Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
CHƯƠNG V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (3 TIẾT)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết phương trình mặt cầu.

-

Xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phương trình.

-

Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và đường kính.

-

Vận dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để giải quyết một số bài toán liên
quan đến thực tiễn.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Năng lực tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, phân tích, lập
luận để giải thích được phương trình mặt cầu.

-

Năng lực mô hình hóa toán học: Mô tả các dữ kiện bài toán thực tế, giải quyết
bài toán liên quan đến phương trình mặt cầu.

-

Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và
đường kính.

-

Năng lực giao tiếp toán học: Đọc, hiểu thông tin toán học.

-

Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng được máy tính cầm
tay.

Năng lực số:

1

-

1.1.NC1a: Sử dụng công cụ bản đồ số để tra cứu dữ liệu địa lí thực tế (Google
Maps).

-

1.2.NC1b: Phân tích, diễn giải và đánh giá thông tin trực quan từ video.

-

2.1.NC1a: Sử dụng nền tảng trò chơi học tập tương tác trực tuyến (Quizizz).

-

2.2.NC1a: Chia sẻ dữ liệu bài giải cá nhân/nhóm qua không gian học tập chung
(Padlet).

-

3.1.NC1a: Biên tập, chỉnh sửa hình ảnh nội dung số rõ nét trước khi tải lên
mạng.

-

5.3.NC1a: Khai thác tính năng của phần mềm toán học chuyên dụng
(GeoGebra 3D).

-

6.2.NC1a: Khai thác công cụ trí tuệ nhân tạo (AI Chatbot) tra cứu kiến thức
ứng dụng thực tiễn.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV:
-

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.

-

Đồ dùng dạy học.

-

Hệ thống bài tập trắc nghiệm trên Quizizz/Azota.

-

Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

2. Đối với HS:
-

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.

-

Đồ dùng học tập (bút, thước...).

-

Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

2

-

Điện thoại thông minh (Smartphone) có kết nối Internet (để tham gia hoạt động
tương tác).

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu: Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.
- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách
trên bề mặt Trái Đất từ vị trí 10 ° N , 15 ° E đến vị trí 80 ° N , 70 ° E
ta sẽ đi được khoảng cách 8271,74 km (H.5.40). Cơ sở toán học
cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề
mặt Trái Đất là gì?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới: “ Trong cuộc sống, chúng ta đã được nhìn thấy rất nhiều vật có
dạng hình cầu, ví dụ như quả bóng đá, mặt trăng, mặt trời,...Vậy mặt cầu có phương
trình như thế nào, chúng ta sẽ tìm hiểu bài hôm nay.”.
Bài mới: Phương trình mặt cầu.
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
TIẾT 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

3

Hoạt động 1: Phương trình mặt cầu
a) Mục tiêu:
-

HS nhận biết phương trình mặt cầu.

-

Xác định tâm, bán kính mặt cầu kh biết phương trình.

-

Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.

b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ
trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động HĐ 1, Luyện tập 1; 2; 3; 4, và các ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết và viết phương trình mặt cầu.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Phương trình mặt cầu

- GV gọi HS nêu khái niệm về mặt * Nhắc lại kiến thức

NLS
5.3.NC1a:

Sử

dụng phần mềm

cầu, điểm nằm bên trong mặt cầu, Mặt cầu tâm I bán kính R( R> 0) là toán

học

điểm nằm bên ngoài mặt cầu, tập các điểm trong không gian cách I chuyên
đường kính của mặt cầu.

một khoảng bằng R .

dụng

(GeoGebra 3D)

- GV tổng kết và giới thiệu cho HS Một điểm M được gọi là nằm trong trên thiết bị di
về mặt cầu.

mặt cầu tâm I bán kính R nếu ℑ< R động để dựng
và được gọi là nằm ngoài mặt cầu đó hình, mô phỏng
nếu ℑ> R.

mặt cầu trong

Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu không gian 3
đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân tọa
biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó quan

độ,

trực

hóa

và

được gọi là một đường kính của mặt kiểm chứng lại
cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu các

thông

số

đều có trung điểm là tâm mặt cầu và tâm, bán kính từ
có độ dài bằng hai lần bán kính mặt phương

trình

4

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ.

cầu.

