Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI 15. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.

-

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương. Viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

-

Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng.

-

Vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai
đường thẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, đưa ra lập luận trong
quá trình hình thành các khái niệm và lập phương trình đường thẳng, nhận biết
vị trí của hai đường thẳng.

-

Mô hình hóa toán học: Sử dụng được kiến thức về phương trình đường thẳng,
vị trí tương đối của hai đường thẳng để mô tả một số hình ảnh trong thực tiễn
và giải quyết một số bài toán có yếu tố thực tiễn.

-

Giải quyết vấn đề toán học: Viết được phương trình đường thẳng, nhận biết vị
trí tương đối của hai đường thẳng.

-

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu, trao đổi thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: thước, ê ke, phần mềm vẽ hình.

Năng lực số:
-

1.1.NC1a: Đáp ứng được nhu cầu thông tin (Tìm kiếm hình ảnh thực tế về các
công trình kiến trúc hoặc quỹ đạo bay để mô hình hóa đường thẳng).

-

2.1.NC1a: Sử dụng được các công nghệ số khác nhau để tương tác (Tham gia
trả lời trắc nghiệm nhanh trên Quizizz).

-

5.3.NC1a: Áp dụng được các công cụ và công nghệ số khác nhau để tạo ra kiến
thức (Sử dụng phần mềm GeoGebra 3D để vẽ đường thẳng, kiểm chứng vị trí
tương đối).

-

6.2.NC1a: Phát triển được các ứng dụng AI tùy chỉnh để giải quyết các vấn đề
(Sử dụng Chatbot AI để kiểm tra hướng dẫn giải hoặc giải thích ý nghĩa hình
học).

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV:
-

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.

-

Đồ dùng dạy học.

-

Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

-

Học liệu số: Phần mềm GeoGebra 3D (bản cài đặt hoặc web); Link bài tập
tương tác trên Quizizz.

2. Đối với HS:
-

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.

-

Đồ dùng học tập (bút, thước...).

-

Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

-

Điện thoại thông minh (Smartphone) có cài App GeoGebra 3D Calculator hoặc
truy cập web.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
TIẾT 1+ 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.
- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu: Trong không gian Oxyz , mắt một người quan
sát ở điểm M (2 ; 3 ;−4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N (−1 ; 0 ; 8). Một tấm bìa chắn
đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0 ; 0 ; 0) , bán kính bằng 3 và
đặt trong mặt phẳng (Oxy). Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối
với vật đặt ở điểm N hay không?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới.
[1.2.NC1b: HS thực hiện phân tích, diễn giải và đánh giá được dữ liệu, thông tin số
được xác định rõ ràng để đưa ra nhận định đúng.]
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Phương trình đường thẳng
a) Mục tiêu:

-

Nhận biết vectơ chỉ phương, phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.

-

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương. Viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

b) Nội dung: HS đọc SGK, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, thực hiện các hoạt động 1, 2, 3, 4, luyện tập 1 đến 6, vận dụng 1, các ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết vectơ chỉ phương, phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.
viết được phương trình đường thẳng.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

1. Phương trình đường thẳng

5.3.NC1a: HS

- GV yêu cầu trả lời HĐ 1.

a) Vectơ chỉ phương của đường sử dụng phần
thẳng

mềm toán học

HĐ 1:

chuyên

a) Sai

để kiến tạo tri

- GV giới thiệu khái niệm vectơ chỉ b) Đúng.
Kết luận
phương của đường thẳng.

thức,

phương của đường thẳng Δ nếu giá học
u⃗ ≠ ⃗0 ,có bao nhiêu đường thẳng đi Chú ý:

qua A và nhận u⃗ làm vectơ chỉ

 Đường thẳng hoàn toàn xác định

phương?

khi biết một điểm mà nó đi qua và

- Mối quan hệ giữa các vectơ chỉ

một vectơ chỉ phương.

phương của một đường thẳng.

 Nếu u⃗ là một vectơ chỉ phương của

- HS quan sát hình trả lời Ví dụ 1,
Luyện tập 1.

