Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
(6 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết được vectơ trong không gian.

-

Nhận biết và thực hiện được các phép toán vectơ trong không gian.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Năng lực tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, phân tích, lập
luận để giải thích được khái niệm: Vectơ trong không gian, độ dài của vectơ
trong không gian, hai vectơ cùng phương, cùng hướng/ ngược hướng, hai vectơ
bằng nhau trong không gian.

-

Năng lực mô hình hóa toán học: Xác định được điểm, biểu diễn được vectơ
xuất hiện trong bài toán thực tiễn.

-

Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Thực hiện được các phép toán vectơ trong
không gian.

-

Năng lực giao tiếp toán học: Đọc, hiểu thông tin toán học.

-

Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng được máy tính cầm
tay.

1

Năng lực số:
-

1.1.NC1b: Áp dụng được kỹ thuật tìm kiếm để lấy được dữ liệu, thông tin và
nội dung trong môi trường số.

-

2.1.NC1a: Sử dụng được nhiều công nghệ số để tương tác.

-

5.2.NC1b: Áp dụng được các công cụ số khác nhau và các giải pháp công nghệ
có thể có để giải quyết vấn đề.

-

6.2.NC1a: Lựa chọn và sử dụng được các công cụ AI phù hợp để nâng cao hiệu
suất và giải quyết các vấn đề phức tạp.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
-

GV: KHBD, SGK, SBT Toán 12, bài trình chiếu (Slide), phòng thực hành máy
tính kết nối Internet, máy chiếu, video AI tạo bằng công cụ AI được dùng để
khởi động bài học, bộ câu hỏi trắc nghiệm trên phần mềm Quizizz.

-

HS: SGK, SBT Toán 12 – Kết nối tri thức, vở ghi.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy và trả lời câu hỏi xuất
hiện trong video đó.

2

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng
và biết sử dụng vectơ để biểu thị đại lượng có
hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như
vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có
hướng trong không gian, ta có thể sử dụng
vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép
toán vectơ trong trường hợp này giống hay
khác như thế nào với các phép toán vectơ
trong mặt phẳng?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS xem video và suy nghĩ câu trả lời.
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét, đánh giá và kết luận.
[6.2.NC1a: HS sử dụng công cụ AI hoặc sản phẩm số do GV cung cấp để tiếp nhận
thông tin, trả lời câu hỏi đơn giản.
2.1.NC1a: HS thực hiện các tương tác cơ bản với học liệu số (xem video, trả lời câu
hỏi trên môi trường số).
1.1.NC1a: HS tiếp cận, khai thác được thông tin từ nguồn học liệu số dưới sự hướng
dẫn của GV.]
- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Đối với
các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng
hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác nhau như thế
nào với các vectơ trong mặt phẳng? Ta sẽ đi tìm hiểu bài học ngày hôm nay.”.
Bài mới: Vectơ trong không gian.

3

2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Vectơ trong không gian
a) Mục tiêu: Nhận biết vectơ trong không gian.
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ
trả lời câu hỏi, thực hiện các HĐ1; Luyện tập 1, 2; Vận dụng 1 và giải thích các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được khái niệm vectơ trong không gian.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Vectơ trong không gian

- GV trình chiếu hình 2.2 cho HS quan HĐ1

NLS
- 1.1.NC1b:
Tổ chức tìm

sát và thảo luận với bạn cùng bàn để a) Các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ thể kiếm
trả lời câu hỏi trong HĐ1.

thông

hiện rằng lực căng dây nằm dọc theo dây tin trong môi

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được treo và hướng về phía móc treo của cần trường số.
tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) cẩu. Độ lớn của các lực căng dây là xấp xỉ - 5.2.NC1b:
được thể hiện bởi các đoạn thẳng có bằng nhau.
mũi tên màu đỏ.

Sử

dụng

b) Các đoạn thẳng không cùng nằm trong công cụ số để
một mặt phẳng.

tìm

kiếm

thông

tin

trong

môi

trường số, vẽ
hình.

