Giáo án học kì 1
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn: Stam
Người gửi: phan ha my
Ngày gửi: 12h:43' 23-05-2023
Dung lượng: 725.7 KB
Số lượt tải: 20
Nguồn: Stam
Người gửi: phan ha my
Ngày gửi: 12h:43' 23-05-2023
Dung lượng: 725.7 KB
Số lượt tải: 20
Số lượt thích:
0 người
CHƯƠNG
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
II
DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1: DÃY SỐ
LÝ THUYẾT.
I
=
1. DÃY
= SỐ LÀ GÌ?
= Mỗi hàm số xác định trên tập các số nguyên dương
I là
được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa
Dãy số trên được kí hiệu là
Dạng khai triển của dãy số
là:
Chú ý:
a)
gọi là số hạng đầu,
b) Nếu
Hàm số
là số hạng thứ
thì ta nói
(hay số hạng tổng quát) của dãy số.
là dãy số không đổi.
xác định trên tập
với
Dạng khai triển của dãy số này là:
cuối.
thì được gọi là một dãy số hữu hạn.
trong đó
là số hạng đầu,
là số hạng
2. CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng
b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
Cho số hạng đầu.
Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ
Sưu tầm và biên soạn
qua số hạng đứng trước nó.
Page 1
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
d) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số
được gọi là dãy số tăng nếu ta có
với mọi
Dãy số
được gọi là dãy số giảm nếu ta có
với mọi
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số
là dãy
với
tức
không tăng cũng không giảm.
4. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số
được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số
sao cho
Dãy số
được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số
sao cho
Dãy số
được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
sao cho
Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi
II HỆ THỐNG BÀI TẬP.
=
=
DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
=
Bài Itoán 1: Cho dãy số
:
. Hãy tìm số hạng .
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Thay trực tiếp
vào
.
MTCT: Dùng chức năng CALC:
Nhập:
Sưu tầm và biên soạn
Page 2
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Bấm r nhập
Bấm
Kết quả
Sưu tầm và biên soạn
Page 3
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
=
Câu 1:
I
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
biết
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 2:
Cho dãy số
có số hạng tổng quát
. Số
là số hạng thứ mấy?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Bài toán 2: Cho dãy số
1
=
=
=
I
cho bởi
. Hãy tìm số hạng
.
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt
bằng cách thế
vào
, thế
vào
, …, thế
vào
.
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập giá trị của số hạng u1:
- Nhập biểu thức của
- Lặp dấu
lần thứ
cho ra giá trị của số hạng
Sưu tầm và biên soạn
.
Page 4
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
=
CâuI3:
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
biết
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 4:
Cho dãy số
được xác định như sau:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Bài toán 3: Cho dãy số
1
=
=
=
I
cho bởi
. Hãy tìm số hạng
.
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt
vào
bằng cách thế
vào
; thế
vào
; …; thế
.
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập
- Bấm r nhập
, ấn =, nhập
- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ
ấn
giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng
.
Sưu tầm và biên soạn
Page 5
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
Câu=
5:
I
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
được xác định như sau:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Bài toán 4: Cho dãy số
tính theo
1
=
=
=
I
cho bởi
và
. Trong đó
. Hãy tìm số hạng
là kí hiệu của biểu thức
.
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt
vào
bằng cách thế
vào
; thế
vào
; …; thế
.
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Sử dụng 3 ô nhớ:
: chứa giá trị của n
: chứa giá trị của un
: chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán
của dãy
- Lặp phím dấu
hạng
:=
+ 1 và
:=
để tính số hạng tiếp theo
cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ
thì đó là giá trị của số
.
Sưu tầm và biên soạn
Page 6
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
=
CâuI6:
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
được xác định như sau:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 7:
Cho dãy số
được xác định bởi:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 7
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ
1 PHƯƠNG PHÁP.
=
Cách=1: Xét hiệu
=
I Nếu
Nếu
Cách 2 : Khi
thì
là dãy số tăng.
thì
là dãy số giảm.
ta xét tỉ số
Nếu
thì
là dãy số tăng.
Nếu
thì
là dãy số giảm.
