Trường: ổ: TOÁN
Tiết PPCT: 55,56,57,58,59

Họ và tên giáo viên:
Tuần dạy: 19-20
Ngày soạn: 10/01/2025
CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 11: NGUYÊN HÀM
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp: 12
Thời gian thực hiện: 5 tiết




I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức: Nguyên hàm.
2. Năng lực
Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
Tìm được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.
Vận dụng được khái niệm nguyên hàm vào giải quyết một số bài toán từ thực tiễn.
3. Phẩm chất
Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành
viên khi hợp tác.
Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. HOẠT ĐỘNG MỞ ĐẦU
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi
chạy đà được cho bởi v (t)=5+3 t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà.
Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy
đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Ta cần tìm quãng đường S(t) mà máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Từ ý nghĩa cơ
học của đạo hàm, ta biết rằng S '(t )=v(t ). Như vậy, ta cần tìm một hàm số có đạo hàm bằng hàm số v (t) đã
cho. Bài toán này dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm nguyên hàm.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Thực hiện

HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.

Báo cáo thảo luận

GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới.
“Chương này chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu khái niệm, tính chất cơ bản của
nguyên hàm và tích phân cũng như ứng dụng để tính diện tích hình
phẳng, tính thể tích vật thể. Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu về
nguyên hàm”.

Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Nguyên hàm của một hàm số
a) Mục tiêu:
- Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động
HĐ 1, 2, Luyện tập 1, 2, ví dụ 1, 2.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS nhận biết được
nguyên hàm của một số hàm số.
HĐ 1:
'
1 3
'
2
a)Ta có F (x )= x + x =x +1.
3
'
b)b) Ta có F ( x )=f (x)=x2 +1.
'
'
2
1 2
1
x
1
'
'
Luyện tập 1: Ta có F (x )= x + ln ⁡x =x+ , G ( x)= −ln ⁡x =x− .
2
x
2
x
Vậy F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên khoảng ( 0 ;+ ∞ ) .
Hàm số G( x ) không là nguyên hàm của f (x) trên khoảng (0 ;+ ∞).

(

)

(

)

(

)

HĐ 2: a) Vì F ' (x )=

(

( )

4 '

x
x4
3
=x =f ( x) nên hàm số F ( x)= là một nguyên hàm của hàm số f ( x)=x3 trên R .
4
4

4

)

'

4

x
x
3
+C =x =f ( x) nên hàm số G( x )= +C (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của
4
4
hàm số f ( x) trên R .

c)Vì G ' ( x)=

Luyện tập 2:

( )

'

Vì

x4
3
=x
4

nên

x4
Do đó, ∫ x dx= +C .
4

F (x)=

x4
4

là

một

nguyên

hàm

của

hàm

số

f (x)=x3

trên

R.

3

Chú ý:
Trường hợp K=[a ;b] thì các đẳng thức F ' (a)=f (a) và F ' (b)=f (b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm
lim
¿   v à 
lim
¿
x=a và đạo hàm bên trái tại điểm x=b của hàm số F ( x), tức là x→ a F ( x )−F (a ) =f (a ) ¿
F (x)−F (b)
x →b
= f (b )¿
+¿

x−a

−¿

x−b

Kết luận
*Cho hàm số f (x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F (x) được
gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F ' ( x )=f ( x) với mọi x thuộc K .
K.
F (x)
f (x)
*Giả
sử
hàm
số
là
một
nguyên
hàm
của
trên
Khi
đó:
a) Với mỗi hằng số C , hàm số F ( x)+C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K ;
b) Nếu hàm số G(x ) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x )=F( x)+C
với mọi x ∈ K .
Như vậy, nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng
F ( x)+C ( C là hằng số). Ta gọi F (x)+C (C ∈ R) là họ các nguyên hàm của f ( x) trên K , kí hiệu bới ∫ f (x) d x
.
Chú ý:
a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f (x) trên K , ta chỉ cần tìm một nguyên
hàm F ( x) của f ( x) trên K và khi đó
∫ f ( x ) d x=F( x)+C , C  l à h ằ ng s ố .  
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f (x) liên tục trên khoảng K thì f ( x) có nguyên hàm trên
khoảng đó.
c) Biểu thức f (x) dx gọi là vi phân của nguyên hàm F ( x), kí hiệu là d F(x ). Vậy d F(x )=F ' ( x) d x=f ( x )d x .
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên
tập xác định của nó.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao