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về
hướng và độ lớn của các lực căng

4

dây?
b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm
trên một mặt phẳng không?
+ GV chọn hai HS đứng tại chỗ trả lời.
+ GV nhận xét và rút ra kết luận cho Định nghĩa
HS.

- Vectơ trong không gian là một đoạn

+ GV trình chiếu nội dung trong thẳng có hướng.
Khung kiến thức.

- Độ dài của vectơ trong không gian là
khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối
của vectơ đó.

- GV giới thiệu một số ví dụ về đại
lượng biểu diễn vectơ trong không
gian và yêu cầu HS lấy thêm ví dụ về
các vectơ trong không gian. (GV có thể
tổ chức cho HS sử dụng công cụ số
(Google hoặc Chatbot AI), tìm kiếm
một số ví dụ về vectơ trong không gian
trên Internet)
+ HS có thể trả lời:
 Vận tốc của máy bay có thể được
biểu diễn bởi vectơ trong không
gian.
 Lực kéo của sợi dây tác động lên
thùng hàng.

5

Câu hỏi

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt
phẳng, đối với vectơ trong không gian ta
cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:
+ GV nhận xét.
- GV nêu chú ý cho HS.

- Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là
B được kí hiệu là  ⃗
AB .

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm
cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu
là a⃗ , b⃗ , ⃗x , ⃗y , …
AB được kí hiệu là |⃗
AB|
- Độ dài của vectơ  ⃗

, độ dài của vectơ a⃗ được kí hiệu là |⃗a|.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm
cuối của một vectơ được gọi là giá của
vectơ đó.

Ví dụ 1: SGK – tr.16
Hướng dẫn giải: SGK – tr.16.
- GV cho HS 5 phút để đọc Ví dụ 1 và
thảo luận cùng bạn bên cạnh.
Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh
bằng 1.

6

a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là
A và điểm cuối là một trong các đỉnh
còn lại của tứ diện?
b) Trong các vectơ tìm được ở câu a,
những vectơ nào có giá nằm trong mặt Luyện tập 1
phẳng ( ABC )?
a) Các vectơ có giá cùng nằm trong mặt
c) Tính độ dàu của các vectơ tìm được phẳng ( ABCD ) là  ⃗
AC , ⃗
AD .
ở câu a.

AD ' và  ⃗
AC
b) Các vectơ có cùng độ dài là  ⃗

+ GV chọn 3 HS đứng tại chỗ trả lời .
các ý a, b, c.
+ GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ
Hình 2.6, yêu cầu HS suy nghĩ và làm
Luyện tập 1.

7

HĐ2

Cho

hình

lập

phương

ABCD.A'B'C'D'. Trong các vectơ
⃗
AC , ⃗
AD , ⃗
AD ' .

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm
trong mặt phẳng ( ABCD )?
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?
+ GV chỉ định một bạn đứng tại chỗ trả
lời.

a) Hai vectơ có độ dài bằng nhau.
b) Hai vectơ có giá song song với nhau.
c) Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

+ GV mời HS khác nhận xét.
+ GV chốt đáp án.
- GV vẽ hình 2.7 cho HS quan sát và
thảo luận với bạn cùng bàn để trả lời
câu hỏi trong HĐ2.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
AB và
a) So sánh độ dài của hai vectơ  ⃗
⃗
D ' C '.

AB
b) Nhận xét vè giá của hai vectơ  ⃗
D ' C '.
và  ⃗
AB và  ⃗
D ' C ' có cùng
c) Hai vectơ  ⃗

phương

8

không?

Có

cùng

hướng

Ghi nhớ
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu
chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

không?

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng

+ GV cho HS nhắc lại khái niệm hai cùng hướng hoặc ngược hướng.
vectơ cùng phương, cùng hướng, - Hai vectơ a⃗ và b⃗ được gọi là bằng nhau,
ngược hướng, hai vectơ bằng nhau kí hiệu a⃗ =b⃗ , nếu chúng có cùng độ dài và
trong mặt phẳng.

cùng hướng.

