BUỔI 3 – Tuần 6
CÁC PHÉP TÍNH VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1/ Cộng hai đa thức nhiều biến.
Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:
 Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang ;
 Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;
 Thực hiện phép tính theo trong từng nhóm , ta được tổng cần tìm.
2/ Trừ hai đa thức nhiều biến.
Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:
 Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;
 Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu một đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng
dạng với nhau;
Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.
3/ Nhân hai đa thức nhiều biến.
a/ Nhân hai đơn thức:
Tương tự như đối với đơn thức một biến, để nhân hai đơn thức nhiều biến ta có thể làm như sau:
 Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;
 Thu gon đơn thức nhận được ở tích .
b/ Nhân đơn thức với đa thức:
Tương tự như trường hợp một biến, ta có quy tắc sau:
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức
rồi cộng các kết quả với nhau.
c/ Nhân hai đa thức:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn
thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.
4/ Nhân hai đa thức nhiều biến.
a/ Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (
) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ
không lớn hơn số mũ của nó trong A.
Quy tắc : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta có thể làm
như sau :
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B
- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
b/ Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức
Đa thức A chia hết cho đơn thức (
) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.
Quy tắc : Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ( trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn
thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
-------------------------------------------CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Dạng 1: Tính tổng (hay hiệu) đa thức nhiều biến.
Ví dụ 1. Tính tổng
và hiệu
của hai đa thức , trong các trường hợp sau:
a)
b)

và

.
và

.

c)

và

d)

.
và

.

Ví dụ 2. Thực hiện phép tính sau:
.
.

Ví dụ 3.

Cho các đa thức
;
a)
.
b)
.
c)
.
Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước
Ví dụ 4. Tìm đa thức , biết:
a)
Bài giải
a/

.

và

d)

.

b)

. Tính:

.

b/

Ví dụ 5. Cho các đa thức
a)
.
Bài giải
a/

b)

;

. Tìm đa thức

.

b/

Dạng 3: Thực hiện phép tính nhân đơn thức với đa thức
 Quy tắc:
Ví dụ 6. Làm tính nhân
a)

(với A, B, C là các đơn thức).

b)

c)

sao cho:

Ví dụ 7. Nhân đơn thức

với đa thức

biết rằng

và

.

Dạng 4: Thực hiện phép tính nhân đa thức với đa thức
 Sử dụng quy tắc:
Ví dụ 8. Thực hiện phép nhân
a)
Bài giải

;

b)

;

c)

.

a/
b/
Ví dụ 9. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
a)

tại

và
tại

b)

và

.

Dạng 5: Thực hiện phép tính chia đơn thức với đa thức
Ví dụ 10: Làm phép tính chia:
a)

.

b)

c)

.

e)
Bài giải:

.

a)

.

d)

.

.

b)

c)

.

e)

.

d)

.
.

Dạng 6: Thực hiện phép tính chia đa thức với đa thức
Ví dụ 11: Làm phép tính chia:
a)

b)
Bài giải:

a)
b)
c)
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính tổng các đa thức

c)

a)

và

b)
Bài giải:

và

Bài 2: Cho hai đa thức:
Tính
Bài giải:

và

Bài 3: Cho các đa thức :

;

Bài 4: Cho đa thức
Khi
Bài giải:

(

thì

. Khi

Khi

thì:

Khi

thì:

Khi

là biến). Tìm
thì

biết:
Khi

thì

thì:

.

Vậy

Bài 5: Tìm đa thức M biết:
a)
Bài 6: Thực hiện phép tính

b)

a)

b)

c)

d)
e)
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau

f)

a)
b)
Bài 8: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
a)
b)

tại

và
tại

;
và

.

Bài 9: Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

.
.

a)

;

b)
.
Vậy giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 10: Nhân các đa thức sau
a)
;
b)
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi

.

; c)

ta luôn có

.
.

Bài 12: Cho biểu thức
cho với mọi số nguyên
Bài giải:
Bài 13: Làm tính chia:

. Chứng minh

.

a)
b)

;
;

c)

.

