TIẾT 19 -25 BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU                    
1. Về kiến thức
Sau bài học này, HS sẽ:



Mô tả sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm
tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị của

các hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0);
(c ≠ 0, ad – bc ≠ 0);
(a ≠
0, m ≠ 1 đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).
 Nhận biết được tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm số trên.
 Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
2. Về năng lực
2. Về năng lực
2.1. Năng lực chung:
– Tự chủ và tự học: HS tự chuẩn bị bài ở nhà, trả lời được những câu hỏi ở các HĐKP.
– Giao tiếp và hợp tác: HS hoạt động nhóm thông qua việc khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cơ bản.
2.2. Năng lực Toán học:
– Giải quyết vấn đề toán học: Giải bài toán thực tế về việc đọc đồ thị xác định vận tốc trung bình để
lái xe tiết kiệm xăng nhất. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cơ bản tìm ra số mét vải cần sản xuất và bán ra
để tối ưu lợi nhuận của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm.
– Tư duy và lập luận toán học: sử dụng thành thạo các bước khảo sát, vẽ đồ thị các hàm số cơ bản,
đọc được thông tin từ đồ thị để giải các HĐTH.
3. Về phẩm chất
– Chăm chỉ: Có chuẩn bị bài trước ở nhà, chuẩn bị các công thức, quy tắc tính đạo hàm, các bước
tìm TCĐ, TCN, TCX của đồ thị hàm số, các bước tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số; tham gia
tốt hoạt động nhóm.
– Trung thực: HS thừa nhận và học tập các kết quả đúng của các bạn thông qua các hoạt động giải
các bài tập luyện tập, thực hành, vận dụng.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU 
1. Đối với GV:  SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học, laptop, ppt.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết
bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
TIẾT 19
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu: Gợi động cơ, tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện: 
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: 
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sống được tính theo công thức

Trong đó Q tính theo m3//phút, t  tính theo phút, 0≤ t ≤20.  Khi lưu lượng nước của son sông lên
đến 550m3/ phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

Trong thời gian theo dõi, lưu lượng của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra
vào thời điểm nào?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành
yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Gợi ý đáp án:
Xét hàm số Q(t) với t∈[0;20]; t∈[0;20].
Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0; 20] như sau:

+) Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m3/phút, tức là Q(t) =

550 ⇔
Lại có t ∈ [0; 2] nên t = 15 hoặc t = 5 +  5√ 7 57.
Vậy nếu cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m3/phút và nước
đang đà dâng lên thì sẽ được cảnh báo tại t = 15 phút.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học
mới: “Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một
số hàm số thường gặp.”
Bài mới: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN
B. KHÁM PHÁ – THỰC HÀNH – VẬN DỤNG
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
Hoạt động 1: Khám phá
a) Mục tiêu: HS biết được các bước khảo sát hàm số.
b) Nội dung:; Yêu cầu HS thực hiện Hoạt động 1 trang 28
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x2 – 2x – 3.
c) Sản phẩm: Lời giải:
● Tập xác định của hàm số đã cho là ℝ.
● Ta có y' = 2x – 2; y' = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:

● Vẽ đồ thị hàm số:
Hàm số y = x2 – 2x – 3 là hàm số bậc hai nên đồ thị của nó là một parabol có:
+ Đỉnh I(1; – 4);
+ Giao với trục hoành tại các điểm A(3; 0) và B(– 1; 0);
+ Giao với trục tung tại điểm C(0; – 3).
Ta vẽ được đồ thị hàm số đã cho như sau:

d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập:
– GV yêu cầu HS tìm tập xác định, tính đạo hàm, tính các giới hạn ở vô cực của hàm số, tìm điểm
cực trị của hàm số, tìm giao điểm với các trục toạ độ, lập bảng biến thiên, trục đối xứng và vẽ đồ
thị. Từ đó nêu các bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: HS quan sát, thảo luận và thực hiện các yêu cầu của GV.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: GV gọi một hoặc hai HS lên bảng trình bày HĐKP.
Các HS còn lại quan sát và nhận xét kết quả.
 Kết luận nhận định: Thông qua kết quả làm được, HS đã hình dung được các bước khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số cơ bản.
II. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
Hoạt động 2: Thực hành
a) Mục tiêu: HS nắm được cách khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0).
b) Nội dung: GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 2. Sau đó, yêu cầu HS thực hiện Luyện tập 2
trang 30 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) y = – x3 + 3x – 2; b) y = x3 +
3x2 + 3x + 1
c) Sản phẩm: Lời giải:
Câu a) y = – x3 + 3x – 2
1) Tập xác định: ℝ.
2) Sự biến thiên:
● y' = – 3x2 + 3 = – 3(x2 – 1);
y' = 0 ⇔ – 3(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1.
● Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (– 1; 1), nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (1; + ∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1, yCT = – 4.
3) Đồ thị
● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 2).
● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Xét phương trình – x3 + 3x – 2 = 0 ⇔ – (x – 1)2(x + 2) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 2.
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (1; 0) và (– 2; 0).
● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (0; – 2), (1; 0) và (– 1; – 4).