- GV giao nhiệm vụ cho HS thực hiện HĐ 1, 2, theo nhóm ở nhà. Dặn dò
HS ở tiết học trước; giao nhiệm vụ cho HS thực hiện Luyện tập 1, 2, ví dụ
1, 2 theo cá nhân, theo nhóm tại lớp.
- HS thảo luận theo nhóm và thực hiện HĐ 1, HĐ2 ở nhà.

Thực hiện

- HS suy nghĩ độc lập trả lời ví dụ 1, 2
- Làm việc theo nhóm Luyện tập 1, 2,

Báo cáo thảo luận

- GV gọi đại diện từng nhóm HS lên trình bày HĐ 1, HĐ2, cá nhân trình
bày ví dụ 1,2, báo cáo theo nhóm LT 2.
- Các HS khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
- GV đánh giá thái độ làm việc, và kết quả trình bày của HS ghi nhận và
tổng hợp kết quả.
- Chốt kiến thức.

Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

Hoạt động 2: Tính chất cơ bản của nguyên hàm
a) Mục tiêu:
- Nhận biết được tính chất cơ bản của nguyên hàm của một hàm số.
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, thực hiện
các hoạt động HĐ 3, luyện tập 3, 4, ví dụ 3, 4, 5; vận dụng.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS sử dụng tính chất
cơ bản của nguyên hàm để tìm được nguyên hàm của một số hàm số.
HĐ 3
a) Ta có: F ' (x)=f (x ).
(kF ( x ))' =k (F ( x))'=kf ( x) .

Vậy kF (x ) là một nguyên hàm của hàm số kf (x) trên K .
b) Ta có ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C

( F ( x ) +C )' =f ( x)
'

⇒ k ( F ( x )+ C ) =kf (x)

hay [k( F ( x ) +C ) ¿ ¿ ' =kf ( x )
⇒ ∫ kf ( x ) dx=k (F (x)+C )=k ∫ f ( x)dx .
Vậy ∫ kf ( x)dx=k ∫ f ( x ) dx.
Luyện tập 3
a) Vì F ' ( x )=

( )

'

x n +1
=x n nên hàm số
n+ 1

x n+1
là một nguyên hàm của hàm số f ( x).
n+1
x n+1
Ta có ∫ x n dx=
+C .
n+1
n+1
x
b) Ta có ∫ k x n dx=k ∫ x n dx=k
+ C.
n+1
F ( x)=

HĐ 4:
a) Ta có: F ' ( x )=f ( x) ; G' ( x)=g ( x).
¿.
Do đó F ( x)+G( x ) là một nguyên hàm của hàm số f (x)+ g(x ) trên K .
b)

+) Ta có ∫ [f (x )+ g ( x)]dx=F ( x)+G( x )+C với C là hằng số bất kì.
+) Có ∫ f (x) dx=F (x )+C 1 ; ∫ g ( x) dx=G(x )+C2 với C 1 ; C 2 là các hằng số bất kì.
Do
∫ f (x) dx + ∫ g( x)dx=F ( x)+C1 +G(x )+C2=F (x )+G ( x)+ ( C 1+C 2 )Do đó ∫ f (x)dx + ∫ g( x) dx=F (x)+G( x)+C
.
(Viết C=C 1+C 2 ¿ .
Vậy ∫ [f (x )+ g (x)]dx= ∫ f (x )dx+ ∫ g ( x)dx .
Luyện tập 4
a) ∫ ( 3 x 2 +1 ) dx=3 ∫ x 2 dx+ ∫ dx=x 3+ x+C .
b) ∫ ¿ .
Vận dụng
'
R ( x ) =M R (x ) nên R ( x ) là một nguyên hàm của M R ( x ) .

