


1





2


1. Góc lượng giác
a. Khái niệm
 Cho hai tia Oa , Ob .
 Nếu một tia Om tùy ý quay quanh gốc O theo một chiều nhất định từ Oa đến Ob , thì ta nói
nó quét một góc lượng giác, với tia đầu là Oa và tia cuối là Ob . Kí hiệu (Oa , Ob) .
 Khi tia Om quay một góc  thì ta nói số đo của góc lượng giác (Oa , Ob) bằng  .
Kí hiệu sđ(Oa, Ob)   hoặc (Oa, Ob)   .
 Qui ước:
 Chiều quay ngược với chiều qua của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều
qua của kim đồng hồ là chiều âm.

 Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc 360 ; một vòng quay theo chiều âm
tương ứng với góc quay 360 . Cụ thể, khi tia Om quay:
 nửa vòng theo chiều dương thì ta nói nó đã quay một góc bằng

1
.360  180 .
2

1
1
vòng theo chiều dương thì ta nói nó đã quay một góc bằng .360  60 .
6
6
5
5

vòng theo chiều âm thì ta nói nó đã quay một góc bằng .( 360 )  450 .
4
4



 Nhận xét: Số đo mỗi góc lượng giác có cùng tia đầu Oa , tia cuối Ob sai khác nhau một bội
nguyên của 360 nên có công thức tổng quát là (Oa, Ob)    k.360 , k  .
Ví dụ 1. (CTST - Tr8) Xác định số đo các góc lượng giác (Oa , Ob) trong các hình vẽ sau và viết
công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (Oa , Ob) .

a)

b)

c)
3

d)

b. Hệ thức Chasles
Ví dụ 2. (CTST - Tr9) Cho hình vẽ bên
 Xác định số đo các góc lượng giác
(Oa , Ob) , (Ob, Oc) và (Oa , Oc) .
 Nhận xét về mối quan hệ giữa ba số đo góc này?
Kết luận
Với ba tia Oa , Ob và Oc bất kì, ta có: (Oa, Ob)  (Ob, Oc)  (Oa, Oc)  k.360 , k  .
2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn
a. Đơn vị đo góc và cung tròn
 Đơn vị độ:
 Để đo góc ta dùng đơn vị độ.
 Đơn vị độ được chia thành các đơn vị nhỏ hơn, như: 1  60 ; 1  60 .
 Đơn vị rađian:

Trên đường tròn tâm O , bán kính R tùy ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R
được gọi là một góc có số đo 1rađian. Kí hiệu AOB  1rad .
 Quan hệ giữa độ và rađian
 Vì góc bẹt ( 180 ) chắn nửa đường tròn với độ dài  R nên nó có số đo là  rad .
Khi đó ta viết 180   rad . Vậy ta có mối quan hệ 1 



 180 
rad và 1 rad= 

180
  

 Chú ý: Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ “rad”
sau số đo đó.
Ví dụ 3. (CTST - Tr10) Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo của các góc sau đây
?
?
?
Số đo theo độ
120
150
180
60
45
0
3



?
?
?
?
?
Số đo theo rađian
6

2

4

b. Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo  rad thì có độ dài l   R .
4


1. Đường tròn lượng giác
 Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính
bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của
đường tròn.
 Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo
 (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho
(OA, OM )   .
2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
 Trên đường tròn lượng giác, gọi M( x; y) là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo  . Khi đó
 Tung độ y của điểm M gọi là sin của  , kí hiệu là sin  . Ta viết sin   y  OK .
 Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của  , kí hiệu là cos  . Ta viết cos   x  OH .
sin 
sin  y
 Nếu cos   0 thì tỉ số
gọi là tang của  , kí hiệu là tan  . Ta viết tan  
 .
cos  x
cos 
cos 
cos  x
 Nếu sin   0 thì tỉ số
gọi là côtang của  , kí hiệu là cot  . Ta viết cot  

sin 
sin  y
 Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  được gọi là giá trị lượng giác của góc  .
 Chú ý
 Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
 Từ định nghĩa ta còn suy ra:
 sin  , cos  xác định với mọi   .
tan  xác định với mọi  


2

 k , k  .

cot  xác định với mọi   k , k  .

 1  sin   1 , 1  cos   1 .
 Với mọi k  , ta có
sin(  k 2 )  sin 
tan(  k 2 )  tan 

cos(  k 2 )  cos 
cot(  k 2 )  cot 

 Dấu của giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường tròn lượng giác
Góc
phần tư
I
II III IV
Giá trị
lượng giác
sin 

+

+

-

-

cos

+

-

-

+

tan 

+

-

+

-

cot 

+

-

+

-

5

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt



0
Rad
6

4

3


2
900

Độ

00

300

450

600

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot

2
3

3
4



3
2

2

1200

1350

1800

2700

3600

3
2

2
2

0

–1

0

–1

0

1



6



2
2

 3

–1

3
3

–1



0

1
2

0

0
0

4. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Quan hệ
Công thức

Minh họa

cos(  )  cos 

Góc đối nhau
 và 

sin(  )   sin 
tan(  )   tan 
cot(  )   cot 

sin(   )  sin 

Góc bù nhau
 và   

cos(   )   cos 
tan(   )   tan 
cot(   )   cot 



sin      cos 
2


Góc phụ nhau

 và  
2



cos      sin 
2




tan      cot 
2



cot      tan 
2


sin(   )   sin 

Góc hơn kém 
 và   

cos(   )   cos 
tan(   )  tan 
cot(   )  cot 

5. Các hệ thức lượng giác cơ bản
sin 
, với cos   0 .
tan  
cos 
tan  .cot   1 .

cot  

cos 
, với sin   0 .
sin 

sin 2   cos 2   1 .

