Một số đề ôn thi vào chuyên toán

Đề 1
Bài 1: (8 điểm)
Cho parabol
.
Viết phương trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm
.
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Bài 2: (4điểm)
Giải hệ phương trình:



Bài 3: (8 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.
Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.
Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.

Hết












Đáp án và thang điểm:


Bài 1
ý
Nội dung
Điểm

1.


8,0


1.1
(2,0 điểm)




Phương trình đường thẳng d1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a + b, suy ra b = 1 - 2a, do đó d1: y = ax - 2a+1.
0,50



 Phương trình cho hoành độ giao điểm của d1 và (P) là:


0.50



Để d1 là tiếp tuyến của (P) thì cần và đủ là:



2,0



Vậy từ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là:


0,50


1.2
(4,0 điểm)




Phương trình đường thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc m là:


0,50



Phương trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:


0,50



Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì cần và đủ là:





1,5




Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:


1,0



Vậy khi m thay đổi, quĩ tích của I là phần của parabol

, giới hạn bởi
.
0,50


1.3
(2,0 điểm)




Gọi
là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P). Phương trình đường thẳng d` qua M0 và có hệ số góc k là:
, đường thẳng này đi qua M0 nên
, suy ra pt của d`:
.
0,50



Phương trì