+) Ta có:
R(x )= ∫ (300−0,1 x )dx=300 x−

1 2
x +C .
20

+) Vì R( 0)=0 nên C=0 .
1 2
Do đó R( x )=300 x− x .
20
+) Doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp là:
1
R ( 1000 )=300.1000− ⋅10002=250000 (triệu đồng).
20
Kết luận
∫ kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx (k ≠ 0)

∫ [f (x )+ g ( x)]dx= ∫ f ( x ) dx+ ∫ g ( x) dx .
∫ [ f ( x ) −g ( x ) ] dx= ∫ f ( x ) dx− ∫ g ( x)dx .

d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
nhiệm vụ
Thực hiện nhiệm
vụ

Trình chiếu nội dung câu hỏi, chia lớp thành các nhóm
HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ, phân công các thành viên trong nhóm
GV: Cho học sinh thảo luận theo nhóm.
HS: Đọc yêu cầu, trình bày nội dung câu trả lời trên bảng phụ
Nhóm đại diện báo cáo sản phẩm, các nhóm còn lại nhận xét, đánh giá kết quả và hoàn
Báo cáo thảo luận
thiện sản phẩm.
Đánh giá, nhận
GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả hoạt động và đánh giá sản phẩm.
xét, tổng hợp
Tổng hợp kiến thức và chót kiến thức cho học sinh.
Hoạt động 3: Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
a) Mục tiêu:
- Nhận biết cách tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.

b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động
5, 6, 7, Luyện tập 5, 6, 7, các ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS tính được nguyên
hàm của một số hàm sơ cấp.
HĐ 5:

( )

'

α

( α+1)⋅ x
x α +1
α
a) y =
=
=x
α +1
α +1
b)
+¿ Với x >0 thì y=ln ¿ x ∨¿=ln x ¿. Do đó y ' =¿ .
+) Với x <0 thì y=ln ⁡∨ x ∨¿ ln ⁡(− x). Do đó
'
y =¿ .
Luyện tập 5
−3
1
x
−1
−4
+C= 3 +C
a) ∫ 4 dx =∫ x dx=
−3
x
3x
'

3
+1
2

3
2

5

x
2 2
2 2
b) ∫ x √ x dx= ∫ x dx= 3 +C= 5 x +C= 5 x √ x+ C
+1
2
1
3
1
3
c) ∫ −5 √ x dx=3 ∫ dx−5 ∫ x 3 dx
x
x

(

)

1

+1

4

x3
−15 3
−15 3
¿ 3 ln ⁡∨ x∨−5 ⋅
+C=3 ln ⁡∨ x∨
x +C=3 ln ⁡∨ x∨
x √ x+C
1
4
4
+1
3

Kết luận: ∫ x α d x=

1
x α+ 1
+C (α ≠−1), ∫ d x=ln |x|+C
x
α +1

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác
HĐ 6:
a)
sin ⁡x
cos ⁡x
tan ⁡x
F (x)
1
cos ⁡x
−sin ⁡x
F ' (x )
2
cos ⁡x
b)

cot ⁡x
−1
2
sin ⁡x

f ( x)

cos ⁡x

sin ⁡x

1
2
cos ⁡x

1
2
sin ⁡x

∫ f ( x) dx

sin ⁡x +C

−cos ⁡x+C

tan ⁡x +C

−cot ⁡x +C

Luyện tập 6

a) ∫ (3 cos ⁡x−4 sin ⁡x)dx=3 ∫ cos ⁡xdx−4 ∫ sin ⁡xdx=3 sin ⁡x + 4 cos ⁡x +C b)
1
1
1
1
∫
− 2 dx= ∫
dx −∫
dx=tan ⁡x +cot ⁡x +C
2
2
cos ⁡x sin ⁡x
cos ⁡x
sin 2 ⁡x

(

)

