìm thương Q x và dư R x trong phép chia F x15x4
Gx

G x .Q x

3x2x1

rồi biểu diễn F x dưới dạng F x

Lời giải:

2x
3x

1
2
12

19x3
Rx

1
8x22x3

cho

15x419x3
15x410x3
9x3
9x3

8x2
5x2
3x2
6x2
3x2
3x2

2x
2x
3x 5x

3 3x2
5x2
3

2x
3x

1
1

3

13

Vậy thương Q x trong phép chia F x cho G x là 5x2 3x1
G x .Q xR x3x2x1 . 5x23x1

Fx

Bài 19. Cho đa thức P x
P x .A x

3x2

x3x2

và Q(x)

x1

x4

Qx

Lời giải:
Vì P x

.A x

Qx

nê A x
n

P x :Q x
x4

1

x4
x

4

x

3

x3
x3

x2

x

x2

x

1

x2

x

1

x3
x

1 : x3

x2
1

x

x2

1

0

Vậy A x x1
Bài 20. Thực hiện phép tính
a) A

15x4 :
2

b) B

75 x2

c) C

2 y3 : 1 y
3
3

3x2

2

45x4 : 3x2

5
x2
2

2x2 :

1
2

2 y1 y1

d) D 5x34x2 : 2x23x46x : 3xx. x21
Lời giải:
a) A
b) B

15x4 :
75 x2

2

3x2

2

15x4 : 9x4

45x4 : 3x2

75x445x4 : 3x2

5
x2
2

2x2 :

5
3
1
2

1 x2 : 1
22

2 y3 : 1 y
30x4 : 3x2 x2 2 10x2
y1 y1x2
3
3

9x2

c) C
2 :1
33

2 y22 y2y1

. y3 : y

và dư R x là 3x2

2.y2.1y1
14

x1

1 . Tìm đa thức A x sao cho

2 y22 y.y2 y.12.y2.1
2 y22 y22 y2 y2

2

d) D 5x34x2 : 2x23x46x : 3xx. x21
5x3 : 2x24x2 : 2x23x4 : 3x6x : 3xx.x2x.1
5x
2
2
5x
2

x3

x

2
22

x3

x
x3x3

3x
2

Dạng 2. Tìm điều kiện của n để phép tính cho trước là phép chia hết
I. Phương pháp giải:
* Sử dụng nhận xét:
1. Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ nhỏ
hơn hoặc bằng số mũ của nó trong A .
2. Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn
thức B .
3. Muốn phép chia là phép chia hết thì đa thức dư phải bằng 0.
II. Bài toán.
Bài 1. Không làm phép tính chia, hãy nhận xét đơn thức A có chia hết cho đơn thức B hay
không?
a) A 15x3
b) A 0, 5y6

và B 5x2
và B y3

Lời giải:
+ Câu a, b đơn thức A đều có chia hết cho đơn thức B vì mỗi biến của B đều là biến của A
với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong A
Bài 2. Không làm phép tính chia, hãy nhận xét đơn thức A có chia hết cho đơn thức B hay
không?
a) A x5

và B y3

b) A 15 y2 và B 5y3
Lời giải:
+ Câu a đơn thức A không chia hết cho đơn thức B vì mỗi biến của B không là biến của A
+ Câu b đơn thức A không chia hết cho đơn thức B vì mỗi biến của B đều là biến của A
nhưng số mũ của biến y lớn hơn số mũ của biến y trong A

15

Bài 3. Không làm phép tính chia, hãy nhận xét đơn thức A có chia hết cho đơn thức B hay
không? A

3 1 z4
và B 2,5
2

Lời giải:
+ Đơn thức A có chia hết cho đơn thức B vì mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ nhỏ
hơn hoặc bằng số mũ của nó trong A
Bài 4 . Ai đúng, ai sai?
Khi giải bài tập: “Xét xem đa thức A
5x44x36x2
không”

có chia hết cho đơn thức B

2x2

hay

Hà trả lời: “ A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2”,
Quang trả lời: “ A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B ”.
Cho biết ý kiến của em về lời giải của hai bạn.
Lời giải:
A : B 5x44x36x2 : 2x25x4 : 2x24x3 : 2x26x2 : 2x2

