TIẾT 16-17-18 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Nhận biết hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cân xiên của
đồ thị hàm số.
- Xác định được các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số đơn giản.
2. Năng lực
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, đưa ra lập luận trong quá trình hình thành khái
niệm và các định lí, tính chất; thực hành và vận dụng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Mô hình hóa toán học: Sử dụng được kiến thức về đường tiệm cận để mô hình hóa và giải quyết một số
bài toán có yếu tố thực tiễn.
- Giải quyết vấn đề toán học: tìm đường tiệm cận của đồ thị.
- Giao tiếp toán học: đọc, hiểu, trao đổi thông tin toán học.
- Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
3. Phẩm chất
- Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các
thành viên khi hợp tác.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của
GV.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
TIẾT 16
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu:
– Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học thông qua bài toán về số dân của một thị trấn được
ước tính bởi hàm số phân thức hữu tỉ.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.

d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
– GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Số dân của một thị trấn sau xnăm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức y=f(x)=
được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020).

26 x+10
(f(x)
x+5

Xem y = f(x) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0;+∞∞] đồ thị của hàm số đó là đường cong màu
xanh ở Hình 10.

Khi x→+∞, x→+∞, đồ thị hàm số y = f(x) ngày càng “tiến gần” tới đường thẳng nào?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới.
“Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu về các đường thẳng như trên, cách xác định các đường thẳng
đó đối với một số dạng hàm số cơ bản”.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: I. Đường tiệm cận ngang
a) Mục tiêu:
- Nhận biết hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang.
- Xác định được đường tiệm cận ngang (nếu có) của đồ thị hàm số đơn giản.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt
động 1, luyện tập 1, ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS nhận biết
khái niệm tiệm cận ngang, xác định được tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

I. Đường tiệm cận ngang

– GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi HĐ 1.

Định nghĩa

– GV giới thiệu tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
trong HĐ 1.

Từ đó cho HS khái quát, nêu định nghĩa tiệm cận
ngang.
+ Nhấn mạnh: có thể có 2 tiệm cận ngang khác
nhau.

Nhận xét: (SGK –tr.22)

– GV đặt câu hỏi: y= y0. là tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số y = f(x).
Lấy điểm M(x; y) thuộc đồ thị hàm số. Gọi MH là
khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 
y= y0. Khi đó, độ dài MH tiến tới bao nhiêu
khi x→+∞ hay x→-∞?
– GV hướng dẫn HS làm Vdụ 1, Luyện tập 1.
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính Lìm(x) khi x→+∞ hay x→−∞

Ví dụ 1 (SGK –tr.22)

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Hướng dẫn giải: SGK – tr.22

– HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến
thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

Luyện tập 1
Vậy đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số đã cho.

– GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
– HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
– Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu
ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép
đầy đủ vào vở.
Hoạt động 2: II. Đường tiệm cận đứng
Hoạt động 2.1: Khám phá

a) Mục tiêu: HS khám phá khái niệm và hình ảnh của TCĐ.
b) Nội dung: GV yêu cầu HS nhắc lại quy tắc tính giới hạn vô cực, quan sát Hình 12 trong SGK và
thực hiện HĐKP 2.
c) Sản phẩm: HS áp dụng được quy tắc tính giới hạn vô cực, giới hạn một phía, nhận xét được độ
dài MH càng nhỏ dần về 0 khi x tiến đến 0 từ hai phía và trả lời được các câu hỏi ở HĐKP 2.
Cho y= f(x) ¿

1
. Khi đó : x→ 0
x

lim

+¿

1
=+∞ ;
x

lim
x →0

−¿

1
=−∞ ¿
x

¿¿

¿
.

d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập:
– GV yêu cầu HS nhắc lại các quy tắc giới hạn vô cực và cách tính giới hạn một phía và hoạt động cá
nhân thực hiện HĐKP 2.
– GV yêu cầu HS đọc phần KTTT, GV nhấn mạnh từ “ít nhất” trong định nghĩa và giải thích Hình 12
trong SGK để nhận dạng hình ảnh TCĐ của đồ thị hàm số.

– GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 2, qua đó HS hiểu rõ hơn cách tìm TCĐ của hàm số bằng định
nghĩa và bằng cách quan sát đồ thị. GV chỉ ra phần Chú ý hai đồ thị ở Hình 13 trong SGK.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: HS thực hiện theo yêu cầu của GV để tìm hiểu khái niệm và
hình ảnh của TCĐ.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: GV gọi hai HS lên bảng trình bày kết quả của HĐKP 2.
Các HS còn lại lắng nghe và đưa ra nhận xét.
 Kết luận nhận định: Thông qua HĐKP và hình ảnh minh hoạ, HS đã hình dung được định nghĩa
TCĐ của đồ thị hàm số.
Định nghĩa

Hoạt động 2.2: Thực hành
a) Mục tiêu: Hình thành phương pháp tìm TCĐ của đồ thị hàm số trên tập xác định của hàm số bằng
cách tính giới hạn một phía, quy tắc giới hạn vô cực.
b) Nội dung: GV yêu cầu HS chỉ ra tập xác định của hàm số ở câu a, b. Dựa vào Ví dụ 2, HS hoạt động
cá nhân thực hiện HĐTH 2.
c) Sản phẩm:


Ví dụ 2, Tập xác định
Ta có



.
;

. Suy ra x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

HĐTH 2. Tập xác định
Ta có

lim

+¿

x→ 5 f ( x )=+∞ ¿

¿;

d) Tổ chức thực hiện:

.

lim

−¿

x→ 5 f ( x ) =− ∞ ¿

¿ . Suy ra x = 5 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV chia lớp thành bốn nhóm. Nhóm 1, nhóm 2 làm Ví dụ 2,.
Nhóm 3, nhóm 4 làm HĐTH 2. Các nhóm tiến hành thảo luận, trình bày lời giải vào bảng phụ. GV có thể
hỏi thêm để làm sáng tỏ ý “ít nhất” trong nội dung KTTT.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Các nhóm trao đổi thống nhất ý kiến viết lời giải vào bảng phụ.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: Các nhóm dán bảng phụ lên bảng, đại diện từng nhóm trình
bày. Các HS chú ý theo dõi đặt ra những câu hỏi để làm sáng tỏ vấn đề.
 Kết luận nhận định: Các nhóm nỗ lực làm bài hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao, giải quyết
được bài toán tìm TCĐ của đồ thị hàm số.
TIẾT 17: ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
III. Đường tiệm cận xiên
a) Mục tiêu: HS khám phá khái niệm và hình ảnh của TCX.
b) Nội dung: GV yêu cầu HS quan sát Hình 15 trong SGK và trả lời câu hỏi ở HĐKP 3.
c) Sản phẩm:

1.

.

2. Đường thẳng y=x+1 gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x+1+
3. Định nghĩa:

4. Các ví dụ 4 (trang 25), 5,6 (trang 26).
d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập:
– GV yêu cầu HS quan sát Hình 15 trong SGK và thực hiện HĐKP 3.
– GV yêu cầu HS đọc phần KTTT, GV nhấn mạnh từ “hoặc” trong định nghĩa và giải thích Hình 16
trong SGK để nhận dạng hình ảnh TCX của đồ thị hàm số.
– GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 4 để HS hiểu rõ hơn cách tìm TCX của đồ thị hàm số bằng định
nghĩa
– GV nhận xét cách tìm các hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên theo công thức
hoặc của phần chú ý trang 25
– GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 4 để HS hiểu rõ hơn cách tìm TCX của đồ thị hàm số bằng cách tìm
hệ số a, b và chú ý cho HS đồ thị của hàm số ở Ví dụ 4 như Hình 16 trong SGK.
– GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 5 trang 26, qua đó HS hiểu rõ hơn cách tìm TCX của đồ thị hàm số
bằng định nghĩa.
– GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 6 trang 26, qua đó HS hiểu rõ hơn cách tìm TCX của đồ thị hàm số
bằng định nghĩa và bằng cách quan sát đồ thị.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: HS thực hiện theo yêu cầu của GV để tìm hiểu khái niệm và
hình ảnh của TCX.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: GV gọi hai HS lên bảng trình bày kết quả của HĐKP 3.
Các HS còn lại lắng nghe và đưa ra nhận xét.
 Kết luận nhận định: Thông qua hình ảnh minh hoạ, HS đã hình dung được định nghĩa TCX của
đồ thị hàm số.
C. HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH

26.

a) Mục tiêu: Hình thành phương pháp tìm TCX của đồ thị hàm số trên tập xác định của nó.
b) Nội dung: GV yêu cầu HS thảo luận nhóm để thực hiện HĐTH3 sgk trang 25 và HĐTH4 trang
c) Sản phẩm:
Hoạt động Thực hành 3 trang 25
Tập xác định
Ta có

.

.
Hoặc ta cũng có

;

Suy ra đường thẳng

là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Hoạt động Thực hành 4 trang 26
Tập xác định

.