Vậy đồ thị hàm số y = – x3 + 3x – 2 được cho như hình trên.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(0; – 2).
Câu b) y = x3 + 3x2 + 3x + 1
1) Tập xác định: ℝ.
2) Sự biến thiên:
● y' = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2; y'  ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ; y' = 0 khi x = – 1.
● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞). Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).
● Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Giải x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 được x = – 1. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm (– 1; 0).
● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 0), (0; 1), (– 2; – 1).

Vậy đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 1 được cho như hình vẽ trên.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(– 1; 0).
TIẾT 20
III. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

(c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)

Hoạt động 2.1: Thực hành
a) Mục tiêu: HS biết các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

(c  0, ad – bc  0).

b) Nội dung: GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 3, Ví dụ 4. Sau đó, GV chia nhóm và yêu cầu HS
thực hiện các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số như trong hai ví dụ trên. HS thực hiện Luyện tập
1/29: 

c) Sản phẩm: Lời giải:
1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.
2) Sự biến thiên
● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).
● Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0).
● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 1), (1; 0), (– 2; 3) và (– 3; 2).
● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và
nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Hoạt động 2.2: Luyện tập 3 trang 31 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ
Lời giải:
1) Tập xác định: ℝ \ {2}.

2) Sự biến thiên
● Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞). Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 3). Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (– 3; 0).
● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 3), (– 3; 0), (4; – 7) và (7; – 4).
● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và
nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Hoạt động 2.2: Luyện tập 4 trang 32 :
1) Tập xác định: ℝ \ {2}.
2) Sự biến thiên: Bảng biến thiên:

Lời giải:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞). Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
● Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; −32)0; -32.
● Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (3; 0).
● Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; −32)0; -32, (3; 0), (1; – 2) và (52; 1)52; 1.
● Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và
nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số y = x − 3−x + 2y = x - 3-x + 2 được cho ở hình trên.
d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV chia lớp thành ba nhóm, mỗi nhóm hoàn thành 1 câu của
HĐTH 2. Các nhóm tiến hành thảo luận, trình bày lời giải vào bảng phụ.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Các nhóm trao đổi thống nhất ý kiến viết lời giải vào bảng phụ.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: Các nhóm dán bảng phụ lên bảng, đại diện từng nhóm
trình bày. Các HS chú ý theo dõi đặt ra những câu hỏi để làm sáng tỏ
vấn đề.
 Kết luận nhận định: Các nhóm nỗ lực làm bài và hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao, giải quyết
được bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm
C. NHIỆM VỤ
– Xem lại các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản.

– Hoàn thành bài tập 1, 2 SGK


Chuẩn bị bài Khảo sát hàm số
thức mẫu)

(a  0, m  0, đa thức tử không chia hết cho đa

TIẾT 21
III. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

2. Khảo sát hàm số
mẫu)

(a  0, m  0, đa thức tử không chia hết cho đa thức

Hoạt động : Thực hành

a) Mục tiêu: HS biết các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
m  0, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).

(a 0,

b) Nội dung: GV trình bày Ví dụ 5, Ví dụ 6 và chú ý đồ thị hàm số
.
,
đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
làm tâm đối xứng; Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên
làm trục đối xứng. GV chia nhóm và yêu cầu HS thực hiện HĐTH5 và HĐTH6 theo các bước khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số như trong hai ví dụ trên.
c) Sản phẩm:
HĐTH5 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định:
Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên: Đạo hàm
khoảng

và

Vì

với mọi

nên hàm số đồng biến trên mỗi

.

– Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có

.

Ta có
thị hàm số.