5 x2
2

2x

3

Do đó A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B
Vậy Quang trả lời đúng, Hà trả lời sai.
Bài 5. Bạn Tâm lúng túng không biết làm thế nào để phép chia x3 4xa : x2
chia hết? Em có thể giúp bạn Tâm được không?
Lời giải:
x3
x3

2x2
2x2
2x2

4x

a x x2 2
2x

4x
4x

a
a

Để phép chia x3 4xa : x2

là phép chia hết thì a 0

Bài 6. Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết:
a) A 8x226xm;
b) A

x3 13x

c) A

x4

B 2x3
m; B

5x3 x2 17x

x2

4x

m4;

3
B

x2

2x3

Lời giải:
a)

16

là phép

8x2
8x2

26x 12xm
14x 2x
14x
4x

3
7

m
21
m21

Đa thức A chia hết cho đa thức B m210m21
b)
x3
x3

13x

m

4x
4x2

3x
16x

m

4x2

16x

2

x2
x

4x
4

3

12
m 12

Đa thức A chia hết cho đa thức B

m120m

12

c)
5x3
2x3

x2
3x2

17xm4 x2
x2

3x3

2x2

17x

m

4

3x3

6x
4x2

9x
8x

m

4

4x2

8x

x4
4

x

2

2x
3x

3
4

12
m8

Đa thức A chia hết cho đa thức B m80m8
Bài 7. Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với:
a) A

x4

3x3 3x2 +axb

b) A

x4

9x3 21x2 +axb

c) A

x4

7x3 10x2a1 xba

và B

x2

và B

3x

x2

4

x 2

và B

x2

6x

5

Lời giải:
a) A
x4
x4

x4

3x3 3x2 +axb
3x3
3x3

3x2
4x2
x2
x2

và B

x2

ax

b

ax 3x
a3 x

b
4
b

3x
x2
x2

4
3x
1

4

4

Để đa thức A chia hết cho đa thức B thì a

3 xb4

17

0

a3
b4

0
0

3
4

Vậy a 3;
b) A

x4

x4
x4

4

b

9x3

và B

21x2 +axb

9x3 x21x2
3 8x3
8x3 2x2
23x2
8x2
15x2
15x2

ax

x2

x 2

b

ax
16x
a16 x
15x
a1 x

x2
x2

b 30

c) A

7x3 10x2a1 xba

x4

x4
x4

7x3
6x3
x3
x3

10x2
5x2
5x2
6x2
x2
x2

b
30
b

30

a1 x

ba

a 5x a1 x
6x
a
4 x

b

a

b
5
b

a

b

6x

5

6x
x

5
1

20
a50

2 xba50

3

Bài 8. Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B
a) A

18x10
b) A 18yn

và B 6xn
và B 6 y3

Lời giải:
a) Để biểu thức A chia hết cho biểu thức B thì
b) Để biểu thức A chia hết cho biểu thức B thì
Bài 9. Tìm số tự nhiên n để đơn thức A

3y4

Lời giải:
Để đơn thức A 3y4

1
30

5

Để đa thức A chia hết cho đa thức B thì a
Vậy a 2;

x2
x2
x2

a

a10
b300

1 xb300

và B

2 x

2
15

b

Để đa thức A chia hết cho đa thức B thì a
Vậy a 1;

x
8x

chia hết cho đơn thức B

n
10
n
n

n
3

n

0;1; 2;...;10

n3

chia hết cho đơn thức B
23 yn
18

thì

23 yn

2
3

n
4n

n
4

Vậy với n

n0;1; 2;3; 4

n

thì biểu thức đơn thức A

0;1; 2;3;
4

3y4

chia hết cho đơn thức B

23 yn

Bài 10. Tìm điều kiện của n là số tự nhiên để phép chia sau là phép chia hết x4 2x21 : xn
Lời giải:
Ta có phép chia x4 2x21 : xn
xn

là phép chia hết khi hạng tử 1 chia hết cho

n0n0

Bài 11. Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B
a) A 12zn 1;