đại số.

HĐ. Tìm phương trình mặt cầu
biết tâm và bán kính.
Một điểm M thuộc mặt cầu khi và
chỉ khi I M 2=R 2
⇔ ( x−a )2 + ( y−b )2 + ( z−c )2=R2

- Từ kết quả trên, GV giới thiệu hệ Kết luận
thức lập được là phương trình mặt Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S)
cầu.

tâm I (a ; b ;c ) bán kính R có phương

- GV giới thiệu phương trình mặt trình
( x−a )2+ ( y−b )2 + ( z−c )2=R2

cầu.

Chú ý:
- GV đặt câu hỏi cho HS rút ra chú - Điểm M (x ; y ; z) nằm trong mặt cầu
ý:

( S) nếu

( x−a )2+ ( y−b )2 + ( z−c )2< R 2

+ Nếu M ( x ; y ; z) nằm trong mặt

cầu thì tọa độ điểm M thỏa mãn hệ - Điểm M ( x ; y ; z) nằm ngoài mặt cầu
thức nào?

( S) nếu

( x−a )2+ ( y−b )2 + ( z−c )2> R 2

+ Nếu M nằm ngoài mặt cầu thì tọa
độ điểm M thỏa mãn hệ thức nào?

Ví dụ 1 (SGK -tr.55)
Hướng dẫn giải: SGK – tr.55

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 1.
+ Gọi 1 – 2 HS xác định tâm và bán Luyện tập 1
kính của mặt cầu.
+ Từ đó HS xét vị trí của gốc tọa
độ.

(

)

1
a) Mặt cầu ( S ) có tâm I −2 ; 0 ;− 2 và
R=

3
2

- HS thực hiện Luyện tập 1, tương

5

tự.

√

()

b) Có ℑ= 4 2 +02 +

3
√73 > R
=
2
2
2

Vậy điểm M nằm ngoài mặt cầu.
Ví dụ 2 (SGK -tr.55)
Hướng dẫn giải: SGK – tr.55

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 2.
+ Gọi 1 – 2 HS lên bảng viết
phương trình mặt cầu khi biết tâm
và bán kính.
+ Mặt cầu có đường kính là AB thì
tâm có tọa độ là gì? Bán kính có độ
dài bao nhiêu?
Từ đó viết phương trình mặt cầu.
- GV yêu cầu HS: Sử dụng thiết bị
số, mở ứng dụng GeoGebra 3D
Calculator. Nhập phương trình vừa
lập được vào dòng lệnh để phần
mềm dựng mặt cầu 3D. Tiếp đó,
nhập lệnh Center() Luyện tập 2
và Radius() để máy a) Phương trình mặt cầu tâm
tính trả về tọa độ tâm và bán kính. O(0 ; 0 ;0)

bán

kính

R=1

là

Đối chiếu với kết quả làm trên x 2+ y 2+ z 2=1.
giấy.
b) Mặt cầu đường kính AB có tâm là
- HS thực hiện Luyện tập 2, tương trung điểm I của AB, ta có
tự ví dụ.

I

( 32 ;−2; 12 ), bán kính là R=IA = √142 .
6

Phương trình mặt cầu đường kính AB
là:

( )
x−

( )

2

2

3 (
2
1
7
+ y +2 ) + z− =
2
2
2

Ví dụ 3 (SGK -tr.56)
Hướng dẫn giải: SGK – tr.56
Luyện tập 3
Ta có:
2

2

2

x + y + z −4 x +6 y−12=0
2

2

2

⇔ x −4 x + y +6 y +9+ z =25
2

2

2

⇔ ( x−2 ) + ( y+ 3 ) + z =25

Vậy (S) là mặt cầu có tâm I (2;−3 ;0)

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 3.
+ HS sử dụng hằng đẳng thức để
chứng minh.
- HS thực hiện Luyện tập 3, tương
tự ví dụ.