3
4

Ví dụ. (CTST - Tr17) Cho cos   , với 


2

   0 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của 

6. Bài tập
7

DẠNG 1. TÌM GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG (GÓC)
Bài 1. Tính giá trị còn lại của góc x, biết
1
với 900  x  1800 .
2
3
3
3) sin x   với   x 
.
2
5
3
5) cos x  với 0  x  900 .
5
2

7) cos x 
với   x  0 .
2
5

2) sin x  

1) sin x 

4
với 2700  x  3600 .
5


1
với 0  x  .
2
4
5
6) cos x  
với 1800  x  2700 .
13
4
8) cos x  với 2700  x  3600 .
5

4) cos x 


5
với  x   .
2
13
3
tan x  3 với   x 
.
2

1
tan x   với  x   .
2
2
3
3
.
tan x  với   x 
2
4

2
cot x  với 0  x  .
3
2

1
với 1800  x  2700 .
3

9) sin x 

10) sin x  

11)

12) tan x  2 với

13)
15)
17)


2

 x  .

14) cot x  3 với   x 
16) tan x   2 với
18) cot x   3 với


2


2

3
.
2

 x  .
 x  .

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau
5cot x  4 tan x
2 sin x  cos x
.
, A2 
5cot x  4 tan x
cos x  3sin x
3 sin x  cos x
sin x  3 cos x
2) Cho cot x  2 . Tính B1 
.
, B2 
sin x  cos x
sin x  3 cos x
2 sin x  3 cos x
2
3) Cho cot x  2 . Tính C1 
.
, C2 
2
3 sin x  2 cos x
cos x  sin x cos x
4) Cho tan x  2 . Tính
2 sin x  3 cos x
3 sin x  2 cos x
D1 
,
D2 
,
4 sin x  5 cos x
5 sin 3 x  4 cos 3 x

1) Cho tan x  2 . Tính A1 

8 cos 3 x  2 sin 3 x  cos x
sin 3 x  cos 3 x
D

.
,
4
2 cos x  sin 3 x
sin x  sin 2 x cos x
cot x  tan x
3

5) Cho sin x  , 0  x  . Tính E 
.
cot x  tan x
5
2
D3 

8 tan 2 x  3 cot x  1
1
0
0
6) Cho sin x  , 90  x  180 . Tính F 
.
tan x  cot x
3
2
cot x  3 tan x
7) Cho cos x   . Tính G 
.
3
2 cot x  tan x
5
Bài 3. Cho sin x  cos x  . Hãy tính giá trị của biểu thức sau
4

1) A  sin x.cos x .
2) B  sin x  cos x .
3) C  sin 3 x  cos 3 x .
Bài 4. Cho tan x  cot x  3 . Hãy tính giá trị của biểu thức sau
1) A  tan 2 x  cot 2 x .
2) B  tan x  cot x .
8

Bài 5. Cho sin x  cos x  m . Hãy tính theo m giá trị các biểu thức
1) A  sin x cos x .
2) B  sin 3 x  cos3 x .
4) D  sin x  cos x .

3) C  sin 4 x  cos4 x .

6) F  sin 6 x  cos6 x .

5) E  tan 2 x  cot 2 x .
Bài 6. Tính sin x, cos x, tan x, cot x . Biết rằng

2) sin x  cos x  2 .

1) sin x  cos x  2 .
1
2

3) sin x  cos x  .

4) tan x  cot x  4 .

Bài 7. Cho tan x  2 cot x  1 . Hãy tính
1) A  tan 2 x  cot 2 x .
2) B  tan 3 x  cot 3 x .
3) C  tan 4 x  2 cot 4 x .
Bài 8. Tính giá trị của các biểu thức sau đây khi
3
4
1
2) Cho 3 sin 4 x  cos 4 x  . Tính B  sin 4 x  3 cos 4 x .
2
7
3) Cho 4 sin 4 x  3 cos 4 x  . Tính C  3 sin 4 x  4 cos 4 x .
4

1) Cho 3 sin 4 x  cos 4 x  . Tính A  sin 4 x  3 cos4 x .

Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau
1) cos2 x  sin 2 x  1  2 sin 2 x .
3) 3  4 sin 2 x  4 cos 2 x  1 .
5) sin 4 x  cos4 x  1  2 sin 2 x cos2 x .