Δ thì k u⃗ (với k là một số khác 0) cũng

là một vectơ chỉ phương của Δ .

trực

quan hóa đối

Vectơ u⃗ ≠ ⃗0 được gọi là vectơ chỉ tượng

- Cho một điểm A và một vectơ của u⃗ song song hoặc trùng với Δ .

dụng

gian.

hình
không

Ví dụ 1 (SGK -tr.41)
Luyện tập 1
Những vectơ chỉ phương của đường
- HS thực hiện HĐ 2

AB , ⃗
BA ,⃗
A ' B' ,⃗
B ' A '.
thẳng AB là ⃗

b) Nêu mối quan hệ giữa hai vectơ b) Phương trình tham số của đường
⃗
MA , u⃗ từ đó trả lời câu hỏi của bài thẳng.
toán.

HĐ 2:

a) Vật thể chuyển động trên đường
thẳng đi qua điểm A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có
vectơ chỉ phương là u⃗ =(a;b ; c).
MA=( x−x 0 ; y− y 0 ; z−z 0 )
b) Ta có ⃗
MA cùng phương với u⃗
Khi đó ta có ⃗

Suy ra

{

x−x 0=ta

{

x =x 0+ta

- GV yêu cầu HS mở ứng dụng ⃗
MA=t u⃗ ⇔ y − y 0=tb ⇔ y= y 0 +tb , t>0
GeoGebra 3D.
- GV nêu nhiệm vụ:

z−z 0=tc

z=z 0 +tc

* Đáp án câu hỏi sử dụng ứng dụng

+ Nhiệm vụ 1: Nhập điểm M0 (1, 2, GeoGebra 3D:
3) và u⃗ = (2, -1, 1). Dùng lệnh - Nhiệm vụ 1:
DuongThang(M_0, u) để vẽ đường
thẳng.

{

x=1+2t
y=2−t
z=3+t

+ Nhiệm vụ 2: Quan sát phương - Nhiệm vụ 2: Dạng của phương trình
trình hiển thị trên phần mềm, so tham số:
sánh với công thức trong SGK để
rút ra dạng phương trình tham số.
- GV dẫn dắt HS khái quát về
phương trình tham số của đường
thẳng.

{

x=x 0 +at
y= y 0 +b t
z=z 0 +c t

Kết luận
Trong không gian Oxyz , cho đường
thẳng Δ đi qua điểm A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có
vectơ chỉ phương u⃗ =(a;b ; c). Hệ
phương trình
- GV nêu một số chú ý.
+ nhấn mạnh: ứng với mỗi một giá
trị của t ta có một điểm tương ứng
thuộc đường thẳng và ngược lại

{

x=x 0 +at
y= y 0 +bt
z= z0 + ct

được gọi là phương trình tham số của
đường thẳng Δ ¿ là tham số, t ∈ R ¿.
Chú ý:
 Với các số a , b , c không đồng thời
bằng

{
- HS quan sát Ví dụ 2, làm Luyện
tập 2.
+ Chọn giá trị t , từ đó chỉ ra điểm
thuộc đường thẳng và
+ Chỉ ra 1 vectơ chỉ phương của
đường thẳng

0,

hệ

phương

trình

x=x 0 +at
y= y 0 +bt (t ∈ R) xác định một đường
z= z0 + ct

thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) và có
vectơ chỉ phương u⃗ =(a; b ; c).
 Từ phương trình tham số của
đường thẳng, mỗi giá trị của tham số
tương ứng với một điểm thuộc đường
thẳng đó và ngược lại.

+ Viết phương trình đường thẳng Ví dụ 2 (SGK -tr.42)
Luyện tập 2
biết điểm và vectơ chỉ phương.

a) Ta có A( 2; 0 ;1), B(3 ; 3 ;2) là các
điểm thuộc Δ .
Có u⃗ =(1 ;3 ;1) là một vectơ chỉ
phương của Δ .

- HS thực hiện HĐ 3.

b) Phương trình tham số của đường

b) M ( x ; y ; z ) thuộc Δ thì ta có thẳng cần tìm là:
phương trình tham số t của ∆ là gì?
Khi đó biến đổi ta được hệ thức
theo bài ra.