B 2z

b) A 16 yn 1 ; B8y2
Lời giải:
a) Để biểu thức A 12zn 1
b) Để đơn thức A
n
n12

n
n

chia hết cho biểu thức B 2z

16 yn 1 chia hết cho đơn thức B

8y2

n

thì n11

n

2

thì

n1

1

Bài 12. Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và biểu thức B đồng thời chia hết cho
biểu thức C biết: A y2n 6 ; B 2 y18 2n ; C y4
Lời giải:
Để hai biểu thức A và biểu thức B đồng thời chia hết cho biểu thức C thì
2n64
182n4

2n10
2n14

Vậy n 5; 6; 7

n
n

5
7

5n7n5; 6; 7

thoản mãn đề bài

Bài 13. Tìm n để những phép tính sau là phép chia hết ( n là số tự nhiên)
a) 5x3 7x2x : 3xn
b) 2 y4 5y36 y2 :

1 yn
5

Lời giải:
a) Vì đa thức 5x3
3xn

0

n

1

7x2
n

x chia hết cho 3xn nên hạng tử x chia hết cho
0;1
19

b) Vì đa
thức

1

chia hết cho

13y4 5 y36 y2

5

6 y2 chia hết cho

yn nên hạng

tử

1
5

yn

0n2n0;1; 2

Bài 14. Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau là phép chia hết
a) 4xn

5x3 : 2x3

2

b) 2x4 5x2x : 3xn
c) x4

3x3x2 :

4xn

1

Lời giải:
a) Vì đa
thức
n
n

4xn

2

0

tử

n
n

3

b) Vì đa
thức

5x3 chia hết cho 2x3 nên hạng

2

2x4

n

1

n

5

0;1

c) Vì đa thức x4

3x3

n
2n1

n
1

2

chia hết
cho

2x3

5

x chia hết cho 3xn nên hạng tử x chia hết cho 3xn

5x2

n

4xn

x2 chia hết cho 4x n 1

nên hạng
tử

x2 chia hết cho 4x n 1

n0;1

n

để biểu thức A 3xn 1- 5xn 1 chia hết cho biểu thức B

Bài 15. Tìm n

2x3 .

Lời giải:
Để biểu thức A 3xn 1-5xn 1 chia hết cho biểu thức B 2x3
n
n13
n13

Vậy
với

n
nn 4
2
n
4

n
n

n4

4

thì biểu thức A

3xn 1- 5xn 1

Bài 16. Tìm giá trị nguyên của n để biểu
thức

chia hết cho biểu thức B 2x3
n2
2n

2

Lời giải:
Thực hiện phép
chia
2n2

n

2

2n

2n2
1. n 1

n

thì

2 cho 2n 1, ta được :
3

Để 2n2
20

chia hết cho biểu thức 2n 1.

n

2

chia hết cho 2n

1 thì cần 32n12n1

Ta có bảng sau:
2n 1

3

1

1

3

n

2

1

0

1

Vậy n 2; 1; 0;1

Ư 3

2n1

3;1;1;3

thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài 17. Tìm giá trị nguyên của n để biểu
thức

4n3

21

4n2n4

chia hết cho biểu thức 2n 1.

Lời giải:
Thực hiện phép
chia

4n3

4n2

n

4 cho 2n 1, ta được :

22

4n3

4n2

Để 4n3

n

4

2n 1 . 2n2

3n 1

chia hết cho 2n

4n2n4

Ta có bảng sau:
2n 1

3

1

1

3

n

2

1

0

1

Vậy n 2; 1; 0;1

1

3

thì cần 3

2n1

3;1;1;3

thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài 18. Tìm giá trị nguyên của x để biểu
thức
g x

Ư 3

2n12n1

f x

x3

21x 7 chia hết cho biểu thức

4x2

7.

x

Lời giải:
Thực hiện phép chia f x
x3

f x

4x2

x3

4x221x7

21x7g x . x23x7

Để f x chia hết cho g x thì cần

cho g x x7

7 x7

x7

Ư

ta được:
7

x7

Ta có bảng sau:
x

7

7

1

x

14
Vậy x 14; 8; 6; 0

7

1

8

6

0

thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Bài 19. Tìm giá trị nguyên của x để đa thức A chia hết cho B
a) A 8x24x1

và B 2x1

b) A 3x38x215x6

và B 3x1

Lời giải:
a) A 8x24x1

và B 2x1

Thực hiện phép chia 8x2
8x 4x12x1 . 4x45

4x1

2

cho 2x 1

Để A chia hết cho B cần 5 2x1

ta được:

2x1

Ư 5

Ta có bảng sau:
2x 1

-5

-1

1

5

x

-3

-1

0

2

Vậy x 3,1, 0, 2
b) A 3x38x215x6

thỏa mãn điều kiện đề bài.
và B 3x1

23

2x1

5; 1;1;5

7; 1;1; 7

Thực hiện phép chia 3x3 8x215x6
8x215x63x1 . x23x42

cho 3x

3x3

24

ta được:

Để A chia hết cho B cần 2 3x1

Ư 2

3x1

3x1

2; 1;1; 2

Ta có bảng sau:
3x 1

-2

-1

1

2

x

-1

-2
3

0

1
3

(loại)
Vậy x 1; 0

(loại)

thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 20. Cho các đa thức sau: A
a) Tính A : B
b) Tìm x

x3

4x2 3x7; Bx4

sao cho A chia hết cho B

Lời giải:
a)
x3
x3

4x2
4x2

3x

7

3x
3x

Vậy x3

xx2 4
3

7
12
19

4x23x7

x4 . x23

b) Để x3

chia hết
cho

4x23x7

Ư

19 x4x4

19

19

x4

x4

thì
19; 1;1;19

Ta có bảng sau:
x

4

x

-19

-1

1

19

-23

-5

-3

15

Vậy x 23,5,3,15

thỏa mãn điều kiện đề bài.

Dạng 3. Vận dụng phép chia đa thức một biến vào bài toán ứng dụng
Bài 1. Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích
bằng
2 y1

4 y2

4 y3

cm2 và chiều rộng

cm .

Lời giải:
Chiều dài của một hình chữ nhật là: 4 y2

4 y3 : 2 y1

25

2 y3

cm

Bài 2. Tính chiều rộng của một hình chữ nhật có diện tích
bằng
3y 2

6 y2 y2

cm2 và chiều dài

cm

Lời giải:
Chiều rộng của một hình chữ nhật là: 6 y2

y2 : 3y2

Bài 3. Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích
bằng rộng
1 3x

cm

2 y1
6x2

7x3

cm2 và chiều

cm

Lời giải:
Chiều dài của một hình chữ nhật là: 6x2

7x3 : 3x1

cm

2x3

Bài 4. Tìm cạnh của một hình vuông biết chu vi của hình vuông là 12x2 8x

cm

Lời giải:
Cạnh của hình vuông là: 12x2 8x : 43x22x

cm

Bài 5. Tính chiều cao ứng với cạnh đáy dài 2x 4
3x2

6x

cm của một tam giác với diện tích là

cm2

Lời
giải:
Chiều cao ứng với cạnh đáy của một tam giác là 2. 3x2 6x : 2x43x

cm

Bài 6. Tính cạnh đáy của một tam giác với diện tích là 15x2 23 x3
tam giác là 5x 3

cm2 và chiều cao của

22

cm

Lời giải:
23 x

Cạnh đáy của một tam giác là: 2. 15x2 2
Bài 7. Quang có 3 túi bi, mỗi túi có
3



số bi này vào  2x
1

6x

3

3 : 5x
3
2

15x2 12x 

cm

6x1

viên bi. Quang muốn chia đều tất cả

chiếc hộp. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu viên bi.

Lời giải:
Mỗi túi có số viên bi là: 3. 2x3 5x24x1 : 2x13x26x3

(viên bi)

Bài 8. Tìm tổng hai đáy của một hình thang biết diện tích của hình thang là
5x3 21x220x6

Lời giải:

cm2 và chiều cao của hình thang

là

x3

Tổng hai đáy của hình thang là: 2. 5x3 21x220x6 : x310x212x4
26

cm .

cm

Bài 9. Tính chiều cao của một hình thang biết diện tích hình thang là 3x3 10x29x2
; đáy bé và đáy lớn của hình thang lần lượt là 3x 2

27

cm ; 6x2 5x

cm .

cm2

Lời giải:
Chiều cao của hình thang
là:

2. 3x3

10x29x2 : 3x26x25x

cm

x2

Bài 10. Tính chiều cao của một hình hộp chữ nhật có diện tích đáy bằng x2 5x3
có thể tích bằng x3 9x223x12

cm và

cm3 .