, suy ra

Ta có
đồ thị hàm số.

, suy ra

là tiệm cận đứng của đồ

là tiệm cận xiên của

– Bảng biến thiên:
x

–

0

+

y'

+

y

+

–

+

+

–

Đồ thị:
Đồ thị của hàm số giao với trục
(1; 0).

tại hai điểm (–1; 0),

Đồ thị của hàm số được biểu diễn như hình vẽ. Tâm đối
xứng của đồ thị là gốc toạ độ . Các trục đối xứng của
đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường tiệm cận
và

HĐTH6 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Tập xác định
– Chiều biến thiên: Đạo hàm
Ta có
hoặc
.
Trên các khoảng (–∞; –2) và (0; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Trên các khoảng (–2; –1) và (–1; 0), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
– Cực trị: hàm số đạt cực tiểu tại

và

; hàm số đạt cực đại tại x = 0 và

.

– Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có

.

Ta có

, suy ra đường thẳng
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

, suy ra đường

thẳng

là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

– Bảng biến thiên:
x
y'
y

–
–
+

–2
0

–1
+

+
+

0
0
1

+
–

5

–

–

Đồ thị:
Ta có

hoặc
. Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại

hai điểm

,

.

Đồ thị của hàm số được biểu diễn như hình vẽ. Tâm đối xứng của đồ thị là
xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận

. Các trục đối
và

HĐTH7 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định:

– Chiều biến thiên: Đạo hàm

Vì

nghịch biến trên mỗi khoảng

và

với mọi

nên hàm số

.

– Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có

.

Ta có
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

, suy ra đường thẳng

Ta có

, suy ra đường thẳng
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

– Bảng biến thiên:
x
y'

–
–
+

+

–1
–
+

y
–

–

Đồ thị:
Ta có

hoặc
. Vậy đồ thị của hàm số giao với trục

tại hai điểm

,

.

Đồ thị của hàm số được biểu diễn như hình vẽ.
Tâm đối xứng của đồ thị là I(–1; 1). Các trục đối
xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các
góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = –1 và y = –x.

d) Tổ chức thực hiện:
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV chia lớp thành ba nhóm, mỗi nhóm thực hiện một câu
trong HĐTH 3. Các nhóm tiến hành thảo luận, trình bày lời giải vào bảng phụ.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Các nhóm trao đổi thống nhất ý kiến viết lời giải vào bảng phụ.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: Các nhóm dán bảng phụ lên bảng, đại diện từng
nhóm trình bày. Các HS chú ý theo dõi đặt ra những câu hỏi để làm sáng tỏ vấn đề.
 Kết luận nhận định: Các nhóm nỗ lực làm bài và hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao.
TIẾT 22
IV. Ứng đụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực
tiễn
Đạo hàm là một khái niệm toán học xuất phát từ nhiều vấn đề trong khoa học, kĩ thuật và công
nghệ. Vì thế đạo hàm và khảo sát hàm số là một công cụ quan trọng để giải quyết một số bài toán
trong thực tiễn.
Hoạt động : Vận dụng thực tiễn


Mục tiêu: HS hiểu rõ hơn các vận dụng của đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết bài toán
liên quan đến thực tiễn trong những lĩnh vực khác nhau như kinh tế, khoa học, kĩ thuật, …



Nội dung: GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ 9 sgk qua đó HS hiểu rõ hơn các
vận dụng của đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến thực tiễn
trong những lĩnh vực khác nhau như kinh tế, khoa học, kĩ thuật, … GV chia nhóm và yêu cầu
HS thực hiện Ví dụ 10 Luyện tập 7 trang 41 Toán 12 Tập 1

 Sản phẩm:
Ví dụ 10 . Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1 ≤ x ≤ 18).
Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa (tính bằng nghìn đồng) được cho bởi hàm chi phí:
C(x) = x3 – 3x2 – 20x + 500.
Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét.
Gọi B(x) là số tiền bán được và L(x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa.
a) Hãy viết biểu thức tính B(x) và L(x) theo x.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = L(x) trên [1; 18].

