Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Chương
3

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Phương trình bậc nhất 2 ẩn. Hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn.

§1

Tóm tắt lý thuyết
1.1 Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
không đồng thời bằng

có dạng

với

có dạng

không đồng thời bằng

với

.

không đồng thời bằng

và

.

Cặp số

được gọi là nghiệm của

Cặp số

được gọi là nghiệm của

nếu

thỏa

nếu

.

thỏa mãn hai phương trình trong

.

 Ví dụ 1.
Kiểm tra cặp số sau có phải là nghiệm của phương trình
a)

hay không?

;

b)

.

 Lời giải
1. Thay

và

vào phương trình, ta có

2. Thay
và
của phương trình.

. Vậy

vào phương trình, ta có

là nghiệm của phương trình.
. Vậy

không là nghiệm

1.2 Tập nghiệm của phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm và được biểu diễn bởi đường thẳng

Nếu

và

Nếu

và

thì

thì

có nghiệm tổng quát

có nghiệm tổng quát



1

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Nếu

và

thì

có nghiệm


 Ví dụ 2.

Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau
a)

;

b)

c)

d)
 Lời giải

a)

. Vậy phương trình có nghiệm tổng quát

b)

. Vậy phương trình có nghiệm tổng quát

c)

. Phương trình có nghiệm tổng quát

d)

. Phương trình có nghiệm tổng quát

Các bài toán nâng cao

Dạng 48. Xét xem cặp số có phải là nghiệm của phương trình không.

Áp dụng nền tảng kiến thức.

BÀI TẬP MẪU
Thực hành tốt kĩ năng tính toán biểu thức.
BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1.

Trong các cặp số

,

,

cặp số nào là nghiệm của phương trình
 Lời giải

 Với

, ta có

 Với

, ta có

 Với

, ta có

là nghiệm.
không là nghiệm.
không là nghiệm.

Dạng 49. Tìm nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình.
Biến đổi biểu thức để đưa về theo hoặc theo .

2

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1.

Tìm nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm các phương trình sau
a)

;

b)

.
 Lời giải

a)

;

b)

.

Dạng 50. Xác định tham số khi biết nghiệm của phương trình.
Thực hành tốt kĩ năng tính biểu thức.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1.

Tìm
1.

trong mỗi trường hợp sau
là nghiệm của phương trình

2. Điểm

;

thuộc đường thẳng

.
 Lời giải

1. Thay

vào phương trình ta có

.

2. Thay

vào đường thẳng, ta có

.

Dạng 51. Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất.
BÀI TẬP MẪU
Xét hệ . Nếu
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
thì hệ phương trình vô nghiệm.
thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

3

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 Ví dụ 1.

Tìm

trong mỗi trường hợp sau

1.
2. Điểm

là nghiệm của phương trình

;

thuộc đường thẳng

.
 Lời giải

1. Thay

vào phương trình ta có

2. Thay

vào đường thẳng, ta có

.
.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1.

Không vẽ đồ thị, hãy đoán nhận số nghiệm các hệ phương trình sau
a)
b)
 Lời giải
b)

a)
Ta có

nên hệ có nghiệm duy nhất.

Ta có

nên hệ vô nghiệm.

Dạng 52. Hai hệ phương trình tương đương.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung tập nghiệm.
Hai hệ phương trình vô nghiệm cũng được coi là tương đương.
BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1.

Xét sự tương đương của các hệ phương trình sau:
1.

và

2.

và
 Lời giải

1.

và

4

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Vậy

và

2.

là hai hệ tương đương.

và

Ta thấy cặp số

thỏa

Vậy

và

nhưng không thỏa

.

không tương đương.

Luyện tập
 Bài 1. Cho phương trình
.
1. Với
, xét xem các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình.
i)
ii)
iii)
.
2. Tìm nghiệm tồng quát của phương trình trên ứng với
i)
ii)
.
3. Tìm giá trị
tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.
i)

ii)

.
 Lời giải

1. Với

, ta có phương trình

i) Thay
phương trình.
ii) Thay

.

vào phương trình, ta có

nên

vào phương trình, ta có

nên

là nghiệm của phương trình.

iii) Thay
vào phương trình, ta có
phương trình.
2. Tìm nghiệm tổng quát.
i) Với

không là nghiệm của

nên

ta có phương trình

.