Kết luận:∫ cos x d x=sin x +C , ∫ sin xdx=−cos ⁡x +C , ∫

1
1
dx=tan x+C ,∫ 2 dx=−cot x +C
2
cos x
sin x

e)Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
nhiệm vụ

Trình chiếu nội dung câu hỏi, chia lớp thành các nhóm
HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ, phân công các thành viên trong nhóm
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận
Thực hiện nhiệm
nhóm.
vụ
- GV quan sát hỗ trợ.
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
Báo cáo thảo luận
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.
Đánh giá, nhận
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
xét, tổng hợp
Hoạt động 4: Nguyên hàm của hàm số mũ
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết nguyên hàm của hàm số mũ, tính nguyên hàm một số hàm sơ cấp.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, thực hiện
các hoạt động 7, ví dụ 8, luyện tập 7.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS tìm được nguyên
hàm của hàm mũ, hàm sơ cấp.
HĐ 7:
a)
F ( x)
'

F (x )

e

x

e

x

ax
(0< a ≠1)
ln ⁡a
a

x

b)
x

f (x)

e

∫ f (x) dx

e +C

x

x

a (0< a≠ 1)
x

a
+C
ln ⁡a

x

x
x
a
Kết luận:∫ e dx=e + C , ∫ ax dx=
+C ( 0< a ≠1 )
ln a

Luyện tập 7
а) ∫ 4 x dx =

4x
+C ;
ln ⁡4

1
dx =∫ e−x dx=−e−x + C
x
e
1 x
1 x
3x 1 7x
x
x
− ⋅
+C . Bảng nguyên hàm của một số hàm số
c) ∫ 2.3 − ⋅7 dx=2 ∫ 3 dx− ∫ 7 dx=2 ⋅
3
3
ln ⁡3 3 ln ⁡7
thường gặp

b) ∫

(

)

d) Tổ chức thực hiện:
- GV yêu cầu HS làm HĐ 7.
Chuyển giao
nhiệm vụ

- Từ kết quả HĐ7, ta có nguyên hàm của các hàm số mũ.
- HS quan sát Ví dụ 8, thực hiện Luyện tập 7: sử dụng công thức vừa học và tính chất
của nguyên hàm.
- GV cho HS tổng hợp các công thức tính nguyên hàm.

Thực hiện nhiệm
vụ
Báo cáo thảo luận
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn
thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 4.1 đến 4.5 (SGK -tr.11) và các câu hỏi
thêm.
Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng).
Câu 1. Hàm số y=x 20 là nguyên hàm của hàm số:
A. y=x 19 .
Câu 2. ∫

B. y=20 x 21.

C. y=20 x 19 .

D. y=

C.−tan x +C .

D.−cot x +C .

21

x
.
21

1
dx bằng
si n (−x)

A. tan x +C .

2

B. cot x +C .

3
Câu 3. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )=e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 )= . Tìm F ( x )
2
1
x
2 3
x
2
A. F ( x )=e + x + .
B. F ( x )=2 e + x − .
2
2
5
1
x
2
x
2
C. F ( x )=e + x + .
D. F ( x )=e + x + .
2
2

1
Câu 4. Nếu ∫ f ( x ) d x= +ln ⁡x +C thì f (x) là:
x
A. f ( x )= √ x +ln ⁡x +c .
B. f ( x)=−√ x + 1x + c ⋅
−1
x−1
C. f ( x)= 2 +ln ⁡x +C .
D. f ( x)= 2 .
x
x

Câu 5. ∫ 17 dx bằng
x

A. 17 x ln 17

B.

x

17
ln 17

C. 17 x ln17+ C

D.