2) 2 cos2 x  1  1  2 sin 2 x .
4) sin x cot x  cos x tan x  sin x  cos x .
6) cos4 x  sin 4 x  cos2 x  sin 2 x .

7) 4 cos2 x  3  1  2 sin x 1  2 sin x  .

8)

9) sin 4 x  cos4 x  1  2 cos2 x  2 sin 2 x  1 .
11) tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x sin 2 x .
Bài 10. Chứng minh các đẳng thức sau
1) tan x  cot x 

1  cos x   sin

2



x  cos x  cos 2 x  sin 2 x

10) sin 3 x cos x  sin x cos 3 x  sin x cos x .
12) cot 2 x  cos2 x  cot 2 x cos2 x .

1
.
sin x cos x

1  cos x
sin x
.

sin x
1  cos x

2)



1 

1 







3)

1
1

 1.
1  tan x 1  cot x

1
 tan 2 x  0 .
4)  1 


cos x
cos x

5)

1  sin 2 x
 1  2 tan 2 x .
1  sin 2 x

6) tan x tan y 

7) 1  cot 4 x 

2
1
.

2
sin x sin 4 x

8) tan x 

Bài 11. Chứng minh các đẳng thức sau
1) sin 6 x  cos6 x  1  3 sin 2 x cos2 x .
2) sin6 x  cos6 x  (sin2 x  cos2 x)(1  sin2 x cos2 x) .
3) sin8 x  cos8 x  (1  2 sin 2 x cos2 x)2  2 sin 4 x cos 4 x .
4) sin8 x  cos8 x  (sin2 x  cos2 x)(1  2 sin2 x cos2 x) .

9

tan x  tan y
.
cot x  cot y

cos x
1
.

1  sin x cos x

Bài 12. Chứng minh các đẳng thức sau
1) 1  sin x  cos x  tan x  (1  cos x)(1  tan x) .
2) (1  tan x)(1  cot x)sin x cos x  1  2 sin x cos x .
3) (1  tan x)cos2 x  (1  cot x)sin 2 x  (sin x  cos x)2 .
4) sin 2 x tan x  cos2 x cot x  2 sin x cos x  tan x  cot x .
5) sin 2 x tan 2 x  4 sin 2 x  tan 2 x  3 cos 2 x  3 .
Bài 13. Chứng minh các đẳng thức sau
sin 2   cos 2  tan   1
tan 2   sin 2 

 tan 6  .
1)
.
2)
1  2 sin  cos  tan   1
cot 2   cos 2 
cos 2 
sin 2 
tan   sin 
1

 1  sin  cos  .
3)
4)
.

3
1  tan  1  cot 
cos  .(1  cos  )
sin 
5)

1
 tan 2   cot 2   2 .
2
2
sin  cos 

7)

tan 2   tan 2  sin 2   sin 2 

.
tan 2  tan 2 
sin 2  sin 2 

9) (1  cos  )(1  cot 2  ) 

1
3 tan 2 
2
 tan  
1.
6)
cos 2 
cos 2 

1  cos   (1  cos  )2
8)
 1  2 cot  .

2
sin   sin 


1
.
1  cos 

10) 1  tan   tan 2   tan 3  

sin   cos 
.
cos3 

sin 
cos 
1  cot 2 


.
sin   cos  cos   sin  1  cot 2 
tan 2  1  cot 2 
1  tan 4 
.

12)
.
1  tan 2  cot 2 
tan 2   cot 2 

11)

2

 1  sin 
1  sin 
13) 

 1  sin 
1  sin 



2
  4 tan  .


 1  cos 
1  cos 
14) 

 1  cos 
1  cos 



2
  4 cot  .


2

Bài 14. Rút gọn các biểu thức sau
1) P1  sin 4   sin 2  cos 2  .

2) P2  sin 4   cos4   cos2  .

3) P3  sin 2   sin 2  cot 2  .

4) P4  cos2   cos2  cot 2  .

5) P5  (1  sin 2  ) cot 2   1  cot 2  .

6) P6  sin 2  tan   cos 2  cot   2 sin  cos 

2 cos 2   1
.
sin   cos 
cot   cot 
9) P9 
.
tan   tan 

1  cos 
1
.

2
1  cos 
sin 
cos 
10) P10  tan  
.
1  sin 

7) P7 

11) P11 

sin x  tan x
 sin x cot x .
tan x

13) P13 

cos 2 x  cot 2 x
.
sin 2 x  tan 2 x

8) P8 

cos x tan x
 cot x cos x .
sin 2 x
1  sin 2 x cos 2 x
 cos 2 x .
14) P14 
cos 2 x

12) P12 

sin 3 x  sin x cos 2 x  cos x
15) P15 
.
1  2 sin x cos x

16) P16

10

 sin x  cos x 


2

1

tan x  sin x cos x

.

Bài 15. Biến đổi các biểu thức sau thành tích số
1) A  2 cos2 x  1 .
3) C  sin x cos x  cos2 x  1 .
5) E  1  sin x  cos x  tan x .