Lời giải:
Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: x3 9x223x12 : x25x3x4

cm

Bài 11. Tính diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x 3

cm và có thể

tích bằng x3 8x219x12

cm3 .

Lời giải:
Diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật là: x3 8x219x12

: x

3

x2

5x

4

cm2

Bài 12. Một hình hộp chữ nhật có thể tích là x3 8x219x12
(cm3). Biết đáy là hình chữ
nhật có các kích
cm và x 4
cm . Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật đó
x3
thước theo x
Lời giải:
Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: x 3 . x4

x2

cm2

7x12

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: x3 8x219x12 : x27x12x1

cm

Bài 13. Một hình hộp chữ nhật có thể tích là x3 9x223x15

cm3 , chiều cao

là

1

; chiều rộng
là

x

cm

x
3

cm . Tính chiều dài của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:
Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: x3

9x223x15 : x3

Chiều dài của hình hộp chữ nhật là: x2 6x5 : x1x5
Bài 14. Một hình hộp chữ nhật có thể tích
là
nhật có các kích thước 2x
theo x

1

cm và

6x5

cm2

cm
cm3 . Biết đáy là hình chữ

2x3
11x217x6

3

x

x2

cm . Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật đó

Lời giải:
Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: 2x 1 . x32x27x3

cm2

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: 2x3 11x217x6 : 2x27x3x2
Bài 15. Một hình hộp chữ nhật có thể tích là x3 6x211x6
3

28

cm
cm3 , chiều cao

là

x

cm ;

chiều dài
là

1
x

cm . Tính chiều rộng của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

29

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: x3

6x211x6 : x1

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là: x2 5x6 : x3x2

x2

5x6

cm2

cm

Bài 16. Một công ty sau khi tăng giá 20 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 3x
(nghìn đồng) thì có doanh thu 9x2 180x800
(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó
đã bán được theo x
Lời giải:
Số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x là:
9x2 180x800 : 3x203x40

(sản phẩm)

Bài 17. Một công ty sau khi giảm giá 3 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 4x
(nghìn đồng) thì có doanh
24x2 110x96
(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó
thu đã bán được theo x .
Lời giải:
Số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x là:
24x2 110x96 : 4x36x32

(sản phẩm)

Bài 18. Một cửa hàng bán được 3x 40 (sản phẩm) thì có doanh thu là 6x2 95x200
đồng). Tính giá mỗi sản phẩm mà cửa hàng đã bán được theo x .

(nghìn

Lời giải:
Giá mỗi sản phẩm mà cửa hàng đã bán
là:

6x2

95x200 : 3x402x5

(nghìn đồng)

Bài 19. Một công ty sau khi tăng giá 40 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 3x
(nghìn đồng) thì có doanh thu 12x2 280x1600
(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty
đó đã bán được theo x
Lời giải:
Số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x là:
12x2 280x1600 : 3x404x40

(sản phẩm)

Bài 20. Một cửa hàng sau khi giảm giá 3 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 5x
(nghìn đồng) thì có doanh thu 15x2 31x24
(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà cửa hàng đó
đã bán được theo x
Lời giải:
Số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x là:
15x2 31x24 : 5x33x8

(sản phẩm)

Phần III. BÀI TẬP TỰ
LUYỆN
Dạng 1. Thực hiện tính
Bài 1. Tính

30

a) 15 y2 : 3y
2

1

b) 2 x5 :4x4
c) 15z4 :3z 2
Bài 2. Làm các phép tính chia sau:
a) x4 12x25x : x
b) 5x418x3 :5x3
c)2x54x33x2 : 2x2
d)

x6

0, 25x4 2x3 :0, 5x2

Bài 3. Thực hiện các phép chia:
a) 4x5 8x3 :2x3
b) 9x3 12x23x :3x
c) y2 4 y33y4 :2 y2
d)