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát
ii) Với

ta có phương trình

.

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát

Hoặc:
3. Tìm giá trị
i) Thay
ii) Thay

. Vậy phương trình có nghiệm tổng quát
tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.
vào phương trình, ta có

.

vào phương trình, ta có

.

5

không là nghiệm của

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

 Bài 2. Không vẽ đồ thị, hãy đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau
a)

b)

c)

d)
 Lời giải

a)
Do

b)
nên hệ có nghiệm duy nhất.

Do

d)

c)
Do

4

nên hệ vô nghiệm.

nên hệ có vô số nghiệm.

Do

Các bài tập nâng cao

 Bài 3. Cho hệ phương trình
a) Có nghiệm duy nhất;
b) Vô nghiệm;
c) Vô số nghiệm.

. Tìm

,

để hệ

 Lời giải
1. Hệ có nghiệm duy nhất

.

2. Hệ vô nghiệm

3. Hệ có vô số nghiệm

6

nên hệ có nghiệm duy nhất.

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

§2

Phương pháp giải hệ phương trình.

Tóm tắt lý thuyết
1.1 Phương pháp thế
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Biểu thị một ẩn (giả sử ẩn
Bước 2. Thay biểu thức của
Bước 3. Thay giá trị

) theo ẩn còn lại (ẩn

) từ một trong các phương trình của hệ.

vào phương trình còn lại rồi tìm giá trị của

vừa tìm được vào biểu thức của

để tìm giá trị của

Bước 4. Kết luận nghiệm của hệ phương trình
 Ví dụ 1.

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)

b)

c)

d)

 Lời giải
1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

.

2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

.

7

.
.

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

3.

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

.

4.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

.

1.2 Phương pháp cộng đại số
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Nhân cả hai vế của các phương trình trong hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ đã cho về hệ mới, trong đó
các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau (hoặc đối nhau).
Bước 2. Trừ ( hoặc cộng ) từng vế của các phương trình trong hệ mới để khử bớt một ẩn.
Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
Bước 4. Thay giá trị tìm được của ẫn này vào một trong các phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại.
Bước 5. Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

 Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a)

b)

c)

d)

 Lời giải

1.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

.

8

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

.

3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

.

4.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

.

1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ
Để giải hệ phương trình ta còn dùng phương pháp đặt ẩn phụ thông qua các ẩn đã cho.

Với dạng này ta cần nhận biết được sự tương đồng của các ẩn từ đó chọn ẩn phụ đặt cho hợp lý để
đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi áp dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng dại số
để giải. Sau khi tìm được nghiệm theo ẩn mới, sau đó ta thay lại ẩn ban đầu đễ tìm nghiệm của hệ
đã cho.

 Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình.

a)

b)

c)

 Lời giải
1. Điều kiện xác định

Đặt

.

, hệ phương trình đã cho trở thành

Khi đó ta có

(nhận)

9

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
2. Điều kiện xác định

Đặt

.

.

, hệ phương trình đã cho trở thành

Từ đó thay vào ta tìm được

(nhận)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
3. Điều kiện xác định

Đặt

.

.

, hệ phương trình đã trở thành

Khi đó ta có
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

(nhận)
.

Các dạng toán

10

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình (

là tham số)

Giải và biện luận hệ phương trình theo

.
 Lời giải

Từ phương trình (1) suy ra

, thay vào phương trình (2) ta được
(3)

Nếu

thì (3)

 Nếu

thì phương trình (3)

 Nếu

luôn đúng với mọi

và

. Vậy phương trình có vô số nghiệm.

(vô lý). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

thì (3)

, do đó

. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

.
 Ví dụ 2. Cho hệ phương trình (

là tham số)

Giải và biện luận hệ phương trình theo

.
 Lời giải

Từ

phương

trình

 Nếu

thì

 Nếu

thì (3)

(2)

suy

ra

,

thay

vào

(vô lý) nên hệ phương trình vô nghiệm.

, do đó

.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

.

