PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA



KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2015 – 2016
Môn: Toán
Ngày thi: 4 tháng 12 năm 2015
(Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang)


Bài 1(3 điểm):
a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9.
b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu
chia hết cho 5 thì
chia hết cho 5.
Bài 2(4 điểm):
a) Cho
.
Tính
với
.
b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn:
và
.
Chứng minh rằng:

Bài 3 (4 điểm ):
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình sau :

Bài 4 (7 điểm ):
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.
c) Chứng minh tỷ số
không đổi.
d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài 5 (2 điểm ):
Cho x;y;z dương sao cho

Tìm giá trị lớn nhất của
.

--------HẾT--------


HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán 9
Câu
Nội dung
Chia điểm

I.a

a.1,5 điểm
- Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5
- Vì x,y
N
- Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) 
0,75

0,75

I.b
b.1,5 điểm
- Ta có :



( Vì 5 là số nguyên tố)
- Ta có:
(đpcm)

0,5

0,25

0,5

0,25


II
Câu a(2 điểm)


















0,5
0,5
0,5
0,5


Câu b(2 điểm)
Ta có:
nên







Từ đó:
KL:…




1



1

III
Câu a(2 điểm)
Giải phương trình:




ĐK:
+ dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP
Do đó: PT
KL.
0,5

0,75

0,75


III
Câu b(2 điểm)
Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 ((x-y)(3x+2y)=0 ( x=y hoặc x =
y
- Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1
- Nếu x =
y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm
KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1

1

1

IV




IV
Câu a(1 điểm)
Xét tam giác vuông ABH có HE
AB

AB.AE = AH2 (1)
Xét tam giác vuông ACH có HF
AC

AC.AF = AH2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE.AB = AF.AC.



0,5


0,5

IV
 Góc IAH bằng 2 lần góc BAH
Góc KAH bằng 2 lần góc CAH
Suy ra góc IAH + góc KAH =2( góc BAH + góc CAH) = 1800
Suy ra I, A và K th