CHUYÊN ĐỀ: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên.
Cho điểm A không thuộc đường thẳng d , các điểm B, C thuộc đường thẳng d không trùng
với điểm H .
- Đoạn thẳng AH là đoạn thẳng vuông góc hay
đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

A

- Điểm H là chân đường vuông góc hay hình chiếu
của điểm A trên đường thẳng d .
- Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A
đến đường thẳng d .

d

H

B

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
- Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một
điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì
đường vuông góc là đường ngắn nhất.
AH  d  AH  AC, AH  AD

A

d

D

B

H

C

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Nhận biết đường vuông góc, đường xiên. Tìm khoảng cách của một điểm đến một
đường thẳng.
I. Phương pháp giải:
- Dựa vào khái niệm đường vuông góc, đường xiên để nhận biết các loại đường đó.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng chính là tính độ dài đường vuông
góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho các hình vẽ sau. Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ điểm A
trong hình 1 và điểm I trong hình 2.
B

A

I

O
d

Lời giải:

C

H
Hình 1

B

C
Hình 2

Bài 2. Cho đường thẳng a và điểm O (không thuộc đường thẳng a ) hãy vẽ đường vuông góc và
ba đường xiên kẻ từ điểm O đến đường thẳng a . Chỉ ra các đường xiên và đường vuông góc
vừa vẽ.
Lời giải:

Bài 3. Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng
EF đến đường thẳng đó trong hình vẽ sau:
D

M

E

K

F

Lời giải:

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh
BC .
a) Tìm các đường vuông góc và đường xiên trên hình
b) Tìm khoảng cách từ
đỉnh
Lời giải:

A, B, C đến các cạnh của tam giác ABC .

Bài 5. Cho hình vuông ABCD . Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông
a) Đỉnh nào cách đều hai điểm D và B ?
b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AD và DC ?
Lời giải:

Bài 6. Quan sát hình dưới và cho biết:
a) Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng a , b , c .
b) Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng b, c .

Lời giải

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh bằng 3 cm, 5 cm , I là một điểm trên cạnh
CD .
a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ A điểm đến đường thẳng CD .
b) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AD .

A

5 cm

B

3 cm

D
Lời giải:

I

C

Bài 9. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ bằng 4 cm , độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ.
Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình thang cân, biết diện tích hình thang cân đó bằng 18 cm2
.
Lời giải

Bài 10. Cho hình thang ABCD (Hình vẽ) có AB  7 cm . Gọi E là hình chiếu của B lên cạnh CD
. Biết ABED là hình vuông và diện tích hình thang ABCD gấp 2 lần diện tích hình vuông ABED
. Hãy tính khoảng cách từ C đến đường thẳng BE .
A

D

7cm

B

E

C

Lời giải:

Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A . Có M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh
AM là khoảng cách từ A đến cạnh BC của tam giác ABC .
Lời giải:

Bài 12. Cho hình vẽ bên, biết AB  CD BAC  BDC  90 DE  4 cm . Tính khoảng cách từ E
, đến đường thẳng AB .
,
A
D
4cm

B

E

Lời giải:

Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
I. Phương pháp giải:

C

Sử dụng định lý đường vuông góc ngắn hơn đường xiên (từ một điểm đến cùng một đường
thẳng).
II. Bài toán.
Bài 1. Độ dài nào ngắn nhất trong các độ
dài

AB, AC, AD, AE

.

A

B

C

D

E

Lời giải

Bài 2. Quan sát hình bên.
D
N

M

a) Tìm đoạn ngắn nhất trong các
đoạn

E

P

NM , NE, NP .

b) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn
thẳng

PM , PN, PD .

Lời giải:

Bài 3. Bạn Bình xuất phát từ điểm I bên hồ bơi. Bạn ấy muốn tìm đường ngắn nhất để bơi đến
thành hồ đối diện. Theo em, bạn Bình phải bơi theo đường nào?
A

I

Lời giải:

B

C

D

Bài 4. Cho tam giác ABC , điểm D nằm giữa A và C ( BD không vuông góc với AC ). Gọi E và
F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD . So sánh AC với tổng
AE  CF.