11

phương

trình

(1)

ta

được

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Dùng đồ thị giải hệ phương trình

 Lời giải
Gọi hai đường thẳng xác định bởi hai phương trình trong hệ đã cho lần lượt là
và
Vẽ

.
và

trong cùng hệ trục tọa độ, ta thấy rằng 2 đường thẳng cắt

nhau tại một điểm duy nhất, có tọa độ
Thử lại, ta thấy

.

là một nghiệm của hệ.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

.

 Ví dụ 2. Dùng đồ thị giải hệ phương trình

 Lời giải
Gọi hai đường thẳng xác định bởi hai phương trình trong hệ đã cho lần lượt là
và
Vẽ
song.

.
và

trong cùng hệ trục tọa độ, ta thấy rằng 2 đường thẳng song

Thử lại, ta có đường thẳng
gốc khác nhau nên
không có điểm chung.

và

và

có cùng hệ số góc bằng 3 và tung độ
song song với nhau, do đó

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

12

và

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình

. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hệ có nghiệm duy nhất.

 Lời giải

Xét

. Khi đó hệ trở thành

Xét

. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Vậy tất cả các giá trị của tham số

, rõ ràng có nghiệm duy nhất.

.

để hệ có nghiệm duy nhất là

 Ví dụ 2. Cho hệ phương trình
đó.

.

Chứng minh rằng với mọi

thì hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm

 Lời giải

Xét

. Khi đó hệ trở thành

Xét

. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Ta thấy rằng

với mọi

rõ ràng có nghiệm duy nhất là

. Do đó rõ ràng

.

.
với mọi

. Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Ta có hệ tương đương:

Kết luận: Với mọi

, hệ có nghiệm duy nhất là

.

13

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình

Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hệ vô nghiệm.
 Lời giải

Hệ tương đương

Do đó hệ vō nghiệm khi và chỉ khi

.

 Ví dụ 2. Cho hệ phương trình
Chứng minh rằng hệ vô nghiệm với mọi giá trị của tham số

.

 Lời giải

Xét

Xét

Khi đó hệ trở thành

. Khi đó hệ vồ nghiệm khi và chỉ khi

Ta thấy với mọi

Mặt khác
Vậy

, rõ ràng hệ vô nghiệm.

thì

.

với mọi
đúng với mọi

khác 0 .Do đó

với mọi

khác 0 .

khác 0 . Kết hợp với trường hợp trên, ta suy ra hệ vô nghiệm với mọi giá trị của tham số

BÀI TẬP MẪU

14

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình

Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hệ có vô số nghiệm.
 Lời giải

Xét

Khi đó, hệ trở thành

Vậy khi

Xét

thì hệ có nghiệm duy nhất. Ta loại giá trị này.

Khi đó hệ có vồ số nghiệm khi và chỉ khi

Tương đương

.

Ta thấy hệ này vô nghiệm.
Vậy không có giá trị nào của tham số

để hệ có vô số nghiệm.

 Ví dụ 2. Cho hệ phương trình
Chứng minh rằng hệ có vô số nghiệm với mọi giá trị của tham số

.

 Lời giải

Xét

Khi đó hệ trở thành

Vậy hệ có vô số nghiệm khi

Xét

.

. Khi đó hệ có vồ số nghiệm khi và chỉ khi

Ta thấy với mọi
Do đó

.

thì

đúng với mọi

.
. Kết hợp với trường hợp trên, ta suy ra hệ có vô số nghiệm với mọi giá trị của tham số

.

15

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

BÀI TẬP MẪU

 Ví dụ 1. Cho hệ phương
hệ có nghiệm nguyên.

với tham số a. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số

sao cho

 Lời giải

Xét

. Hệ trở thành

Vậy ta nhận giá trị

Xét

.

. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Vậy xét

.

. Khi đó, hệ tương đương

Để hệ có nghiệm nguyên thì

phải nguyên. Do đó

Mặt khác,

. Suy ra

. Vậy

Ta không xét

. Xét

phải nguyên. Vậy

chỉ có thể nhận giá trị

, khi đó

.

(thỏa)

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất, và nghiệm đó là nghiệm nguyên khi và chỉ khi

 Ví dụ 2. Cho hệ phương

với tham số

có nghiệm duy nhất. Trong các giá trị đó, tìm giá trị của

đề tổng

 Lời giải

Xét
Vậy khi

phải là ước của 1.

. Khi đó hệ trở thành
, hệ có nghiệm duy nhất. Suy ra

.