{

x=t
y=3 t ( t ∈ R)
z=t

c) Phương trình chính tắc của
đường thẳng
HĐ 3:
a) Điểm M (x ; y ; z) thuộc Δ khi và chỉ
AM= ( x−x 0 ; y − y 0 ; z−z 0 )
khi hai vectơ ⃗

và u⃗ =(a; b ; c) cùng phương với nhau.
b) M ( x ; y ; z ) thuộc Δ khi và chỉ khi

{

x−x 0=at
y− y 0 =bt ( 1 ) , ( t ∈ R )
z−z 0=ct

- GV giới thiệu phương trình chính Vì a , b , c khác 0 nên từ (1), ta có
tắc, HS phát biểu khái quát.

{

x−x 0
=t
a
x−x 0 y− y 0 z−z 0
y − y0
(1) ⇔
=
=
.
=t ⇔
a
b
c
b
z−z 0
=t
c

Vậy M ( x ; y ; z ) thuộc Δkhi và chỉ khi
x−x 0 y− y 0 z−z 0
.
=
=
a
b
c

- HS quan sát Ví dụ 3, tương tự
thực hiện Luyện tập 3.
+ Luyện tập 3: để chỉ ra điểm thuộc

Kết luận
Trong không gian Oxyz , cho đường
thẳng Δ đi qua điểm A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có

u⃗ =(a; b ; c) với a , b , c
đường thẳng, ta có thể chọn giá trị vectơ chỉ phương
là các số khác 0.
của x, rồi tìm y, z tương ứng.

- HS quan sát Ví dụ 4, tương tự Hệ phương trình:
x−x 0 y− y 0 z−z 0
=
=
a
b
c

thực hiện Luyện tập 4: viết
phương trình đường thẳng qua
điểm và có vectơ chỉ phương cho
trước.

được gọi là phương trình chính tắc
của đường thẳng Δ .
Ví dụ 3 (SGK-tr.43)
Luyện tập 3
A(−1;1 ; 2) và B(2 ; 2; 7) thuộc Δ và
u⃗ =(3 ; 1 ;5) là một vectơ chỉ phương

- HS quan sát Ví dụ 5, tương tự
thực hiện Luyện tập 5: viết
phương trình đường thẳng đi qua
điểm và vuông góc mặt phẳng cho
trước.
Lưu ý: nhiều phương trình đường

của Δ .
Ví dụ 4 (SGK -tr.43)
Luyện tập 4
Đường thẳng Δ đi qua điểm
A( 2;−1; 0) và có vectơ chỉ phương
u⃗ =(−1 ; 2 ; 3) có

{

x=2−t

thẳng không có phương trình chính phương trình tham số là: y=−1+2 t ,
z=3 t
tắc.
(t ∈ R)

phương trình chính tắc là:
x−2 y +1 z
=
=
−1
2
3

Ví dụ 5 (SGK -tr.44)
- HS thực hiện HĐ4.

Luyện tập 5
Ta có mặt phẳng Oyz có vectơ pháp
tuyến là i⃗ =(1; 0 ; 0)
Do đó Δ nhận i⃗ =(1; 0 ; 0) làm một
vectơ chỉ phương.
Đường

thẳng

Δ

đi

qua

điểm

M (2 ;−1 ; 3) và i⃗ =(1; 0 ; 0) làm một

- HS nêu tổng quát cách lập phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm.

vectơ chỉ phương có phương trình là:

{

x=2+t
y =−1 ( t ∈ R ).
z =3

d) Lập phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm
HĐ 4:
a) Đường thẳng A1 A 2 có một vectơ chỉ
phương

là 

⃗
A1 A 2=

(x 2−x 1 ; y 2− y 1 ; z 2−z 1)

b) Đường thẳng A1A2 có phương
trình:

{

x=x 1 + ( x 2−x 1 ) t
y= y 1 + ( y 2− y 1 ) t , ( t ∈ R ).
z=z 1 + ( z 2−z 1 ) t

Kết luận
- HS thực hiện Ví dụ 6, Luyện tập Trong kông gianOxyz , cho hai điểm
6: viết phương trình qua hai điểm phân biệt A1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) và A2 ( x 2 ; y 2 ; z2 ).
cho trước.
Đường thẳng A1 A 2 có vectơ chỉ
A1 A 2=( x 2−x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2−z 1 ).
phương ⃗

 Đường thẳng A1 A 2 có phương trình

{

x−x 1 + ( x 2−x 1 ) t
tham số là: y= y 1 + ( y 2− y 1 ) t ( t ∈ R ¿ .
z=z 1 + ( z 2−z 1 ) t

- HS trao đổi, làm Vận dụng 1.
b) Nêu cách tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng và mặt phẳng.

