Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI 12: TÍCH PHÂN
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết được định nghĩa và tính chất của tích phân.

-

Tính được tích phân trong những trường hợp đơn giản.

-

Vận dụng được tích phân để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, đưa ra lập luận trong
quá trình hình thành khái niệm và các định lí, tính chất; thực hành và vận dụng
về tích phân.

-

Mô hình hóa toán học: Sử dụng được kiến thức về tích phân để mô tả một số
hình ảnh trong thực tiễn và giải quyết một số bài toán có yếu tố thực tiễn.

-

Giải quyết vấn đề toán học: Tính tích phân trong một số trường hợp, giải quyết
bài toán yếu tố thực tiễn.

-

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu, trao đổi thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Năng lực số:
-

1.2.NC1b: Tiến hành đánh giá được các dữ liệu, thông tin (So sánh kết quả tính
tích phân bằng tay và bằng phần mềm để đánh giá độ chính xác).

-

2.1.NC1a: Sử dụng được các công nghệ số khác nhau để tương tác (Tham gia
trả lời câu hỏi trắc nghiệm nhanh trên Quizizz/Kahoot).

-

5.3.NC1a: Áp dụng được các công cụ và công nghệ số khác nhau để tạo ra kiến
thức (Sử dụng phần mềm GeoGebra/Desmos để minh họa diện tích hình thang
cong – ý nghĩa hình học của tích phân).

-

6.2.NC1a: Phát triển được các ứng dụng AI tùy chỉnh để giải quyết các vấn đề
(Sử dụng Chatbot AI để giải thích ý nghĩa vật lý/kinh tế của bài toán tích phân).

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV:
-

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.

-

Đồ dùng dạy học.

-

Phần mềm GeoGebra (hoặc Desmos) cài sẵn hoặc dùng bản web.

-

Link bài tập Quizizz kiểm tra công thức.

-

Ví dụ thực tế về ứng dụng tích phân trong kinh tế/vật lý.

-

Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

2. Đối với HS:
-

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.

-

Đồ dùng học tập (bút, thước...).

-

Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

-

Máy tính cầm tay (Casio/Vinacal).

-

Điện thoại thông minh (Smartphone) có kết nối Internet và cài đặt ứng dụng
GeoGebra/Desmos (nếu có).

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

TIẾT 1: KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.
- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì
người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
v (t)=−40 t+20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ

lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi
hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới : Bài học
hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu về tích phân và tính chất của tích phân – Bài 12:
Tích phân.
[1.2.NC1b: HS thực hiện phân tích, diễn giải và đánh giá được dữ liệu, thông tin số
được xác định rõ ràng để đưa ra nhận định đúng.]
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Diện tích hình thang cong
a) Mục tiêu: Nhận biết được diện tích hình thang cong.
b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động 1, 2, ví dụ 1, 2.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận dạng hình thang cong, hiểu cách tính diện tích hình thang cong.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Khái niệm tích phân

- GV giới thiệu khái niệm hình thang a) Diện tích hình thang cong
cong.

NLS
5.3.NC1a:
HS sử dụng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f (x ) phần

mềm

- HS quan sát hình ảnh trong Ví dụ 1. , trục hoành và hai đường thẳng toán

học

Xác định hình thang cong và các x=a , x=b (a< b), trong đó f ¿ ) là hàm (GeoGebra/D
đường giới hạn.

liên tục không âm trên đoạn [a; b], gọi esmos)

- HS thực hiện HĐ 1.

là một hình thang cong.

để

trực quan hóa

a) Khi t=4 , xác định độ dài đáy lớn, Ví dụ 1 (SGK -tr.12)

khái

niệm

đáy nhỏ, chiều cao của hình thang.

trừu

tượng

HĐ 1:

b) Khi t ∈ [ 1; 4 ]xác định độ dài đáy Kí hiệu A(1 ;0), B(4 ; 0) và C , D lần (diện

tích

lớn, đáy nhỏ, chiều cao của hình lượt là giao điểm của đường thẳng x dưới

đường

thang theo t .

¿ 4 ; x=1 với đường thẳng y=x +1.

cong),

c) đạo hàm hàm S(t ) tìm được ở b.