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi
nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.
Hướng dẫn giải
a) Khi bán x mét vải lụa:
- Số tiền thu được là: B(x) = 220x (nghìn đồng).
- Lợi nhuận thu được là: L(x) = B(x) – C(x) = – x3 + 3x2 + 240x – 500 (nghìn đồng).
b) Hàm số L(x) xác định trên [1; 18].
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
- Đạo hàm L'(x) = – 3x2 + 6x + 240; L'(x) = 0 ⇔ x = 10 hoặc x = – 8 (loại).
- Trên khoảng (1; 10), L'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
- Trên khoảng (10; 18), L'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
+ Cực trị: Hàm số L(x) đạt cực đại tại x = 10 và LCĐ = L(10) = 1 200.
+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (10; 1 200) và đi qua các điểm (1; – 258), (18; – 1 040) như hình
dưới đây.

c) Quan sát đồ thị hàm số L(x), ta nhận thấy khi x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 200.
Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối
đa. Lợi nhuận tối đa này là 1 200 nghìn đồng (1,2 triệu đồng).
Luyện tập 7 trang 41: Trong Ví dụ 9, góc dốc của con đường trên đoạn [– 1 000; 1 000] lớn nhất
tại điểm nào?
Lời giải:
Xét hàm số f(x) = 

với x ∈ [– 1 000; 1 000].

Ta có f'(x) = 
Trên đoạn (– 1 000; 1 000), f'(x) = 0 khi x =


Tổ chức thực hiện:
1. GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV chia lớp thành 4 nhóm, nhóm 1,2 thực hiện Ví du
10 . Nhóm 3,4 Luyện tập 7 trang 41 Các nhóm tiến hành thảo luận, trình bày lời giải vào
bảng phụ.
2. HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Các nhóm trao đổi thống nhất ý kiến viết lời giải vào bảng
phụ.
3. Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: Các nhóm dán bảng phụ lên bảng, đại diện từng
nhóm trình bày. Các HS chú ý theo dõi đặt ra những câu hỏi để làm sáng tỏ vấn đề.
4. Kết luận nhận định: Các nhóm nỗ lực làm bài và hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao.

C. NHIỆM VỤ
– Xem lại các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản.
– Hoàn thành bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 SGK trang 36.
TIẾT 23 HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Mục tiêu: Rèn luyện kĩ năng khảo sát hàm số.
Nội dung: HS thực hiện các bài tập cuối bài trong SGK.
Sản phẩm: Lời giải của các bài tập cuối bài.
Bài 5 trang 43 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2x3 – 3x2 + 1; b) y = – x3 + 3x2 – 1; d) y = – x3 + 3x2 – 3x + 2;
Lời giải:
a) y = 2x3 – 3x2 + 1
1) Tập xác định: ℝ.
2) Sự biến thiên:
• y' = 6x2 – 6x;
y' = 0 ⇔ 6x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞); nghịch biến trên khoảng (0; 1).  
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 1).
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Giải phương trình 2x3 – 3x2 + 1 = 0 ta được x = −12-12 hoặc x = 1.
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm (−12; 0)-12; 0, (1; 0).
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 0), (0; 1), (−12; 0)-12; 0, (– 1; – 4) và (12;12)12;12.

Vậy đồ thị hàm số y = 2x3 – 3x2 + 1 được cho như hình vẽ trên.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(12;12)12;12.
b) y = – x3 + 3x2 – 1
1) Tập xác định: ℝ.
2) Sự biến thiên:
• y' = – 3x2 + 6x;
y' = 0 ⇔ – 3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 2); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = – 1.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Giải phương trình – x3 + 3x2 – 1 = 0, ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại 3 điểm.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 3), (0; – 1), (1; 1), (2; 3) và (3; – 1).  

Vậy đồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 – 1 được cho như hình vẽ trên.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).
d) y = – x3 + 3x2 – 3x + 2
1) Tập xác định: ℝ.
2) Sự biến thiên:
• y' = – 3x2 + 6x – 3 = – 3(x – 1)2 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;
y' = 0 khi x = 1.
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞).
Hàm số không có cực trị.  
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
Giải phương trình – x3 + 3x2 – 3x + 2 = 0 ta được x = 2.

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).  
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (2; 0) và (1; 1).