 Trong

trường

hợp

x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 , z 1 ≠ z 2 thì đường thẳng

A1 A 2 có phương trình chính tắc là:

x−x 1 y − y 1 z−z 1
=
=
x2 −x1 y 2− y 1 z 2−z 1

c) Nêu cách xác định vị trí giữa ba
điểm D, M, N.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các
yêu cầu, thảo luận nhóm.
- HS thao tác trên điện thoại.
- Xoay hình 3D để quan sát đường
thẳng đi qua M0 và song song giá
của u⃗ .
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

Ví dụ 6 (SGK -tr.44)
Luyện tập 6
Đường thắng AB đi qua điếm
A( 2; 1 ; 3) và có một vectơ chỉ phương
⃗
AB=(0 ; 3 ; 3) có phương trình là:

{
{

x =2
y=1+3 t hay
z=3+3 t
x=2
y=1+t , ( t ∈ R ¿
z=3+t

Vận dụng 1

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng a) Ta có
trình bày
⃗
MN =(−3 ;−3 ; 12)=−3(1 ;1;−4)
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung Đường thẳng MN đi qua điểm
cho bạn.

M (2 ; 3 ;−4) và có vectơ chỉ phương

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV u⃗ =(1 ; 1;−4) có phương trình là:
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

{

x=2+ t
y=3+t , ( t ∈ R ¿
z=−4−4 t

b) Mặt phẳng Oxy có phương trình là
z=0 .

Vì D là giao điểm của đường thẳng
MN với mặt phẳng Oxy nên tọa độ
điểm D là nghiệm của hệ

{

x=2+ t
y=3+t ⇔
z=−4−4 t
z=0

{

x=1
y=2
.
z =0
t=−1

Vậy D(1 ; 2; 0) .
DN =−2 ⃗
DM nên D nằm giữa
c) Ta có ⃗

M và N.
Trả lời câu hỏi trong tình huống mở
đầu
Ta có OD=√ 1+4 +0= √ 5<3 nên tấm bìa
che khuất tầm nhìn.

TIẾT 3 + 4: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA
HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 2: Hai đường thẳng vuông góc. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
a) Mục tiêu:
-

Nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động 5, 6, luyện tập 7, 8, 9, 10, vận dụng 2, 3; các ví
dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết được hai đường thẳng vuông góc và các vị trí tương đối khác của
hai đường thẳng.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm 2. Hai đường thẳng vuông góc
vụ:

HĐ 5:

- GV yêu cầu HS thực hiên HĐ a) Hai đường thẳng Δ 1 và Δ 2 vuông góc với nhau
5

u1 , u⃗2 vuông góc với nhau.
khi và chỉ khi hai giá của ⃗

Hai vectơ vuông góc với nhau b)
thì tích vô hướng bằng bao Theo câu a , để Δ 1 và Δ 2 vuông góc với nhau khi và
nhiêu?

u1 , u⃗2 vuông góc với nhau.
chỉ khi ⃗
u1 ⋅⃗
u2=0 ⇔ a1 a2 +b1 b2 +c 1 c 2=0
Hay ⃗
u1 ⋅ ⃗
u2=0.
Vậy để Δ 1 và Δ 2 vuông góc với nhau thì ⃗

Kết luận
Oxyz , cho hai đường thẳng Δ 1 , Δ 2
- HS khái quát điều kiện hai Trong không gian
tương
ứng
có
vectơ
chỉ
phương
đường thẳng vuông góc.
u⃗ =( a1 ; b1 ;c 1) , ⃗
u2= ( a2 ;b2 ; c 2 ). Khi đó:

Δ 1 ⊥ Δ 2 ⇔ u⃗1 ⋅ ⃗
u2 =0 ⇔a 1 a 2+ b1 b 2+ c 1 c 2=0

- HS quán sát Ví dụ 7, làm
Luyện tập 7: nhận biết hai
đường thẳng vuông góc bằng
cách tính tích vô hướng của hai
vectơ chỉ phương.