16

.

. Tìm tất cả các giá trị của tham số
đạt giá trị lớn nhất.

sao cho hệ

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Xét

. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chi khi
Xét

.

.

Hệ tương đương

Ta có

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Mà khi

thì

hay
nên

.

là giá trị cần tìm.

Luyện tập
 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a)

b)

c)
 Lời giải

a) Thế

ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được

$

Kết luận: Nghiệm của hệ là
b) Thế

.
ở phương trình trên vào phương trình dưới ta được

17

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Kết luận: Nghiệm của hệ là

c) Thế

.

ở phương trình trên vào phương trình dưới ta được

Kết luận: Nghiệm của hệ là

.

 Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

a)

b)

c)
 Lời giải

a) Cộng hai phương trình của hệ cho nhau ta được phương trình

Do đó:
Kết luận: Nghiệm của hệ là

.

b) Nhân phương trình đầu của hệ cho 3, nhân phương trình sau của hệ cho 2 và trừ theo vế hai
phương trình của hệ, ta được

Kết luận: Nghiệm của hệ là

.

c)

Nhân hai vế của phương trình sau cho 2 và cộng với phương trình đầu ta được

Kết luận: Nghiệm của hệ là

.

 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ

18

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

 Lời giải
a) Đặt

Do đó

. Ta được

.

b) Đặt

. Ta được

Do đó

 Bài 4. Biện luận theo

hệ phương trình sau

 Lời giải
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
.

Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi

Điều này đương nhiên không đúng, do đó hệ trên không có vô số nghiệm.
Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

 Bài 5. Trong mặt phẳng
. Xác định

cho ba đường thẳng

để ba đường thẳng đã cho đồng quy.
 Lời giải.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

và

là nghiệm của hệ

19

;

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi
Vậy

đi qua

. Tức là

.

 Bài 6.

1. Với giá trị nào của

2. Xác định

thì hệ

để hệ phương trình

có nghiệm

?

vô nghiệm.

 Lời giải

a) Hệ có nghiệm (-1; 0) khi và chỉ khi cặp số trên thỏa mãn cả hai phương trình của hệ, hay
và
Từ đó
b) Từ phương trình thứ nhất rút ra
Để ý rằng

, thay vào phương trình thứ hai ta được

, nên phương trình sau cùng vô nghiệm khi và chỉ khi
hoặc

4

Các bài toán nâng cao

 Bài 7. Cho ba đường thẳng
;

1. Xác định

để ba đường thẳng

2. Chứng minh rằng
1. Tọa độ giao điểm của

Vậy với
2. Đặt

đồng quy.

luôn đi qua một điểm cố định với mọi
 Lời giải.
và

Vậy tọa độ giao điểm của
Ba đường thẳng

và

là nghiệm của hệ phương trình

và
và

.

là

.

đồng quy khi và chỉ khi:

thì ba đường thẳng
là điểm cố định thuộc

và
. Khi đó

20

đồng quy.

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Vậy điểm cố định mà

luôn đi qua là

.

 Bài 8. Cho hệ phương trình

1. Giải hệ phương trình khi
2. Xác định giá trị của

Với

.

để hệ có nghiệm

duy nhất thỏa điều kiện

.

 Lời giải.

hệ phương trình đã cho trở thành

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

.

2. Ta có
Trường hợp 1.

, hệ đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2.

, hệ đã cho tương đương với

Suy ra

.

Ta cần có
Vậy

(do
thì hệ đã cho có nghiệm

duy nhất thỏa điều kiện

 Bài 9. Giải hệ phương trình sau

21

.
.

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

 Lời giải.
ĐKXĐ:

.

(1)

Thay

vào (2) ta được




.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

.

22

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Bài 3

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tóm tắt lý thuyết
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
 Bước 1. Lập hệ phương trình
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
 Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.
 Bước 3. Kết luận
- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.
- Kết luận bài toán.

Các dạng toán

Dạng 59. Toán số học, phần trăm
Ta sử dụng một số kiến thức liên quan sau đây:
1. Biểu diễn số có hai chữ số: trong đó là chữ số hàng chục và ,

là chữ số hàng đơn vị và .