Khi đó C (4 ; 5), D(1; 2).

hình

Ta có: AD=2 ;BC =5 ; AB=3.

kiến thức về

Khi đó diện tích hình thang T là

ý nghĩa hình

( AD + BC )⋅ AB (2+5)⋅ 3 21
=
= .
2
2
2

học của tích

S=

phân.

giúp
thành

b)
Gọi A(1 ; 0), B(t ; 0), t ∈[ 1 ; 4 ] và C , D
lần lượt là giao điểm của đường thẳng
x=t ; x =1 với đường thẳng y=x +1.

Khi đó C (t ; t+ 1); D(1 ; 2).
Do đó AB=t−1 ; AD=2; BC=t+1.
Khi đó diện tích hình thang ABCD là
S(t )=

( AD+ BC )⋅ AB ( t+3)⋅ (t−1) t 2+ 2t−3
=
=
2
2
2

.
c)
+) S(t )=

(

⇒ S ' (t )=

- HS thực hiện HĐ 2.
+ a) Xác định kích thước của các

2

t +2 t−3
2

)

'

2(t+1)
t +2t−3
=
=t+1=f (t)
2
2
2

Do đó S(t ) là một nguyên hàm của
hàm số f (t)=t+1 , t ∈[1 ; 4].
+) Có

hình chữ nhật MNPQ và MNEF,
Dựa

vào

hình

vẽ

so

sánh

4 2 +2.4−3 21
12+2.1−3
S( 4)=
= ;S (1)=
=0
2
2
2

Do đó S( 4)−S (1)=S .

S MNPQ ; S ( x +h )−S ( x ) ; S MNEF  .

HĐ 2:

Từ đó chứng minh kết quả.
+ b) Với điều kiện h< 0, x +h>1.
Thực hiện tương tự phần a.
+ c) Để dễ hình dung, ta đặt:
S ( x+ h)−S ( x ) 2
−x =T .
h

Từ câu a và b có:
0 ≤ T ≤ 2 xh+ h2.
2 xh+h2 ≤−T ≤ 0

Vậy giá trị tuyệt đối của |T ∨¿ sẽ như
thế nào?
Áp dụng định nghĩa đạo hàm
để chứng minh S' ( x ) =x2 .
+ d) Tính S theo hướng dẫn.
Ta nhận thấy: F (2)−F(1)=S.
- GV giới thiệu: diện tích của hình
thang giới hạn bởi các đường y =
f(x), trục hoành, đường thẳng x=1,
x=2 là S=F ( 2 )−F ( 1 ) ,với F(x) là một
nguyên hàm của f(x).

a) Với h> 0 , x +h<2, kí hiệu S MNPQ và
S MNEF lần lượt là diện tích các hình chữ

nhật MNPQ và MNEF, ta có:
+) Hình chữ nhật MNPQ có kích
thước: h ; x 2
Hình chữ nhật MNEF có kích thước:
2

h ; ( x +h ) .

+)
Từ hình vẽ:
S MNPQ ≤ S ( x+ h)−S (x)≤ S MNEF  hay
h x 2 ≤ S (x +h)−S( x )≤ h ¿.

Suy ra 0 ≤

S(x +h)−S (x) 2
−x ≤ 2 xh+h2.
h

b)

Với h< 0 và x +h>1, kí hiệu S MNPQ và
S MNEF lần lượt là diện tích các hình chữ

nhật MNPQ và MNEF, ta có
S MNPQ ≤ S ( x)−S ( x+ h)≤ S MNEF  

hay h ¿.
2
Suy ra 2 xh+h ≤

S (x +h)−S(x ) 2
−x ≤ 0.
h

c) Dựa vào kết quả của câu a , b ta suy
ra với mọi h ≠ 0, ta có:

|

|

S (x +h)−S( x ) 2
−x ≤ 2 x∨h∨+h 2Suy ra
h

S' (x)=lim

h→0

S ( x +h)−S( x ) 2
=x , ∀ x ∈(1 ; 2)
h

.
d) Vì S(1) ¿ 0 nên
13
−1
S(1)= +C=0 ⇒ C=
3
3
3

x 1
Vậy S(x )= −

- Tổng quát có cách tính diện tích
hình thang cong.