1 y2
2

3y50, 25 y3y2 :

Bài 4. Thực hiện phép chia:
a) x4 2x312x : x21
b) 6x3 5x24x1 : 2x2x1
c) x4 5x24 : x23x2
Bài 5. Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia
a) 5x2 3x3159x : 53x
b)

4x2

c) 2x4

x3

205x : x4

13x3155x21x2 : 4x

x2

3

Bài 6. Tìm thương Q và dư R sao cho A B.QR
a) A

2x4

x3

3x24x9

b) A 2x311x219x6
c) A

2x 4 x3

x2

x1

và B

x2

1

và B

x2

3x1

và B

x2

1

Bài 7. Cho hai đa thức A
3x4 x3
rồi viết A dưới dạng A B.QR

6x5

biết

và B
31

x2

1. Tìm dư R trong phép chia A cho B

Bài 8. Cho các đa thức sau A x

1;
Bx
3

6x44x3x

2x3 . Tìm dư R trong phép chia A xB x : C x

C x

3x42x35x2x

2;
3

.

Dạng 2. Tìm điều kiện của n để phép tính chia cho trước là phép chia hết
Bài 1. Không làm phép tính chia, hãy nhận xét đơn thức A có chia hết cho đơn thức B hay
không?
1x

a) A x3

và B 2

0, 5y 3 và B y6

b) A

Bài 2. Tìm a để
a) x4 9x321x2xa

chia hết cho x 2

b) 3x4 7x311x2xa
c) x4

x3

6x2

chia hết cho x 4
chia hết cho x2 x5

xa

Bài 3. Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với:
a) A

x4

và B

3x3 3x2axb

b) A 6x47x3ax2b

và B

x2

x2

3x

4

x1

Bài 4. Tìm số tự nhiên n để
a) 15xn

2

chia hết cho 3x3

b) 2 y3 chia hết cho 5 yn
c) x3 5x23x

1

chia hết cho 4xn

d) 2 y4 5 y36 yn

1

chia hết cho

5

y

Bài 4. Tìm a và b để đa thức A chia hết cho đa thức B với:
a) A

x4

và B

3x3 3x2axb

b) A 6x47x3ax2b

và B

x2

x2

3x

4

x1

Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và biểu thức B đồng thời chia hết cho
biểu thức C biết: A 18y12 3n ; B 3yn ; C 3y3
Bài 6. Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau là phép chia hết
a) 4xn
2

5x3 : 2x

b) 2x4 5x3
1 x4

c) 2

xn

2

: 3x2

3x3 0, 25x2 : xn

1

32 4n2n1

Bài 7. Tìm giá trị nguyên của n để biểu
thức

4n3

33

chia hết cho biểu thức 2n 3 .

Bài 8. Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
biết:
a) A
b) A

3n3

8n2

15n

6; B 3n1

4n3

2n2

6n

5; B 2n1

Dạng 3. Vận dụng phép chia đa thức một biến vào bài toán ứng dụng
Bài 1. Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích bằng 12 y2 5 y2
rộng 3y 2

cm2 và chiều

cm

Bài 2. Tính chiều rộng của một hình chữ nhật có diện tích bằng 15 y2 y6
dài 3y 2

cm 2 và chiều

cm

Bài 3. Tính diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x 5
tích bằng x3 9x223x15

cm và có thể

cm3 .

Bài 4. Tính chiều cao của một hình hộp chữ nhật có diện tích đáy bằng x2 3x1
thể tích
bằng

2x3

11x217x5

cm3

Bài 5. Một hình hộp chữ nhật có thể tích là x3 7x214x8
có các kích
thước

x

1

cm và x

2

6

cm3 . Biết đáy là hình chữ nhật

cm . Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật đó theo x

Bài 6. Một hình hộp chữ nhật có thể tích
là
chiều dài là x

cm2 và có

cm3 , chiều cao là 2x

2x3
17x230x

cm . Tính chiều rộng của hình hộp chữ nhật.

