CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Dạng 1: Tìm quy luật của dãy số
Phương pháp Giải:
Để Giải được loại toán này, ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật
thường gặp của dãy số là:
1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc
trừ) với cùng một số tự nhiên.
2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc
chia) với cùng một số tự nhiên khác 0.
3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của 2 số hạng đứng liền trước nó.
4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng liền trước nó.
5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với số
chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với cùng một số tự nhiên.
6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của 2 số hạng đứng liền trước nó.
7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của 3 số hạng đứng liền trước nó.
8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số
chỉ thứ tự của số hạng đó.
9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ
tự.
10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với
một số tự nhiên d rồi nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.
Ví dụ 1: Viết tiếp ba số hạng của dãy số sau:
a)

1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ;….

b)

0; 2; 4; 6; 12; 22; …..

c)

2 ; 7 ; 13 ; 20 ; …..

Giải
•

Số hạng thứ tư của dãy số là: 6 = 0 + 2 + 4

•

Số hạng thứ năm của dãy số là 12 = 2 + 4 + 6

•

Số hạng thứ sáu của dãy số là 22 = 4 + 6 + 12

Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số
hạng đứng liền trước nó.

Áp dụng quy luật này ta có:
•

Số hạng thứ bảy là 6 + 12 + 22 = 40

•

Số hạng thứ tám là 12 + 22 + 40 = 74

•

Số hạng thứ chín của dãy số là 22 + 40 + 74 = 136

Dãy số đã cho còn viết là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40 ; 74 ; 136 ; …..
Ta có:
7=2+2+3
13 = 7 + 3 + 3
20 = 13 + 4 + 3
Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó
cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với 3.
•

Số hạng thứ năm là: 20 + 5 + 3 = 28

•

Số hạng thứ sáu là: 28 + 6 + 3 = 37

•

Số hạng thứ bảy là 37 + 7 + 3 = 47

Dãy số đã cho còn viết là 2 ; 7 ; 13 ; 20 ; 28 ; 37 ; 47 ; …..
Ví dụ 2: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau: 1 ; 2 ; 6 ; 24 ; ….
Giải
Nhận xét:
•

Số hạng thứ hai của dãy số là: 2 = 1 × 2

•

Số hạng thứ ba của dãy số là: 6 = 2 × 3

•

Số hạng thứ tư của dãy số là: 24 = 6 × 4

Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số đứng liền trước nó nhân với
số chỉ thứ tự của số hạng đó.
Vậy các số tiếp theo là:
24 × 5 = 120
120 × 6 = 720
720 × 7 = 5040
Dãy số đã cho còn viết là: 1; 2 ; 6; 24 ; 120 ; 720 ; 5040 ; …
Ví dụ 3: Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau:
a)

1 ; 4 ; 7 ; 10 ; …..

b)

…. ; 390 ; 395 ; 400 (biết dãy số có 80 số hạng)

Giải
a) Nhận xét:
•

Số hạng thứ hai của dãy số là: 4 = 1 + 3 × (2 – 1)

•

Số hạng thứ ba của dãy số là: 7 = 1 + 3 × (3 – 1)

•

Số hạng thứ tư của dãy số là: 10 = 1 + 3 × (4 – 1)

……
•
là:

Số hạng thứ n của dãy số là: 1 + 3 × (n – 1) Vậy số hạng thứ 50 của dãy số

1 + 3 × (50 – 1) = 148
b) Quy luật:
•

Số thứ 80 của dãy số là 400 = 80 × 5

•

Số thứ 79 của dãy số là 395 = 79 × 5

•

Số thứ 78 của dãy số là 390 = 78 × 5

……
•

Số thứ n của dãy số là n × 5

Vậy số hạng thứ 50 của dãy số là 50 × 5 = 250
Bài tập áp dụng
Bài 1. Viết thêm 2 số tiếp theo vào dãy số sau:
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 20 ; 37; ……. ; ………
Bài 2. Viết thêm 2 số hạng tiếp theo của dãy số của dãy số: 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ;
23 ; ……; ………
Bài 3. Viết thêm 2 số hạng tiếp theo của dãy số:
a)

1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; …… ; ……..

b)

3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35 ; 48 ; ….. ; …….