Ví dụ 7 (SGK – tr.45)
Luyện tập 7
u Δ=(2; 1 ;−1) và trục Oz có vectơ chỉ phương
Ta có ⃗

là k⃗ =( 0; 0; 1).
u Δ . k⃗ =−1 ≠0 . Do đó đường thẳng Δ không
Có ⃗

vuông góc với trục Oz .
Vận dụng 2

- HS thực hiện Vận dụng 2: hai Hai con đường thuộc hai đường thẳng lần lượt có
u =( 1 ; 1; 0 ) và ⃗
⃗
u Δ =(−2;2 ; 0)
con đường thuộc hai đường VTCP là Δ
1

2

u ⋅⃗
⃗
u =−2+2=0 nên hai con đường trên vuông
thẳng, xác định hai đường thẳng Vì Δ Δ
đó có vuông góc nhau hay góc với nhau.
1

không.
- HS làm HĐ 6.

2

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
HĐ 6:

a) Nhắc lại điều kiện để hai
đường thẳng song song với
nhau.
Nếu hai đường thẳng trùng nhau
thì A1 có thuộc ∆ 2 không?
b)

A1 A 2 ⋅ [ u⃗1 , ⃗
u2 ] =0 thì
Nếu ⃗

⃗
A1 A 2 , [ ⃗
u1 , ⃗
u2 ] có mối quan hệ gì?

{

u1=k u⃗2
⃗

a) Δ 1 /¿ Δ2 ⇔ A ∉ Δ .
u1 , u⃗2 ] có mối quan hệ gì với
[⃗
1
2
∆ 1 , ∆ 2?

Từ đó Δ 1 và Δ 2có đồng phẳng
hay không?

Δ 1 ≡ Δ2 ⇔

{

u⃗1=k ⃗
u2
.
A1 ∈ Δ 2

b)

⃗
⃗
A A ⋅ u⃗ , ⃗
u =0
A A ⊥⃗
u , u⃗
Xác định vị trí của Δ 1 và Δ 2 khi Nếu 1 2 [ 1 2 ] thì 1 2 [ 1 2 ]

u1 , u⃗2 ] ≠ ⃗0 .
[⃗

u1 , u⃗2 ] ⊥ ∆1 , [ ⃗
u1 ,⃗
u2 ] ⊥ ∆2.
Mà [ ⃗

c) Tương tự với câu b, ta xét mối Suy ra Δ 1 và Δ 2đồng phẳng.
A1 A 2 , [ ⃗
u1 , ⃗
u2 ] và
quan hệ giữa ⃗

u1 , u⃗2 ] ≠ ⃗0 nên Δ 1 và Δ 2 cắt nhau.
Hơn nữa [ ⃗

u1 , u⃗2 ] với ∆ 1 , ∆ 2.
[⃗

A1 A 2 ⋅ [ u⃗1 , ⃗
u2 ] ≠ 0 thì⃗
A1 A 2 không vuông góc
c)Nếu ⃗
u1 , u⃗2 ].
với [ ⃗
u1 , u⃗2 ] ⊥ ∆1 , [ ⃗
u1 ,⃗
u2 ] ⊥ ∆2
Mà [ ⃗

Suy ra Δ 1 và Δ 2 không đồng phẳng, hay Δ 1 và Δ 2
chéo nhau.
- GV giới thiệu về tiêu chuẩn Kết luận
nhận biết vị trí tương đối giữa Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Δ 1 , Δ 2
hai đường thẳng.

lần lượt đi qua các điểm A1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ),
A2 ( x 2 ; y 2 ; z2 ) và tương ứng có vectơ chỉ phương
u1=( a1 ; b1 ; c1 ) , ⃗
⃗
u2=( a2 ; b2 ; c2 ). Khi đó:



Δ 1 /¿ Δ2 ⇔⃗
u1 cùng phương với ⃗
u2 và A1 ∉ Δ2.



Δ 1=Δ 2 ⇔ u1 cùng phương với ⃗
u2 và A1 ∈ Δ2.

 Δ1
⇔

- HS quan sát Ví dụ 8, thực hiện
Luyện tập 8:

{

và

[ u'1 ,u 2 ] ≠ 0

⃗
A 1 A2 ⋅ [ ⃗
u1 ,⃗
u2 ] =0

Δ2
⇔

cắt

nhau

{

[u˙ 1 , u2 ] ≠ 0˙
⃗
A 1 A 2 ⋅ [ u⃗1 , ⃗
u2 ]=0.