cm ;
5

Bài 7. Một công ty sau khi tăng giá 20 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 2x
(nghìn đồng) thì có doanh
6x2 170x1100
(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty
thu đó đã bán được theo x
Bài 8. Một công ty sau khi giảm giá 6 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 2x
(nghìn đồng) thì có doanh thu 18x2 510x1692
(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty
đó đã bán được theo x
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Thực hiện tính
Bài 1.
a) 15 y2 :

3y
2

1
b) 2 x5 :4x4

c)

15z4 :3z 2

5y

1
x6
16
5 z2
3
34

Bài 2.
a) x4

12x25x : x

x3

12x5

35

5x418x3 :5x3x18

b) 5
c)

2x54x33x2 : 2x2

d)

x6

x3

3
2

2x

0, 25x4 2x3 :0, 5x22x40, 5x24x

Bài 3.
a) 4x5 8x3 :2x3

2x24

b) 9x3 12x23x :3x

3x24x1

c) y2

12 y
2

4y33y4 :2 y2

3y50, 25 y3

d)

y2 :

3 y2
2

1 y2
2

1y
2

6 y3

2

Bài 4.
a) x4 2x312x : x21

x2

2x1

x2

3x2

b) 6x3 5x24x1 : 2x2x13x1
c) x4 5x24 : x23x2
Bài 5.
a)

3x35x29x15 :3x5

b) x3

x2

4x25x20 : x4

c) 2x4

x2

13x321x25x15 :

3

5
x2

2x25x5

4x3

Bài 6.
a) A

2x4

Thương Q

x3

và B

3x24x9

x 1 ; dư R

2x2

b) A 2x311x219x6

x2

1

3x8

và B

x2

3x1

x2

1

Thương Q 2x 5 ; dư R 2x1
c) A

2x 4 x3

Thương Q
Bài 7.

2x2

x2

x1

và B

x 3 ; dư R

4

Dư R trong phép chia A cho B là 5x
3x

4

x3

6x5

x2

1 . 3x2

2
x35x2

Bài 8.
36

A xB x : C x
1
3

6x44x3x

2
: 2x3
3

3x42x35x2x

9x
1 dư 5x2  2x 1
2

9x42x35x22x1 : 2x3

Vậy dư trong phép chia A xB x : C x

là R  5x2  2x 1

Dạng 2. Tìm điều kiện của n để phép tính chia cho trước là phép chia hết
Bài 1.
1x

a) A x3

và B 2

Đơn thức A có chia hết cho đơn thức B vì mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ nhỏ
hơn số mũ của nó trong A
b) A 0, 5y3

và B y6

Đơn thức A không chia hết cho đơn thức B vì mỗi biến của B đều là biến của A nhưng với
số mũ lớn hơn số mũ của nó trong A
Bài 2.
a) x4 9x321x2xa
b) 3x

4

chia hết
cho

7x311x2xa

c) x

x3

6x2

4

2

chia hết
cho

xa

khi a

x

30

khi a

x
4

chia hết cho x2 x5

500

khi a

Bài 3.
a) A

x4

3x3 3x2axb

và B

x2

3x

4

Để đa thức A chia hết cho đa thức B thì a 3;
b) A 6x47x3ax2b

và B

x2

5

b

4

x1

Để đa thức A chia hết cho đa thức B thì a 6;

b

1

Bài 4.
a) 15xn

2

chia hết cho 3x3 khi n 23n1
1

b) 2 y3 chia hết cho 5 yn
c) x3 5x23x
d) 2 y4

5 y36 yn

khi n 13n2n0;1; 2

chia hết cho 4xn khi hạng tử 3x chia hết cho 4xn
chia hết cho

1
5

n1n0;1

y khi hạng tử 6 yn chia hết cho
37

1y
5

Bài 5.