Lời Giải chi tiết
Bài 1. Dãy số 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 20 ; 37; ……. ; ………
1+2+3=6
2 + 3 + 6 = 11
3 + 6 + 11 = 20

6 + 11 + 20 = 37
Quy luật: Mỗi số hạng (từ số hạng thứ ba) bằng tổng của 3 số đứng liền trước nó.
Hai số tiếp theo là:
11 + 20 + 37 = 68
20 + 37 + 68 = 125
Vậy hai số tiếp theo trong dãy là 68 và 125.
Bài 2. Dãy số 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; 23 ; ……; ………
Ta có 3 = 2 + 1
5=3+2
8=5+3
12 = 8 + 4
17 = 12 + 5
23 = 17 + 6
Vậy hai số hạng tiếp theo trong dãy là: 23 + 7 = 30
30 + 8 = 38
Ta có dãy số 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 17 ; 23 ; 30 ; 38 ; ….
Bài 3
a)

1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; …… ; ……..

Ta có 3 = 1 + 2
7=3+4
15 = 7 + 8
31 = 15 + 16
63 = 31 + 32
Vậy hai số hạng tiếp theo là:
63 + 64 = 127
127 + 128 = 255
Ta có dãy số 1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 128 ; 255
b)

3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35 ; 48 ; ….. ; …….

Ta có 8 = 3 + 5
15 = 8 + 7

24 = 15 + 9
35 = 24 + 11
48 = 35 + 13
Vậy hai số hạng tiếp theo trong dãy là: 48 + 15 = 63
63 + 17 = 80
Ta có dãy số 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35 ; 48 ; 63 ; 80 ; ….
Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không?
Ví dụ 1: Cho dãy số 2, 5 , 8, 11, 14, 17, …
a)

Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên.

b)

Số 2008 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

Giải
a) Ta thấy:
2+3=5
5+3=8
8 + 3 = 11
….
Quy luật: Kể từ số thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó
cộng với 3 đơn vị.
Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26
Dãy số trên được viết là 2, 5 , 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ….
b) Ta thấy 2 : 3 = dư 2
5 : 3 = 1 dư 2
8 : 3 = 2 dư 2
….
Quy luật: Dãy số trên gồm các số hạng khi chia cho 3 đều dư 2. Mà 2008 : 3 = 669
dư 1.
Vậy dãy số 2008 không thuộc dãy số trên.
Ví dụ 2: Hãy cho biết:
a)

Các số 50 và 133 có thuộc dãy số 90 ; 95 ; 100 ; … hay không?

b)
Số nào trong các số 666, 1000 và 9999 thuộc dãy số 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; ….?
Giải thích tại sao?
Giải
a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy số đã cho, vì:
-

Các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50.

-

Các số hạng của dãy số đã cho đều chia hết cho 5, mà 133 : 5 = 26 dư 3

b) Mỗi số hạng kể từ số thứ hai bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 2. Nên
các số trong dãy kể từ số thứ hai đều là số chẵn.
Mà 666 : 2 = 333 là số lẻ. Vậy số 666 không thuộc dãy số trên.
Các số hạng của dãy số đều chia hết cho 3. Mà 1000 không chia hết cho 3.
Vậy số 1000 không thuộc dãy số trên.
Các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ hai đều là số chẵn. Vậy số 9999
không thuộc dãy số trên.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho dãy số 2, 6, 10, 14, 18, …
Hãy xét xem các số sau đây có thuộc dãy số đã cho hay không?
142, 225, 111, 358
Bài 2. Cho dãy số 1 ; 7 ; 13 ; 19 ; 25 ; ….
a)

Em hãy tính xem số thứ 362 của dãy số là số nào?

b)

Số 2735 có thuộc dãy số trên không?