Bài 14: Tính giá trị biểu thức:
a)

tại

b)
c)
d)
e)

luôn chia hết

tại
tại
tại
tại

.

f)
tại
.
Bài 15:
Hình ảnh bên dưới mô tả cách có thể làm để có một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là x; y;
z. (cm). Các kích thước và tỉ lệ của hộp phụ thuộc vào các giá trị của x; y; z. Tính diện tích của
các mặt của hình hộp chữ nhật được thể hiện qua hình đó.
Bài 16:
Bác Nam có một mảnh vườn hình chữ nhật. Bác chia mảnh vườn này ra làm hai khu đất hình
chữ nhật: Khu thứ nhất dùng để trồng cỏ. Khu thứ hai dùng để trồng hoa. (Với các kích thước có
trong hình vẽ).
a/ Tính diện tích khu đất dùng để trồng hoa theo x,y.
b/ Tính diện tích khu đất dùng để trồng cỏ theo x,y.
c/ Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật của bác Nam với x = 4 và y = 4.
Bài 17:

Khu vườn trồng mía của nhà bác Minh ban đầu có dạng một hình vuông biết chu vi hình vuông
là 20 (m) sau đó được mở rộng bên phải thêm y (m), phía dưới thêm 10x (m) nên mảnh vườn
trở thành một hình chữ nhật (hình vẽ bên)
a/ Tính diện tích khu vườn bác Minh sau khi được mở rộng theo x, y.
b/ Tính diện tích khu vườn bác Minh sau khi được mở rộng khi
x=1;y=2
Bài 18:
Một cửa hàng buổi sáng bán được
bao gạo thì cửa hàng đó thu được số tiền là
nghìn đồng.
a/ Tính số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đó đã bán theo x,y.
b/ Tính số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đó đã bán khi x = 2; y = 2.
Bài 19:
Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có chiều dài là x + 43 (cm) và chiều rộng là x + 30 (cm). Người
ta cắt ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông cạnh
(cm) ( phần tô màu) và xếp phần còn
lại thành một cái hộp không nắp.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật trên theo x; y.
b/ Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật trên với x = 16 ; y = 4.
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Tính tổng của hai đa thức
a)

và

.

b)
và
Bài 2. Tính tổng và hiệu của hai đa thức
a)
b)
Bài 3: Tính tổng
a)
và

và

.
và

với:

.
và
và hiệu
.

b)

.
của hai đa thức

và

c)

,

.

và

.

d)
và
Bài 4: Thực hiện phép tính sau:
a)

.
.

b)

.

Bài 5: Cho các đa thức
Tính:
a)
.
b)

;

Bài 6: Cho các đa thức
a)
.
b)
Bài 7: Tìm đa thức ,
a)
Bài 8: Tìm đa thức
a)

trong các trường hợp sau:

.

biết

biết:

c)
;

.
.
.

c)

và
.
.

.

d)
và

d)

.
. Tính

.

b)

.

b)

.

c)

.

d)

Bài 9: Cho các đa thức
.
.
Bài 10: Tính giá trị của các đa thức sau:
a)

tại

b)

tại

c)
Bài 11: Thực hiện phép tính
a)

;

. Tìm đa thức

,

tại

.

,

.

b)
.

sao cho:

.

,

;

c)

.

;

d)

Bài 12: Nhân đa thức với đơn thức
Bài 13: Rút gọn các biểu thức sau
a)

biết rằng

và

.

; ĐS:

b)
Bài 14: Tính giá trị của biểu thức

. ĐS:

a)

tại

; ĐS:

b)

tại

và

. ĐS:

Bài 15: Cho biểu thức
. Chứng tỏ giá trị của
không phụ thuộc vào giá trị của .
Bài 16: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến:
Bài 17: Cho biểu thức
này luôn luôn không đổi.

. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức

Bài 18: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a)

;

b)

.

c)
Bài 19: Tính giá trị của biểu thức
a)
b)

tại

c)
Bài 20: Chứng minh đẳng thức

tại
và

;

tại

và

.
.
.

:

Bài 21: Chứng minh đẳng thức

.

Bài 22: Chứng minh đẳng thức
Bài 23: Chứng minh đẳng thức
Bài 24: Cho
. Chứng minh đẳng thức
Bài 25: Làm tính nhân:

a)

.
;

b)

c)
Bài 26: Thực hiện phép tính:
a)

;

;

b)

;

;

d)

.

c)

.

d)
Bài 27: Làm tính chia:
a)

;

ĐS:

b)

;

c)

;

d)

b)
c)
d)

ĐS:
.

Bài 28: Làm tính chia:
a)

ĐS:

ĐS:

;

ĐS:
;

ĐS:
;

ĐS:
.

ĐS: