CHƯƠNG VII. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ.
A. LÝ THUYẾT.
1) Biểu thức đại số.
Ví dụ 1: Với các biểu thức
a)
b)
c)
 Các biểu thức trên đều được gọi là các biểu thức
 Biểu thức câu a không có chữ nên gọi là biểu thức số.
 Biểu thức câu b và c có các chữ x và y, khi đó x, y gọi là các biến số và đại diện cho
một số nào đó.
 Để đơn giản khi viết biểu thức đại số thì phép nhân của một số với chữ có thể viết tắt
như
sau:
hoặc

hoặc

2) Giá trị của biểu thức đại số.
Ví dụ 2: Cho biểu thức đại số

.

Khi
thì giá trị của biểu thức
Kết luận:
 Để tính giá trị của một biểu thức đại số có chứa biến, ta thay giá trị cho trước của biến
vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Ví dụ 3: Bác nông dân sử dụng chiếc máy bơm nước để bơm nước vào ao cá. Chiếc máy
bơm thứ nhất cứ mỗi

giờ bơm được

nước, còn máy bơm thứ hai mỗi giờ bơm được

nước.
a) Viết biểu thức lượng nước bơm được khi máy bơm thứ nhất bơm trong
máy bơm thứ hai bơm được giờ.
b) Sử dụng kết quả câu a, để tính lượng nước bơm được khi
a) Lượng nước bơm được của máy thứ nhất khi chạy trong
Lượng nước bơm được của máy thứ hai khi chạy trong

giờ và

giờ, còn
giờ.

giờ là
giờ là

Biểu thức thể hiện lượng ước bơm được khi là
b) Khi

thay vào biểu thức ta được

B. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1)

tại

2)

tại

3)

tại

4)

5)

tại

8)
7)
tại
.
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1)

tại

tại

.

tại

9)

tại

2)

3)

tại

5)

6)

tại

tại

4)

tại

tại

6)

7)

tại

tại

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1)

tại

2)

3)

tại

5)

4)

tại

tại

6)

7)

tại

8)

9)

tại

10)

11)

tại

tại

.

tại
tại
tại

12)

tại

.

Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1)

tại

2)

3)

tại

4)

tại

6)

tại

5)

tại

7)

8)

tại

9)

tại

.

11)
tại
.
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1)

tại

3)

tại

tại

10)

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau:

tại

12)

2)
.

tại

4)

tại

tại

tại

.
.

1)

2)

tại

3)

tại

tại

4)

tại

Bài 7: Tìm giá trị của biến để biểu thức sau nhận giá trị bằng
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Bài 8: Tìm giá trị của biến để biểu thức sau nhận giá trị bằng
1)

2)

4)

5)

3)
6)

Bài 2. ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Đơn thức một biến.
Ví dụ 1: Các biểu thức
;
;
đều là tích một số với một lũy thừa của nên gọi
là đơn thức một biến.
Kết luận:
 Đơn thức một biến ( đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với
mội lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của biến gọi là bậc của đơn
thức.
Cụ thể:
thì hệ số là
còn bậc là .
 Mỗi số khác cũng là một đơn thức bậc .
 Số cũng là một đơn thức, đơn thức này không có bậc.
2) Cộng, trừ, nhân các đơn thức một biến.
Ví dụ 2: Tính
Ví dụ 3: Tính
Ví dụ 4: Tính
Kết luận:
 Ta chỉ có thể cộng trừ các đơn thức cùng bậc bằng cách cộng hay trừ các hệ số và giữ
nguyên biến.
 Khi nhân các đơn thức ta nhân phần hệ số với nhau, phần biến với nhau.
3) Đa thức một biến.
 Đa thức một biến gọi tắt là đa thức là tổng của những đơn thức của cùng một biến,
mỗi đơn thức gọi là một hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.
 Số cũng được gọi là một đa thức, gọi là đa thức không.
 Đa thức thường được kí hiệu bởi các chữ cái in hoa và kèm thêm kí hiệu biến.
Cụ thể

thể hiện là đa thức của biến

Ví dụ 5: Đa thức

.

là một đa thức, đa thức này có

hạng tử.