2) B  3  4 sin 2 x .
4) D  sin 2 x  sin x cos x  1 .
6) F  tan x  cot x  sin x  cos x .

7) G  cos x tan 2 x  1  cos x  .

8) H   3  4 cos 2 x   sin x  2 sin x  1 .

9) I  sin2 x  3cos2 x  6 cos x  2 sin x .

10) J  cos3 x  sin 3 x  sin x  cos x .

11) K  cos3 x  cos2 x  2 sin x  2 .
13) M  1  cos x  cos2 x  sin x 1  cos x  .

12) L  cos2 x  sin 3 x  cos x .
14) N  2 cos3 x  2 cos2 x  sin x  1 .

15) O  cos3 x  sin 3 x  2 sin 2 x  1 .

16) Q   2 cos x  1 sin x  cos x   1 .

17) R  4 sin 3 x  3 cos 3 x  3 sin x  sin 2 x cos x .

18) S  1  sin x  tan 2 x  1  cos x  .

19) T  2 sin x cos x  2 sin 2 x  3 sin x  cos x  1 .

20) U  2  5sin x  3 1  sin x  tan 2 x .





21) V  tan x  3 cot x  4 sin x  3 cos x .

22) X  3 sin x  2 cos x  3 tan x  2 .

23) Y  2  tan x  sin x   3  cot x  cos x   5 .

24) Z  3  cot x  cos x   5  tan x  sin x   2

Bài 16. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
1) A  cos4 x  sin 4 x  2 sin 2 x .
2) B  sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  cos 2 x .
3) C  cos4 x  sin 2 x cos2 x  sin 2 x .
4) D  cos 4 x  2 cos 2 x  3   sin 4 x  2 sin 2 x  3 

5) E  sin 6 x  cos6 x  2 sin 4 x  cos4 x  sin 2 x .
6) F  sin x.

1
1



, 0  x   .
1  cos x 1  cos x 
4

7) G  sin 4 x  4 cos2 x  cos4 x  4 sin 2 x .
8) H  cos2 x cot 2 x  5 cos2 x  cot 2 x  4 sin 2 x .
9) I  1  cot x  sin 3 x  1  tan x  cos3 x  sin x  cos x .
10) J   sin 4 x  cos 4 x  1 tan 2 x  cot 2 x  2  .
11) K  3  sin 8 x  cos8 x   4  cos6 x  2 sin 6 x   6 sin 4 x .
12) L  sin 4 x 1  sin 2 x   cos 4 x 1  cos 2 x   5 sin 2 x cos 2 x  1 .
13) M  2  sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x    sin 8 x  cos8 x  .
2

Bài 17. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
1) A 

4)

1  cot x 
D

2

2
cot x  1
.

tan x  1 cot x  1





1  sin 6 x 3 tan 2 x

.
cos6 x
cos 2 x
cot 2 x  cos 2 x sin x cos x

7) G 
.
cot x
cot 2 x

2

2

4 tan x
2

1  tan 2 x
 1  tan 2 x 1  cot 2 x .
3) C 
tan x



2)

1  tan x 
B
2

cot x



1
.
4 sin x cos 2 x



1
.
sin x cos 2 x

2

2
2

tan 2 x  cos 2 x cot 2 x  sin 2 x

.
sin 2 x
cos 2 x
sin 4 x  cos 4 x  1
8) H 
.
sin 6 x  cos6

5) E 

6) F 

11

DẠNG 2. DÙNG CUNG LIÊN KẾT ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ
RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 18. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau
1) sin( x  900 ) .
2) cos(1800  x) .

3) sin(2700  x) .

4) sin( x  1800 ) .

5) cos( x  5400 ) .

6) cot(1800  x) .

7) sin( x  5400 ) .

8) tan(3600  x) .

9) cos(4500  x) .

10) sin 2 (2700  x) .
11) cos3 (900  x) .
Bài 19. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau
1) cot( x   ) .
2) sin(  x) .
4) cot(3  x) .
5) sin( x  7 ) .

12) cot 5 (1800  x) .
3) tan(2  x) .
6) tan( x  5 ) .

 5

7) sin   x  .
 2


 3

 x .
8) cos 
 2



5 
10) cos  x   .
2 


 11

 x .
11) tan 
 2


13) sin 2 (  x) .

14) cos9 (  x) .

15) cot11 ( x  3 ) .

16) cos4 (3  x) .

17) cot 2 ( x  5 ) .

18) cos6 ( x   ) .


 
19) cos 8  x   .
2 


9 
22) tan 2  x   .



20) cos 5   x  .
2




21) sin 2019  x   .
2





23) cos 2017  x 


2 



25) cos 2018  x 


11 
.
2 



26) cot 2  x 


7
2


3 
9) cot  x   .
2 


7 
12) sin  x   .