Bài 3. Cho dãy số 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; ….
a)

Viết tiếp 3 số hạng của dãy số trên.

b)

Số 1089 có thuộc dãy số trên hay không?

Lời Giải chi tiết:
Bài 1. Ta nhận thấy: 2 : 4= 0 (dư 2)
6 : 4 = 1 (dư 2)
10 : 4 = 2 (dư 2)
14 : 4 = 3 (dư 2)
Vậy mỗi số của dãy đã cho chia cho 4 dư 2. Ta có: 142 : 4 = 35 (dư 2)
225 : 4 = 56 (dư 1)
111 : 4 = 27 (dư 3)

358 : 4 = 89 (dư 2)
Vậy các số 142 , 358 thuộc dãy số đã cho.
Bài 2
a)

Ta thấy trong dãy số có:

Số thứ nhất là 1
Số thứ hai là 7 = 1 + 6 × 1
Số thứ ba là 13 = 1 + 6 × 2
Số thứ tư là 19 = 1 + 6 × 3
Số thứ năm là 25 = 1 + 6 × 4
Vậy số thứ 362 của dãy số là: 1 + 6 × 361 = 2167
b)

Ta thấy mỗi số trong dãy là số chia cho 6 dư 1. Ta có 2735 : 6 = 455 (dư 5)

Vậy số 2735 không thuộc dãy số đã cho.
Bài 3:
a)

Ta thấy:

Số thứ nhất 1 = 1 × 1
Số thứ hai 4 = 2 × 2
Số thứ ba 9 = 3 × 3
Số thứ tư 16 = 4 × 4
Số thứ năm 25 = 5 × 5
Vậy số thứ sáu là 6 × 6 = 36, số thứ bảy là 7 × 7 = 49, số thứ tám là 8 × 8 = 64
b)
33.

Ta có 1089 = 33 × 33 nên số 1089 có thuộc dãy số đã cho và là số hạng thứ

Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy số 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; …. ; 68
a)

Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

b)
Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 2007 là số
nào?
Giải
a) Số số hạng của dãy số là

(68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)
b) Số hạng thứ 2 của dãy số là: 14 = 11 + 3 × (2 – 1)
•

Số hạng thứ 3 của dãy số là 17 = 11 + 3 × (3 – 1)

•

Số hạng thứ 4 của dãy số là 20 = 11 + 3 × (4 – 1)

……
Vậy số hạng thứ 2007 của dãy số là 11 + 3 × (2007 – 1) = 6029
Ví dụ 2: Cho dãy số: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ….. ; 2018
Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Giải
Số số hạng của dãy số là (2018 – 2) : 2 + 1 = 1009 (số)
Ví dụ 3: Trong các số có 3 chữ số:
a)

Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9?

b)

Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1?

Bài Giải
a) Các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là 108 ; 126 ; ….. ; 990 Khoảng
cách giữa hai số liền nhau là 18 đơn vị.
Số các số chẵn có ba chữ số chia hết cho 9 là (990 – 108) : 18 + 1 = 50 (số)
b) Các số có ba chữ số chia cho 4 dư 1 là 101 ; 105 ; 109 ; …. ; 997 Khoảng
cách giữa hai số liền nhau là 4.
Số các số có ba chữ số chia cho 4 dư 1 là: (997 – 101) : 4 + 1 = 225 (số)
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm số số hạng của dãy số 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; …. ; 2015
Bài 2. Tìm số số hạng của dãy số 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; ….. ; 2014 ; 2015
Bài 3. Cho dãy số: 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; …. ; 10100 Hỏi dãy trên có bao nhiêu số hạng?
Lời Giải chi tiết
Bài 1. Dãy số đã cho là dãy số cách đều 4 đơn vị
Số số hạng của dãy số là (2015 – 7) : 4 + 1 = 503 (số hạng)
Bài 2. Tách dãy số đã cho thành 2 dãy số:
2 ; 6 ; 10 ; ….. ; 2014 và 3 ; 7 ; 11 ; …… ; 2015

