Chương #. TỔNG ÔN KIẾN THỨC

BUỔI
A

TOÁN 9 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

TỨ GIÁC NỘI TIẾP

01

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.
2. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
3. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của
đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 𝜶.
Chú ý:
1.Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
2.Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính thì có số đo bằng 90 0
3.Đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây
4.Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
+ Đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
+ Đường thẳng nối từ tâm đến điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp
điểm.

2 Một số bổ đề quan trọng cần nhớ

1

Chương #. TỔNG ÔN KIẾN THỨC

2

TOÁN 9 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Chương #. TỔNG ÔN KIẾN THỨC

TOÁN 9 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Nhận xét: Trong bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp chủ yếu sử dụng Bổ đề 1 và Bổ đề 2, còn Bổ đề 2 mở
rộng và Bổ đề 3 hầu như không dùng đến. Nó chỉ dùng cho học sinh chuyên toán, vì thế các em không quan
tâm đến Bổ đề 2 mở rộng và Bổ đề 3 nhé.
-

Tính chất 3 thường hay được suy ra khi một tứ giác đã nội tiếp đường tròn.

B

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
3

Chương #. TỔNG ÔN KIẾN THỨC

TOÁN 9 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0
Minh họa:

Phương pháp 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp
được trong một đường tròn
Minh họa:

Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
Minh họa:

Phương pháp 4: Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
Minh họa:

Bài 1: Cho tam giá c ABC, 2 đường cao BB', CC'. Chứng minh tứ giá c BCB'C' nộ i tiep.
Hướng Dẫn:

4

Chương #. TỔNG ÔN KIẾN THỨC

TOÁN 9 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Cách 1: Phương phá p 2: Chứng minh 4 đı̉nh cá ch đeu 1 điem
OB' là đường trung tuyen ứng vớ i cạ nh huyen
 OB' = OB = OC = r (1)

C  900 (GT)
Xé t BC'C có : BC
Tương tự trê n  OC' = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2)  B, C', B', C  (O; r) Tứ giá c BC'B'C nộ i tiep đường trò n.
Cách 2: Phương phá p 3: Tứ giá c có hai đı̉nh ke nhau cù ng nhı̀n cạ nh chứa hai đı̉nh cò n lạ dướ i mộ t
gó c bang nhau là tứ giá c nộ i tiep.

C  900 .
Ta có : BB  AC (giả thiet)  BB


C  900 .
CC  AB (giả thiết) BC
 B', C' cù ng nhı̀n cạ nh BC dưới mộ t gó c vuô ng
 B', C' nam trê n đường trò n đườ ng kı́nh BC
Hay tứ giá c BC'B'C nộ i tiep đường trò n đườ ng kı́nh BC.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN
và BNMC là những tứ giác nội tiếp.
Bài tập 2: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B,
C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông
góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt
AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 5: Cho tứ giác nội tiếp 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐵𝐶 là tam giác nhọn. Vẽ các đường cao AM và CN của tam
giác ABC. Gọi H là giao điểm của AM và CN.
.
  MNC
.
a) Chứng minh 
ABC  CHM
b) Chứng minh MAC

  90  
c) Chứng minh MAC
ANM .

d) Chứng minh 
ADC  
AHC .

5

Chương #. TỔNG ÔN KIẾN THỨC

TOÁN 9 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Dạng 2: ĐƯỜNG TRÒN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN,
CHỨNG MINH HỆ THỨC, TRUNG ĐIỂM, TỈ LỆ CẠNH
Phương pháp giải:
 Xem chứng minh về hệ thực lượng trong tam giác vuông trên youtube.
 Thành thạo các góc nội tiếp,...
 Biết chuyển đổi tỉ số đồng dạng về tam giác đồng dạng,...
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AE, BF và CN cắt nhau tại H ( E  BC ,
F  AC , N  AB ).
a) Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp.
b) Kéo dài FE cắt đường tròn đường kính BC tại M. Chứng minh BM = BN.
c) Biết AH = BC. Tính số đo góc A của tam giác ABC.
Bài tập 2: Cho đường tròn (O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q sao
cho P nằm giữa A và Q, dây cung PQ không đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm của đoạn PQ, J là giao điểm
của hai đường thẳng AQ và MN. Chứng minh rằng:
  JIN
.
a) Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn và JIM
b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQM. Và AP  AQ  AI  AJ .
Bài tập 3: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại F . Gọi M là một điểm
thuộc cung nhỏ BC ( M khác B , M khác C ), hai đường thẳng AM và CD cắt nhau tại E .
a) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp.
b) Chứng minh tia MA là phân giác của góc CMD.
c) Chứng minh AC 2  AE  AM .
d) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MD và AB, N là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC.
Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEN nằm trên đường thẳng CI.
Bài tập 4: Cho hai đường tròn (O; R ) và (O; r ) tiếp xúc ngoài tại A ( R  r ). Gọi 𝐵𝐶 là tiếp tuyến chung
ngoài của hai đường tròn này (Với 𝐵 ∈ (𝑂) và C  (O) ). Tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn (O)
và (O) cắt đoạn thẳng BC tại M .
a) Chứng minh OM vuông góc với O'M.
b) Gọi E là giao điểm của AB với OM và F là giao điểm của AC với O'M. Chứng minh tứ giác OEFO'
nội tiếp một đường tròn.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO', K là trung điểm của AM. Chứng minh OO  2 IK .
Bài tập 5: Cho nửa đường tròn đường kính 𝐴𝐷. Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn ( B khác A và D ),
trên cung 𝐵𝐷 lấy điểm C ( C khác B và D ). Hai dây 𝐴𝐶, 𝐵𝐷 cắt nhau tại điểm E . Kẻ đoạn thẳng 𝐸𝐹
vuông góc với 𝐴𝐷 ( 𝐹 ∈ 𝐴𝐷 ).
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
b) Chứng minh AE  AC  AF  AD .
c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BFC.
-----------------HẾT----------------6