Ví dụ 6: Cho đa thức
Nhận thấy trong đa thức
Nên đa thức

có hai hạng tử có cùng bậc là

và

và

là đa thức chưa rút gọn. Để rút gọn thì ta đi tính các hạng tử cùng

bậc,
cụ thể
.
Ngoài ra ta nên sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần lũy thừa của biến
Ví dụ 7: Đa thức
Ta có thể sắp xếp lại thành
4) Bậc và hệ số của đa thức một biến.
Ví dụ 8: Cho đa thức

,

là đa thức có bốn hạng tử.

Trong đó hạng tử

có lũy thừa cao nhất là , nên đa thức

có bậc .

Hệ số của
là , nên gọi là hệ số cao nhất của đa thức
.
Hạng tử 1 không có biến gọi là hệ số tự do.
Kết luận:
 Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.
 Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức.
 Hệ số của hạng tử bậc gọi là hệ số tự do.
Chú ý:
 Đa thức không thì không có bậc xác định.
 Muốn tìm bậc của một đa thức, ta phải thu gọn đa thức đó rồi mới tìm bậc.
Ví dụ 9: Cho đa thức
a) Thu gọn, sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến
b) Tìm hệ số tự do, hệ số cao nhất của đa thức.
a)
b) Hệ số tự do là , hệ số cao nhất là
5) Nghiệm của đa thức một biến.
Ví dụ 10: Cho đa thức
Khi đó tại

.

.
thì đa thức

Kí hiệu
Với

.

nhận giá trị là

.
thì

Khi đa thức có giá trị bằng
Kết luận:

tại

, thì

gọi là nghiệm của đa thức

.

 Tại
mà
có giá trị bằng thì
là một nghiệm của đa thức
.
Nhận xét:
 Để tìm nghiệm của một đa thức, ta cho đa thức đó bằng , chuyển về bài toán tìm
 Một đa thức có thể không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm của đa thức
Cho
B. BÀI TẬP.

. Vậy

là một nghiệm của đa thức

Bài 1: Chỉ ra phần hệ số và bậc của các đơn thức sau
3)
1)
2)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

18)

17)

19)

20)

Bài 2: Thực hiện phép tính sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Bài 3: Thực hiện phép tính sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Bài 4: Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần lũy thừa của biến
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)
10)
Bài 5: Thu gọn, tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Bài 6: Tìm nghiệm của các đa thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)
26)
Bài 7: Tìm nghiệm của các đa thức sau

27)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

Bài 8: Tìm nghiệm của các đa thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

8)

9)

7)

Bài 9: Tìm nghiệm của các đa thức sau

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Bài 10: Tìm nghiệm của các đa thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Bài 11: Tìm nghiệm của các đa thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

Bài 12: Tìm nghiệm của các đa thức sau
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

Bài 13: Xác định

để đa thức sau nhận

là nghiệm:

.

Bài 14: Xác định

để đa thức sau nhận

là nghiệm:

.

Bài 15: Xác định

để đa thức sau nhận

là nghiệm:

Bài 16: Xác định

để đa thức sau nhận

là nghiệm:

.

Bài 17: Xác định

để đa thức sau nhận

là nghiệm:

.

Bài 18: Xác định

để đa thức sau nhận

là nghiệm:

.

Bài 19: Xác định

để đa thức sau nhận

là nghiệm:

Bài 20: Xác định

để đa thức sau nhận – 3 là nghiệm:

Bài 21: Xác định

để đa thức sau nhận – 2 là nghiệm:

Bài 22: Xác định

để đa thức sau nhận – 4 là nghiệm:

.

Bài 23: Xác định

để đa thức sau nhận – 4 là nghiệm:

.

.

.
.
.