3

3
3

2 1 7
Ta có S=S (2)= − =
3

+) F ( x)=

3

3

x3
+C là một nguyên hàm của
3

2
f (x)=x trên [1; 2].

1

8

Khi đó F ( 1 )= 3 +C ; F ( 2 ) = 3 +C .
7

Ta thấy F (2)−F(1)= 3 =S .
Kết luận
Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm
trên đoạn  [a ; b], thì diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
y=f (x ), trục hoành và hai đường thẳng

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 2.

x=a , x=b là S=F (b)−F( a), trong đó

+ Xác định nguyên hàm của f(x).

F ( x) là một nguyên hàm của hàm số

+ Tính diện tích của hình thang cong f (x) trên đoạn [a ; b].
theo công thức.
- GV yêu cầu HS: Nhắc lại công thức
tính diện tích hình thang cong (dựa
vào nguyên hàm F(x): S=F (b)−F(a).
- GV nêu yêu cầu: Hãy sử dụng điện
thoại/máy tính bảng truy cập ứng

dụng GeoGebra (hoặc Desmos).
Nhập hàm số f(x) = x2. Dùng lệnh
Integral(x^2, 0, 1) (hoặc TichPhan)
để xem phần diện tích được tô màu
và giá trị diện tích đó.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu
cầu, thảo luận nhóm.
3

x
- HS tính toán thủ công: F ( x)= .
3

1

→ S=F (1)−F (0)= 3 .
- HS thực thao tác trên GeoGebra,
quan sát vùng diện tích dưới đường
cong y = x2 từ x = 0 đến x = 1.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày.
1

- HS so sánh kết quả 3 với kết quả
hiển thị trên phần mềm (khoảng
0.3333).
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ

Ví dụ 2 (SGK -tr.14)

vào vở.

TIẾT 2: KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN (TIẾP)
Hoạt động 2: Định nghĩa tích phân
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết khái niệm tích phân, ý nghĩa hình học của tích phân.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động 3, luyện tập 4, ví dụ 3, 4.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS tính được tích phân trong trường hợp đơn giản.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

1. Khái niệm tích phân

- GV yêu cầu HS làm HĐ 3.

b) Định nghĩa tích phân

Sử dụng chú ý: F ( x)=G( x)+C .

HĐ 3:
Vì F (x) và G( x ) là hai nguyên hàm của f (x)
trên đoạn [a ; b] nên tồn tại một hằng số C
sao cho F (x)=G( x)+C .
Do đó
F ( b )−F ( a )=G ( b ) +C−G ( a ) −C

- Từ đó ta có định nghĩa tích phân.

¿ G(b)−G(a) .

Khái niệm
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
Nếu F (x) là một nguyên hàm cúa hàm số
f (x) trên đoạn [a ; b] thì hiệu số F (b)−F (a)

- GV giới thiệu kí hiệu, các thuật ngữ liên được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số
quan.

f (x),

kí

hiệu

là

b

∫ a f ( x )dx .

+ Chú ý tính chất tích phân a =b và a > b; Chú ý:
tích phân không phụ thuộc vào cách kí Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu
hiệu biến.

biến:

b

b

b

a

a

a

∫ ❑ f ( x)d x=∫ ❑ f (t )d t=∫❑ f (u) d u
a) Hiệu F (b)−F (a) thường được kí hiệu là
b

F(x )|a.

Như vậy
b

∫ ❑ f ( x)d x=F ( x )|a
b

a

b) Ta gọi ∫ ba là dá́u tích phân, a là cận dưới, b
là cận trên, f (x) d x là biểu thức dưới dấu tích
phân và f (x) là hàm số dưới dấu tích phân.
c) Trong trường hợp a=b hoặc a> b, ta quy
ước:
b

a

a

a

b

∫ ❑ f ( x)dx=0 ;∫ ❑ f ( x) dx=−∫ ❑ f (x) dx

- HS quan sát Ví dụ 3, làm Luyện tập 1:
tính tích phân dựa vào định nghĩa.

a

Ví dụ 3 (SGK -tr.15)

Xác định nguyên hàm của hàm số, rồi tính Luyện tập 1
tích phân.