38

n

1

Để hai biểu thức A và biểu thức B đồng thời chia hết cho biểu thức C khi
123n3
n3

n
n

3
3

n3

Bài 6.
a) Để

4xn

2

b) Để 2x4
c) Để

1 x4
2

5x3 : 2x là phép chia hết khi 4xn

2

chia hết cho 2x khi n

21n3

2

5x

3

n 2

x

: 3x

2

là phép chia hết khi x

n

chia hết cho 3x2 khi n

n
3xn 0, 25x2 : x2 là phép chia hết khi 3x chia hết cho x2

22n0

khi n 2

Bài 7.
Ta có: 4n3 4n2n12n3 . 2n2n12
Để biểu
thức

4n3

2 2n

2n

3

4n2
3

n 1 chia hết cho biểu thức 2n

3

khi

2; 1;1; 2

Vậy n 1; 2
Bài 8.
a) Để A 3n38n215n6

chia hết cho B 3n1

khi 2 3n1

3n1

2; 1;1; 2

2n1

2n1

2; 1;1; 2

Vậy n 0,1
b) Để

A4n32n26n5

2n1

chia hết cho B

khi 2

Vậy n 0,1
Dạng 3. Vận dụng phép chia đa thức một biến vào bài toán ứng dụng
Bài 1.
Chiều dài của một hình chữ nhật
là:

12 y2 5 y2 : 3y24 y1

cm

Bài 2.
Chiều rộng của một hình chữ nhật
là:

15 y2

y6 : 3y25 y3

cm

Bài 3.
Diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật là x3

9x223x15 : x5

Bài 4.
Chiều cao của hình hộp chữ nhật
là:

Bài 5.
Chiều cao của hình hộp chữ nhật là:
39

x2

4x3

cm2

Bài 6.

2x3 11x217x5 : x23x12x5
17x230x : 2x5
x3

Diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật
là

7x214x8 : x1 . x2
2x3

40

cm
x2
x4

6x

cm
cm2

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là x2 6x : x6x

cm

Bài 7.
Số sản phẩm mà công ty đó đã bán được là:
6x2 170x1100 : 2x203x55

(sản phẩm)

Bài 8.
Số sản phẩm mà công ty đó đã bán được là:
18x2 510x1692 : 2x69x282

(sản phẩm)
PHIẾU BÀI TẬP
( Nội dung là toàn bộ bài tập đã có trên )

Dạng 1. Thực hiện tính
Bài 1. Tính
a) 3x7 : 1 x4
2
b) 2x : x

c) 0, 25x5 : 5x2
Bài 2. Tính
a) 12x3 : 4x
b) 2x4 : x4
c) 2x5 : 5x2
Bài 3. Tính
a) 120x7: 24x5
b)

3 x 3:1x
4 8

c) -3,72x5 : 4x 2
Bài 4. Tính
a) 12x4 : 6x2
b) 24xm :

6x n

m, n

; mn

Bài 5.
Tính
a) 3x6 : 0, 5x4
d) 4x3 : x2
41

c) axm : bxn

a

d) 12xm 2 : 4xn 2

0;b0; m, n
m, n

; mn

; mn

Bài 6. Tính
a) x3 12x25x : x
b) 5x415x318x :5x
c)

x6

5x42x3 : 0, 5x2

Bài 7. Thực hiện các phép chia đa thức sau
a) 3x315x281x :3x
b) 3x55x3x2 : 2x2
c)6x57x46x3 : 3x3
Bài 8. Thực hiện phép chia
a)

x5

b)

5x4
x6

5x5

2x2 : 0,5x

2

2x4 : 2x2

2

Bài 9. Thực hiện phép chia
1 x4

a) 2

1 x5

b) 2

1 x3
4

x :

1x
8

2x2

x :

1x
4

Bài 10. Thực hiện phép
chia

0, 25x7

3x5

x4 cho 0, 5xn trong mỗi trường hợp sau:

a) n 3
b) n 4
Bài 11. Tính
a) 2x3 5x2x1 : 2x1
b) x32x4 : x2
c) 6x3 19x223x12 : 2x3
d) x4 2x312x : x21
Bài 12. Thực hiện phép chia đa thức sau
a) x4 8x216 : x24
42

b)

x2

25 : x 5

43

c) x3 1 : x2x1
Bài 13. Thực hiện phép chia
a) 0, 5x6

x4x3

1, 5x2 2x3 : 0, 5x21

b) 9x2 4 : 3x2
Bài 14. Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia
a) 4x2 4x34x3x41 : 14x3x2
b) 9

x4 10x2 : 4x 3

x2

Bài 15. Sắp xếp đa thức theo ...