Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI 26. KHOẢNG CÁCH
(3 tiết)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Xác định được khoảng cách giữa các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt
phẳng trong không gian.

-

Xác định được đường thẳng vuông góc chung của hai đường chéo nhau
trong một số trường hợp đơn giản.

-

Vận dụng kiến thức về khoảng cách vào một số tình huống thực tế.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, đưa ra lập luận
trong quá trình hình thành khái niệm và các định lí, tính chất; thực hành và
vận dụng về khoảng cách.

-

Mô hình hóa toán học: vận dụng kiến thức về khoảng cách vào một số tình
huống thực tế (ví dụ, tính khoảng cách từ xà ngang khống chế chiều cao
xuống mặt dốc, đo độ sau của nước trong bể có mặt đáy nằm ngang).

-

Giải quyết vấn đề toán học: Tính được khoảng cách giữa các đối tượng
điểm, đường, mặt phẳng trong không gian, xác định được đường vuông góc
chung giữa hai đường chéo nhau.

-

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu, trao đổi thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: thước, ê ke, phần mềm vẽ hình.

Năng lực số:
-

1.1.NC1b: Áp dụng được kỹ thuật tìm kiếm để lấy được dữ liệu, thông tin và
nội dung trong môi trường số.

-

1.2.NC1b: Tiến hành đánh giá được các dữ liệu, thông tin và nội dung số
khác nhau.

-

2.1.NC1a: Sử dụng được nhiều công nghệ số để tương tác.

-

2.2.NC1a: Chia sẻ dữ liệu, thông tin và nội dung số thông qua nhiều công cụ
số phù hợp.

-

3.1.NC1a: Áp dụng được các cách tạo và chỉnh sửa nội dung ở các định
dạng khác nhau.

-

5.3.NC1a: Áp dụng được các công cụ và công nghệ số khác nhau để tạo ra
kiến thức cũng như các quy trình và sản phẩm đổi mới.

-

6.2.NC1a: Tối ưu hóa việc sử dụng các công cụ AI để đạt hiệu quả cao hơn.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến
thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV:
-

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.

-

Đồ dùng dạy học.

-

Hệ thống bài tập trắc nghiệm trên Quizizz/Azota.

-

Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

2. Đối với HS:
-

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.

-

Đồ dùng học tập (bút, thước...).

-

Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

-

Điện thoại thông minh (Smartphone) có cài đặt ứng dụng GeoGebra và trình
duyệt web.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
TIẾT 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG,
ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG. KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu: Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.
- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu: Các đầu phun nước chữa cháy sprinkler
cần được lắp đặt theo tiêu chuẩn kĩ thuật, trong đó có tiêu chuẩn về khoảng cách
tới từng loại trần, tường, nhà.

- GV đặt câu hỏi gợi mở:
+ Khoảng cách từ đầu phun nước chữa cháy đến mặt đất có thể tính như thế nào?
+ Khoảng cách từ trần nhà đến mặt đất được tính như thế nào?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm
đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ
sung.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt
HS vào bài học mới: “Khoảng cách là khai niệm được dùng trong nhiều lĩnh vực
của đời sống. Trong bài học này ta tìm hiểu về khoảng cách giữa điểm, đường
thẳng, mặt phẳng”.
[1.2.NC1b: HS thực hiện phân tích, diễn giải và đánh giá được dữ liệu, thông tin số
được xác định rõ ràng để đưa ra nhận định đúng.]
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, từ một điểm
đến một mặt phẳng
a) Mục tiêu: Xác định được khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng.
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy
nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi. Xác định và tính được khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

1. Khoảng cách từ một điểm đến 5.3.NC1a: HS

- HS hoạt động cá nhân trả lời HĐ một đường thẳng, đến một mặt áp dụng được
1.

phẳng

các công cụ và

Dựa vào tính chất cạnh huyền và HĐ 1:

công nghệ số

cạnh góc vuông trong tam giác a) Xét tam giác MHK vuông tại H khác
vuông.

nên MK > MH .
MK =MH ⇔ K ≡ H

- GV dùng GeoGebra 3D chiếu mô

nhau

(GeoGebra
3D) để tạo ra

hình điểm M và mặt phẳng (P). Vậy MK ≥ MH .
kiến thức trực
Dùng thao tác xoay 3D để HS thấy b) Tương tự câu a, sử dụng tính quan về hình
rõ hình chiếu vuông góc H của M chất cạnh huyền và cạnh góc vuông chiếu
và
trên (P).
- GV giảng giải về định nghĩa

ta có:

khoảng cách.
MK ≥ MH .

khoảng cách từ một điểm đến Kết luận:
- Khoảng cách từ một điềm M đến
đường thẳng, mặt phẳng.

