MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ 1. TỨ GIÁC .................................................................................................................................................. 2
CHUYÊN ĐỀ 2. HÌNH THANG. HÌNH THANG CÂN. DỰNG HÌNH THANG .......................................................... 5
CHUYÊN ĐỀ 3. ĐƢỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG ................................................... 11
CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH BÌNH HÀNH ............................................................................................................................... 17
CHUYÊN ĐỀ 5. HÌNH CHỮ NHẬT ................................................................................................................................ 22
CHUYÊN ĐỀ 6. HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG ........................................................................................................ 28
CHUYÊN ĐỀ 7. ĐỐI XỨNG TRỤC – ĐỐI XỨNG TÂM ............................................................................................. 35
CHUYÊN ĐỀ 8. VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN ......................................................................................................... 41

1

CHƢƠNG I: TỨ GIÁC
CHUYÊN ĐỀ 1. TỨ GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tứ Giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC , CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng
không cùng nằm trên một đường thẳng.
B
C
B

C

C D

A

BA

D

b)

a)

Hình 1.1
Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1a) và tứ giác lõm (h.1.1b). Nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta
A
hiểu đó là tứ giác lồi.
A
D
2. Tổng các góc của tứ giác bằng 360 .

a)

A  B  C  D  360

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD, A  B  40 . Các tia phân giác của góc C và D cắt nhau tại O . Cho biết
COD  110 . Chứng minh rằng AB  BC .

Giải (h.1.2)
 Tìm cách giải
Muốn chứng minh AB  BC ta chứng minh
B  90 .

O

Đã biết A  B  40 , ta tính tổng A  B

12
D


Trình bày lời giải

Hình 1.2





Xét tam giác COD có COD  180  C2  D2  180 
(vì C1  C2 ; D1  D2 ).



CD
2



Xét tứ giác ABCD có C  D  360  A  B , do đó
COD  180 

Vậy COD 



360  A  B
2

B

A

  180 180  A  B
2

A B
. Theo đề bài COD  110 nên A  B  220 .
2

2

2

1
C

Mặt khác A  B  40 nên B   220  40  : 2  90 . Do đó AB  BC .
Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AB  BC và hai cạnh AD, DC không bằng nhau. Đường chéo

DB là đường phân giác của góc D .Chứng minh rằng các góc đối của tứ giác này bù nhau.
Giải  h.1.3a, b 
 Tìm cách giải
Để chứng minh hai góc A và C bù nhau, ta tạo ra một góc thứ ba làm trung gian, góc này bằng góc A
chẳng hạn. Khi đó chỉ còn phải chứng minh góc này bù với góc C .
 Trình bày lời giải
Xét trường hợp AD  DC (h.1.3a)
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho
A
B
DE  DA .

E 2
1

ADB  EDB (c.g.c)
 AB  EB và A  E1

1 2

D

Mặt khác, AB  BC nên BE  BC . Vậy BEC
Ta có: E1  E2  180  A  C  180 .

A



.Do đó B  D  360  A  C  180 .
Xét trường hợp AD  A
DC (h.1.3b).
B
Trên tia DA lấy điểm E sao cho DE  DC Chứng

E 2
1

B

minh tương tự như trên, ta được A  C  180 ,.

1 2

D

C

D

C

b)

a)

Hình 1.3
B  D  180 .
Ví dụ 3. Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo bằng a . Gọi M là một điểm bất kì. Tìm giá trị nhỏ
nhất của tổng MA  MB  MC  MD .

Giải (h.1.4)


Tìm cách giải
Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MA  MB  MC  MD ta phải chứng minh
MA  MB  MC  MD  k ( k là hằng số).
Ghép tổng trên thành hai nhóm  MA  MC    MB  MD  .



Trình bày lời giải
Xét ba điểm M , A, C có MA  MC  AC

(dấu “=” xảy ra khi M  BD ).
Do đó MA  MB  MC  MD  AC  BD  a
Vậy min  MA  MB  MC  MD   a khi M

(dấu “=” xảy ra khi M  AC ).
Xét ba điểm M, B, D có MB  MD  BD
3

D

b)

a)

cân C  E2 .



C

trùng giao điểm O của hai đường chéo AC và
BD .

A

B

2

B

C

A

M

O

D

C

Hình 1.4
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
 Tính số đo góc
1.1 Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tai hai
đỉnh còn lại.
1.2. Cho tứ giác ABCD có A  B  220 . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K . Tính
số đo của góc CKD .
1.3. Cho tứ giác ABCD có A  C . Chứng minh rằng các đường phân giác ngoài của góc B và D song
song hoặ trùng với nhu.
1.4. Cho tứ giác ABCD có AD  DC  CB; C  130; D  110 . Tính số đo góc góc A , góc B
(Olympic Toán Châu Á – Thái Bình Dương 2010).
 So sánh các độ dài
1.5. Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1,3,5,10?
1.6. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB  3; BC  6,6 ; CD  6. Tính đọ dài AD .
1.7. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi tứ
giác.
1.8 Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có
khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.
1.9. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a, b, c, d đều là các số tự nhiên. Biết tổng
S  a  b  c  d chia hết cho a, cho b, cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác
bằng nhau.
 Bài toán giải bằng phƣơng trình tô màu
1.10. Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn
tại một nhóm bốn người quen nhau.