A1 A2⋅ [⃗
u1 , u⃗2 ] ≠ 0
 Δ 1 và Δ 2 chéo nhau ⇔⃗

Ví dụ 8 (SGK -tr.46)

Nhận biết vị trí tương đối giữa Luyện tập 8
hai đường thẳng.

Ta có đường thẳng Δ 1 đi qua điểm A(3 ; 0 ;1) và có

Kiểm tra mối quan hệ giữa hai vectơ chỉ phương ⃗
u Δ =(1;−2 ; 3)
vectơ chỉ phương.
Đường thẳng Δ 2 đi qua điểm B(1 ; 2;0) và có vectơ
1

u Δ =(1;−2 ; 3) .
chỉ phương ⃗
2

u Δ =⃗
u Δ =(1;−2 ; 3) và A ∉ Δ2 nên Δ 1 /¿ Δ2.
Vì ⃗
1

2

- GV giảng giải Ví dụ 9, HS làm Ví dụ 9 (SGK -tr.47)
Luyện tập 9.
Luyện tập 9
Kiểm tra mối quan hệ giữa hai Đường thẳng Δ 1 đi qua điểm A(1 ;−2; 3) và có
vectơ chỉ phương.
u =( 1 ; 1; 4 ) .
vectơ chỉ phương ⃗
Δ1

A1 A 2 ⋅ [ u⃗1 , ⃗
u2 ] bằng
Rồi kiểm tra ⃗
Đường thẳng Δ 2 đi qua điểm B(−1 ;−1;0) và có

hay khác 0.

vectơ

chỉ

u Δ =(1;1 ; 4) .
⃗

phương

2

u Δ =⃗
u Δ =( 1; 1 ; 4) và A ∉ Δ2 nên hai đường
a) Vì ⃗
1

2

Δ1

thẳng

và

Δ2

song

song

với

nhau.

b) Trục Ox đi qua điểm O(0 ; 0 ;0) và có vectơ chỉ
phương là i⃗ =(1; 0 ; 0)
u ] =(0 ;−4 ; 1).
[ i⃗ ,⃗

⃗
OA =(1;−2 ;3)và

Có

Δ1

OA ⋅ [ i⃗ , ⃗
u Δ ]=8+3=11≠ 0 . Do đó đường thẳng Δ 1
Có ⃗
1

và trục Ox chéo nhau.
c) Đường thẳng ∆ 3 đi qua điểm C (−2 ;−2 ;−4) và
u Δ =( 1 ; 1; 4 )
có vectơ chỉ phương ⃗
3

Vậy ∆ 3 , ∆2 có cùng VTCP.
Lại có: B ∈ ∆3
Nên đường thẳng ∆2 trùng với đường thẳng ∆3.
- GV đặt vấn đề: Ta có thể xét số
nghiệm của phương trình hai

d) Trục Oz đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ
phương là k⃗ =(0; 0; 1)

u Δ , ⃗k ]= (1 ;−1; 0 ) ≠ 0⃗ và ⃗
OA . [ ⃗
u Δ , ⃗k ]=0
đường thẳng và mối quan hệ của Có [ ⃗
2

2

hai vectơ chỉ phương để xác Do đó đường thẳng ∆2 cắt trục Oz .
định vị trí tương đối giữa hai Chú ý:
đường thẳng.

Để xét vị tri tương đối giữa hai đường thẳng, ta

Ta xét hệ phương trình hai ẩn t, s cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và
phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu

{

x 1+ a1 t=x 2 +a 2 s
y 1+ b1 t= y 2+b 2 s
z 1 +c 1 t=z 2 +c 2 s

chuẩn sau đây.
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Δ 1 , Δ 2
tương

ứng

có

vectơ

chỉ

phương

u1=( a1 ; b1 ; c1 ) , ⃗
⃗
u2=( a2 ; b2 ; c2 ) và có phương trình tham

số:

{

{

x=x 1 +a1 t
x =x2 +a 2 s
Δ 1 : y= y 1 +b 1 t Δ2 : y = y 2+ b2 s
z=z 1 +c 1 t
z=z 2+ c 2 s