1

a) ∫ 10 e x dx=e x|0=e−1
1

e
e
b) ∫ 1 x dx=ln ⁡∨ x ¿1=ln ⁡e−ln ⁡1=1
π
2
0

π
2
0

c) ∫ sin ⁡xdx=−cos ⁡x| =−cos ⁡ π +cos ⁡0=1.
2

d)
π
3
π
6

π

- GV giới thiệu ý nghĩa hình học của tích

dx
π
π − √3
2 √3
3
∫
=−cot ⁡x|π =−cot ⁡ +cot ⁡ =
+ √ 3=
2
3
6
3
3
sin ⁡x
6

phân.

.
Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm trên
đoạn [a ; b], thì tích phân ∫ ba f ( x )d x là diện

tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị y=f (x ), trục hoành và hai đường thẳng
x=a , x=b

Vậy
b

S=∫ ❑ f ( x )dx
a

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 4: tính tích
phân bằng cách sử dụng ý nghĩa hình học.
+ Tích phân cần tính chính là hình giới
hạn bởi các đường. Từ đó để tính tích Ví dụ 4 (SGK -tr.15)
phân ta có thể tính diện tích hình giới hạn
đó.
- Tương tự HS thực hiện Luyện tập 2.
GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị các hàm số,
các đường giới hạn tương ứng theo bài, Luyện tập 2
rồi tính diện tích hình.
Gọi A(1 ; 0), B(3 ; 0) và C , D lần lượt là giao
điểm của đường thẳng x=¿ 3 ; x=1 với đường
thẳng y=2 x +1.
Do đó C (3 ;7), D(1 ; 3).

Tích phân cần tính là diện tích hình thang
vuông ABCD với đáy nhỏ AD=3; đáy lớn
BC=7 và chiều cao AB=2.

Do đó
∫ 31 (2 x +1)dx =S ABCD=

( AD + BC )⋅ AB (3+7) ⋅2
=
=10
2
2

.
b)
- HS thực hiện Vận dụng 1.
Lưu ý: v ( t )=s' ( t ) .
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận
kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn
thành các yêu cầu.

Ta có y= √ 4−x2 là phương trình nửa phía

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

tọa độ O và bán kính 2.

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho phía trên trục hoành của hình tròn tương
bạn.

ứng.

2
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng Vậy ∫ −2
√ 4− x2 dx= 12 ⋅ π ⋅ 22=2 π .

quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu Vận dụng 1
cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

Ô

tô

dừng

lại

khi

v (t)=0 .

Tức

là

−40t +20=0 ⇔t=0,5 giây.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn
di chuyển được quãng đường là:
0,5

S=∫ ❑(−40 t+20)dt =−20 t + 20 t|0 =5 (m)
2

0,5

0

Vậy quãng đường ô tô di chuyển được là 5
mét.

TIẾT 3: TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Hoạt động 3: Tính chất của tích phân
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết tính chất của tích phân.
- HS vận dụng tính chất để tính được tích phân của một số trường hợp.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động 4, luyện tập 3, 4, vận dụng 2.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS tính được tích phân trong một số trường hợp.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

2. Tính chất của tích phân

- GV yêu cầu làm HĐ 4.

HĐ 4:
1

1

a) ∫ ❑0 2 xdx= x 2|0=1 ;

|

1

1
x2
2 ∫ xdx=2 ⋅
= x 2|0=1.
2 0
1
0

Do đó ∫ 10 2 xdx=2 ∫ 10 xdx

(

3

2

b) ∫ ( x + x ) dx= x + x
3 2
1
0

2

)| = 56
1

0

| |
1

1

x3
x2
1 1 5
∫ x dx+ ∫ xdx=
+
= + = Do đó
3 0 2 0 3 2 6
1
0

2

1
0

∫ 10 ( x 2 + x ) dx= ∫ 10 x 2 dx+ ∫ 10 xdx

|

3

| |
1

3

x2
9 1
x2
x2
1 9 1 9
3
c) ∫ xdx=
= ; ∫ 0 xdx + ∫ 1 xdx=
+
= + − =
2 0 2
2 0 2 1 2 2 2 2
3
0

.

Từ kết quả HĐ 4, ta có tính chất Do đó ∫ 3 xdx= ∫ 1 xdx+ ∫ 3 xdx .
0
0
1
của tích phân.
Tính chất của tích phân
Cho f ( x), g (x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a ; b].