+ GV chỉ định 3 HS đứng tại chỗ trả
lời các ý a, b, c.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.
+ GV nói rằng trong trường họp đó, ta
AD và  ⃗
nói hai vectơ  ⃗
D ' C ' là bằng

nhau.
+ GV trình chiếu nội dung trong
Khung kiến thức.
+ HS ghi chép vào vở.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt
phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau
đối với vectơ trong không gian.
- Trong không gian, với mỗi điểm O và
vectơ a⃗ cho trước, có duy nhất một điểm
M sao cho  ⃗
OM =⃗a.

- Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối
- GV cho HS đọc câu hỏi và suy nghĩ.
+ GV gọi một bạn đứng tại chỗ trả lời.
+ HS trả lời: “Hai vectơ cùng bằng một
vectơ thứ ba thì chúng bằng nhau vì
chúng có cùng hướng và cùng độ dài.”
+ GV nhận xét và chốt đáp án.
- GV giới thiệu cho HS các tính chất
và quy ước đối với vectơ trong không
gian ở trong mục Chú ý.

9

AA , ⃗
BB, … gọi là các
trùng nhau, ví dụ như  ⃗

vectơ-không.
- Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0,
cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với
mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều
bằng nhau và được kí hiểu chung là 0⃗ .
Ví dụ 2: SGK – tr.48
Hướng dẫn giải: SGk – tr.48

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu
Ví dụ 2.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

Luyện tập 2

BC , ⃗
CC ' , ⃗
BB ' , vectơ
a) Trong ba vectơ  ⃗
AA ' ? Giải thích tại
nào bằng vectơ  ⃗

sao.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên

b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. AB// CD và AB=CD . Khi đó: ⃗
AB=⃗
DC .
MM ' =⃗
AA ' . b)
Xác định điểm M' sao cho  ⃗

+ GV chỉ định 2 HS nêu lại cách giải Để  ⃗
MN =⃗
AB thì MN // AB và MN =AB .

10

bài toán.

Suy ra, MNBA là hình bình hành. Khi đó,

+ GV nhận xét và chốt kiến thức.

điểm N thuộc cạnh BC sao cho BN = AM .

- GV vẽ hình và cho HS làm cá nhân
phần Luyện tập 2

Vận dụng 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là Nếu biểu thị vị trí của thang máy ở các
tầng 15, 22, 29 lần lượt bởi các điểm
ABCD là hình bình hành.
SC , ⃗
AD , ⃗
DC , vectơ A , B , C thì vectơ biểu thị độ dịch chuyển
a) Trong ba vectơ  ⃗
của thang máy trong hai lần di chuyển là
AB ?
nào bằng vectơ  ⃗

AB và  ⃗
BC . Vì A , B , C thẳng hàng theo thứ
b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. ⃗
AB và  ⃗
BC cùng hướng.
tự nên  ⃗
MN =⃗
AB .
Xác định điểm N sao cho  ⃗
BC đều có độ dài bằng
AB và  ⃗
+ GV chọn một bạn đứng tại chỗ trả Hơn nữa  ⃗
AB|=|⃗
BC| .
tổng chiều cao của 7 tầng nên |⃗
lời hai ý a và b.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV yêu cầu HS thảo luận với bạn
cùng bàn Vận dụng 1
Một tòa nhà có chiều cao của các tầng
là như nhau. Một chiếc thang máy di
chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa
nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên
tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch
chuyển của thang máy trong hai lần di
chuyển đó có bằng nhau không? Giải

11

AB=⃗
BC .
Vậy  ⃗

thích vì sao?

+ GV gọi đại diện một HS trả lời.
+ HS khác chú ý lắng nghe và nhận
xét.
+ GV tổng kết.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu
cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

12

Hoạt động 2: Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
a) Mục tiêu: Nhận biết và thực hiện được phép toán cộng và trừ hai vectơ trong
không gian.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các HĐ3, 4; 5; Luyện tập 3, 4, 5; Luyện tập 6; Vận dụng 2 và
đọc hiểu ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được cách thực hiện phép toán vectơ trong không gian.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong

NLS
5.2.NC1b:

Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về tổng của hai không gian

HS biết cách

vectơ trong không gian

sử dụng phần

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

- GV vẽ Hình 2.10 và cho HS đọc yêu HĐ3:

mềm để vẽ

AB=⃗
A ' B ' (cùng bằng a⃗ ) nên bốn hình.
a) Vì  ⃗

cầu của HĐ3:

Trong không gian cho hai vectơ a⃗ và b⃗ điểm A , B , A' , B ' đồng phẳng và tứ giác
không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ ABB ' A ' là hình bình hành. Suy ra
AA '=⃗
BB ' .
các vectơ  ⃗
AB=⃗a , ⃗
BC =⃗b. Lấy điểm A '  ⃗

khác

A

và

vẽ

các

BB' =⃗
CC ' .
vectơ Tương tự, ta có  ⃗

 ⃗
A ' B ' =⃗a ,⃗
B ' C ' =⃗b.

AA '=⃗
CC ' , do đó bốn
b) Từ câu a, suy ra  ⃗

điểm A , C , C' , A ' đồng phẳng và tứ giác
ACC ' A '

là hình bình hành. Vì vậy

⃗
AC =⃗
A ' C '.
AA '=⃗
BB ' và
a) Giải thích vì sao  ⃗
⃗
BB '=⃗
CC ' .

b) Giải thích vì sao AA ' C ' C là hình
AC =⃗
A ' C '.
bình hành, từ đó suy ra  ⃗

13

+ GV có thể đặt câu hỏi cho HS: Tứ
giác AB B' A ' , BCC ' B ' là hình gì?
+ HS sử dụng dữ kiện của đề bài để trả
lời và suy ra điều cần giải thích ở câu
hỏi.
+ GV nhận xét, chốt đáp án.
+ GV trình chiếu nội dung trong khung
kiến thức.

Ghi nhớ
Trong không gian, cho hai vectơ a⃗ , b⃗ . Lấy
điểm A bất kì và các điểm B ,C sao cho
⃗
AB=⃗a, ⃗
AC được gọi
BC =⃗b . Khi đó vectơ ⃗

là tổng của hai vectơ a⃗ và b⃗ , kí hiệu a⃗ + ⃗b.
Trong không gian, phép lấy tổng của hai
vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
- GV yêu cầu HS nêu lại quy tắc ba Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc
điểm và quy tắc hình bình hành trong hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng
mặt phẳng. Từ đó GV rút ra nhận xét trong không gian:
- Nếu A , B , C là ba điểm bất kì thì
cho HS.
⃗
AB + ⃗
BC=⃗
AC

- Nếu ABCD là hình bình hành thì
⃗
AB +⃗
AD=⃗
AC

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 3: SGK – tr.49
Ví dụ 3.
Hướng dẫn giải: SGK – tr.49.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài
BC +⃗
DD ' .
của vectơ  ⃗

14

+ Áp dụng quy tắc cộng vectơ, vectơ
BC +⃗
DD ' là vectơ nào?
tổng của ⃗

+ Sử dụng tính chất hình vuông và
định lí pythagore để tính độ dài vectơ Luyện tập 3
Ta có:  ⃗
AC+⃗
C' D '=⃗
AC+⃗
CD=⃗
AD.

đó.

'
'
+ GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trình bày Suy ra, |⃗
AC +⃗
C D |=|⃗
AD|=AD =1.
lại cách làm.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.
- GV cho HS suy nghĩ và làm cá nhân
Luyện tập 3.
Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của
AC+⃗
C ' D' .
vectơ  ⃗

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.
- GV chỉ định một HS nhắc lại các tính
chất của phép cộng vectơ trong mặt
phẳng. Từ đó, GV dẫn dắt đến mục
Chú ý.

15

Chú ý: Phép cộng vectơ trong không gian
cũng có các tính chất như phép cộng vectơ
trong mặt phẳng.
- Tính chất giao hoán: a⃗ + ⃗b= ⃗b+⃗a ;
- Tính chất kết hợp: ( ⃗a + ⃗b ) + ⃗c =⃗a +( ⃗b+ ⃗c );
- Với mọi vectơ a⃗ , ta luôn có: a⃗ + ⃗0=0⃗ + ⃗a =⃗a
.
Ví dụ 4: SGK – tr.50
Hướng dẫn giải: SGK – tr.50

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu
Ví dụ 4.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng
⃗
AC + ⃗
BD=⃗
AD +⃗
BC .