2. Biểu diễn số có ba chữ số: trong đó là chữ số hàng trăm và , là chữ số hàng chục và là chữ số
hàng đơn vị và

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Tìm hai số tự nhiên biết rằng hiệu của số lớn với số nhỏ bằng 1814 và nếu lấy số lớn chia số nhỏ thì được
thương là 9 và số dư là 182.

 Lời giải
Gọi

là hai số tự nhiên cần tìm, trong đó

là số lớn,

là số bé. Theo đề bài ta có hệ phương trình

Vậy hai số cần tìm là 204 và 2018 .
 Ví dụ 2. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức
10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người

23

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu cho mỗi loại hàng?

 Lời giải
Giả sử không kể thuế VAT, người đó phải trả
loại hàng thứ hai.

triệu đồng cho loại hàng thứ nhất,

.

Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT
hàng thứ hai với thuế VAT
Ta có phương trình
Khi thuế VAT là

triệu đồng cho

là

) là

(triệu đồng), cho loại

(triệu đồng).

hay
.
cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là:

Ta có hệ phương trình
Giải hệ ta được
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy loại thứ nhất 0,5 triệu đồng, loại thứ hai 1,5 triệu đồng.
Dạng 60. Toán năng suất công việc
Năng suất được tính bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành.

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Trên

một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả
460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu
hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.
 Lời giải
Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là
bài, ta có hệ phương trình

(tấn), của lúa giống cũ là

(tấn)

. Theo đề

Vậy năng suất 1 ha giống lúa mới là 5 tấn, năng suất 1 ha giống lúa cũ là 4 tấn.
 Ví dụ 2. Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ 2 tổ 1 làm vượt mức

, tổ 2 vượt

mức
do đó cuối tháng hai cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao
nhiêu chi tiết máy.

 Lời giải
Gọi
lần lượt là số chi tiết máy mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng thứ nhất
đề bài, ta có hệ phương trình
24

. Theo

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Vậy trong tháng đầu tổ 1 sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 500 chi tiết máy.
Dạng 61. Toán chuyển động
Một số lưu ý khi giải bài toán về chuyển động:
1. Có ba đại lượng tham gia là quãng đường , vận tốc và thời gian .
2. Ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng và là .

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Mỗi

ngày ba của bạn An chở bạn ấy từ nhà đến trường mất 30 phút. Vì hôm nay là ngày thi
tuyển sinh nên ba bạn ấy muốn con mình đến trường sớm hơn, do đó ông ấy đã tăng vận tốc xe lên
và đến sớm hơn thường ngày là 10 phút. Hỏi quãng đường từ nhà của bạn An đến trường
là bao nhiêu km ?
 Lời giải
Gọi vận tốc xe thường ngày là
Theo đề ta có phương trình
Do ba bạn An tăng vận tốc lên

Quãng đường từ nhà của bạn An đến trường là
.
và đến sớm hơn 10 phút nên

.

Từ đó ta có hệ phương trình
Vậy quãng đường từ nhà của bạn An đến trường là 15 km.
 Ví dụ 2. Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc
rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc
. Biết
quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là
30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường.

 Lời giải
Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường lần lượt là
Đổi 30 phút

, đơn vị: giờ).

. Theo đề bài, ta có hệ phương trình

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.
 Ví dụ 3. Một ôtô dự định đi từ
đến
trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì
đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của
xe lúc ban đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB..

 Lời giải

25

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Gọi

là vận tốc ô tô lúc đầu

, và

(h) là thời gian ô tô dự định đi từ

đến

Theo hài ra ta có hệ phương trình

Vậy vận tốc xe lúc đầu là

. Quãng đường AB dài

.

Dạng 62. Toán có các yếu tố hình học

Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật: (là chiều rộng, là chiều dài)
- Diện tích tam giác là chiều cao, là cạnh đáy tương ứng).
- Độ dài cạnh huyền: là cạnh huyền; là các cạnh góc vuông)
- Số đường chéo của một đa giác (là số đỉnh).

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Một

hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của chữ nhật, biết
rằng nếu tăng chiều dài thêm 1 cm và tăng chiều rộng thêm 2 cm thì diện tích hình chữ nhật đó tăng
thêm

.

 Lời giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là
. Điều kiện
Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật là 28 cm nên ta có phương trình:

.