và R=5.
Nhận xét: Với các hằng số a , b , c , d
thì x 2+ y 2+ z 2−2ax −2by −2 cz+ d=0 có
thể

viết

lại

thành

( x−a )2+ ( y−b )2 + ( z−c )2=a2 +b 2+ c2 −d

và là phương trình của một mặt cầu
( S) khi và chỉ khi a 2+ b2+ c 2−d >0 . Khi

đó, (S) có tâm I (a ; b ; c ) và bán kính
R=√ a + b +c −d .
2

2

2

Ví dụ 4 (SGK -tr.56)
- Từ kết quả của Ví dụ 3, Luyện tập
3, GV rút ra nhận xét cho HS: Với
các
2

hằng
2

2

số

a,b,c ,d

x + y + z −2ax −2by −2 cz+ d=0

thì

Hướng dẫn giải: SGK – tr.56
Luyện tập 4
Từ phương trình mặt cầu ta có

5
25
a=−2 ; b= ; c=−3 và d= .
2
4
là

7

phương trình mặt cầu khi nào? Nếu Phương trình mặt cầu (S) có tâm

(

)

nó là phương trình mặt cầu, hãy xác I −2 ; 5 ;−3
,
2
định tâm I và bán kính R .

√

2

R= (−2 ) +

()

2

5
25
2
+ (−3 ) − =√ 13.
2
4

- Từ nhận xét trên, HS thực hiện Ví
dụ 4.
- HS thực hiện cá nhân Luyện tập
4.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các
yêu cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

8

TIẾT 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG
THỰC TIỄN
Hoạt động 2: Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu
a) Mục tiêu: HS nhận biết được một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong
thực tiễn.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động luyện tập 3, ví dụ 5, Trải nghiệm.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

2. Một số ứng dụng của 1.1.NC1a:

Sử

- GV yêu cầu HS tìm hiểu phần phương trình mặt cầu trong dụng nền tảng bản
ứng dụng của phương trình mặt thực tiễn
cầu và thuyết trình trước lớp.

đồ

số

(Google

- Trong bài học này, ta xét Trái Maps) để tra cứu

- GV nhận xét và nêu một vài ứng Đất trong không gian Oxyz , với vị trí địa lí theo hệ
dụng quan trọng.

O là tâm Trái Đất, tia Ox chứa tọa độ kinh độ/vĩ

giao điểm của kinh tuyến gốc và độ, sử dụng công
xích đạo, tia Oz chứa điểm cực cụ

"Đo

khoảng

Bắc N, tia Oy giao xích đạo tại cách" tích hợp để
điểm thuộc bán cầu Đông, 1 đơn khảo sát độ dài
vị dài trong không gian Oxyz cung trên bề mặt
tương ứng với 6 371 km trên Trái Đất, qua đó
thực tế. Như vậy, trong không đối chiếu với mô
gian Oxyz , bề mặt Trái Đất có hình Toán học.
phương trình: x 2+ y 2+ z 2=1.
- Nếu biết vĩ độ và kinh độ của
một vị trí trên mặt trái đất thì tọa

9

độ của nó trong không gian cũng
dễ dàng được xác định và ngược
lại.
- Khoảng cách giữa hai vị trí P
và Q trên bề mặt Trái Đất là độ
dài cung nhỏ PQ của đường tròn
có tâm O và đi qua hai điểm P ,Q
. Cung tròn nói trên là đường đi
ngắn nhất trên bề mặt Trái Đất
từ P đến Q .
- HS thực hiện theo nhóm nhỏ, tìm
hiểu Ví dụ 5:

Ví dụ 5 (SGK -tr.58)
Hướng dẫn giải: SGK – tr.58

+ Xác định tọa độ của điểm P ,Q .
POC .
+ Tính số đo góc ^

+ Tính độ dài cung nhỏ PQ .
- HS thực hiện Luyện tập 5.