Đây là các dãy số cách đều 4 đơn vị.
Số số hạng của dãy số 2 ; 6 ; 10 ; …. ; 2014 là: (2014 – 2) : 4 + 1 = 504 (số hạng)
Số số hạng của dãy số đã cho là 504 × 2 = 1008 (số hạng)
Bài 3. Số thứ nhất là 2 = 1 × 2
Số thứ hai là 6 = 2 × 3
Số thứ ba là 12 = 3 × 4
Số thứ tư là 20 = 4 × 5
….
Số thứ 100 là 10100 = 100 × 101 Vậy dãy trên có 100 số hạng.
Dạng 4: Tính tổng dãy số cách đều
Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:
A = 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 1996
Giải
Dãy số trên có số số hạng là (1996 – 1) : 1 + 1 = 1996 (số hạng) Giá trị của A là (1
+ 1996) × 1996 : 2 = 1 993 006
Ví dụ 2: Tính giá trị của B biết:
B = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 299
Giải
Dãy số trên có số số hạng là (299 – 1) : 2 + 1 = 150 (số hạng) Giá trị của B là (1 +
299) × 150 : 2 = 22500
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính nhanh: 1 + 9 + 17 + …. + 73
Bài 2. Cho tổng sau A = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 246
Hỏi phải thêm vào A bao nhiêu đơn vị để A chia hết cho 100.
Bài 3. Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2019.
Lời Giải chi tiết
Bài 1. Số số hạng của dãy là (73 – 1) : 8 + 1 = 10 (số hạng)
Tổng của dãy số trên là (73 + 1) × 10 : 2 = 370
Đáp số: 370
Bài 2. Số số hạng của dãy là (246 – 2) : 2 + 1 = 123 (số)

Tổng của dãy số là: (246 + 2) × 123 : 2 = 12252 Vậy A + 48 chia hết cho 100.
Đáp số: 48
Bài 3. 50 số lẻ liên tiếp thì có số khoảng cách là 50 – 1 = 49 (khoảng cách)
Số đầu tiên của dãy số trên là
2019 – 49 × 2 = 1921
Tổng của 50 số lẻ liên tiếp nêu trên là: (2019 + 1921) × 50 : 2 = 98500
Đáp số: 98500
Dạng 5: Bài toán đánh số trang sách, dãy chữ
Ví dụ 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TO QUOC VIET NAM thành dãy:
TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM ……
a) Chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ gì?
b) Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O,
bao nhiêu chữ I?
c) Bạn An đếm được trong dãy có 2007 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai?
d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ,
tím, vàng, …. Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy được tô màu gì?
Giải:
a) Nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 13 chữ cái. 2007 : 13 = 154 dư 5
Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ năm. Chữ đó là O.
b) Mỗi nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 2 chữ T và cũng có 2 chữ O và 1 chữ
I. Vì vậy, nếu người ta đếm được 50 chữ T thì trong dãy đó cũng có 50 chữ O và
25 chữ I.
c) Bạn ấy đếm sai vì chữ O trong dãy phải là số chẵn.
d) Ta có 2007 : 4 = 501 (dư 3)
Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ cái thứ 3. Chữ đó được tô màu tím.
Ví dụ 2: Một quyển sách có 256 trang. Hỏi để đánh số trang của quyển sách đó
người ta phải dùng bao nhiêu chữ số?
Giải:
Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang: có 9 × 1 = 9 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang: có 90 × 2 = 180 chữ số