Luyện tập 4
Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta
AB=⃗
AD +⃗
DB . Từ đó lần lượt áp dụng
có:  ⃗

tính chất phép cộng vectơ trong không
gian, ta được:
⃗
AB+ ⃗
CD=( ⃗
AD +⃗
DB )+ ⃗
CD=⃗
AD + ( ⃗
CD + ⃗
DB )=⃗
AD +⃗
CB .

+ GV chỉ định 1HS lên bảng vẽ hình
và trình bày bài.
+ GV nhận xét.
- GV cho HS làm việc cá nhân Luyện
tập 4.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng
⃗
AB+ ⃗
CD=⃗
AD +⃗
CB.

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày.
+ HS khác theo dõi và nhận xét.
+ GV nhận xét, chốt kiến thức.
- GV vẽ Hình 2.14 và cho HS đọc yêu
cầu của HĐ4:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

16

HĐ4
a) Áp dụng quy tắc hình bình hành:
AB+⃗
AD=⃗
AC .
 ⃗
AB+⃗
AD+⃗
AA '=⃗
AC +⃗
AA ' .
b) Ta có:  ⃗

Áp dụng quy tắc hình bình hành:
AC +⃗
AA ' =⃗
AC ' . Khi đó:
 ⃗
⃗
AB +⃗
AD+⃗
AA ' =⃗
AC '

Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABCD . A ' B ' C ' D ' . Ta có:
⃗
AB +⃗
AD+⃗
AA ' =⃗
AC '

AB+⃗
AD và  ⃗
AC có bằng Ví dụ 5: SGK – tr.50
a) Hai vectơ  ⃗
nhau hay không?
Hướng dẫn giải: SGK – tr.50.
AC ' có
AB+⃗
AD+⃗
AA ' và  ⃗
b) Hai vectơ  ⃗

bằng nhau hay không?
+ GV có thể yêu cầu HS nêu lại quy
tắc hình bình hành trong mặt phẳng.
Quy tắc hình bình hành:
⃗
AB +⃗
AD=⃗
AC

+ GV gọi 2 HS lên bảng trình bày

Luyện tập 5
BB'+ ⃗
CD+ ⃗
AD=⃗
BB ' +⃗
BA +⃗
BC
Ta có:  ⃗

Áp dụng quy tắc hình hộp:

HĐ4.

⃗
BB '+ ⃗
BA + ⃗
BC=⃗
BD '

+ GV nhận xét, chốt kết quả.
+ GV nói rằng kết quả trên được gọi là
quy tắc hình hộp.
+ GV trình chiếu nội dung trong
Khung kiến thức.
- GV cho HS quan sát và nghiên cứu
Ví dụ 5.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng
BC + ⃗
DC +⃗
AA '=⃗
AC ' .
minh rằng  ⃗

+ GV yêu cầu một HS đứng tại chỗ

17

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian
HĐ5
Hai lực cùng phương, ngược hướng và có
độ lớn bằng nhau.

trình bày.
+ GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV cho HS làm cá nhân Luyện tập
5.
Cho

hình

hộp

chữ

nhật

BCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng
⃗
BB '+ ⃗
CD+ ⃗
AD=⃗
BD ' .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài.
+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét bài
bạn.
+ GV nhận xét, sửa bài, chốt kiến thức.
Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu về hiệu của hai
vectơ trong không gian
- GV trình chiếu hình 2.15 và cho HS
đọc yêu cầu của HĐ5:
Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt
trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo
nên một lực tác dụng lên mặt bàn và
một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có
nhận xét gì về độ dài và hướng của các
vectơ biểu diễn hai lực đó?

18

Ghi nhớ
Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và
ngược hướng với vectơ a⃗ được gọi là
vectơ đối của vectơ a⃗ , kí hiệu là −⃗a .
Chú ý:
- Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu
tổng của chúng bằng 0⃗ .
BA là một vectơ đối của vectơ ⃗
AB
- Vectơ ⃗

.
- Vectơ 0⃗ được coi là vectơ đối của chính
nó.