Vậy đồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 – 3x + 2 được cho như hình vẽ trên.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm I(1; 1).
Bài 6 trang 43 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Lời giải:
a) 
1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.
2) Sự biến thiên
• Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 1).
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1; 0).
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; – 1), (1; 0), (– 2; 3) và (– 3; 2).
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và
nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

b) 
1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.
2) Sự biến thiên
• Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).
Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị
• Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 3), (– 2; – 4), (0; 0) và (1; – 1).
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và
nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

c)
1) Tập xác định: ℝ \ {1}.
2) Sự biến thiên
• Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞); nghịch biến trên mỗi khoảng (– 1; 1) và
(1; 3).
Hàm số đạt cực đại tại x = – 1, yCĐ = – 5; đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = 3.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; – 6).
• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 3; – 6), (– 1; – 5), (0; – 6), (2; 4), (3; 3) và (5; 4).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; – 1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và
nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

.
d) 
1) Tập xác định: ℝ \ {2}.
2) Sự biến thiên
• Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;4); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞;0) và
(4;+ ∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = 4, yCĐ = – 6; đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 2.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 2).
• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 2; 3), (0; 2), (1; 3), (3; – 7), (4; – 6) và (6; – 7).

• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; – 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và
nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tổ chức thực hiện: HS hoạt động cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.
-----------------------TIẾT 24 HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP(tt)
Mục tiêu: Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học thông qua hình ảnh.
Nội dung: HS ôn tập lại một số dạng đồ thị hàm số thường gặp.
Sản phẩm: Câu trả lời của HS.
Bài 1 trang 42 : Đồ thị hàm số y = x3 – 3x – 1 là đường cong nào trong các đường cong sau?

A.

B.

C.

Lời giải: Đáp án đúng là: B
Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.
Ta có y' = 3x2 – 3; y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.
Bảng biến thiên của hàm số là

 Bài 2 trang 42: Đường cong ở Hình 29 là đồ thị của hàm số:
A. y = x3 + x2 + 2x + 2.  
B. y = – x3 – 4x2 – x + 2.
C. y = x3 + 3x2 – 4x + 2.
D. y = x3 + 3x2 + 4x + 2.

D.

Lời giải: Đáp án đúng là: D
Ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên loại đáp án B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm (– 2; – 2) nên thay vào các đáp án ta loại được đáp án A và đáp án C.
Vậy đường cong trong Hình 29 là đồ thị hàm số ở đáp án D.
Bài 3 trang 43 : Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số y = 1 − xx + 1y = 1 - xx + 1?

A. 

B.

C.

Lời giải: Đáp án đúng là: B
Ta có y = – 1 là tiệm cận ngang  và x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
Vậy đường cong trong đáp án B là đồ thị của hàm số đã cho.
Bài 4 trang 43 : Đường cong ở Hình 30 là đồ thị của hàm số:

D.

Lời giải: Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số trong Hình 30 cắt trục tung tại điểm (0; – 2) và có tiệm cận đứng là đường thẳng x =
– 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = – x – 1.
Thay tọa độ điểm (0; – 2) vào các hàm số ở các đáp án ta loại được đáp án B và D.
Tổ chức thực hiện: GV trình chiếu . HS hoạt động cá nhân, dưới sự hướng dẫn của GV.
GV tổng kết lại nội dung bài học và dặn dò công việc ở nhà cho HS
- GV tổng kết lại các kiến thức trọng tâm của bài học.
- Nhắc HS ôn tập các nội dung đã học: Luyện tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Giao cho HS làm bài tập trong SBT.
- Nhắc HS đọc trước bài mới chuẩn bị cho tiết học sau.

TIẾT 25 HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP(tt)- ỨNG DỤNG ĐẠO HÀMTRONG THỰC TẾ
Mục tiêu:
+ Mục đích của phần này chỉ là để HS thấy được tình huống cần vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm
số.
+ Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học
+ Gợi động cơ, tạo tình huống xuất hiện bài toán thực tế cần vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số.
Nội dung: GV đưa ra tình huống mở đầu trong SGK.
Sản phẩm: Câu trả lời của HS.
Bài 7 trang 44 Toán 12 Tập 1: Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng
và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng.
Trong khoảng 70 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao h của con tàu so với bề
mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm
h(t) = – 0,01t3 + 1,1t2 – 30t + 250,
trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét (Nguồn: A. Bigalke et al.,
Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Tìm thời điểm t (0 ≤ t ≤ 70) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt
Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?
b) Vẽ đồ thị của hàm số y = h(t) với 0 ≤ t ≤ 70 (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục
tung là 50 km).
c) Gọi v(t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm
với 0 ≤ t ≤ 70. Xác định hàm số v(t).
d) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm t = 25 (giây) là
bao nhiêu?
e) Tại thời điểm t = 25 (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?
Lời giải:
a) Xét hàm số h(t) = – 0,01t3 + 1,1t2 – 30t + 250 với t ∈ [0; 70].
Ta có h'(t) = – 0,03t2 + 2,2t – 30;
Trên khoảng (0; 70), h'(t) = 0 khi t ≈ 18 hoặc t ≈ 55.
h(0) = 250; h(18) ≈ 8,08; h(55,23) ≈ 263,75; h(70) = 110.
Do đó, min[0;70]h(t)min0; 70ht = 8,08 tại t = 18.