Từ trang 100 đến trang 256 có 157 trang: có 157 × 3 = 471 chữ số Vậy để đánh số
trang của quyển sách đó người ta phải dùng:
9 + 180 + 471 = 660 (chữ số)
Đáp số: 660 chữ số
Ví dụ 3: Để đánh số trang của một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 645 chữ số.
Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?
Giải
Để đánh số trang của 1 cuốn sách, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1,
2, 3, 4, …..
Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang: cần 9 × 1 = 9 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang: cần 90 × 2 = 180 chữ số Số chữ số còn lại là
645 – (9 + 180) = 456 (chữ số)
Số trang được đánh bằng số có 3 chữ số là 456 : 3 = 152 (trang)
Quyển sách có số trang là 9 + 90 + 152 = 251 (trang)
Đáp số: 251 trang
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Một bạn học sinh viết 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 1 ; 2 ; 3 ; ….
và tiếp tục như thế để được một dãy số. Em hãy tính xem số thứ 1996 của dãy số là
số nào?
Bài 2. Sách giáo khoa Toán 5 có 184 trang. Hỏi người ta đã dùng bao nhiêu lượt
chữ số để đánh số thứ tự các trang của cuốn sách đó?
Bài 3. Để đánh số thứ tự các trang của một cuốn sách, người ta đã dùng 216 lượt
chữ số. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang?
Lời Giải chi tiết:
Bài 1. Trong dãy số, bạn học sinh đã viết cứ 5 số thì lặp lại như cũ. Ta có: 1996 : 5
= 339 (dư 1)
Như thế bạn học sinh viết 339 lần các số 1, 2, 3, 4, 5 thì được:
5 × 339 = 1995 (số)
Vậy số thứ 1996 là số 1.
Bài 2. Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang: có 9 × 1 = 9 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang: có 90 × 2 = 180 chữ số

Từ trang 100 đến trang 184 có 85 trang: có 85 × 3 = 255 chữ số Vậy để đánh số
trang của quyển sách đó người ta phải dùng:
9 + 180 + 255 = 444 (chữ số)
Đáp số: 444 chữ số
Bài 3. Để đánh số trang của 1 cuốn sách, người ta phải viết liên tiếp các số tự
nhiên từ 1, 2, 3, 4, …..
Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang: cần 9 × 1 = 9 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang: cần 90 × 2 = 180 chữ số Số chữ số còn lại là
216 – (9 + 180) = 27 (chữ số)
Số trang được đánh bằng số có 3 chữ số là 27 : 3 = 9 (trang)
Quyển sách có số trang là 9 + 90 + 9 = 108 (trang)
Đáp số: 108 trang
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm quy luật rồi viết thêm 2 số hạng tiếp theo vào dãy số sau:
a)

1 ; 4 ; 9; 16 ; 25 ; 36 ; ….

b)

2 ; 12 ; 30 ; 56 ; 90 ; ….

c)

1 ; 5 ; 14 ; 33 ; 72 ; …..

Giải
a)

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; ….

Ta thấy: 1 = 1 × 1
4=2×2
9=3×3
16 = 4 × 4
25 = 5 × 5
36 = 6 × 6
Vậy hai số hạng tiếp theo là: 7 × 7 = 49 ; 8 × 8 = 64
b)

2 ; 12 ; 30 ; 56 ; 90 ; ….

Ta có: 2 = 1 × 2
12 = 3 × 4
30 = 5 × 6

56 = 7 × 8
90 = 9 × 10
Vậy hai số tiếp theo là: 11 × 12 = 132
13 × 14 = 182
Ta có dãy các số: 2 ; 12 ; 30 ; 56 ; 90 ; 132 ; 182 ;….
c)

1 ; 5 ; 14 ; 33 ; 72 ; …..

Ta thấy: 5 = 1 × 2 + 3
14 = 5 × 2 + 4
33 = 14 × 2 + 5
72 = 33 × 2 + 6
Vậy hai số hạng tiếp theo là 72 × 2 + 7 = 151
151 × 2 + 8 = 310
Bài 2. Tìm quy luật rồi viết thêm 3 số hạng tiếp theo vào dãy số sau:
a)

1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; 22 ; ….

b)

2 ; 6; 12 ; 20 ; 30 ; …..

c)

2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; 27 ; …

Giải
a)

1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; 22 ; ….