(3.1)
Mặt khác, nếu tăng chiều dài thêm 1 cm và tăng chiều rộng thêm 2 cm thì diện tích hình chữ nhật đó
tăng thêm

, nên ta có phương trình
(3.2)

Từ (3.1) và (3.2) ta có hệ phương trình:

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 9 cm, chiều rộng của hình chữ nhật là 5 cm.
 Ví dụ 2. Một

sân trường hình chữ nhật có chu vi 340 m. Biết 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là
20 m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
 Lời giải
26

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Gọi chiều rộng của sân trường đã cho là

.

Gọi chiều dài của sân trường đã cho là

.

Khi đó chu vi của sân trường là

.

(1)

Ta có 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

nên

.

(2)

Vậy chiều dài của sân trường là 100 m và chiều rộng là 70 m.

Dạng 63. Toán việc làm chung làm riêng
Những kiến thức cần nhớ:
- Có ba đại lương tham gia là: toàn bộ công việc, phần công việc làm được trong một đơn vị
thời gian (năng suất) và thời gian
- Nếu một đội làm xong công việc tronggiờ thì một ngày đội đó làm được công việc.
- Xem toàn bộ công việc là 1 .

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Hai đội xe

chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 18 ngày xong
công việc. Nếu đội thứ nhất làm trong 6 ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được
công việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc ?
 Lời giải
Gọi thời gian để đội một làm một mình xong công việc là
Gọi thời gian để đội hai làm một mình xong công việc là
Một ngày đội một làm được

(công việc).

Một ngày đội hai làm được

(công việc).

(ngày).
(ngày).

Ta có hệ phương trình:

Vậy đội một làm 45 ngày và đội hai làm 30 ngày.
 Ví dụ 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong
27

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

3 giờ thì cả hai vòi chảy được

bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

 Lời giải
Ta có 4 giờ 48 phút bằng

giờ.

Gọi thời gian vòi một chảy đầy bể là

giờ

.

Gọi thời gian vòi hai chảy đầy bể là

giờ

.

Một giờ vòi một chảy được

bể.

Một giờ vòi hai chảy được

bể.

Ta có hệ phương trình:

Vậy thời gian vòi một chảy đầy bể là 12 giờ và vòi hai chảy đầy bể là 8 giờ.
Dạng 64. Dạng toán khác
Những kiến thức cần nhớ:
Thể tích dung dịch ( là thể tích dung dịch, là khối lượng, là khối lượng riêng).

BÀI TẬP MẪU
 Ví dụ 1. Một dung dịch chứa

axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa

nitơric. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch

 Lời giải
Gọi

theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2

.

Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là

và loại 2 là

Ta có hệ phương trình:

28

.

axit nitơric?

axit

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Giải hệ này ta được:

và

.

Vậy lượng dung dịch loại 1 là 20 lít và loại 2 là 80 lít.
 Ví dụ 2. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ

hai bằng

số sách giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá.

 Lời giải
Gọi số sách ở giá thứ nhất là

và số sách giá thứ hai là

(

nguyên dương).

Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có phương trình
Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng

số sách giá thứ

nhất nên ta có:
Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được

và

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 cuốn, ở giá thứ hai là 150 cuốn.
 Ví dụ 3. Hai anh Quang và Bình góp vốn cùng kinh doanh. Anh Quang góp 13 triệu đồng, anh Bình góp 15 triệu
đồng. Sau một thời gian kinh doanh lãi được 7 triệu đồng. Lãi được chia đều theo tỉ lệ góp vốn. Tính số lãi mỗi anh
được hưởng.

 Lời giải
Gọi số lãi anh Quang và anh Bình được hưởng lần lượt là
Vì số lãi của cả hai anh là 7 triệu đồng nên ta có phương trình
Vì lãi tỉ lệ với vốn đã góp nên
Ta có hệ phương trình

29

(triệu đồng,
.

).

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Giải hệ phương trình ta được

và

.

Vậy anh Quang được lãi 3750000 đồng và anh Bình được lãi 3250000 đồng.

Luyện tập
 Bài 1. Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là
63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

 Lời giải
Gọi số cần tìm là
Theo đề, ta có hệ phương trình

Vậy số cần tìm là 18.
 Bài 2. Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1006, nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 2 và số
dư 124.