Ta có

. Và
Suy ra đường thẳng

là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV chia lớp thành bốn nhóm. Nhóm 1, nhóm 2 làm HĐTH3.
Nhóm 3, nhóm 4 làm HĐTH 4. Các nhóm tiến hành thảo luận, trình bày lời giải vào bảng phụ. GV có thể
hướng dẫn thêm một cách tìm TCX bằng cách chia đa thức.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Các nhóm trao đổi thống nhất ý kiến viết lời giải vào bảng phụ.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: Các nhóm dán bảng phụ lên bảng, đại diện từng nhóm trình
bày. Các HS chú ý theo dõi đặt ra những câu hỏi để làm sáng tỏ vấn đề.
 Kết luận nhận định: Các nhóm nỗ lực làm bài và hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao, giải quyết
được bài toán tìm TCX của đồ thị hàm số.
D. VẬN DỤNG – NHIỆM VỤ VỀ NHÀ
– Xem lại cách tìm TCĐ, TCX, TCN của đồ thị hàm số trên tập xác định.
– Hoàn thành bài tập 1, 2, 3, 4, 5.
-----------------------------------TIẾT 18 : BÀI TẬP
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
HOẠT ĐỘNG 1 : TRẮC NGHIỆM
a) Mục tiêu: Giúp HS củng cố kiến thức trong bài tiệm cận và rèn luyện khả năng làm bài tập trắc
nghiệm.
b) Nội dung: Câu hỏi trắc nghiệm Bài tập 1, 2 trang 27
c) Sản phẩm: 1.A; 2.B
d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV yêu cầu HS đọc đề và trả lời các câu trắc nghiệm.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: HS tiến hành đọc đề và giải các câu trắc nghiệm câu 1 phương
pháp tìm tiệm cận đứng; câu 2 phương pháp tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: HS thực hiện cá nhân, đứng tại chỗ phát biểu đáp án
câu 1, 2và lên bảng giải thích. HS khác nhận xét.

 Kết luận, nhận định: GV nhận xét, đánh giá bài làm của HS và nêu đáp án đúng.
GV kết luận: HS cần nắm vững được các lí thuyết về phương pháp tìm đường tiệm cận ngang, đường
tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
HOẠT ĐỘNG 2 : Nối câu
a) Mục tiêu: Củng cố kỹ năng nhìn đồ thị.
b) Nội dung: Bài tập 3 trang 27
c) Sản phẩm: Nối Hình 18a với câu c). Nối Hình 18b với câu a)
d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV yêu cầu HS đọc đề và trả lời .
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: HS tiến hành đọc đề và giải dựa trên các kiến thức về: quan sát
hình ảnh hình học của đồ thị hàm số để giải câu 3 .
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: 2 HS trình bày. HS khác nhận xét.
 Kết luận, nhận định: GV nhận xét, đánh giá bài làm của HS và nêu đáp án đúng.
GV kết luận: HS cần nắm vững được các lí thuyết về phương pháp tìm đường tiệm cận ngang, đường
tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số để giải câu 3
HOẠT ĐỘNG 3: BÀI TẬP TỰ LUẬN
a. Mục tiêu: Nhận biết và mô tả được hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận
đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b) Nội dung: Bài tập 4 và 5 trang 27
c) Sản phẩm:.
Bài tập 4 trang 27
a) Tập xác định: D=R∖{2}.

Ta có: 
Mặt khác, 
và
Vậy  y=−1 và x=2 lần lượt là đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Tập xác định: D=R∖{1}.

Ta có

và

. Mặt khác, 

Xét 

Vậy x=1 và y=2x−1 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm
c) Tập xác định: D=R∖{0}.

Ta có

và

. Mặt khác

Vậy x=0 và y=x−3 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 

.

Bài tập 5 trang 27

a) Ta có: 
Vậy đường thẳng y=1000 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số S(x)
b) Khi x đủ lớn thì số lượng sản phẩm bán được trong x tháng sẽ gần đạt được 1000 sản phẩm
d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV yêu cầu HS đọc đề và trả lời .
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: HS tiến hành đọc đề và giải dựa trên các kiến thức về: quan sát
hình ảnh hình học của đồ thị hàm số để giải câu 4 và 5. .
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: 2 HS trình bày. HS khác nhận xét.
 Kết luận, nhận định: GV nhận xét, đánh giá bài làm của HS và nêu đáp án đúng.
D. VẬN DỤNG – NHIỆM VỤ VỀ NHÀ
Chuẩn bị bài Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số