Cách 3 : Nếu dãy số
được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số
có
Dãy số
có
tăng khi
và giảm khi
Không tăng, không giảm khi
Giảm khi
Tăng khi
Dãy số
có
với điều kiện
Tăng khi
Giảm khi
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm
Nếu dãy số
Dãy số
tăng hoặc giảm thì dãy số
có
tăng nếu
không tăng, không giảm
; giảm nếu
và không tăng
không giảm nếu
Sưu tầm và biên soạn
Page 8
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Dãy số
có
tăng nếu
Dãy số
có
không tăng không giảm nếu
Nếu
thì dãy số
Nếu
Nếu
thì dãy số
Nếu
và
2
=
Câu=
8:
=
I
thì dãy số
Nếu
thì dãy số
thì dãy số
Nếu
và dãy số
Nếu
và giảm nếu
và
thì dãy số
và
thì dãy số
và dãy số
và
thì dãy số
Nếu
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Xét tính đơn điệu của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 9:
Xét tính đơn điệu của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 9
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 11: Cho dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cách 1: Dãy số
có
là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức
Cách 2: Dãy số
hoặc
có
Ta làm trội
Sưu tầm và biên soạn
Page 10
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Lúc đó
Suy ra
Cách 3: Dãy số
có
với
Ta làm trội
Lúc đó
Suy ra
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số
được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh
Chú ý: Nếu dãy số
giảm thì bị chặn trên, dãy số
tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
Dãy số
có
bị chặn
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
bị chặn dưới với
Dãy số
có
bị chặn dưới nếu
không bị chặn
với
bị chặn dưới
bị chặn dưới nếu
và bị chặn trên nếu
bị chặn dưới nếu
và bị chặn trên nếu
bị chặn dưới nếu
với
và
và bị chặn trên nếu
không bị chặn
và bị chặn trên
nếu
Sưu tầm và biên soạn
Page 11
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Dãy số
có
trong đó
và
là các đa thức, bị chặn nếu bậc của
và
là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn
nhỏ hơn hoặc bằng bậc của
Dãy số
có
trên nếu bậc của
trong đó
lớn hơn bậc của
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
=
=
Câu=
12: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
.
I ......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 12
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Giải sử cần tính tổng:
. Trong đó:
- Tự luận:
Ta có:
Từ đó suy ra:
- Trắc nghiệm:
Công thức tính nhanh:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là:
hạng
với d là khoảng cách giữa 2 số
+ Số số hạng =: + 1
+ Tổng = •: 2
- Casio
Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng.
Bước 2: Sử dụng công cụ tính:
tới
số số hạng =.
nhập số hạng tổng quát của dãy số
Sưu tầm và biên soạn
nhập
chạy từ 1
Page 13
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
=
Câu=
16: Tính
?
= ......................................................................................................................................................
I
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 17: Cho tổng
. Khi đó
bằng?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 18: Cho dãy số
xác định bởi:
hạng đầu tiên là:
và
với mọi
Khi đó tổng
số
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 14
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Giả sử cần tính tổng: S a1 a2 ... an .
- Tự luận:
Bước 1: Ta tìm cách tách: a1 b1 b2 ; a2 b2 b3 ;.
Bước 2: Rút gọn: S b1 b2 b2 b3 ... bn bn 1 b1 bn 1
- Trắc nghiệm:
+ Một số công thức tách thường sử dụng:
a
1
1
2a
1
1
n(n a) n n a n(n a)(n 2 a) n( n a) ( n a )( n 2a)
2na a 2
1
1
2
2
2
n (n a)
n (n a ) 2 n.n ! ( n 1)! n !
+ Nhận định kết quả của tổng là: S b1 bn 1
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1
Sưu tầm và biên soạn
Page 15
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
=
2
2
2
2
=
S
...
1.3 3.5 5.7
97.99
Câu=
19: Tính tổng sau:
I ......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
1
1
1
1
Sn
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n 1)(n 2) . Khi đó công thức của S n là:
Câu 20: Cho tổng
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 21: Cho tổng
Sn
3
5
7
2n 1
...
2
2
2
(1.2) (2.3) (3.4)
[ n( n 1)]2 . Tính S10
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 16
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
.........................................