24) sin1987 

9 
.
2 

 11

 x .
 2


27) tan11 

2









 x   sin   x   cos   x   sin   x  .
2

2

2

2


2) B  cos 

 7

 3

 x   tan 
 x .
 2

 2


3) C  2 cos x  3 cos   x   sin 



 3



 x   sin(5  x)  sin 
 x   cos   x  .
2

 2

2


4) D  2 sin 

 7

 3

 x   cot 
 x.
 2

 2


5) E  2 cos x  3 cos(  x)  5 sin 



 3

6) F  sin  5  x   cos  x    cot  3  x   tan   x  .
2
2






7) G  cos  15  x   sin  x 


3
2








 11

  tan  2  x  cot  2  x  .








 3

 x   cot  2  x   tan 
 x .
2

 2


8) H  sin   x   cos 

12



 5

 x .
 2



.


Bài 20. Rút gọn (đơn giản) các biểu thức


1) A  cos  x    sin  x    .


2 

 3

 3

 x   tan 
 x   cot  3  x  .
 2

 2


9) I  cos  5  x   sin 

10) J  cos(2700  x)  2 sin( x  4500 )  cos( x  9000 )  2 sin(2700  x) .





3 
11) K  sin 2  x    sin 2  x    sin 2  x    sin 2  x    .
4
2
4









2
5
7
12) L  sin 2  sin 2  sin 2  sin 2
.
 sin 2
 sin 2
3
6
9
9
8
8



13) M  cos 2023 x  cos 2023 (  x).sin 2022 (  x)  sin 2021   x  .
2




14) N  sin 6 (  x)  cos6 ( x   )  2 sin 4 ( x  2 )  sin 4  x 




3 


 cos 2  x   .

2 
2


 19

tan 
 x  .cos  36  x  .sin  x  5 
 2

15) O 
.
 9

sin 
 x  .cos  x  99 
 2




16) P  sin  x 


85
2


3
2
2
  cos  207  x   sin  33  x   sin  x  2



Bài 21. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính)
1) A  cos 00  cos 200  cos 400  ...  cos1800 .
2) B  cos 200  cos 400  cos 600  ...  cos1800 .
3) C  cos100  cos 400  cos 700  ...  cos1700 .
4) D  tan 200  tan 400  tan 600  ...  tan1800 .
5) E  cot 150  cot 300  cot 450  ...  cot 1650 .
6) F  sin 50  sin 100  sin 150  ...  sin 3600 .
7) G  cot 1950  cot 2100  cot 2250  ...  cot 3450 .
8) H  cot 150.cot 350.cot 550.cot 750 .
9) I  tan 100.tan 200.tan 30 0...tan 80 0 .
10) J  tan10.tan 20.tan 30...tan 890 .
11) K  sin 2 280  sin 2 360  sin 2 540  cos2 1520 .
12) L  cos2 20  cos2 40  cos2 60  ...  cos2 880 .
13) M  sin 2 100  sin 2 200  sin2 300  ...  sin 2 900 .
14/ N  cos2 100  cos2 200  cos2 300  ...  cos 2 1800
15) O  sin 200  sin 400  sin 600  ...  sin 3400  sin 3600 .
Bài 22. Rút gọn các biểu thức sau:


a) A  cos   x   cos(2  x)  cos(3  x) .
2



 7

 3

 x   cot 
 x .
 2

 2


b) B  2 cos x  3 cos   x   5 sin 



 3



 x   sin(5  x)  sin 
 x   cos   x  .
2

 2

2


c) C  2 sin 

 3

 3

 x   tan 
 x   cot  3  x  .
 2

 2


d) D  cos  5  x   sin 

13


.


DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 23. Chứng minh các đẳng thức sau
a) sin 4 x  cos 4 x  1  2 cos 2 x .
b) sin 4 x  cos4 x  1  2 cos2 x.sin 2 x .
c) sin 6 x  cos6 x  1  3 sin 2 x.cos 2 x .
d)

sin x  cos x  1
2 cos x
.

1  cos x
sin x  cos x  1

e) cot 2 x  cos 2 x  cos 2 x.cot 2 x .
f) tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x.sin 2 x .
g) 1  sin x  cos x  tan x  (1  cos x)(1  tan x) .
h)

1  sin 2 x
 1  tan 2 x
2
1  sin x

i) sin 2 x.tan x  cos2 x.cot x  2 sin x.cos x  tan x  cot x .
k) sin 8 x  cos8 x  1  4 sin 2 x.cos 2 x  2 sin 4 x.cos 4 x
Bài 24. Chứng minh các đẳng thức sau
a) tan a.tan b 

tan a  tan b
.
cot a  cot b

sin a
cos a
1  cot 2 a


.
sin a  cos a cos a  sin a 1  cot 2 a
sin 2 a
cos 2 a

 sin a.cos a .
c) 1 
1  cot a 1  tan a

b)

sin 2 a
sin a  cos a

 sin a  cos a .
sin a  cos a
tan 2 a  1
1  cos a  (1  cos a)2 
e)
1 
  2 cot a .
sin a 
sin 2 a 

d)

f)

tan 2 a 1  cot 2 a
1  tan 4 a
.