Quy luật: 1 + 1 = 2
2+2=4
4+3=7
7 + 4 = 11
11 + 5 = 16
16 + 6 = 22
Vậy hai số tiếp theo là 22 + 7 = 29
29 + 8 = 37
Ta có dãy số: 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; 22 ; 29 ; 37 ; ….
b)

2 ; 6; 12 ; 20 ; 30 ; …..

Quy luật: 2 = 1 × 2
6=2×3

12 = 3 × 4
20 = 4 × 5
30 = 5 × 6
Vậy hai số hạng tiếp theo là 6 × 7 = 42
7 × 8 = 56
Ta có dãy số: 2 ; 6; 12 ; 20 ; 30 ; 42 ; 56; …..
c)

2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; 27 ; …

Quy luật: 2 + 1 = 3
3+3=6
6 + 5 = 11
11 + 7 = 18
18 + 9 = 27
Vậy hai số số hạng tiếp theo của dãy số là 27 + 11 = 38
38 + 13 = 51
Ta có dãy số: 2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; 27 ; 38 ; 51 ; …
Bài 3. Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau:
a)

1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13; ….

b)

3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; …..

Giải
a)

1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13; ….

Quy luật: 4 = 1 + 3 × 1
7=1+3×2
10 = 1 + 3 × 3
13 = 1 + 3 × 4
………….
Số hạng thứ 50 của dãy số là 1 + 3 × 49 = 148
b)

3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; …..

Quy luật: 7 = 3 + 4 × 1
11 = 3 + 4 × 2
15 = 3 + 4 × 3

19 = 3 + 4 × 4
………..
Số hạng thứ 50 của dãu số là 3 + 4 × 49 = 199
Bài 4. Tìm số hạng thứ 40 của dãy số sau: 3 ; 8 ; 15 ; 24 ; 35 ; ….
Giải
Số hạng thứ nhất 3 = 1 × 3
Số hạng thứ hai

8=2×4

Số hạng thứ ba

15 = 3 × 5

Số hạng thứ tư

24 = 4 × 6

Số hạng thứ năm 25 = 5 × 7
………
Số hạng thứ 40 của dãy số là 40 × 42 = 1680.
Bài 5. Tìm số hạng thứ 20 của dãy số sau: 1 ; 3 ; 7 ; 13 ; 21 ; 31 ; ….
Giải
Số thứ nhất 1 = 1 + 0 × 1
Số thứ hai

3=1+1×2

Số thứ ba

7=1+2×3

Số thứ tư

13 = 1 + 3 × 4

Số thứ năm 11 = 1 + 4 × 5
Số thứ sáu 31 = 1 + 5 × 6
……
Số thứ 20 của dãu số là 1 + 19 × 20 = 381
Bài 6. Cho dãy số 6, 7, 9 , 12 , 16, …. Tìm số hạng thứ 50 của dãy số trên?
Giải
Quy luật: 7 = 6 + 1
9=6+1+2
12 = 6 + 1 + 2 + 3
16 = 6 + 1 + 2 + 3 + 4
Số thứ 50 là 6 + 1 + 2 + 3 + … + 49
6 + 1 + 2 + 3 + … + 49 = 6 + (1 + 49) × 49 : 2 = 1231

Bài 7. Cho dãy số: 1 ; 7 ; 13 ; 19 ; …
a)

Nêu quy luật của dãy số rồi viết 3 số hạng tiếp theo.

b)

Trong 2 số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?