Luyện tập 5
Vì A là giao giữa kinh tuyến gốc
với xích đạo nên A(1 ; 0 ;0). Do
OA =( 1; 0 ; 0).
đó ⃗

Điểm B ¿; cos 45 ° sin 30 ° ; sin 45 ° )

( √46 ; √42 ; √22 ).
√ 6 √ 2 ; √2
⃗
OB =( ;
4 4 2 )
hay

B

Suy

ra

OA . ⃗
OB= √ .
Có ⃗
6
4

Vì A , B thuộc mặt đất nên

|⃗
OA|=|⃗
OB|=1
Do

đó

10

⃗
OA . ⃗
OB
≈ 0,6124
⃗
|OA|.|⃗
OB|

cos ^
AOB=

AOB ≈ 52,2388°
Suy ra ^

Độ

dài

cung

AB

là

52,24
.2 π .6371 ≈ 5808,8230 (km)
360

Trải nghiệm
Kết quả

- GV chia lớp thành 4 nhóm và
nêu nhiệm vụ: Các nhóm thảo
luận và thực hành tính khoảng Từ đây ta thấy kết quả đo tương
cách trên Google Maps trên thiết đối chính xác với kết quả tính ở
bị số.

luyện tập 5.

- GV hướng dẫn HS:
+ Bước 1: Truy cập vào Google
Maps trên thiết bị số:
+ Bước 2: Trên thanh tìm kiếm
nhập 0°N, 0°E. Google Maps
chuyển đến vị trí đó.
+ Bước 3. Nhấp vào vị trí đó và
chuột phải chọn “Đo khoảng
cách”.
+ Bước 4: Trên thanh tìm kiếm
nhập 45°N, 30°E và nhấn enter.
Google Maps đưa đến vị trí này.
+ Bước 5: Nhấp chuột vào vị trí

11

này. Một đường thẳng hiện ra kèm
thêm khoảng cách giữa hai vị trí
này.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả
lời câu hỏi, hoàn thành các yêu
cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức
trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép
đầy đủ vào vở.

12

TIẾT 3: LUYỆN TẬP
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 5.25 đến 5.29 (SGK
-tr.59) và các câu hỏi thêm.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
Nhiệm vụ 1: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm trên Quizizz.
- GV cung cấp mã QR hoặc đường Links cho HS chơi và làm bài tập:
Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Khoanh vào chữ cái đặt
trước câu trả lời đúng).
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là
phương trình mặt cầu ?
A. x 2+ y 2+ z 2−2 x=0 .
B. x 2+ y 2−z 2+ 2 x− y +1=0.
C. 2 x2 +2 y 2=( x + y )2−z 2 +2 x−1.
D. ( x + y )2=2 xy−z 2−1.
Câu 2. Mặt cầu ( S ) : x 2+ y 2 + z 2−4 x+ 1=0 có tâm và bán kính là :
A. I ( 2 ; 0 ; 0 ) , R=3.
B. I (−2 ;0 ; 0 ) , R= √ 3.
C. I ( 0 ;2 ; 0 ) , R= √3 .
D. I ( 2 ; 0 ; 0 ) R= √ 3 .
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu có tâm
I (−3 ; 1; 2), bán kính R=3 là:

13

A. ( x +3 )2 + ( y−1 )2 + ( z +2 )2=3.
B. ( x−1 )2 + ( y +3 )2 + ( z−2 )2=9.
C. ( x−3 )2 + ( y +1 )2 + ( z +2 )2=9 .
D. ( x +3 )2 + ( y−1 )2 + ( z−2 )2=9.
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1 ; 2 ; 3) . Phương trình mặt cầu tâm A và
tiếp xúc với mặt phẳng x−2 y +2 x +3=0 là :
A. ( x +1 )2+ ( y+ 2 )2+ ( z +3 )2 =2.
B. ( x−1 )2 + ( y−2 )2 + ( z−3 )2=4 .
C. ( x−1 )2 + ( y−2 )2 =( z−3 )2=2 .
D. ( x +1 )2+ ( y+ 2 )2+ ( z +3 )2 =4 .
Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I (−1 ; 4 ; 2) và có thể tích
bằng