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
II
DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1: DÃY SỐ
LÝ THUYẾT.
I
=
1. DÃY
= SỐ LÀ GÌ?
= Mỗi hàm số xác định trên tập các số nguyên dương
I là
được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa
Dãy số trên được kí hiệu là
Dạng khai triển của dãy số
là:
Chú ý:
a)
gọi là số hạng đầu,
b) Nếu
Hàm số
là số hạng thứ
thì ta nói
(hay số hạng tổng quát) của dãy số.
là dãy số không đổi.
xác định trên tập
với
Dạng khai triển của dãy số này là:
cuối.
thì được gọi là một dãy số hữu hạn.
trong đó
là số hạng đầu,
là số hạng
2. CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng
b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
Cho số hạng đầu.
Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ
Sưu tầm và biên soạn
qua số hạng đứng trước nó.
Page 1
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
d) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số
được gọi là dãy số tăng nếu ta có
với mọi
Dãy số
được gọi là dãy số giảm nếu ta có
với mọi
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số
là dãy
với
tức
không tăng cũng không giảm.
4. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số
được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số
sao cho
Dãy số
được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số
sao cho
Dãy số
được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
sao cho
Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi
II HỆ THỐNG BÀI TẬP.
=
=
DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
=
Bài Itoán 1: Cho dãy số
:
. Hãy tìm số hạng .
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Thay trực tiếp
vào
.
MTCT: Dùng chức năng CALC:
Nhập:
Sưu tầm và biên soạn
Page 2
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Bấm r nhập
Bấm
Kết quả
Sưu tầm và biên soạn
Page 3
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
=
Câu 1:
I
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
biết
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 2:
Cho dãy số
có số hạng tổng quát
. Số
là số hạng thứ mấy?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Bài toán 2: Cho dãy số
1
=
=
=
I
cho bởi
. Hãy tìm số hạng
.
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt
bằng cách thế
vào
, thế
vào
, …, thế
vào
.
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập giá trị của số hạng u1:
- Nhập biểu thức của
- Lặp dấu
lần thứ
cho ra giá trị của số hạng
Sưu tầm và biên soạn
.
Page 4
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
=
CâuI3:
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
biết
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 4:
Cho dãy số
được xác định như sau:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Bài toán 3: Cho dãy số
1
=
=
=
I
cho bởi
. Hãy tìm số hạng
.
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt
vào
bằng cách thế
vào
; thế
vào
; …; thế
.
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập
- Bấm r nhập
, ấn =, nhập
- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ
ấn
giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng
.
Sưu tầm và biên soạn
Page 5
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
Câu=
5:
I
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
được xác định như sau:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Bài toán 4: Cho dãy số
tính theo
1
=
=
=
I
cho bởi
và
. Trong đó
. Hãy tìm số hạng
là kí hiệu của biểu thức
.
PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt
vào
bằng cách thế
vào
; thế
vào
; …; thế
.
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Sử dụng 3 ô nhớ:
: chứa giá trị của n
: chứa giá trị của un
: chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán
của dãy
- Lặp phím dấu
hạng
:=
+ 1 và
:=
để tính số hạng tiếp theo
cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ
thì đó là giá trị của số
.
Sưu tầm và biên soạn
Page 6
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2
=
=
=
CâuI6:
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số
được xác định như sau:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 7:
Cho dãy số
được xác định bởi:
. Tìm số hạng
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 7
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ
1 PHƯƠNG PHÁP.
=
Cách=1: Xét hiệu
=
I Nếu
Nếu
Cách 2 : Khi
thì
là dãy số tăng.
thì
là dãy số giảm.
ta xét tỉ số
Nếu
thì
là dãy số tăng.
Nếu
thì
là dãy số giảm.