Bài 3. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Cộng hai đa thức một biến.
Ví dụ 1: Cho hai đa thức
Khi đó

và

.
Chú ý:
 Phép cộng đa thức cũng có tính chất như: Giao hoán, Kết hợp.
2) Trừ hai đa thức một biến.
Ví dụ 2: Cho hai đa thức
Khi đó

và

.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho

và

a) Tính
b) Tính
Bài 2: Cho

và

a) Tính
b) Tính
Bài 3: Cho

và

a) Tính
b) Tính
Bài 4: Cho
a) Tính

và
và

b) Tính
c) Tính

.

Bài 5: Cho
a) Tính

và
và

b) Tính giá trị của đa thức
Bài 6: Cho

.
tại
và

.

a) Hãy sắp xếp các đa thức
b) Tính

theo lũy thừa giảm dần của biến.

và

.

Bài 7: Cho

và

a) Sắp xếp các đa thức

và

.

b) Tính
c) Tính

.

Bài 8: Cho
a) Sắp xếp các đa thức

và
và

.

b) Tính
c) Tính
Bài 9: Cho

và

.

a) Tính
b) Tính
Bài 10: Cho

và

a) Tính
b) Tính
Bài 11: Cho
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức

và
và

.

b) Tính
c) Tính
Bài 12: Cho

và

a) Thu gọn và sắp xếp
b) Tính
c) Tính
Bài 13: Cho
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức
b) Tính
c) Tính

và
và

.

Bài 14: Cho

và

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức

và

.

b) Tính
c) Tính
Bài 15: Cho

và

a) Sắp xếp và thu gọn hai đa thức

và

.

b) Tính
c) Tính
Bài 16: Cho

và

a) Tính
b) Tính
Bài 17: Cho

,

và

a) Tính
b) Tính
Bài 18: Cho

,

và

a) Tính
b) Tính
Bài 19: Cho
a) Tính

,

và

.

b) Tính
Bài 20: Cho

,

và

a) Tính
b) Tính
Bài 21: Cho
a) Tính
b) Tính

,

và

Bài 22: Cho

,

,

a) Tính
b) Tính
c) Tính
Bài 23: Cho

,

và

.

a) Tính
b) Tính
c) Tính

Bài 4. PHÉP NHÂN ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Nhận đơn thức với đa thức.
Ví dụ 1: Tính
.
Kết luận:
 Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa
thức, rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 2: Tính
.
2) Nhân đa thức với đa thức.
Ví dụ 3: Tính
Kết luận:
 Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với
tứng hạng tử của đa thức kia.
 Phép nhân đa thức cũng có tính chất giao hoán và kết hợp.
Ví dụ 4: Tính
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Thực hiện phép tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Bài 2: Thực hiện phép tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Bài 3: Thực hiện phép tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

10)

11)

9)
12)

Bài 4: Thực hiện phép tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
15)

14)
16)

Bài 5: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Bài 6: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
1)
2)

3)
4)
5)
6)

Bài 7: Tìm

biết

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Bài 8: Tìm

biết

1)

2)

3)

4)

5)
7)

6)
8)

Bài 5. PHÉP CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Làm quen với phép chia đa thức
Ví dụ 1: Với hai đơn thức

và

nhận thấy rằng

Nên ta có thể viết
Kết luận:
 Cho hai đa thức
phép chia hết:
Trong đó:

và

với

. Nếu có một đa thức

sao cho

thì ta có

hay
.
là đa thức bị chia
là đa thức chia

là đa thức thương.
 Muốn chia hai đơn thức một biến, ta chia phần hệ số với nhau, phần biến với nhau.
Ví dụ 2: Tính
2) Chia đa thức cho đa thức.
Ví dụ 3: Đặt tính chia

.

Lấy hạng tử bậc cao nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất.
Rồi thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên.
Chú ý:
 Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta không cần đặt tính chia.
Ví dụ 4: Tính
.
3) Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư.
Ví dụ 5: Tính
Bài làm:

Vậy
( dư

B. BÀI TẬP.

).

Bài 1: Thực hiện phép tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Bài 2: Thực hiện phép tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Bài 3: Đặt tính rồi tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

Bài 4: Đặt tính rồi tính
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Bài 5: Tìm hệ số a để
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

13)

14)

12)