.
1  tan 2 a cot 2 a
tan 2 a  cot 2 a
2

 1  sin a
1  sin a 
2
g) 

  4 tan a .
1  sin a 
 1  sin a

h)

tan 2 a  tan 2 b sin 2 a  sin 2 b

.
tan 2 a.tan 2 b
sin 2 a.sin 2 b

sin 2 a  tan 2 a
 tan 6 a .
2
2
cos a  cot a
tan 3 a
1
cot 3 a


 tan 3 a  cot 3 a
k)
2
2
sin a sin a.cos a cos a

i)

sin 4 x cos 4 a
1


Bài 25. Cho
, với a, b  0 .
a
b
ab
sin 8 x cos8 x
1
Chứng minh
.


3
3
3
a
b
 a  b

14

Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau:
a)  1  sin 2 x  cot 2 x  1  cot 2 x .

b)  tan x  cot x    tan x  cot x  .
2

2

cos 2 x  cos 2 x.cot 2 x
c)
.
sin 2 x  sin 2 x.tan 2 x

d)

 x.sin a  y.cos a    x.cos a  y.sin a 
2

2

.

sin 2 x  tan 2 x
.
cos 2 a  cot 2 x
sin 2 x  cos 2 x  cos 4 x
f)
.
cos 2 x  sin 2 x  sin 4 x

e)

g)

sin 2 x  1  cot x   cos 2 x  1  tan x  .

h)

1  cos x
1  cos x

; x  0,   .
1  cos x
1  cos x

i)

1  sin x
1  sin x
  

; x  ;  .
1  sin x
1  sin x
 2 2

  3 
k) cos x  tan 2 x  sin 2 x ; x ;  .
2

2 

Bài 27. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x
a) 3(sin 4 x  cos4 x)  2(sin6 x  cos6 x) .
b)

sin 6 x  cos 6 x  1
.
sin 4 x  cos 4 x  1

c) (sin4 x  cos4 x  1)(tan 2 x  cot 2 x  2) .
d) cos2 x.cot 2 x  3 cos 2 x  cot 2 x  2 sin 2 x .
sin 4 x  3 cos 4 x  1
.
sin 6 x  cos6 x  3 cos 4 x  1
tan 2 x  cos 2 x cot 2 x  sin 2 x

f)
.
sin 2 x
cos 2 x

e)

Bài 28. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
a) sin B  sin  A  C  .

b) cos  A  B    cos C .
c) sin

AB
C
 cos .
2
2

d) cos  B  C    cos  A  2C  .
e) cos  A  B  C    cos 2C .
3 A  B  C
  sin 2 A .
2
A  B  3C
g) sin
 cos C .
2
A  B  2C
3C
h) tan
.
 cot
2
2

f) cos

15

16


1. Công thức cộng
sin( a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a

cos( a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

sin( a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a

cos( a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

tan( a  b) 

tan a  tan b
1  tan a.tan b

tan( a  b) 


 1  tan 
Hệ quả: tan     
,
4
 1  tan 

tan a  tan b
1  tan a.tan b


 1  tan 
tan     
.
4
 1  tan 

Ví dụ 1. (CÁNH DIỀU - Tr17) Không dùng máy tính, hãy tính

a) cos 75 .
b) tan .
12

Ví dụ 2. (CÁNH DIỀU - Tr18)


a) Chứng minh rằng sin x  cos x  2 sin  x 


b) Chứng minh rằng tan    
4



1  tan 

.
1  tan 


.
4 

2. Công thức nhân đôi
a. Công thức nhân đôi
 sin 2  2 sin  .cos  .
 cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2 sin 2 
2 tan 
.
1  tan 2 
cot 2   1
 cot 2 
.
2 cot 

 tan 2 

b. Công thức hạ bậc
1  cos 2
.
2
1  cos 2
 cos 2  
.
2
1  cos 2
 tan 2  
.
1  cos 2

 sin 2  

c. Công thức nhân ba (mở rộng)
 sin 3  3 sin   4 sin 3  .
 cos 3  4 cos 3   3 cos  .
3 tan   tan 3 
 tan 3 
.
1  3 tan 2 
1
3

Ví dụ 3. (CÁNH DIỀU - Tr18) Cho cos x   , với


2

 x   . Tính sin 2x và cos 2x .

Ví dụ 4. (CTST - Tr22) Không dùng máy tính, hãy tính cos

17


8

và tan


8

.

3. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos  a  b   cos  a  b 
2
1
sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b 
2
1
sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  
2
11

5
7
Ví dụ 5. (CTST - Tr22) Tính giá trị biểu thức cos
và sin .cos .
.cos
24
12
24
12
cos a.cos b 

4. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a  cos b  2 cos

ab
ab
.cos
2
2

cos a  cos b   2 sin

tan a  tan b 

ab
ab
.sin
2
2

tan a  tan b 

sin a  sin b  2 sin

ab
ab
.cos
2
2

cot a  cot b 

sin a  sin b  2 cos

ab
ab
.sin
2
2

cot a  cot b 

sin  a  b 
cos a.cos b

sin  a  b 

cos a.cos b

sin  a  b 

sin a.sin b

sin  b  a 

sin a.sin b

Hệ quả:




sin   cos   2.sin      2.cos    
4
4






sin   cos   2 sin       2 cos    

4

4

Ví dụ 6. (CTST - Tr23) Tính giá trị biểu thức sin

5
5


và cos  cos .
 sin
12
12
12
12

5. Bài tập

DẠNG 1. CÔNG THỨC CỘNG
Bài 29. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:



1
1) A  cos  x   biết sin x 
và 0  x  .