Vậy tại thời điểm t = 18 giây thì con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng và
khoảng cách nhỏ nhất này bằng 8,08 km.
b) Xét hàm số h(t) = – 0,01t3 + 1,1t2 – 30t + 250 với t ∈ [0; 70].
Ta có h'(t) = – 0,03t2 + 2,2t – 30;
Trên khoảng (0; 70), h'(t) = 0 khi t ≈ 18 hoặc t ≈ 55.
Bảng biến thiên của hàm số h(t) như sau:

Trên khoảng (0; 70), đồ thị hàm số h(t) đi qua các điểm (0; 250), (10; 50), (50; 250) và (60; 250).

c) Ta có v(t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm
với 0 ≤ t ≤ 70.
Khi đó v(t) = h'(t) = – 0,03t2 + 2,2t – 30 với t ∈ [0; 70].
d) Tại thời điểm bắt đầu đốt cháy các tên lửa hãm, tức t = 0, vận tốc của tức thời của con tàu là:
v(0) = – 0,03 ∙ 02 + 2,2 ∙ 0 – 30 = – 30 (km/s).

Tại thời điểm t = 25 (giây), vận tốc tức thời của con tàu là:
v(25) = – 0,03 ∙ 252 + 2,2 ∙ 25 – 30 = 6,25 (km/s).
e) Tại thời điểm t = 25 (giây), lúc đó t ∈ (18; 55), căn cứ vào bảng biến thiên ở câu b), ta thấy rằng
h'(t) > 0, tức là v(t) > 0, vậy vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.
Bài 8 trang 44 Toán 12 Tập 1: Xét phản ứng hóa học tạo ra chất C từ hai chất A và B:
A + B → C.
Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C
theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: [C] = a2KtaKt + 1a2KtaKt + 1 (mol/l), trong đó K
là hằng số dương (Nguồn: Đỗ Đức Thái (Chủ biên) và các đồng tác giả, Giáo trình Phép tính vi
tích phân hàm một biến, NXB Đại học Sư phạm, 2023).
a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0.
b) Chứng minh nếu x = [C] thì x'(t) = K(a – x)2.
c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi t → + ∞.
d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi t → + ∞.
Lời giải:
a) Ta có A + B → C. Ban đầu: a + a = 0
Sau thời gian t:

Tốc độ ở thời điểm t > 0 là

b) Ta có x = [C], tức là

Từ đó suy ra x'(t) = K(a – x)2.

Vậy khi t → + ∞ thì nồng độ các chất A, B và C bằng nhau.

Vậy khi t → + ∞, tốc độ phản ứng dần về 0, khi đó phản ứng kết thúc.
Tổ chức hoạt động: HS làm việc nhóm, dưới sự hướng dẫn của GV.
 GV chuyển giao nhiệm vụ học tập: GV chia lớp thành bốn nhóm; nhóm 1,2 thực hiện Bài 7;
nhóm 3,4 bài 8 . Các nhóm hành thảo luận, trình bày lời giải vào bảng phụ.
 HS thực hiện nhiệm vụ học tập: Các nhóm trao đổi thống nhất ý kiến viết lời giải vào bảng phụ.
 Báo cáo kết quả hoạt động và thảo luận: Các nhóm dán bảng phụ lên bảng, đại diện từng nhóm
trình bày. Các HS chú ý theo dõi đặt ra những câu hỏi để làm sáng tỏ vấn đề.
 Kết luận nhận định: Các nhóm nỗ lực làm bài và hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao.
NHIỆM VỤ VỀ NHÀ
– Xem lại các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản.
– Chuẩn bị bài mới “Bài tập cuối chương I”.