Giải
a)

Ta có: 7 = 1 + 6

13 = 7 + 6
19 = 13 + 6
…………
Như vậy, dãy số trên là dãy số cách đều 6 đơn vị. Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ
hai bằng số liền trước nó cộng với 6.
3 số hạng tiếp theo trong dãy số là: 19 + 6 = 25
25 + 6 = 31
31 + 6 = 37
Ta có dãy số 1 ; 7 ; 13 ; 19 ; 25 ; 31 ; 37 ; ….
b) Các số hạng của dãy số đều chia 3 dư 1.
Số 1999 chia 3 dư 1 nên 1999 thuộc dãy số trên.
Số 2001 chia hết cho 3 nên 2001 không thuộc dãy số trên.
Bài 8. Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; …. Hỏi số 1996 là số hạng thứ
mấy của dãy này ? Giải thích cách tìm.
Giải
Dãy trên là dãy số chẵn cách đều 2 đơn vị nên số 1996 là số hạng thứ 1996 : 2 =
998 Vậy số 1996 là số hạng thứ 998 của dãy số trên.
Bài 9. Cho dãy các số lẻ liên tiếp : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …. Hỏi số hạng thứ 2007 trong dãy
là số nào ? Giải thích cách tìm.
Giải
Số hạng thứ 2007 trong dãy là (2007 – 1) × 2 + 1 = 4013
Bài 10. Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153, ...
Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
Giải
Nhận xét :

Số hạng thứ hai : 18 = 3 + 15 × 1
Số hạng thứ ba : 48 = 3 + 15 × 1 + 15 × 2
Số hạng thứ tư: 93 = 3 + 15 × 1 + 15 × 2+ 15 × 3
Số hạng thứ năm : 153 = 3 + 15 × 1 + 15 × 2 + 15 × 3 + 15 × 4 Vậy số hạng thứ
100 là
3 + 15 × 1 + 15 × 2 + … + 15 × 99
= 3 + 15 × (1 + 2 + 3 + … + 99)
= 3 + 15 × (1 + 99) × 99 : 2 =74253
Bài 11: Viết các số chẵn bắt đầu từ 2. Số cuối cùng là 938. Dãy số có bao nhiêu số?
Giải
Số các số chẵn từ 2 đến 938 là (938 – 2) : 2 + 1 = 469 (số)
Bài 12. Cho dãy số 1, 5, 9, 13, ..., 2005. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng?
Giải
Dãy số đã cho là dãy số cách đều 4 đơn vị.
Số số hạng của dãy trên là (2005 – 1) : 4 + 1 = 8017 (số)
Bài 13: Tính nhanh các tổng sau:
a, 3 + 6 + 9 +... + 147 + 150.
b, 11 + 13 + 15 +... + 1999.
c) 1 + 4 + 9 + 16 + …. + 169
Giải
a) Số số hạng của dãy số là (150 – 3) : 3 + 1 = 50 (số)
Tổng của dãy số là (150 + 3) × 50 : 2 = 3825
b) Số số hạng của dãy số là (1999 – 11) : 2 + 1 = 995 Tổng của dãy số là (1999
+ 11) × 995 : 2 = 999975
c) Số số hạng của dãy số là (169 – 1) : 3 + 1 = 57 (số) Tổng của dãy số là (169
+ 1) × 57 : 2 = 4845
Bài 14: Người ta viết TOÁNTUỔITHƠ thành một dãy, mỗi chữ cái được viết bằng
1 màu theo thứ tự xanh, đỏ, vàng. Hỏi chữ thứ 2000 là chữ gì, màu gì?
Giải
Ta thấy trong nhóm chữ TOÁNTUỔITHƠ có 11 chữ cái. Mà 2000 : 11 = 181 (dư
9)