3

3

2



12
3
 x  biết cos x  
và   x 
.
13
2
3


2) B  sin 

3) C  cos  x  300  biết tan x  2 và 0  x  900 .



4) D  tan  x 




3
 biết sin x  và  x   .
3
2
5



12
3
 x  biết sin x  
và
 x  2 .
3

13
2

5) E  cos 



4
3
6) F  cot  x   biết sin x   và   x 
.
4
5
2




18

 5


biết cot   x   2 .

4
 2



7 
2
8) H  sin  2 x   biết cot x  .
4 
3



7) G  tan  x 

9) I  cos  a  b  .cos  a  b  biết cos a 



10) tan   

1
1
và cos b  .
4
3



3 
 khi sin   ,    
3
5 2



3
12
   khi sin    , với
   2
3

2
13
1
1
12) cos( a  b).cos( a  b) khi cos a  , cos b 
4
3
8
5
13) sin( a  b), cos( a  b), tan( a  b) khi sin a  , tan b 
và a, b là các góc nhọn.
17
12

11) cos 

Bài 30. Không dùng máy tính. Hãy tính giá trị của các biểu thức
1) A  sin 120.cos 480  cos12 0.sin 48 0 .
2) B  cos 380.cos 220  sin 380.sin 220 .
3) C  sin 100.cos 550  cos100.sin 550 .
4) D  sin 360.cos 60  sin 1260.cos 84 0 .
Bài 31. Tính giá trị lượng giác của các cung góc sau
1) 150 .
2) 750 .
3) 1050 .
19
7
5
5)
.
6)
.
7)
.
12

12

12

4) 2850 .
13
8)
.
12

Bài 32. Tính giá trị của các biểu thức sau
1) A 

1  tan 150
.
1  tan 150

tan 250  tan 200
.
1  tan 250 tan 200
sin100 cos 20 0  sin 20 0 cos10 0
3) C 
.
cos17 0 cos130  sin17 0 sin130
tan 2250  cot 810 cot 69 0
4) D 
.
cot 2610  tan 2010

2) B 

sin 730 cos 30  sin 87 0 cos17 0
.
cos1320 cos 620  cos 420 cos 28 0
cot 2250  cot 79 o 0 ot 710
6) F 
.
cot 2590  cot 2510

5) E 

7)
8)
9)
10)

G  cos 2 750  sin 2 750 .
H  sin 2 200  sin 2 1000  sin 2 1400 .
I  cos 2 100  cos1100  cos2 1300 .

J  tan 200.tan 800  tan 800.tan1400  tan1400.tan 200 .

11) K  tan100.tan 700  tan 70 0.tan130 0  tan130 0.tan190 0 .
12) L  sin 1600 cos1100  sin 2500 cos 3400  tan 1100 tan 3400 .

13) M   cos 700  cos 500  cos 310 0  cos 290 0    cos 40 0  cos160 0  cos 320 0  cos 3800  .
19

Bài 33. Rút gọn các biểu thức
1) A  sin x  3 cos x .

2) B  3 sin 7 x  cos7 x .

3) C  a sin x  b cos x ,  a 2  b 2  0  .





4) D  3 sin  x    sin  x   .
3
6










5) E  cos7 x.cos 5x  3 sin 2x  sin 7 x.sin 5x . 6) F  3 cos 2 x  sin 2 x  2 sin  2 x   .
6




7) G  2 sin  2 x    4 sin x  1 .
6




8) H  sin 2 x  2 2 cos x  2 sin  x    3 .
4





Bài 34. Rút gọn các biểu thức
1) A  sin x cos 5x  cos x sin 5x .
2) B  sin 4 x cot 2 x  cos 4 x .
3) C  cos 6 x tan 3x  sin 6 x .
4) D  sin  x  y  cos  x  y   sin  x  y  cos  x  y  .
5) E  cos  400  x  cos  x  20 0   sin  40 0  x  sin  x  20 0  .
6) F  sin  140  2 x  cos 16 0  2 x   cos 14 0  2 x  sin 16 0  2 x  .
7) G  sin  x  100  cos  2 x  80 0   sin  x  100 0  cos  2 x  10 0  .








8) H  sin  x   cos   x   sin   x  cos  x   .
3
4
4
3























3 
9) I  cos  x   cos  x    cos  x   cos  x   .
3
4
6
4


















 9

 5

 5

10) J  sin  x   cos   x   sin   x  cos   x  .
3
4
4
3
























11) K  cos  x   cos  x    cos  x   cos  x   .
3
4
6
4



















13 

13 

3 
 cos  x 
cos  x 
12) L  cos  x   cos  x 
.