256 π
. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:
3

A. ( x +1 )2+ ( y−4 )2 + ( z−2 )2=16 .
B. ( x +1 )2+ ( y−4 )2 + ( z−2 )2=4 .
C. ( x−1 )2 + ( y +4 )2 + ( z+ 2 )2=4 .
D. ( x−1 )2 + ( y +4 )2 + ( z+ 2 )2=16.
Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai (Đúng ghi Đ, sai ghi S)
Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (1; 0;−1) và có bán kính R=√ 2.
a) Phương trình của ( S) là ( x−1 )2 + y 2 + ( z+ 1 )2=√ 2.
b) Mặt cầu (S) đi qua điểm I (1; 0;−1).
c) Điểm A( 2; 2 ; 2) nằm ngoài phương trình mặt cầu (S).
d) Các điểm nằm trên mặt cầu (S) cách tâm I một khoảng bằng √ 2.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( S ) : x 2+ y 2 + z 2−4 x+ 2 y +2 z−10=0 và mặt phẳng ( P ) : x+2 y−2 z +10=0.

a) Mặt cầu (S) có tâm I (2;−1 ;−1).
b) Bán kính của mặt cầu (S) là R=4 .

14

c) Vectơ pháp tuyến của (P) là n⃗ =(1 ; 2 ;2).
d) (P) tiếp xúc với (S).
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu
( S ) : ( x−1 )2 + ( y +2 )2+ ( z−1 )2=25

a) Tâm của mặt cầu (S) là I (1;−2 ; 1).
b) Bán kính của mặt cầu (S) là R=5.
c) Điểm M (5 ; 1;−1) nằm trên mặt cầu ( S).
d) Đường kính của mặt cầu (S) là 25.
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x−1 )2 + ( y−2 )2 + ( z−3 )2 =1 và điểm
A( 2; 3 ; 4 ). Gọi M là điểm thuộc ( S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S).

a) Tâm mặt cầu (S) là I (1;2 ;3).
b) Điểm A nằm trên mặt cầu (S).
c) Mặt phẳng ( P ) : x+ y + z −5=0 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có
bán kính bằng

1
.
√3

d) M thuộc mặt phẳng có phương trình là x + y + z−7=0.
Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có
tọa độ O ¿), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài
kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí
A(−688;−185 ;8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
u⃗ =(91 ;75 ; 0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Tọa độ của vị trí sớm nhất mà

máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là M (a ;b ; c ). Tính a+ b+c .
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A(1 ; 2 ;3); B(4 ; 2;3);
C (4 ; 5 ; 3). Giả sử diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm

đường tròn lớn có dạng mπ . Tìm m.
Câu 3: Cho mặt cầu ( S ) : x 2+ y 2 + z 2−2 x−4 y−4 z=0. Giả sử mặt phẳng tiếp xúc với
mặt cầu (S) tại điểm A(3 ; 4 ; 3) có dạng ax +by +cz −17=0. Tính a+ b+c .

15

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS sử dụng điện thoại truy cập, nhập tên và làm bài trong 10 phút.
- Hệ thống tự động chấm điểm.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- GV chiếu bảng xếp hạng.
- Chữa các câu HS sai nhiều dựa trên báo cáo thống kê của Quizizz.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Kết quả:
Phần 1:
1

2

3

4

5

A

D

D

B

A

Phần 2:
Câu

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

a)

S

Đ

Đ

Đ

b)

S

Đ

Đ

S

c)

Đ

S

S

S

d)

Đ

Đ

S

Đ

Phần 3:
Câu

1

2

3

Trả lời

-458

18

5

[2.1.NC1a: HS sử dụng thiết bị điện thoại thông minh cá nhân truy cập nền tảng trò
chơi học tập (Quizizz) để tương tác trả lời câu hỏi trắc nghiệm và xem bảng xếp hạng
thời gian thực.]