- GV đặt câu hỏi: Nếu d ( M , a )=0 , một đường thẳng a , kí hiệu d (M , a) ,
thì điểm M và đường thẳng a có vị là khoảng cách giữa M và hình
trí như thế nào? Tương tự với chiếu H của M trên a .
d ( M , ( P ) ) =0 ? Và ngược lại.

- Khoảng cách từ một điểm M đến

- Dựa vào kết quả HĐ 1 và khái một mặt phẳng (P), kí hiệu
niệm khoảng cách, GV lưu ý cho d ( M ,( P)), là khoảng cách giữa M
HS về tính ngắn nhất của khoảng và hình chiếu H của M trên (P).
cách.

Chú ý:
d ( M , a )=0 ⇔ M ∈ a ;

+ Chú ý về chiều cao của hình

d ( M , ( P ) ) =0 ⇔ M ∈ ( P ) .

chóp.
- HS đọc, trình bày Ví dụ 1.
+ Xác định được đoạn thẳng SO là
chiều cao của hình chóp.

Nhận xét.

+ Tính SO dựa vào các định lí hình Khoảng cách từ M đến đường
học.

thẳng a (mặt phẳng (P)¿ là khoảng

- HS thực hiện Luyện tập 1.

cách nhỏ nhất giữa M và một điềm

+ Làm thế nào để xác định hình thuộc a (thuộc ( P) ).
chiếu của A lên mặt phẳng Chú ý:
(BCC”B')?

Khoảng cách từ đỉnh đến mặt

+ Kẻ đường vuông góc xác định phẳng chứa mặt đáy của hình chóp
hình chiếu của A lên BC'.

được gọi là chiều cao của hình chóp

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

đó.

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, Ví dụ 1 (SGK -tr.55)
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các Luyện tập 1
yêu cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung

a) Kẻ AH ⊥ BC tại H .

⇒ AH ⊥ ( BC C B )

cho bạn.

'

'

⇒ d¿

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV

tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng Ta có: 1 2 = 1 2 + 1 2 nên
AH
AB A C
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ
a 2
AH = √ .
vào vở.
2
b)
AB ⊥ ( AC C' A ' ) ⇒ AB ⊥ A C ' ⇒ △ ABC '

vuông tại A .
A C' = √ a2+ h2 , B C' = √2 a2 +h 2 .

Kẻ AK vuông góc với BC ' tại K
⇒ d ( A , BC )= AK

Ta có: A C' 2= A C 2+ C C' 2=a2+ h2
1
1
1
=
+
2
2
2
AK
A B A C'
⇒ AK=

a √ a +h
2

2

√ 2 a2 +h2

.

Hoạt động 2: Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song
a) Mục tiêu: Xác định được khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song, giữa hai mặt phẳng song song.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV,
chú ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi. HS xác định và tính được khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song, giữa hai mặt phẳng song song.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song
đôi, hoàn thành HĐ 2.

song

+ AM và BN có mối quan hệ gì? HĐ 2:
MN và AB?
- Từ kết quả trên nhận thấy: nếu
đường thẳng a song song với (P)
thì khoảng cách từ các điểm trên a
đến (P) như thế nào?
- GV giảng giải dẫn đến định nghĩa. + Ta có:
- HS thực hiện HĐ 3, từ đó GV dẫn AM ⊥ ( P ) , BN ⊥ ( P ) ⇒ AM // BN .
dắt đến khoảng cách giữa hai mặt MN // (P)nên mặt phẳng ( AMNB) cắt (P) theo
phẳng song song và khoảng cách giao tuyến AB // MN .
giữa hai đường thẳng song song.