Lời giải:

Bài 5. Cho hình vẽ. Chứng minh rằng: BD  CE  AB  AC
A
E

B

D

C

Lời giải:

Bài 6. Cho tam giác IKL , IK  IL . Lấy điểm M tùy ý nằm giữa K và L . Khi M thay đổi thì
độ dài IM thay đổi. Xác định vị trí của M để độ dài IM nhỏ nhất.
Lời giải:

Bài 7.
Cho

ABC , điểm E nằm

B, C ( AE không vuông góc với BC ). Gọi H và K là

giữa
chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AE .
a) So sánh BH và BE .
b) Chứng minh BC  BH  CK .
Lời giải:

Bài 8.
Cho

MNP nhọn. Kẻ MD  NP

,

 D  NP

NE  MP

a) So sánh MN và MD .
b) Chứng minh 2MN  MD  NE .
Lời giải:

Bài 9.
Cho

ABC , kẻ AH 
BC

tại H . Chứng minh rằng:

 E  MP

a)

AH 

1
2

 AB  AC 

Kẻ BK  AC tại K , CL 
AB
Lời giải:
b)

tại L . Chứng minh AH  BK  CL  AB  BC  CA

Bài 10. Cho ABC , các góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C . Gọi d tổng các khoảng
cách từ B và C đến đường thẳng AM .
a) Chứng minh rằng d  BC .
b) Xác định vị trí của M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất.
Lời giải:

Bài 11. Hai tam giác: tam giác cân ABC và tam giác ADE Có chung góc ở đỉnh A có
AE  AD  AB  AC . Chứng minh rằng BC  DE .
Lời giải:

Bài 12. Cho ABC cân tại A , trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM  AN
. Chứng minh
rằng:
Lời giải:

BN 

BC  MN
2

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Nhận biết đường vuông góc, đường xiên. Tìm khoảng cách của một điểm đến một
đường thẳng.
A

Bài 1. Quan sát hình vẽ và cho biết:
a) Các đường vuông góc kẻ
AB; BC
đến
b) Các đường xiên kẻ đến AB; BC

E

B

H

D

C

Bài 2. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 4 cm , I là một điểm trên cạnh CD và cách
C 1 cm . Tìm khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AD .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B có AD là tia phân giác của BAC ( D  BC ). Kẻ
DF 
AC

tại F . Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AC ,
biết

BD  2 cm .

Bài 4. Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai
cạnh đó. Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt
thước trong hình dưới có đúng không?

Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Bài 1. Quan sát hình vẽ và cho biết đường nào là đường ngắn nhất? Vì sao?
A

P M

H

D N

E

d

Bài 2. Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Mai
xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn
bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, ... (Hình bên).

Bài 3. Cho tam giác ABC , điểm M nằm giữa B và C . Gọi H và K là chân các đường vuông
góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB và AC . So sánh BC và MH  MK .

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , M là trung điểm của AC . Gọi E và F là chân các
đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM . Chứng
minh

AB 

BE  BF
.
2

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Nhận biết đường vuông góc, đường xiên. Tìm khoảng cách của một điểm đến một
đường thẳng.
Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận biết đường vuông góc, đường xiên. Tìm khoảng cách của một điểm đến một
đường thẳng.
Bài 1. Cho các hình vẽ sau. Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ điểm A
trong hình 1 và điểm I trong hình 2

B

A

I

O
d

C

H
Hình 1

B

C
Hình 2

Bài 2. Cho đường thẳng a và điểm O hãy vẽ đường vuông góc và ba đường xiên kẻ từ điểm O
đến đường thẳng a . Chỉ ra các đường xiên và đường vuông góc vừa vẽ.
Bài 3. Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng
EF đến đường thẳng đó trong hình vẽ sau:

D

M

E

F

K

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến cạnh BC .
a) Tìm các đường vuông góc và đường viên trên hình.
b) Tìm khoảng cách từ đỉnh A, B, C đến các cạnh của tam giác ABC .
Bài 5. Cho hình vuông ABCD . Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông
a) Đỉnh nào cách đều hai điểm D và B ?
b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AD và DC ?
Bài 6. Quan sát hình dưới và cho biết:
a) Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng a , b , c .
b) Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng b, c .

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh bằng 3cm, 5cm , I là một điểm trên cạnh
CD .
a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ A điểm đến đường thẳng CD .
b) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AD .

A

5 cm

B

3 cm

D
I

C

Bài 8. Cho hình vuông ABCD có diện tích là 36 cm2 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh
CD .
Bài 9. Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ bằng 4 cm , độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ.
Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình thang cân, biết diện tích hình thang cân đó bằng 18 cm2
.