x

17
+ C.
ln 17

Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai (Đúng ghi Đ, sai ghi S)
Câu 1: Cho hàm số f ( x)=
6 8
a) f (x)=x + .
x

x 7 +8
.
x

8
d x.
x
8
6
c) ∫ f ( x)d x=∫ x d x + ∫ d x .
x
7
x
d) ∫ f (x) d x= +8 ln ⁡∨ x∨¿.
7
6

b) ∫ f (x) d x=∫ x d x− ∫

Câu 2: Cho hàm số f ( x )=4 x 3−3 x 2
a) ∫ f (x) d x=∫ 4 x 3 d x− ∫ 3 x 2 d x .
b) f ' ( x )=12 x2 −6 x
c) f ' ( x )=x 4 −x3 .
d) ∫ f ( x ) d x=x 4 + x 3+ C .
Câu 3: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuần, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng vi
khuần của quần thể đó tại thời điểm t , trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 10). Tốc độ tăng trưởng của quần thể
vi khuần đó cho bởi hàm số P' (t)=k √ t , trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó
đã tăng lên thành 600 vi khuẩn.
a) P(t) là một nguyên hàm của hàm số f (t)=k √t .
b) P(t)=

2k 3
√t +C với 0 ≤ t ≤10 và k , C là hằng số.
3

c) P(t)=100 √t 3 +500 với 0 ≤ t ≤10 .
d) Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là 3352 con.
Câu 4: Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi m(t) là số
lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi M (t) là số ngày công được tính
đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M ' (t)=m(t) .
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm
số m(t)=800−2 t , trong đó t tính theo ngày ¿), m(t) tính theo người.

Đơn giá cho một ngày công lao động là 400 000 đồng.
a) M (t) là một nguyên hàm của hàm số m(t)=800 – 2 t .
b) M (t)=800 t−t 2 +C với 0 ≤ 1≤ 400 và C là một hãng số.
c) Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là 160 000.
d) Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là 640 000 000 đồng.
Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B' (t)=20−300 t ²+1000 t , trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ 1≤ 15), B' (t) tính bằng khách/giờ. Sau một giờ, đã có
500 người có mặt tại lễ hội.
Hỏi sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
Câu 2: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B' (t)=20−300 t ²+1000 t , trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ 1≤ 15), B' (t) tính bằng khách/giờ. Sau một giờ, đã có
500 người có mặt tại lễ hội.
Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 3: Gọi F ( x ) +C là họ các nguyên hàm của hàm số f ( x )=

2

x + 7 x+12
(C là hằng số). Tìm F ( x ) .
x +3

- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 4.1 đến 4.5 (SGK -tr.11).
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
Kết quả:
Phần 1:
1
C

2
D

Phần 2:
Câu
a)
b)
c)
d)
Phần 3:

3
D

4
D

5
D

Câu 1
Đ
S
Đ
S

Câu 2
Đ
Đ
S
S

Câu 3
Đ
Đ
Đ
S

Câu

1

2

Trả lời

2300

28 220

Câu 4
Đ
Đ
Đ
S

2

3

x
+4 x
2

BÀI TẬP
Bài 4.1
a) Có F ' (x )=¿ .
Do đó, hàm số F ( x)=x ln ⁡x là một nguyên hàm của hàm số f (x)=1+ ln ⁡x trên khoảng (0 ;+ ∞).

'

b) Có F ' (x )=( esin ⁡x ) =e sin ⁡x . ¿.
Do đó,
Bài 4.2.

hàm

số

sin ⁡x

F (x)=e

không

là

nguyên

hàm

của

hàm

số

f (x)=e

a) ∫ ( 3 x 2 +2 x −1 ) dx=3 ∫ x 2 dx +2 ∫ xdx− ∫ dx=x 3+ x 2−x +C
4
2
x x
b) ∫ ( x 3−x ) dx= ∫ x3 dx− ∫ xdx= − +C .
4 2
c) ∫ ¿
4 3
2
2
¿ 4 ∫ x dx + 4 ∫ xdx + ∫ dx= x +2 x + x +C .
3
Cách 2:

[ ( 2 x+1 )3 ] =3 ( 2 x +1 )2 ( 2 x+1 )' =6 ( 2 x +1 )2
'

Nên ∫ ¿ .

(

(

)

)

1 2
1
4
1
dx= ∫ 4 x2 −4+ 2 dx=4 ∫ x 2 dx −4 ∫ dx+ ∫ x−2 dx = x 3−4 x− +C .
d) ∫ 2 x −
x
3
x
x
Bài 4.3.