3
4
6
4 
















Bài 35. Rút gọn các biểu thức sau
1) A 
3) C 

tan 3x  tan x
.
1  tan x tan 3x



tan 2 x  cot 900  x





.

1  cot 900  2 x tan x

Bài 36. Rút gọn các biểu thức sau


1) A  sin  a  b   sin   a  sin  b  .
2









 a  cos   b   cos  a  b  .
2

2


2) B  cos 




 1
 a  cos   a   sin 2 a .
4

4
 2

3) C  cos 

4) D  sin 2 a sin 2 b  cos2 a cos2 b .
20

2) B 

tan 2 x  1
.
1  tan 2 x

4) D 

tan 2 2 x  tan 2 x
.
1  tan 2 2 x tan 2 x



Bài 37. Rút gọn các biểu thức sau
1) A  cos2 x  3 sin 2x  sin 2 x .
2) B  4 sin 3 x  3sin x  3 cos 3x .
3) C  sin  x  450   cos  x  450  .

4) D  tan 3x  tan x  sin 2 x .
5) E  tan 2 x  cot x  8 cos 2 x .
Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau
1) sin 2 x  2 sin x cos x .
2) cos 2 x  cos2 x  sin 2 x .
2 tan x
.
1  tan 2 x
4) sin 3x  3 sin x  4 sin 3 x .

3) tan 2 x 

5) cos 3x  4 cos 3 x  3 cos x .




6) cos x  sin x  2 cos  x    2 sin  x   .
4
4








7) cos x  sin x  2 cos  x 








  2 sin  x   .

4
4


8) sin  x  y  sin  x  y   sin2 x  sin2 y  cos2 y  cos2 x .
9) cos  x  y  cos  x  y   cos2 x  sin2 y  cos2 y  sin 2 x .
Bài 39. Chứng minh các đẳng thức sau




1) sin   x   sin   x   2 sin x .
4



4




  
2) 4 sin  x   sin  x    4 sin 2 x  3 .
3
3








3) sin x sin  y  z   sin y sin  z  x   sin z sin  x  y   0 .
4) cos x sin  y  z   cos y sin  z  x   cos z sin  x  y   0 .
5) tan  x  y   tan x  tan y  tan  x  y  tan x tan y .








 x   tan 2 x tan   x   tan   x  tan   x   1 .
6

3

3

6


6) tan 2 x tan 



7) tan x.tan  x 






2
  tan  x   .tan  x 
3
3
3





2
  tan  x 
3










3 
8) cos  x   .cos  x    cos  x   .cos  x   


9)

 cos 70



3

0



4



6



 

4 


 .tan x   3 .






2
1 3 .
4





 cos 500 cos 230 0  cos 290 0  cos 40 0  cos160 0 cos 320 0  cos 3800  0 .

Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau
1)
3)

cos  a  b 

cos  a  b 



cot a cot b  1
.
cot a cot b  1

sin  a  b  sin  a  b 
2

2

cos a cos b

2)

 tan 2 a  tan 2 b .

4)
21

sin  a  b 
cos a cos b



sin  b  c 
cos b cos c

cos  a  b  cos  a  b 
cos 2 a cos 2 b



sin  c  a 
cos c cos a

 0.

 1  tan 2 a tan 2 b .

Bài 41. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước
1) Nếu cos  a  b   0 thì sin  a  2b   sin a .
b   a  b   a
.
2
a

b

a

b

a




2) Nếu sin  2a  b   3sin b thì tan  a  b   2 tan a .

HD: 

3) Nếu tan a  2 tan b thì sin  a  b   3sin  a  b  .
1
thì cos  a  b   2 cos  a  b  .
3
3
5) Nếu 5sin b  sin  2a  b  thì tan  a  b   tan a .
2

4) Nếu tan a.tan b  

HD: Khai triển giả thiết.

6) Nếu sin b  sin a cos  a  b  thì 2 tan a  tan  a  b  .

HD: b   a  b   a .

7) Nếu cos  2a  b   1 thì tan  a  b   tan a  2 tan .
b
2

8) Nếu cos  a  b   k cos  a  b  thì tan a tan b 

1 k
.
1 k

a  2b   a  b   b
.
a   a  b   b

HD: 

Bài 42. Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x




1) A  sin 2 x  cos   x  cos   x  .
3



3







 x   cos 2   x  .
3

3


2) B  cos 2 x  cos 2 

 2

 2

 x   sin 2 
 x .
 3

 3


3) C  sin 2 x  sin 2 



4) D  cos 2 x  cos 2  x 


5) E 

2
3


2
2
  cos  x  3




.


a cos 3 x  cos 3x a sin 3 x  sin 3 x

, a  const .
cos x
sin x





 x  tan   x   tan 3 x .
3

3


Bài 43. Chứng minh rằng tan x tan 

Từ đó tính giá trị của biểu thức P  tan 100 tan 500 tan 1100 .
Bài 44. Cho tam giác ABC với A, B, C lần lượt là ba góc của tam giác. Chứng minh
1) sin C  sin A...