Cách 3 : Nếu dãy số
được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số
có
Dãy số
có
tăng khi
và giảm khi
Không tăng, không giảm khi
Giảm khi
Tăng khi
Dãy số
có
với điều kiện
Tăng khi
Giảm khi
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm
Nếu dãy số
Dãy số
tăng hoặc giảm thì dãy số
có
tăng nếu
không tăng, không giảm
; giảm nếu
và không tăng
không giảm nếu
Sưu tầm và biên soạn
Page 8
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Dãy số
có
tăng nếu
Dãy số
có
không tăng không giảm nếu
Nếu
thì dãy số
Nếu
Nếu
thì dãy số
Nếu
và
2
=
Câu=
8:
=
I
thì dãy số
Nếu
thì dãy số
thì dãy số
Nếu
và dãy số
Nếu
và giảm nếu
và
thì dãy số
và
thì dãy số
và dãy số
và
thì dãy số
Nếu
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Xét tính đơn điệu của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 9:
Xét tính đơn điệu của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 9
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 11: Cho dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cách 1: Dãy số
có
là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức
Cách 2: Dãy số
hoặc
có
Ta làm trội
Sưu tầm và biên soạn
Page 10
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Lúc đó
Suy ra
Cách 3: Dãy số
có
với
Ta làm trội
Lúc đó
Suy ra
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số
được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh
Chú ý: Nếu dãy số
giảm thì bị chặn trên, dãy số
tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
Dãy số
có
bị chặn
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
Dãy số
có
bị chặn dưới với
Dãy số
có
bị chặn dưới nếu
không bị chặn
với
bị chặn dưới
bị chặn dưới nếu
và bị chặn trên nếu
bị chặn dưới nếu
và bị chặn trên nếu
bị chặn dưới nếu
với
và
và bị chặn trên nếu
không bị chặn
và bị chặn trên
nếu
Sưu tầm và biên soạn
Page 11
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
Dãy số
có
trong đó
và
là các đa thức, bị chặn nếu bậc của
và
là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn
nhỏ hơn hoặc bằng bậc của
Dãy số
có
trên nếu bậc của
trong đó
lớn hơn bậc của
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
=
=
Câu=
12: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
.
I ......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
.
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 12
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số
biết
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Giải sử cần tính tổng:
. Trong đó:
- Tự luận:
Ta có:
Từ đó suy ra:
- Trắc nghiệm:
Công thức tính nhanh:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là:
hạng
với d là khoảng cách giữa 2 số
+ Số số hạng =: + 1
+ Tổng = •: 2
- Casio
Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng.
Bước 2: Sử dụng công cụ tính:
tới
số số hạng =.
nhập số hạng tổng quát của dãy số
Sưu tầm và biên soạn
nhập
chạy từ 1
Page 13
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
=
Câu=
16: Tính
?
= ......................................................................................................................................................
I
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 17: Cho tổng
. Khi đó
bằng?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 18: Cho dãy số
xác định bởi:
hạng đầu tiên là:
và
với mọi
Khi đó tổng
số
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 14
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp
1
=
=
=
I
PHƯƠNG PHÁP.
Giả sử cần tính tổng: S a1 a2 ... an .
- Tự luận:
Bước 1: Ta tìm cách tách: a1 b1 b2 ; a2 b2 b3 ;.
Bước 2: Rút gọn: S b1 b2 b2 b3 ... bn bn 1 b1 bn 1
- Trắc nghiệm:
+ Một số công thức tách thường sử dụng:
a
1
1
2a
1
1
n(n a) n n a n(n a)(n 2 a) n( n a) ( n a )( n 2a)
2na a 2
1
1
2
2
2
n (n a)
n (n a ) 2 n.n ! ( n 1)! n !
+ Nhận định kết quả của tổng là: S b1 bn 1
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1
Sưu tầm và biên soạn
Page 15
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
2 BÀI TẬP TỰ LUẬN.
=
2
2
2
2
=
S
...
1.3 3.5 5.7
97.99
Câu=
19: Tính tổng sau:
I ......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
1
1
1
1
Sn
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n 1)(n 2) . Khi đó công thức của S n là:
Câu 20: Cho tổng
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Câu 21: Cho tổng
Sn
3
5
7
2n 1
...
2
2
2
(1.2) (2.3) (3.4)
[ n( n 1)]2 . Tính S10
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Sưu tầm và biên soạn
Page 16
SÁCH CHÂN TRỜI SÁNG TẠO-CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CSC – CẤP SỐ NHÂN
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
.........................................
Các ý kiến mới nhất