Khi đó ta được 181 nhóm chữ TOÁNTUỔITHƠ và dư 9 chữ cái là TOÁNTUỔIT
Vậy chữ cái thứ 2000 là chữ T.
Lại có 2000 : 3 = 666 (dư 2)
Vậy những chữ cái trong dãy có số thứ tự là số chia 3 dư 2 thì được tô màu đỏ.
Vậy chữ cái thứ 2000 là chữ T và được tô màu đỏ.
Bài 15: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAM HOC CHAM LAM thành dãy
CHAMHOCCHAMLAM CHAMHOCCHAMLAM...
a, Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?
b, Nếu người ta đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được bao nhiêu chữ
A?
c, Một người đếm được trong dãy có 1996 chữ C. Hỏi người đó đếm đúng hay sai?
Giải thích tại sao?
d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy đó theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng,
nâu, xanh, đỏ, tím, vàng, nâu, …. Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy được tô
màu gì?
Giải
a) Ta thấy trong nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM có 14 chữ cái. Mà 1000 :
14 = 71 (dư 6)
Khi đó ta được 71 nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM và dư 6 chữ cái là
CHAMHO Vậy chữ cái thứ 1000 là chữ O.
b) Trong mỗi nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM có 3 chữ H và 3 chữ A
Nếu người ta đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được có 1200 chữ A.
c) Ta thấy mỗi nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM có 3 chữ C. Mà 1996 : 3 =
665 (dư 1)
Nên người đó đếm sai vì số chữ C trong dãy phải chia hết cho 3.
d) Mỗi nhóm màu gồm 5 màu xanh, đỏ, tím, vàng, nâu
Ta có 2007 : 5 dư 2 nên chữ cái thứ 2007 được tô màu đỏ.
Bài 16. Trong một kỳ thi có 327 thí sinh dự thi. Hỏi người ta phải dùng bao nhiêu
lượt chữ số để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi?
Giải
Từ 1 đến 9 gồm 9 số ứng với 9 × 1 = 9 chữ số
Từ 10 đến 99 gồm 90 số ứng với 90 × 2 = 180 chữ số
Từ 100 đến 327 có 228 số ứng với 228 × 3 = 684 chữ số

Vậy để đánh số báo danh của 327 thí sinh người ta phải dùng: 9 + 180 + 684 = 873
(chữ số)
Đáp số: 873 chữ số
Bài 17. Để đánh số trang một quyển truyện người ta phải dùng tất cả 1242 chữ số.
Hỏi quyển truyện dày bao nhiêu trang?
Giải
Để đánh số trang của 1 cuốn sách, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1,
2, 3, 4, …..
Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang: cần 9 × 1 = 9 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang: cần 90 × 2 = 180 chữ số Số chữ số còn lại là
1242 – (9 + 180) = 1053 (chữ số)
Số trang được đánh bằng số có 3 chữ số là 1053 : 3 = 351 (trang)
Quyển sách có số trang là 9 + 90 + 351 = 450 (trang)
Đáp số: 450 trang
Bài 18. Trường Tiểu học Minh Khôi có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh
trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số?
Giải
Từ 1 đến 9 gồm 9 số ứng với 9 × 1 = 9 chữ số
Từ 10 đến 99 gồm 90 số ứng với 90 × 2 = 180 chữ số
Từ 100 đến 987 có 888 số ứng với 888 × 3 = 2664 chữ số Vậy để ghi số thứ tự của
987 học sinh người ta phải dùng:
9 + 180 + 2664 = 2853 (chữ số)
Đáp số: 2853 chữ số
Bài 19. Trong một kỳ thi học sinh giỏi lớp 5, để đánh số báo danh cho các thí sinh
dự thi người ta phải dùng 516 lượt chữ số. hỏi kỳ thi đó có bao nhiêu thí sinh tham
dự?
Giải
Từ 1 đến 9 có 9 số ứng với 9 × 1 = 9 chữ số
Từ 10 đến 99 có 90 số ứng với: 90 × 2 = 180 chữ số Số chữ số còn lại là
516 – (9 + 180) = 327 (chữ số)
Số thí sinh có số báo danh là số có 3 chữ số là 327 : 3 = 109 (thí sinh)

Kì thi có số thí sinh tham dự là 9 + 90 + 109 = 208 (thí sinh)
Đáp số: 208 thí sinh