(

)

1
a)∫ 3 √ x + 3 dx
√x
1

¿ 3 ∫ x 2 dx + ∫ x
7

−1
3

3
2
5
1
33 2
3
dx=2 x 2 + x 3 +C ¿ 2 x √ x+ √ x +C b) ∫ √ x ( 7 x 2−3 ) dx=7 ∫ x 2 dx−3 ∫ x 2 dx
2
2

3

¿ 2 x 2 −2 x 2 +C=2 √ x 7−2 √ x3 +C c) ∫ ¿ ¿
3
1
1
x
x
−2
¿ 4 ∫ dx +4 ∫ dx+ ∫ 2 dx ¿ 4 x+ 4 ln ⁡∨ x∨ −1 +C d) ∫ 2 + 2 dx =∫ 2 dx +3 ∫ x dx
x
x
x
x
x
2
3
¿
− +C Bài 4.4.
ln ⁡2 x

(

(

)

)

3
1
dx=2 ∫ cos ⁡xdx−3 ∫ 2 dx
2
sin ⁡x
sin ⁡x
2 x
¿ 2 sin ⁡x+ 3cot ⁡x +C b) ∫ 4 sin ⁡ dx=2 ∫ (1−cos ⁡x )dx
2
2
x
x
x
x
¿ 2 ∫ dx−2 ∫ cos ⁡xdx=2 x −2sin ⁡x +C c) ∫ sin ⁡ −cos ⁡ dx= ∫ 1−2sin ⁡ cos ⁡ dx
2
2
2
2
1
2
−1 dx
¿ ∫ dx −∫ sin ⁡xdx=x +cos ⁡x +C d) ∫ ( x + tan ⁡x ) dx= ∫ xdx+ ∫
cos 2 ⁡x
2
1
x
¿ ∫ xdx + ∫
dx− ∫ dx= + tan ⁡x −x+C Bài 4.5
2
2
cos ⁡x

a) ∫ 2 cos ⁡x−

(

)

(

(

)

)

cos ⁡x

trên

R.

'

(

f ( x)=∫ f ( x ) dx=∫ 2 x +

)

1
1
2
dx=x − +C Vì f (1)=1 nên 1−1+C=1 ⇒ C=1.
2
x
x

1
2
Do đó f ( x)=x − +1
x
1
67
2
Vậy f (4 )=4 − +1=
4
4

d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
nhiệm vụ
Thực hiện nhiệm
vụ

- GV tổ chức cho HS trả lời các câu hỏi TN nhanh
HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.

- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài
Báo cáo thảo luận trên bảng.
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập.
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
Bài 4.6.
Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k M =¿ nên ta có:
3
x
f ( x)=∫ ¿¿ ∫ x 2 dx−2 ∫ xdx+ ∫ dx= −x 2 + x +C Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên
3
f (0)=0 .
03 2
−0 +0+ C=0 ⇒ C=0
3
3
x
Do đó f ( x)= −x 2+ x .
3

Do đó f (0)=

Bài 4.7.
Gọi h( t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.
Khi đó h( t)= ∫ v (t )dt= ∫ (160−9,8t )dt =160 t−4,9t 2 +C
Vì h( 0)=0 nên 160.0−4,9.0+C=0=¿ C=0.
Do đó h( t)=−4,9t 2 +160 t .
a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: h(5)=−4 , 9.52+160.5=677,5 (m).
b) Có h(t)=−4,9t 2 +160 t

(

)

(

)

−1
800 640000 64000
−1
800 2 64000 64000 Viên đạn đạt độ cao lớn
49 t 2 −2.7 t ⋅
+
+
h ( t )=
7 t−
+
≤
10
7
49
49
10
7
49
49
64000
800
≈ 1306,1 m khi t=
≈ 16,3 giây.
nhất là
49
49

h ( t )=

d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
nhiệm vụ
Thực hiện nhiệm
vụ
Báo cáo thảo luận
Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả thảo luận, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc
phải.

* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ




Ghi nhớ kiến thức trong bài.
Hoàn thành các bài tập trong SBT
Chuẩn bị bài mới: “Bài 12. Tích phân”