16

Nhiệm vụ 2: Hoàn thành bài tập trong SGK tr.59
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổng hợp các kiến thức cần ghi nhớ cho HS
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 5.25 đến 5.29 (SGK - tr.59).
- GV yêu cầu: Các nhóm giải bài ra giấy. Sau đó dùng ứng dụng máy ảnh trên điện
thoại để chụp lại. Sử dụng công cụ Chỉnh sửa ảnh (Edit/Crop) để cắt bỏ viền thừa
ngoài giấy, tăng độ sáng cho chữ rõ nét. Cuối cùng, upload tệp ảnh lên bảng Padlet
chung của lớp học.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
- HS thảo luận giải bài. Thành viên phụ trách kĩ thuật thao tác biên tập ảnh và nộp bài.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
- GV mở Padlet trình chiếu bài giải của các nhóm trên màn hình lớn. Tổ chức cho HS
khác nhận xét chéo.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRONG SGK
Bài 5.25

(1

)

Mặt cầu có tâm I 2 ;−1 ; 0 , bán kính R=3.
Bài 5.26
Phương trình mặt cầu là ( x +2 )2+ y 2+ ( z −5 )2=4.
Bài 5.27
Bán kính mặt cầu là R=d ( I , ( P ) )=¿ 3.0+2.3+1∨

7
¿
=
¿
2
2
√3 +2 + (−1 ) √14
2

17

49

2
2
2
Phương trình mặt cầu là : x + ( y−3 ) + ( z +1 ) = 14

Bài 5.28
Tâm của mặt cầu (S) là I (−1 ;1 ;−4 ), bán kính của (S) là R=√ 1+1+16+18=6 .
Bài 5.29
5

a) Ta có a=1 , b=0 , c= 2 và d=30.
25

2
2
2
Vì a + b + c −d=1+ 0+ 4 −30<0 nên phương trình đã cho không phải là phương trình

mặt cầu.
b) Ta có : a=2 , b=0 ,c =0và d=5.
Vì a 2+ b2+ c 2−d=6>0 nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm
I (2;−1 ; 1), bán kính R=√ 6 .

c) Phương trình đã cho là phương trình bậc 3 nên phương trình đó không phải là
phương trình mặt cầu.
d) Ta có a=0 , b=0 , c=0 và d=5
Vì a 2+ b2+ c 2−d=−5<0 nên phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
[3.1.NC1a: Khai thác công cụ chỉnh sửa ảnh trên thiết bị thông minh để thao tác cắt
cúp (crop) viền thừa, tinh chỉnh độ sáng và độ nét cho hình ảnh bài giải tự luận.
2.2.NC1a: Tải và chia sẻ tệp tin hình ảnh bài học lên không gian lưu trữ và thảo luận
chung (Padlet) giúp GV thuận lợi chiếu bài và học sinh dễ dàng đánh giá chéo.]
4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu: Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập.
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 5.30 – SGK tr.59.

18

- GV yêu cầu 1 đại diện nhóm dùng AI Chatbot (ChatGPT hoặc Copilot) tra cứu câu
hỏi: Trong kĩ thuật viễn thông, khái niệm 'vùng phủ sóng' của các ăng-ten đẳng hướng
3D thường có dạng hình học gì? Vì sao việc thiết lập phương trình mặt cầu lại quan
trọng trong bài toán đặt trạm phát sóng?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả thảo luận, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc
phải.
Gợi ý đáp án:
Bài 5.30
Vùng phủ sóng là những điểm trong mặt cầu và thuộc mặt cầu có phương trình
( x−2 )2 + y 2 + z 2=1.

Ta có : AM =√ (2−2 )2 +12+12 =√2>1
Do đó vị trí M (2 ;1; 1) không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.
Câu hỏi mở rộng: Sóng phát ra từ ăng-ten đẳng hướng lan truyền mọi hướng tạo
thành không gian hình cầu. Do đó, việc dùng phương trình mặt cầu giúp kĩ sư tối ưu
hóa vùng tiếp sóng, không bị nhiễu hay tạo ra 'điểm mù'.
[6.2.NC1a: Khai thác công cụ trí tuệ nhân tạo (AI Chatbot) để tra cứu, tìm hiểu sâu
hơn ý nghĩa vật lí và kĩ thuật của việc ứng dụng phương trình mặt cầu trong thiết kế
mạng lưới viễn thông, mở rộng nhãn quan ứng dụng của Toán học.]
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành các bài tập trong SBT

19

 Chuẩn bị bài mới: Bài tập cuối chương V.

20