Khi đó, ta có
1) ∫ ba kf (x)d x=k ∫ ba f (x) d x (k là hằng só́);
2) ∫ ba [f (x )+ g (x)]d x= ∫ ba f ( x)d x+ ∫ ba g( x) d x;
3) ∫ ba [f ( x )−g( x )] d x= ∫ ba f ( x ) d x− ∫ ba g (x) d x;
- HS đọc hiểu Ví dụ 5: chỉ rõ đã sử
dụng tính chất gì, nguyên hàm của

4) ∫ ba f (x )d x= ∫ 00 f ( x) d x+ ∫ b0 f ( x)d x ( aVí dụ 5 (SGK -tr.17)

các hàm số nào.
- Tương tự HS thực hiện Luyện Luyện tập 3:
tập 3.

a)
2π

2π

2π

0

0

0

2

2

1

1

2π

∫ ( 2 x +cos x ) dx=∫ 2 xdx+∫ cos xdx= x 2|0
2

(

)

3
3
x
x
b) ∫ 3 − dx=∫ 3 dx−∫ dx
1

x

x

|

2

3x
¿
−3 ln ⁡∨x ¿21
ln3 1
¿

2

3
3
6
−
−3 ln 2+ 3 ln 1=
−3 ln 2c)
ln 3 ln 3
ln 3
π

∫ 3π
6

( cos1 ⁡x − sin1 ⁡x ) dx
2

π

¿ ∫ 3π
6

- GV hướng dẫn Ví dụ 6: tính tích
phân chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2

π

2 x−3>0 khi nào? 2 x−3<0 khi nào?

π

1
1
dx− ∫ 3π
dx¿ tan x|π3 + cot x|3π
2
2
cos x
6 sin x
6
6

π
π
π
π
¿ tan −tan +cot −cot
3
6
3
6
¿ √ 3−

√ 3 + √ 3 −√ 3=0Ví dụ 6 (SGK -tr.17)
3

3

Để tính ta phá dấu giá trị tuyệt đối.
- Tương tự HS làm Luyện tập 4.

π

Luyện tập 4
3

∫ 0∨2 x−3∨dx

2π

+ sin x|0 =4 π

2

3
2
0

¿ ∫ ∨2 x−3∨dx + ∫ 33 ∨2 x−3∨dx
2

3
2
0

¿ ∫ (3−2 x)dx + ∫ 33 (2 x−3)dx

- HS làm Vận dụng 2.

2

3
2 2
0

3
9 9 9
¿ ( 3 x−x )| + ( x2 −3 x )|3 = + =
4 4 2
2

Để tìm nhiệt độ trung bình theo yêu Vận dụng 2
cầu cần tính tích phân nào?

Nhiệt độ trung bình vào ngày đó là:

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

1
1 12
12
∫ [ 20+1,5(t−6)] dt= ∫ 6 ( 1,5t +11)dt
12−6 6
6

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,

(

1 3 2
tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời ¿ 6 4 t +11t

câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
vào vở.

)| =40− 312= 492 =24,5Vậy nhiệt độ trung
12
6

bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng
đến 12 giờ trưa là 24 , 5∘ C .

TIẾT 4 : LUYỆN TẬP
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 4.8 đến 4.10 (sgk tr.18) và các câu hỏi thêm.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Nhiệm vụ 1: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm nhanh trên Quizizz/Kahoot để củng cố toàn bài.
- GV cung cấp mã QR/ đường Links cho HS làm câu hỏi trắc nghiệm tổng kết bài học.
Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Khoanh vào chữ cái đặt trước
câu trả lời đúng).
1

b
Câu 1. Tích phân ∫ a x dx bằng:

A. ln ⁡b−ln ⁡a.
B. ¿ ln ⁡b∨−¿ ln ⁡a∨¿ .
C. ln ⁡∨b∨−ln ⁡∨a∨¿.
D. ln ⁡∨a∨−ln ⁡∨b∨¿.
2
Câu 2. Tích phân ∫ 1

−3
d x có giá trị bằng:
x3

9

A. 8 .
−45

B. 64 .
15

C. 8 .
−9

D. 8 .
2
Câu 3. Tích phân ∫ 1

1

x√ x

d x có giá trị bằng:

A. 2− √2.
B. 2+ √ 2.
C.

−√ 2+ 8
.
20

D.