Xét hệ phương trình hai ẩn t , s:

{

x 1+ a1 t=x 2 +a 2 s
y 1+ b1 t= y 2+b 2 s Khi đó:
z 1 +c 1 t=z 2 +c 2 s

u1 cùng phương với u⃗2 và hệ (*) vô
 Δ 1 / ¿ Δ2 ⇔⃗

- HS thực hiện Luyện tập 10: để
xét vị trí tương đối của hai
đường thẳng thì có thể sử dụng
cách nào?

nghiệm.
 Δ 1=Δ 2 ⇔ Hệ (*) có vô số nghiệm.
 Δ 1 cắt Δ 2 ⇔ Hệ (*) có nghiệm duy nhất.
u1 và ⃗
u2 không cùng
 Δ 1 và Δ 2 chéo nhau ⇔ ⃗

phương và hệ (*) vô nghiệm.
Luyện tập 10
Đường thẳng Δ 1 đi qua điểm A(1 ; 3 ; 1) và có vectơ
u Δ =(2;1 ;−1).
chỉ phương ⃗
1

Đường thắng Δ 2 đi qua điểm B(0 ; 1 ; 0) và có vectơ
u Δ =(1;2 ; 3).
chỉ phương ⃗
2

u Δ ,⃗
u Δ ]=(5 ;−7 ; 3) , ⃗
AB=(−1 ;−2;−1)
Có [ ⃗
1

2

AB ⋅ [ ⃗
uΔ , ⃗
u Δ ]=−5+14−3=6 ≠ 0
Có ⃗
1

2

Vậy Δ 1 và Δ 2 chéo nhau.
Cách 2: Xét hệ phương trình:

{

1+2 t=s
3+t=1−2 s
1−t=3 s

- HS trảo đổi làm Vận dụng 3.
Xác định vị trí tương đối của hai
đường thẳng là hai đường
chuyển động của hai vật thể.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả
lời câu hỏi, hoàn thành các yêu
cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức
trọng tâm và yêu cầu HS ghi
chép đầy đủ vào vở.

u Δ =( 2 ; 1;−1 ) ,⃗
u Δ =(1 ;2; 3) không
Hệ vô nghiệm và ⃗
1

2

cùng phương.
Nên hai đường thẳng chéo nhau.
Vận dụng 3
Vật 1 chuyển động trên đường thẳng đi qua A và
v1 .
có vectơ chỉ phương ⃗

Vật 2 chuyển động trên đường thẳng đi qua B và có
v 2.
vectơ chỉ phương ⃗

Ta

có

⃗
AB=(2 ; 3 ; 0)

Có

và

v1 , ⃗
v 2 ]=(−5 ;1; 3)
[⃗

⃗
AB ⋅ [ ⃗
v1 , ⃗
v 2 ]=−10+3=−7 ≠ 0

Do đó hai đường thẳng này chéo nhau.
Vậy trong quá trình chuyến động, hai vật thế trên
không va chạm vào nhau.

TIẾT 5 : LUYỆN TẬP
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập Bài 5.11 đến 5.16
(SGK -tr.48) và các câu TN.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Nhiệm vụ 1: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm nhanh trên Quizizz/Kahoot để củng cố toàn bài.
- GV cung cấp mã QR/ đường Links cho HS làm câu hỏi trắc nghiệm tổng kết bài học.
Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Khoanh vào chữ cái đặt trước
câu trả lời đúng).
Câu 1. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng

{

x=2+3 t
Δ : y=−1+ 6 t ?
z=5−9 t

A. u⃗ 1=(2 ;−1 ; 5).
B. u⃗ 2=(3 ; 6 ; 9).
C. u⃗ 3=(1 ; 2;−3).
D. u⃗ 4=(2; 1 ; 5).
Câu 2. Đường thẳng (d ) qua điểm E ( 2 ;−4 ; 3 ) và song song với đường thẳng MN với
M (3 ; 2 ;5 ) ; N (1 ;−1; 2 ) . Phương trình đường thẳng ( d ) là:

{

¿ x=3−2 t

A. ¿ y=2−3t
¿ z=5−3 t

{

¿ x =1+ 2t

B. ¿ y=−1+3 t
¿ z=2+3 t

{

¿ x=2+2 t

C. ¿ y=−4+3 t
¿ z=3+ 3 t

{

¿ x=2+2 t

D. ¿ y=−4−3 t
¿ z =3+3 t
x+1

y +3

z−2

Câu 3. Đường thẳng Δ có phương trình chính tắc là: −7 = −8 = 1 . Phương trình
tham số của Δ là:

{
{
{
{

x =1−7 t
A. y=3−8 t
z=−2+t
x =−1+7 t
B. y=−3+ 8t
z=2+t
x=−1−7 t
C. y=3−8 t
z =2+ t
x =−1−7 t
D. y=−3−8 t
z=2+t

Câu 4. Đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy) có
phương trình tham số là:

{
{
{
{

x=x 0
A. y= y 0
z =t
x=t
B. y = y 0
z=z 0 .
x=x 0
C. y=t
z=z 0 .
x=x 0 +t
D. y= y 0 +t
z=z 0 +t

Câu 5. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:

{¿ 2 x− y + z−3=0

x−2 y +3 z−1
( ∆1 ) : ¿ x +2 y + z+ 9=0 , ( ∆2 ) : 2 = 1 = 2

A. ( 0,4,1 )

B. ( 0 ,−4 ,−1 )

C. ( 0 ,−4,0 )

D. ( 4,1,0 ).

Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai (Đúng ghi Đ, sai ghi S)
x−1

y+ 2

z

x−3

y−4

z−5

Câu 1: Cho hai đường thẳng Δ 1 : 2 = 1 = 2 , Δ2 : −1 = 2 = −2 .
a) Vectơ u⃗ 1=(−2 ;−1;−2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ 1.
b) Vectơ có tọa độ (3 ; 4 ;5) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ 2.
c) Δ 1 ⊥ Δ 2
d) Δ 1 , Δ 2 cắt nhau.

{

x=−11+5 t
Câu 2: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số: y=−2+ 3t
z=3−2 t

a) Vectơ u⃗ 1=(5 ;3 ; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ .
b) Điểm N (−6;−1 ; 1) thuộc đường thẳng Δ .
x+1

y−4

z

x+1

y−4

z

'
c) Đường thẳng Δ : 1 = −2 = 3 và đường thẳng ∆ chéo nhau.

d) Đường thẳng ∆ 2 : 5 = 3 = 2 và đường thẳng ∆ song song.
x−2

y −3

z+ 4

Câu 3: Cho đường thẳng Δ có phương trình chính tắc 3 = 2 = 2
x+2

y−1

z−2

'
a) Đường thẳng Δ : 2 = 1 = −3 và đường thẳng ∆ cắt nhau.

b) ∆ qua điểm M ( 2;3 ;−4 ) .
x+2

y−1

z−2

'
c) Đường thẳng Δ : 3 = 2 = 2 và đường thẳng ∆ song song.

d) Đường thẳng (d ) qua A ( 1 ;2; 3 ) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình

{

x=1−3 t

tham số là: y=2−2t .
z=3−2t

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét),
một máy bay đang ở vị trí A(3,5 ;−2 ;0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5 ; 5,5 ; 0) trên
đường băng EG (hình vẽ).

{

x=3,5
a) Phương trình tham số của đường thẳng AB là: y =−2+7,5 t .
z=0,4−0,4 t

b) Đường thẳng AB song song với đường thẳng có vectơ chỉ phương là ( 0 ; 1 ;1 ) .
c) Tại vị trí điểm D trên đoạn AB ,máy bay ở độ cao 120 m. Tọa độ điểm D là
( 3,5 ; 3,25 ; 0,12 ) .

d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5 ; 4,5 ;0)
của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Biết rằng tầm nhìn của người phi công là
900 m. Theo bài toán, phi công nhìn thấy điểm E và đạt quy định an toàn bay.
Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Đường thẳng Δ đi qua điểm B(3 ; 2 ;−1) và vuông góc với mặt phẳng

{

x=3+ at
(P):2 x−5 y +6 z−7=0. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng: y =b−5 t (
z=−1−ct
t ∈ R). Tính giá trị của a+ b+c .

Câu 2: Cho hai đường thẳng Δ 1 , Δ 2 có phương trình:

Δ1 :