Ghi nhớ
⃗ được gọi là hiệu của hai
Vectơ a⃗ +(−b)

vectơ a⃗ và b⃗ và kí hiệu là a⃗ −b⃗ . Trong
không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ
được gọi là phép trừ vectơ.
Nhận xét: Với ba điểm O , A , B bất kì trong
không gian, ta có:
⃗
OB −⃗
OA=⃗
AB

+ GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời Ví dụ 6: SGK – tr.51
câu hỏi.

Hướng dẫn giải: SGK – tr.52

+ Các HS khác nhận xét, bổ sung.
+ GV chốt đáp án và trình chiếu nội
dung trong Khung kiến thức.

- Từ nội dung trong khung kiến thức,
GV rút ra chú ý cho HS.

- GV yêu cầu một HS nhắc lại định
nghĩa hiệu của hai vectơ trong mặt
phẳng.
Vectơ a⃗ + (−⃗b )được gọi là hiệu của hai Luyện tập 6
vectơ a⃗ và b⃗ và được kí hiệu là a⃗ −b⃗ .
BN và  ⃗
DM cùng phương,
a) Hai vectơ  ⃗
+ HS khác nhận xét, bổ sung.
ngược hướng và có cùng độ dài nên là hai
+ GV chốt kiến thức, dẫn dắt đến vectơ đối nhau.
khung kiến thức
b)

19

⃗
SD−⃗
BN−⃗
CM = ⃗
SD +⃗
DM −⃗
CM=⃗
SM −⃗
CM = ⃗
SC

.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu
Ví dụ 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Chứng
minh rằng:

AM và  ⃗
CN là hai vectơ đối nhau;
a)  ⃗
SC−⃗
AM −⃗
AN =⃗
SA .
b)  ⃗

+ GV chỉ định một HS đứng tại chỗ
trình bày lại lời giải.
+ GV nhận xét.
- GV cho HS hoạt động cá nhân Luyện
tập 6.
Trong ví dụ 6, chứng minh rằng:
BM và  ⃗
DM là hai vectơ đối nhau;
a)  ⃗

20

Vận dụng 2
Hai vectơ biểu diễn vận tốc mỗi lần là hai
vectơ cùng hương, ngược hướng và có độ
dài bằng nhau.

SD−⃗
BN − ⃗
CM = ⃗
SC .
b)  ⃗

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài
làm.
+ HS khác theo dõi, nhận xét, bổ sung.
+ GV chốt đáp án.
- GV cho HS thời gian suy nghĩ Vận
dụng 2.
Thang cuốn tại các trung tâm thương
mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay
thường có hai lần, trong đó có một lần
lên và một lần xuống. Khi thang cuốn
chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc
của mỗi lần là hai vectơ đối nhau hay
không? Giải thích vì sao?

+ GV gọi một HS đứng tại chỗ trả lời.
+ GV nhận xét, tổng kết.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình

21

bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 3: Tích của một số với một vectơ
a) Mục tiêu: Nhận biết và thực hiện được phép nhân một số với một vectơ trong
không gian.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các HĐ6; Luyện tập 7, 8; Vận dụng 3 và đọc hiểu ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được cách thực hiện phép toán vectơ trong không gian.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
3. Tích của một số với một vectơ

- GV trình chiếu hình 2.17 và cho HS HĐ6
đọc yêu cầu của HĐ6:
Cho

hình

lăng

trụ

NLS
5.2.NC1b:
HS biết cách

a) Vì MN là đường trung bình của tam giác sử dụng phần
tam

giác ABC nên MN // BC .

mềm để vẽ

ABC.A”B'C'. Gọi M, N lần lượt là Tứ giác BCC ' B ' là hình bình hành nên BC hình.
trung điểm của AB, AC.

// B' C '
MN và  ⃗
BC cùng phương và cùng
Do đó  ⃗

hướng.
b) Vì MN là đường trung bình của tam giác
1
ABC nên MN = BC
2

22

1

MN|= |⃗
B C |.
Suy ra |⃗
2
'

'

MN và  ⃗
B' C ' có cùng
a) Hai vectơ  ⃗

phương

không?