 Lời giải
Gọi số lớn là

, gọi số bé là

Theo đề, ta có hệ phương trình
Giải ra ta được số lơn là 712, số bé là 294.
 Bài 3. Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa
được một loại quặng chứa
loại quặng chứa

sắt, loại thứ hai chứa

sắt

sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm 15 tấn thì được một

sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.

 Lời giải
Gọi khối lượng quặng loại thứ nhất là

tấn, loại thứ hai là

Ta có hệ phương trình

hay
30

tấn

.

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Vậy khối lượng loại thứ nhất là 12 tấn, loại thứ hai là 30 tấn.

 Bài 4. Tháng đầu hai tổ sản xuất làm được 720 dụng cụ. Sang tháng thứ hai tổ 1 làm vượt mức
tổ hai vượt mức
dụng cụ?

nên cả hai tổ làm được 819 dụng cụ. Hỏi tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu

 Lời giải
Gọi

lần lượt là số dụng cụ mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất được trong tháng 1

Theo đề bài, ta có hệ phương trình

Vậy trong tháng đầu, tổ 1 sản xuất được 300 dụng cụ, tổ 2 sản xuất được 420 dụng cụ.
 Bài 5. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngày, tổ thứ 2 may trong 5
ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ 1 may được nhiều hơn tổ 2 là
10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong 1 ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

 Lời giải
Gọi lần lượt số áo tổ 1, tổ 2 may trong 1 ngày là
Trong 3 ngày tổ 1 may được là

(chiếc áo).

Trong 5 ngày tổ 2 may được là

(chiếc áo).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình

Vậy trong một ngày, tổ 1 may được 170 chiếc áo, tổ 2 may được 160 chiếc áo.
 Bài 6. Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc
của ô tô giảm
thì thời gian tăng 45 phút. Nếu vận tốc của ô tô tăng
giảm 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ô tô?

 Lời giải
Gọi vận tốc dự định của ô tô là
Gọi thời gian dự định của ô tô là
Điều kiện:
Quãng đường AB là

.

31

thì thời gian

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Nếu ô tô giảm vận tốc

thì thời gian tăng 45 phút

Vậy ta có phương trình:
Nếu ô tô tăng vận tốc

thì thời gian giảm 30 phút

.

Vậy ta có phương trình:
Từ

và

ta có hệ phương trình

Vậy vận tốc dự định của ô tô là

, thời gian dự định của ô tô là

giờ.

 Bài 7. Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau
và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40
phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận
tốc ca nô đi ngược dòng là

và vận tốc dòng nước là

.

 Lời giải
Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là

, vận tốc ca nô đi ngược dòng là

.
Đổi 1 giờ 40 phút
Theo bài ra ta có hệ phương trình

Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là

vận tốc ca nô đi ngược dòng là

.

 Bài 8. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc
thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc
thì sẽ đến B sớm
hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi từ A đến B.

 Lời giải
Gọi quãng đường AB là

, thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là
32

(giờ)

Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn

Ta có hệ phương trình

Vậy quãng đường AB là

, thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ).

 Bài 9. Nhân dịp Lễ giỗ tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích
cầu mua sắm. Giá niêm yết một tủ lạnh và một máy giặt có tổng số tiền là
trong đợt này giá một tủ lạnh giảm

giá bán và giá một máy giặt giảm

đã mua một tủ lạnh và một máy giặt trên với tổng số tiền là
khi chưa giảm giá là bao nhiêu tiền?

triệu đồng, nhưng
giá bán nên Cô Lan

triệu đồng. Hỏi giá mỗi món đồ trên

 Lời giải
Gọi

(triệu đồng) lần lượt là giá bán niêm yết của một tủ lạnh và một máy giặt

Giá bán của một tủ lạnh sau khi giảm

là

Giá bán của một tủ lạnh sau khi giảm

là

.

(triệu đồng).
(triệu đồng).

Ta có hệ phương trình sau
Vậy giá bán của một tủ lạnh và một máy giặt khi chưa giảm giá lần lượt là
triệu đồng.

triệu đồng và

 Bài 10. Nhằm động viên, khen thưởng các em đạt danh hiệu 'học sinh giỏi cấp thành phố' năm học
2017-2018, trườ...