MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂU CUỐI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10

Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức E =
(với x là số tự nhiên) không là số nguyên.
Giải
Do x không là số tự nhiên nên:
(4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1 < 36x2 + 10x + 3 < (6x + 2)2 = 36x2 +24x + 4

4x + 1 <


(2x + 1)2 < 4x2 +
< 4x2 + 6x + 2 < (2x + 2)2

2x + 1 <
< 2x + 2

x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 <
< x2 + 2x + 2 < (x + 2)2

x + 1 <
< x + 2

x + 1 < E < x + 2, giá trị của E nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp.
Vậy E không phải là số nguyên.

Bài 2: Cho ba số thực a, b, c với abc
0 và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng:
.
Giải
Ta có
=
+

Với abc
0 và a + b + c = 0, ta có

Suy ra
(đfcm)

Bài 3: Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
S =
là một số hữu tỉ.
Giải
Ta có (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0 và a – b
0, b – c
0, c – a
0.
Áp dụng kết quả bài 3, ta có
=

Do các số a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, nên S là số hữu tỉ.

Bài 4: Tính tổng gồm 2014 số hạng sau:
P =
+
+ … +
.
Giải
Mỗi số hạng của tổng có dạng:

=
=
(n = 3, 4 … , 2014)
Ta có P =
+
+ … +

Tổng có 2012 số hạng nên: P =
=


Bài 5: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:

=

Giải
Từ
=

Nhân hai vế với 2, chuyển vế ta được:
(x - 2
+ 1) + (y - 1 - 2
+ 1) + (z - 2 - 2
+ 1) = 0




Vậy các số thực phải tìm là x = 1; y = 2; z = 3.

Bài 6: Cho các số dương a, b, c với a
c,
, a + b =

Chứng minh rằng:
=

Giải
Từ a + b =

Suy ra a =
- b =
-
(b dương)
=

b =
- a =
-
(a dương)
=

Thay a và b vào
,
ta được:
=
(đfcm)

Bài 7: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =
= 2.
Chứng mnh rằng:
=

Giải
Đặt x =
; y =
; z =
thì x2 + y2 + z2 = x + y + z = 2
(x + y + z)2 = 22
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 22

2(xy + yz + zx) = 22 – 2 = 2
xy + yz + zx = 1
1 + a = xy + yz + zx + x2 = (x + y)(x + z)
1 + b = xy + yz + zx + y2 = (y + z)(y + x)
1 + c = xy + yz + zx + z2 = (z + x)(z + y)
Do đó
=

=
=
(đfcm)
Bài 8: Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn:
=
.
Chứng minh rằng:
=

Giải
Vì 1 – b2
0; 1 – c2
0; 1 – a2
0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có:

;
;

Mà
+
+
=


+
+

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:



a2 + b2 + c2 =

Bài 9: Cho hai số dương x, y thỏa xy = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Giải
Áp dụng bđt Cosi ta có:
( 2
(1)