Có

cùng

hướng
Ghi nhớ

không?
1

MN|= |⃗
B C |.
b) Giải thích vì sao |⃗
2
'

'

Trong không gian, tích của một số thực
k ≠ 0 và một vectơ a⃗ ≠ ⃗0 là một vectơ, kí

+ GV yêu cầu một HS đứng tại chỗ trả hiệu là k a⃗ , được xác định như sau:
lời câu hỏi.
- Cùng hướng với vectơ a⃗ nếu k > 0, ngược
+ Các HS khác chú ý lắng nghe và hướng với a⃗ nếu k < 0
nhận xét.

- Có độ dài bằng |k| .∨⃗a ∨¿.

MN được gọi là tích
+ GV nhấn mạnh  ⃗
Trong không gian, phép lấy tích của một

1

B' C ' . GV dẫn dắt và trình số với một vectơ được gọi là phép nhân
của 2 với  ⃗
chiếu nội dung trong Khung kiến thức. một số với một vectơ.

- GV hỏi HS: Hai vectơ 1. ⃗avà a⃗ có
bằng nhau không? Hai vectơ (−1 ) ⃗a và
−⃗a có bằng nhau không?

+ GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trả lời câu

23

hỏi.
Vì k =1>0 nên 1. ⃗a và a⃗ là hai vectơ Chú ý
⃗
⃗
cùng phương, cùng hướng. Mà - Quy ước k a⃗ =0 nếu k =0 hoặc a⃗ =0.
k a⃗ =bài
0⃗ thì
=⃗0.với những hàm số phức tạp.
- hỏi
Nếu
|1||⃗a|=|⃗a|nênneec hương , cùng hướng .∨rả lời câu
: trong
toánk =0
thựchoặc
tiễn.ta⃗đối

nên 1. ⃗a và a⃗ bằng nhau.

-

Trong không gian, điều kiện cần và

(Tương tự với (−1 ) . ⃗a và −⃗a .)

đủ đẻ hai vectơ a⃗ và b⃗ ( ⃗b ≠ ⃗0) cùng

+ GV nhận xét, chính xác hóa câu trả

phương là có một số thực k sao cho

lời.

a⃗ =k . ⃗b .

- GV lần lượt các câu hỏi tứng ứng chú
ý trong SGK, từ đó rút ra phần Chú ý.

Ví dụ 7: SGK – tr.53

 Nếu một số nhân với một vectơ Hướng dẫn giải: SGK – tr.53
bằng vectơ  0⃗ thì có mấy trường
hợp xảy ra?

 Nếu a⃗ =k b⃗ thì ta có thể suy ra được
điều gì?
+ HS suy nghĩ các câu hỏi và trả lời.
+ GV nhận xét, rút ra Chú ý.
- GV cho HS quan sát và nghiên cứu
Ví dụ 7.
Trong HĐ6, gọi O là giao điểm của
AB

'

và

A ' B.

⃗
CC ' =(−2 ) .⃗
OM .

24

Chứng minh rằng
Luyện tập 7

+ GV gọi 1 HS đứng tại chỗ nêu lại
cách làm.
+ GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV vẽ hình, cho HS thời gian suy
nghĩa và làm Luyện tập 7.

Áp dụng định lí Thates trong tam giác SAB
SE

SF

1

1

ta có: SA = SB = 3 ⇒ EF // AB và EF= 3 AB .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB
là hình bình hành. Gọi E , F lần lượt là //CD và AB=CD . Do đó EF //CD và
các điểm thuộc cạnh SA , SB sao cho
1
EF= CD . Hai vectơ  ⃗
EF và  ⃗
CD cùng
3
1
1
SE= SA ; SF= SB . Chứng minh rằng
3
3
1
EF= ⃗
DC .
hướng nên  ⃗
3
1
⃗
EF = . ⃗
DC .
3
Chú ý
+ GV có thể đặt câu hỏi cho HS:
Tương tự như phép nhân một số với một

 Trong bài này, chúng ta có thể sử vectơ trong mặt phẳng, p