−√ 2−8
.
20

Câu 4. Nếu ∫ 21 f (x) d x=−2 và ∫ 32 f (x) d x=1 thì ∫ 31 f (x) d x bằng:
A. -3 .
B. -1 .
C. 1 .
D. 3 .
π

π

Câu 5. Cho ∫ 02 f ( x ) d x =5thì ∫ 02 [ f ( x ) +2 sin x ]d x bằng
A. 7.
π

B. 5+ 2
C. 3
D. 5+ π
Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai (Đúng ghi Đ, sai ghi S)
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ].
a) ∫ ba f ( x ) dx=−∫ ab f ( x ) dx
b) ∫ ba kdx=k ( b−a ) , ∀ k ∈ R .
c) ∫ ba f ( x ) dx= ∫ ca f ( x ) dx+ ∫ bc f ( x ) dx , với c ∈ ( a; b ) .
d) ∫ ba f ( x ) dx= ∫ ab f ( x ) dx.
Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc v (t) được cho bởi đồ thị như hình vẽ

a) Hàm số biểu diễn vận tốc của vật từ lúc t=1đến lúc t=3 là v ( t )=t .
b) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ lúc t=1đến lúc t =3 là
3

s=∫ v ( t ) dt .
1

c) Hàm số biểu diễn vận tốc của vật từ lúc t=3đến lúc t=4 là v ( t )=t .
d) Quãng đường vật đi được trong 4 giây đầu tiên là 3 m.
Câu 3:
1

a) ∫ dx=1
−1

b) ∫ ba f 1 ( x ) . f 2 ( x ) dx= ∫ ba f 1 ( x ) dx . ∫ ba f 2 ( x ) dx
b

c) Nếu f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a ; b ] thì ∫ f ( x ) dx ≥0 .
a

a

d) Nếu∫ f ( x ) dx =0 thì f ( x ) là hàm số lẻ.
0

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [ a ; b ].
b

''
'
'
a) ∫ f ( x ) dx=f ( b ) −f ( a ) .
a

b

''
b) ∫ f ( x ) dx=f ( b )−f ( a ) .
a

b

''
'
'
c) ∫ f ( x ) dx=f ( a ) −f ( b ) .
a

b

''
d) ∫ f ( x ) dx=f ( a )−f ( b ) .
a

Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn

1

1

1

−2

−2

−2

∫ f ( x) dx=5và ∫ g ( x ) dx=−4 . Tính ∫ [ 3 f ( x )−5 g ( x ) ] dx .

Câu 1: Cho

Câu 2: Tại một nhà máy, gọi C (x) là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất x
tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm C ' (x) , gọi là chi phí cận biên, cho
biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận
biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức
C ' (x)=5−0,06 x +0,00072 x ² với 0≤ x ≤ 150.

Biết rằng C (0)=30 triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Gọi T (đơn vị: triệu đồng) là tổng
chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng. Tính giá trị của T .
a

Câu 3: Cho∫
1

x+ 1
dx=e với a> 1. Tìm giá trị của a .
x

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS sử dụng điện thoại truy cập, nhập tên và làm bài trong 10 phút.
- Hệ thống tự động chấm điểm.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- GV chiếu bảng xếp hạng.
- Chữa các câu HS sai nhiều dựa trên báo cáo thống kê của Quizizz.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Kết quả:
Phần 1:
1

2

3

4

5

C

D

A

D

A

Phần 2:

Câu

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

a)

Đ

S

S

Đ

b)

Đ

Đ

S

S

c)

Đ

S

Đ

S

d)

S

Đ

S

S

Phần 3:
Câu

1

2

3

Trả lời

35

470

e

[2.1.NC1a: HS sử dụng thiết bị di động tương tác thời gian thực với hệ thống bài tập
trực tuyến, tạo môi trường học tập sôi nổi.]
Nhiệm vụ 2: Hoàn thành bài tập trong SGK tr.18
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổng hợp các kiến thức cần ghi nhớ cho HS
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 4.8 đến 4.10 (sgk -tr.18).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
- GV chú ý cho HS các lỗi sai hay mắc phải
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các học sinh, ghi nhận và tuyên
dương
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRONG SGK
Bài 4.8
Gọi A(1 ; 0), B(2 ; 0) và C , D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x=¿ 2 ; x=1 với

đường thẳng y=2 x +1. Khi đó C (2; 5) , D(1; 3).