Bài 10. Cho hình thang ABCD (Hình vẽ) có AB  7 cm . Gọi E là hình chiếu của B lên cạnh CD
. Biết ABED là hình vuông và diện tích hình thang ABCD gấp 2 lần diện tích hình vuông ABED
. Hãy tính khoảng cách từ C đến đường thẳng BE .
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A . Có M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh
AM là khoảng cách từ A đến cạnh BC của tam giác ABC .
Bài 12. Cho hình vẽ bên, biết AB  CD
BAC  BDC  90 DE  4cm . Tính khoảng cách từ E
, đến đường thẳng AB .
,

A

D

4cm

E

B

C

Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Bài 1. Độ dài nào ngắn nhất trong các độ
dài

B

AB, AC, AD, AE .

A

C

E

D

Bài 2. Quan sát hình bên.
D
N

M

E

a) Tìm đoạn ngắn nhất trong các
đoạn

P

NM , NE, NP .

b) Tìm đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng PM , PN, PD .
Bài 3. Bạn Bình xuất phát từ điểm I bên hồ bơi. Bạn ấy muốn tìm đường ngắn nhất để bơi đến
thành hồ đối diện. Theo em, bạn Bình phải bơi theo đường nào?
A

B

C

D

I

Bài 4. Cho tam giác ABC , điểm D nằm giữa A và C ( BD không vuông góc với AC ). Gọi E và
F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD . So sánh AC với tổng
AE  CF.

Bài 5. Cho hình vẽ. Chứng minh rằng: BD  CE  AB  AC

A
E

D

B

C

Bài 6. Cho tam giác IKL , IK  IL . Lấy điểm M tùy ý nằm giữa K và L . Khi M thay đổi thì
độ dài IM thay đổi. Xác định vị trí của M để độ dài IM nhỏ nhất.
Bài 7. Cho ABC , điểm E nằm giữa B, C ( AE không vuông góc với BC ). Gọi H và K là chân
các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AE .
a) So sánh BH và BE .
b) Chứng minh BC  BH  CK .
Bài 8.
Cho

MNP nhọn. Kẻ MD  NP

,

 D  NP

NE  MP

 E  MP

a) So sánh MN và MD .
b) Chứng minh 2MN  MD  NE .
Bài 9.
Cho
a)

b)

ABC , kẻ AH 
BC
1
AH   AB  AC 
2

Kẻ BK  AC tại K , CL 
AB

tại H . Chứng minh rằng:

tại L . Chứng minh AH  BK  CL  AB  BC  CA

Bài 10. Cho ABC , các góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C . Gọi d tổng các khoảng
cách từ B và C đến đường thẳng AM .
a) Chứng minh rằng d  BC .
b) Xác định vị trí của M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất.
Bài 11. Hai tam giác: tam giác cân ABC và tam giác ADE Có chung góc ở đỉnh A có
AE  AD  AB  AC . Chứng minh rằng BC  DE .
Bài 12. Cho ABC cân tại A , trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM  AN
. Chứng minh
BC  MN
BN 
2
rằng:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Nhận biết đường vuông góc, đường xiên. Tìm khoảng cách của một điểm đến một
đường thẳng.
A

Bài 1. Quan sát hình vẽ và cho biết:
a) Các đường vuông góc kẻ
AB; BC
đến
b) Các đường xiên kẻ đến AB; BC

E

B

H

D

C

Bài 2. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 4 cm , I là một điểm trên cạnh CD và cách

C 1 cm . Tìm khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AD .

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B có AD là tia phân giác của BAC ( D  BC ). Kẻ
DF 
AC

tại F . Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng AC ,
biết

BD  2 cm .

Bài 4. Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai
cạnh đó. Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt
thước trong hình dưới có đúng không?

Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Bài 1. Quan sát hình vẽ và cho biết đường nào là đường ngắn nhất? Vì sao?
A

P M

H

D N

E

d

Bài 2. Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Mai
xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn
bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, ... (Hình bên).

Bài 3. Cho tam giác ABC , điểm M nằm giữa B và C . Gọi H và K là chân các đường vuông
góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB và AC . So sánh BC và MH  MK .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , M là trung điểm của AC . Gọi E và F là chân các
đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM . Chứng
minh

AB 

BE  BF
.
2