Mặt khác AM ⊥ AB.

- HS suy nghĩ trả lời Câu hỏi Do đó AMNB là một hình chữ nhật.
(SGK).

+ Vì AM =BN nên M và N có cùng khoảng cách

- GV chốt lại kết quả và chú ý về đến (P).
chiều cao hình lăng trụ.

Kết luận:

- GV chú ý việc tính khoảng cách Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng
giữa đường song song mặt, mặt ( P )song song với a , kí hiệu d ( a , ( P ) ) ,là khoảng
phẳng song song mặt phẳng chủ cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
yếu đưa về tính khoảng cách từ HĐ 3:
điểm đến đường thẳng hoặc điểm a) Khi một điểm M thay đổi trên đường thẳng m,
đến mặt phẳng.

khoảng cách từ M đến đường thẳng n không

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

thay đổi vì m // n.

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, b) Vì (P) // (Q) nên các đường thẳng trên mặt (P)
tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời đều song song với (Q).
câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

Dựa vào kết quả của hoạt động 2 ta có khi một

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

điểm M thay đổi trên mặt phẳng (P), khoảng

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

cách từ M đến mặt phẳng (Q) không thay đổi. 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng Kết luận
trình bày

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P)

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung và (Q), kí hiệu d (( P);( Q)), là khoảng cách từ

cho bạn.

một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV phẳng kia.
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng - Khoảng cách giữa hai đường đường thẳng song
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ song m và n kí hiệu d(m;n) là khoảng cách từ
vào vở.

một điểm thuộc đường thẳng này đến đường
thẳng kia.

Câu hỏi:
Lấy M ∈ a ⇒ M ∈ ( P ) .
+) a // (Q)nên d ( a ,(Q))=d (M ,(Q))
+) ( P)/ ¿(Q)nên d (( P),(Q))=d ( M ,(Q))
⇒ d (a ,(Q))=d (( P),(Q))

Chú ý. Khoảng cách giữa hai đáy của một hình
lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ
đó.

TIẾT 2: LUYỆN TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
CHUNG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 3: Luyện tập về khoảng cách giữa điểm, đường, mặt và đường
vuông góc chung giữa hai đường thẳng
a) Mục tiêu: HS luyện tập tính khoảng cách giữa các đối tượng điểm, đường
thẳng, mặt phẳng.
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy
nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm Ví dụ 2 (SGK -tr.56)
vụ:

Luyện tập 2:

- GV yêu cầu HS thảo luận hiểu a)
và trình bày Ví dụ 2, làm Luyện +) MN // (ABC)
tập 2.

⇒( MNP)// ( ABC)

- Ví dụ 2: GV hướng dẫn HS ⇒ d ((MNP),( ABC))=d ¿;
trình bày cách tính khoảng cách +)
giữa đường thẳng và mặt phẳng PN /¿( ABC )⇒ d ( NP , (ABC ))=d ( N ,( ABC ))=d ( M , (ABC ))
song song
- Luyện tập 2:
Xác định khoảng cách giữa hai

h
d (NP ,( ABC))= .
2

b) Kẻ AH ⊥ SB tại H ⇒ AH ⊥ ( SBC )
⇒ d ( A , ( SBC ) )= AH

mặt phẳng (MNP) và (ABC) là
đoạn thẳng nào?
Tương tự với khoảng cách giữa
NP và (ABC).
+ b) Dựng đường thẳng qua A
và vuông góc với (SBC).\
- HS thảo luận nhóm đôi thực

Ta có:

1
1
1
ah
=
+
⇒ AH = 2 2 .
2
2
2
AH
S A AB
√a +h

Vậy d ( A , ( SBC ) )= AH =

ah

√ a2+ h2

.

hiện Vận dụng.
+ GV yêu cầu HS vẽ hình minh
họa, mô hình hóa bài toán: xác
định yếu tố đã cho và yếu tố cần
tính.

Vận dụng:

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành
các yêu cầu, thảo luận nhóm.

Gọi B là một điểm nằm trên thanh ngang và H là hình

- GV quan sát hỗ trợ.

chiếu vuông góc xuống mặt dốc.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng dốc là
∘

BH =2,28 ⋅ sin ⁡75 ≈ 2,2( m).

Do đó không cho phép xe cao 2,21 m đi qua.

sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức
trọng tâm và yêu cầu HS ghi
chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 4: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
a) Mục tiêu: HS nhận biết về đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo
nhau; xác định và tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy
nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

Bước 1: Chuyển giao nhiệm 3. Khoảng cách giữa hai đường 6.2.NC1a: HS tối
vụ:

thẳng chéo nhau

ưu hóa việc sử

- HS thực hiện HĐ 4. GV gợi HĐ 4:

dụng các công cụ

ý: Dựa vào tính chất hình

AI (Chatbot) để

chiếu của điểm, đường thẳng

tra cứu phương

lên mặt phẳng; thì ta có

pháp giải toán

đường thẳng chứa phương

hình học không

chiếu như thế nào so với (Q)?
- GV giới thiệu MN được gọi
là đường vuông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau a
và b.
Từ đó HS khái quát khái niệm.
- GV giảng giải về khoảng
cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau.
+ Cho hai đường thẳng chéo
nhau a và b. Nếu mặt phẳng
(P) chứa b và song song với a.
nhận

xét

d ( a , b)

và

d (a , ( P)) .

+ tương tự câu hỏi với hai mặt
phẳng song song (Q) và (P).
- GV chiếu mô hình 2 đường
thẳng chéo nhau a và b trên
GeoGebra.
- GV yêu cầu HS: Các em hãy
thảo luận cách dựng đoạn
vuông góc chung.
- GV khuyến khích HS sử
dụng

AI

a trên (Q) nên a và a ' thuộc cùng một

mặt phẳng.
Gọi phương chiếu của đường thẳng
a xuống (Q) là đường thẳng l .

Mặt phẳng (a , a ') chứa l ⊥(Q) nên
mặt phẳng (a , a ' ) ⊥(Q).
b) Ta có: a // ( Q ) ; ( a , a' ) ∩ ( Q )=a' ⇒ a '//
a.

- GV cho HS nhận xét.

Thì

a) Vì a là hình chiếu vuông góc của
'

Chatbot

Do MN ⊥ a nên MN ⊥ a' .
Mà l ⊥a
⇒ MN // l .
⇒ MN ⊥(Q).

Vậy MN ⊥ b .
c) Do a // (Q) và MN ⊥(Q) nên d ¿.
Kết luận
- Đường thẳng ∆ cắt hai đường
thẳng chéo nhau a, b và vuông góc
với hai đường đó được gọi là đường
vuông góc chung của a và b.
- Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt
a, b tương ứng tại M, N thì độ dài
đoạn thẳng MN được gọi là khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo

gian, nâng cao
hiệu quả tự học.

(ChatGPT/Gemini) để gõ từ nhau a, b.
khóa: "Các bước dựng đường
vuông góc chung của 2 đường
thẳng chéo nhau trong không
gian", sau đó đối chiếu với
SGK.
- GV nhấn mạnh: để tính
khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau ta có thể tính
gián tiếp qua đường song song
với mặt, mặt song song với
mặt; hoặc tính trực tiếp qua
đường vuông góc chung.
- HS quan sát, đọc hiểu, trình
bày Ví dụ 3.
- HS thực hiện mục Khám

Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó đến
mặt phằng song song với nó và chứa
đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa
hai mặt phằng song song, tương ứng
chứa hai đường thằng đó.

phá.
+ Xác định khoảng cách
d (O , b) và đoạn vuông góc

chung giữa a và b.
- HS thực hiện Luyện tập 3:
+ a) Xác định khoảng cách
giữa điểm và đường thẳng.
+ b) tìm hai đường thẳng
vuông góc với BD mà nằm
trong mặt phẳng (SAC).
+ c) Tìm đường vuông góc
chung, tính khoảng cách dựa
vào đường vừa dựng được.
- HS thảo luận nhóm đôi, trả

Câu hỏi tra cứu NLS: 2 phương
pháp chính:
- Dựng mặt phẳng chứa đường này
và song song đường kia.
- Dùng mặt phẳng vuông góc với
một trong hai đường thẳng.
Ví dụ 3 (SGK -tr.58)
Khám phá
Ta có d ( O ,b )=OH
Mà OH là đoạn vuông góc chung

lời mục Thảo luận (SGK).

của a và b nên d ( a , b ) =OH .

Bước 2: Thực hiện nhiệm Vậy d ( a , b ) =d (O , b ) .
vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý Luyện tập 3.
nghe, tiếp nhận kiến thức, a) Kẻ AH ⊥ SC ⇒ d ( A , SC )= AH
hoàn thành các yêu cầu, thảo
luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên
bảng trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.

Ta có:

1
1
1
=
+
⇒ AH =a
2
2
AH
S A AC

Vậy
b)

d ( A , SC )=a .
BD ⊥ AC , BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SAC ).

c) Kẻ OK ⊥ SC
Lại có OK ⊥ BD ( BD ⊥ ( SAC ) )
Vậy đường vuông góc chung giữa
BD và SC là OK . ¿

AH

a

Bước 4: Kết luận, nhận +¿ d ( SC , BD )=OK = 2 = 2
định: GV tổng quát lưu ý lại
kiến thức trọng tâm và yêu cầu
HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Thảo luận.
- Khoảng cách từ một điểm M đến
một đường thẳng a là khoảng cách
giữa M và hình chiếu H của M trên
a.
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P) là khoảng cách giữa M và
hình chiếu H của M trên (P)
- Khoảng cách giữa đường thẳng a
và mặt phẳng (P) song song với a là
khoảng cách từ một điểm bất kì trên
a đến (P).

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song (P) và (Q) là khoảng cách
từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia.
Mà đường vuông góc là đường ngắn
nhất nên khoảng cách giữa hai hình
được nêu trong bài học (điểm,
đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng
cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc
hình này và một điểm thuộc hình
kia.

TIẾT 3: LUYỆN TẬP
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập Bài 7.22 đến 7.25
(SGK -tr.59) và các câu hỏi TN.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS. HS tính được khoảng cách, xác định
đường vuông góc chung.
d) Tổ chức thực hiện:
Nhiệm vụ 1: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm trên Quizizz.
- GV cung cấp mã QR hoặc đường Links cho HS chơi và làm bài tập:
Câu 1. Cho hình chóp tam giác S . ABC với SA vuông góc với ( ABC) và SA=3 a.
Diện tích tam giác ABC bằng 2 a2 , BC=a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao
nhiêu?
A. 2 a
B. 3 a
C. 4 a
D. 5 a
Câu 2. Cho hình chóp S . ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi
một. Biết SA=a √3= AB. Khoảng cách từ A đến ( SBC ) bằng:
a 3
A. √ .
2

a 2
B. √ .
3

C.

2 a √5
.
5

a 6
D. √ .
2

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với

mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt
phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.
Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thang vuông
cạnh a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa
đường thẳng IJ và ( SAD ).
A.

a √2
.
2

a 3
B. √ .
3

a

C. 2 .
a

D. 3 .
Câu 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD . A' B ' C ' D' có cạnh đáy bằng a . Gọi M ,
N , P lần lượt là trung điểm của AD, DC , A ' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt

phẳng ( MNP ) và ( ACC ' ).
a 3
A. √ .
3

a

B. 4 .
a

C. 3 .
D.

a √2
4

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS sử dụng điện thoại truy cập, nhập tên và làm bài trong 10 phút.
- Hệ thống tự động chấm điểm.
- GV quan sát và hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi
sai.
- GV chiếu bảng xếp hạng.
- Chữa các câu HS sai nhiều dựa trên báo cáo thống kê của Quizizz.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Đáp án trắc nghiệm
1

2

3

4

5

D

D

A

C

D

[2.1.NC1a: HS sử dụng thiết bị cá nhân để thực hiện tương tác (trả lời câu hỏi, xem
bảng xếp hạng) thông qua công nghệ số].
Nhiệm vụ 2: Hoàn thành bài tập trong SGK tr.59
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổng hợp các kiến thức cần ghi nhớ cho HS.
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 7.22 – 7.25 (SGK - tr.59).
- GV yêu cầu: Các em hãy làm việc ra vở và sử dụng thiết bị số để chụp ảnh bài
làm, tải lên không gian Padlet chung của lớp.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu
cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
- GV mở Padlet, chọn ngẫu nhiên bài của các nhóm để chiếu lên bảng và sửa trực
tiếp.
Bước 4: Kết luận, nhận định:

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các học sinh, ghi nhận và
tuyên dương.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRONG SGK
7.22.
a 3
a) SH= √ .
2

b) d ( BC ,( SAD))=d(B ,( SAD))= AB=a.
c) d ( AB , SD )= AK =

a √3
.
2

7.23.
'
' '
a) d ( C C , ( BD D B ) ) =CH =

bc

√ b2 +c 2

.

b) d ( AC , B' D ' ) =OO ' =a.

7.24.
a) AB⊥ DM , AB ⊥CM ⇒ AB ⊥( MCD)⇒ AB ⊥ MN .
Tương tự CD ⊥ MN .
b) AB⊥( MCD) ⇒ AB ⊥ CD. Tương tự cho các cặp còn lại.

7.25.
a) ( D ' AC ) / ¿ ( B C ' A' ) , ( B C ' A ' ) ⊥ D B' .
Vì AC ⊥ ( BD D' B ' ) ⇒ AC ⊥ D B' ; A D' ⊥ ( D A' B' )
⇒ A D ⊥ D B ⇒ D B ⊥ ( AC D ) .
'

'

'

'

1
a 3
b) d ( ( D' AC ) , ( B A' C ' ) ) =EF= D B' = √ .
3

3

[2.2.NC1a: HS chia sẻ dữ liệu, thông tin và nội dung số (hình ảnh chụp bài giải tự
luận) thông qua công cụ số phù hợp (Padlet) để học tập cộng tác.]
4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu: Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập.
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 7.26, 7.27 (SGK-tr.59).
- GV cho HS tìm hiểu nội dung mục Em có biết, đặt câu hỏi và phân công HS hoạt
động nhóm tìm hiểu nội dung, trình bày: Vì sao vùng phía bắc chí tuyến Bắc và
vùng phía nam chí tuyến Nam tai sáng mặt trời không bao giờ vuông góc với mặt
đất (không xảy ra hiện tượng đứng bóng thực sự tại đó) ?

- GV nêu yêu cầu mở rộng: Các em hãy sử dụng Internet tìm kiếm một hình ảnh
minh họa về Trái Đất, các đường chí tuyến và chùm tia sáng Mặt Trời. Sau đó, sử
dụng phần mềm chỉnh sửa ảnh (Canva, Paint, hoặc trình sửa ảnh trên điện thoại)
để vẽ thêm mặt phẳng tiếp xúc với mặt đất, vẽ các mũi tên mô phỏng tia sáng Mặt
Trời và góc tạo bởi tia sáng với mặt đất tại các vĩ độ khác nhau. Cuối cùng, đăng
tải hình ảnh đã chỉnh sửa kèm câu trả lời giải thích lên nhóm Zalo của lớp hoặc
Padlet môn Toán.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
- HS suy nghĩ, tính toán bài tập. Dùng smartphone tra cứu hình ảnh thiên văn, dùng
app chỉnh sửa ảnh vẽ thêm các yếu tố toán học để lập luận.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
- GV mở Padlet/Zalo, chiếu các bức ảnh "Em có biết" do HS tự thiết kế, yêu cầu
HS thuyết trình dựa trên hình ảnh đó.
Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay
mắc phải.
- GV khen ngợi kĩ năng mô hình hóa toán học từ hiện tượng thực tiễn và khả năng
ứng dụng công cụ số của học sinh.
Gợi ý đáp án:
7.26.
3
Vì đáy là tam giác đều cạnh 110 cm nên chiều cao của đáy bằng 110. √ =55 √ 3.
2

2
110 √ 3
Khoảng cách từ chân đến tâm là  .55 √ 3=
.
3

√

(

3

)

2

Chiều cao giá đỡ là 1292− 110 √ 3 ≈ 112( cm).
3

7.27. Sợi dây của quả dọi có phương vuông