Tích phân cần tính chính là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy nhỏ AD=3,
đáy lớn BC=5 , đường cao AB=1.
2
Khi đó ∫ 1 (2 x +1)dx =S ABCD=

( AD + BC ) AB (3+5)⋅ 1
=
=4 .
2
2

b)
Ta có y= √9−x 2 là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc
tọa độ O và bán kính 3 . Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục
hoành của hình tròn tương ứng.

1

9

3
2
2
Vậy ∫ −3 √ 9−x dx = 2 ⋅ π ⋅3 = 2 π .

Bài 4.9.
a) ∫ 30 [f (x )+ g (x)]dx= ∫ 30 f ( x )dx+ ∫ 30 g ( x)dx=5+ 2=7
b) ∫ 30 [f (x )−g(x )]dx=∫ 30 f ( x)dx− ∫ 30 g ( x) dx=5−2=3
c) ∫ 30 3 f ( x)dx=3 ∫ 30 f (x )dx =3.5=15
3

3

3

0

0

0

d) ∫ ❑[2 f (x)−3 g( x)] dx=2∫ ❑f (x ) dx−3∫ ❑ g( x)dx=2.5−3.2=4
Bài 4.10.
3

a)∫ ❑¿
0

¿ 9 ∫ 0 x dx−6 ∫ 0 xdx + ∫ 0 dx ¿ 3 x3|0−3 x 2|0 + x|30=81−27+3=57b)
3

2

3

π
2
0

3

3

π
2
0

3

π
2
0

π
2
0

π
2
0

π
∫ (1+ sin ⁡x) dx= ∫ dx + ∫ sin ⁡xdx= x| −cos ⁡x| = +1
2

|

1

1
e2 x
e2 1
e2 1
c) ∫ ( e +3 x ) dx= ∫ e dx +3 ∫ x dx=
+ x 3|0 ¿ − +1= +
2 2
2 2
2 0
1
0

2x

2

1 2x
0

2

−1
2

−1

−1

1
0

2

2

d)∫ ❑∨2 x +1∨dx =∫ ❑∨2 x+ 1∨dx + ∫ ❑∨2 x +1∨dx
¿∫

−1
2
−1

(−2 x −1)dx + ∫

2
−1
2

−1
2

−1
2
−1

(2 x +1)dx ¿ (−x −x )| + ( x 2+ x )|−1 = 1 +6 + 1 = 13 .
4
4 2
2
2

2

4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập.
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 4.11 – 4.13 – SGK tr.18.

- GV hướng dẫn Bài 4.11: Sử dụng Chatbot AI (ChatGPT/Gemini) để hỏi câu lệnh:
'Tại sao khi tính quãng đường đi được lại phải lấy trị tuyệt đối của vận tốc trong tích
phân? Ý nghĩa của tích phân vận tốc khi không có trị tuyệt đối là gì?'. Ghi lại câu trả
lời.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- HS tra cứu AI để hiểu: v(t) < 0 nghĩa là vật đi ngược chiều dương.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
- HS chia sẻ thông tin từ AI: Tích phân không có trị tuyệt đối là Độ dịch chuyển
(Displacement), còn có trị tuyệt đối là Quãng đường (Distance). Vì vật đổi chiều tại
t=3 nên phải ngắt tích phân để tính tổng quãng đường thực tế.
Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc
phải.
Gợi ý đáp án:
Bài 4.11.
a) Giả sử vật chuyển động trên một trục nằm ngang, chiều dương hướng từ trái sang
phải.
Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤t ≤ 4 là
4

4

4

4

4

1

1

1

1

1

∫ ❑ v (t)dt=∫ ❑ ( t2−t−6 ) dt=∫❑ t2 dt−∫ ❑tdt−6 ∫ ❑dt

(

3

2

)|

4

t t
−32 37 −9 .
¿ − −6 t =
+ =
3 2
3
6
2
1

Vậy trong khoảng thời gian 1 ≤t ≤ 4, vật dịch chuyển sang bên trái được 4,5