4

E

B

1 2

D
a)

D

1

C

D

C
1 2

C

A

B

O

D
C

D

D

b)

a)

b)
CHUYÊN ĐỀ 2. HÌNH THANG. HÌNH THANG CÂN. DỰNG HÌNH THANG
A
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song (h.2.1).
Đặc biệt: hình thang vuông là hình
A thang có một góc vuông (h.2.2).
2 A

E

B

A

A

B

B

A
1 2

D

D

DC

a) C

D

A

B
D

B

D

D

C

1

b)

B

B

C 1
C 2
C a)

A

O

D C

Hình 2.1
Hình 2.2
2. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (h.2.3).
3. Trong hình thang cân:
- Hai cạnh bên bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau (h.2.4).

A

A A

B

C

D

B

B

A

C

D

C

D

Hình 2.3
Hình 2.4
4. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai góc đối bù nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
5. Dựng hình
 Dụng cụ dựng hình: thước và compa
 Các bước giải một bài toán dựng hình
- Phân tích;
- Cách dựng;
- Chứng minh;
- Biện luận.
Đối với một bài toán dựng hình đơn giản ta có thể không trình bày bước phân tích.
TRANG 7-8


Để dựng hình thang ta cần biết bốn yếu tố của nó, trong đó số đo góc cho trước không quá hai.

B. Một số ví dụ
5

D

D

Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD( AB / /CD), các tai phân giác của góc A, góc D cắt nhau tại M thuộc
cạnh BC. Cho biết AD 7cm, Chứng minh rằng một trong hai đấy của hình thang có độ dài nhỏ hơn
4cm.
Giải(h.2.5)
*Tìm cách giải
Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm ta có thể xét tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh
tổng này nhỏ hơn 8cm , khi đó tồn tại một đáy nhỏ hơn 4cm.
*Trình bày lời giải

A

B

Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC.

2
1

Ta có : AB / /CD

A2

N (so le trong)
M

Mặt khác, A1
DA

Xét

A2

A1

DAN cân tại D

N

DN (1)

DAN có D1

tuyến: MA

1
2

D2 nên DM đồng thời là đường trung

D

N

C

MN
Hình 2.5

ABM
Ta có: DC

NCM (c.g.c)
AB

DC

AB
CN

CN .
DN

DA

7cm. Vậy AB

CD

8cm.

Vậy một trong hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ hơn 4cm
Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AC

BD, AD

BC. Chứng minh rằng tứ giác này là hình thang cân.
Giải(h.2.6)

*Tìm cách giải

A

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên để chứng
minh nó là hính tháng cân, chỉ cần chứng minh AB / /CD.
Muốn vậy ta chứng minh một cặp góc so le trong bằng nhau.

B
2

1
O

*Trình bày lời giải

1

1
C

D

ADC

BCD(c.c.c)

C1

D1

DAB

CBA(c.c.c)

B1

A1

Mặt khác: COD

AOB

2C1

2 A1

Hình 2.6

C1

A1

AB / /CD

Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.
Ví dụ 3. Một hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên và góc kề với đáy lớn bằng 60
Biết chiều cao của hình thang cân này là a 3. Tính chu vi của hình thang cân.
6

Giải(h.2.7)
*Tìm cách giải
Ta đã biết hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Từ
đó vẽ thêm hình phụ để tìm sự liên hệ giữa đáy lớn và ba cạnh còn lại. Ta vẽ AM / / BC (M CD). Mặt
khác, đề bài có cho góc 60 , gợi ý cho ta vận dụng tính chất của tam giác đều để tính độ dài một cạnh
theo chiều cao của nó.
A

B

*Trình bày lời giải
Ta đặt: AD

AB

BC

x

Vẽ AM / / BC(M CD), ta được
AM BC x, MC AB x
CD thì AH là đường cao của hình thang cân,

Vẽ AH

cũng là đường cao của tam giác đều: AH

AH

a 3 nên

x 3
2

a 3

x

D

H

C

M

Hình 2.7

AD 3
. Vì
2

2a.

Do đó chu vi của hình thang cân là: 2a.5

10a.

Nhận xét: Qua một đỉnh vẽ đường thẳng song song với một cạnh ben của hình thang là một cách vẽ hình
phụ để giải bài toán về hình thang.
Ví dụ 4. Dựng hình thang ABCD( AB / /CD) biết: AB

2cm, CD

5cm, C

40 , D

70 .

Giải(h.2.8)
B

A

x

a)Phân tích
Giả sử ta đã dựng được thang
ABCD( AB / /CD) thỏa mãn đề bài. Vẽ
AE / / BC ( E CD) ta được
70°

AED
DE

C
DC

40 ; EC
EC

AB

5 2

2cm;

D

40°
E

3cm

C

Hình 2.8

ADE dựng được ngay (g.c.g)
Điểm C thỏa mãn điều kiên: C nằm trên tia DE và C cách D là 5cm .
Điểm B thỏa mãn điều kiên: B nằm trên tia Ax / / DE ( hai tia Ax; DE cùng nằm trên một nửa mặt
phẳng bờ AD) và B cách A là 2cm
b)Cách dựng
Dựng ADE sao cho DE 3cm; D 70 ; E 40 . Dựng tia Ax / / DE ( hai tia Ax; DE cùng nằm trên
một nửa mặt phẳng bờ AD). Trên tia Ax đặt AB 3cm . Trên tia DE đặt DC 5cm
7

Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng.

c) Chứng minh
Theo cách dựng tứ giác ABCD có AB //CD nên nó là hình thang.
Xét hình thang ABCE có CE
BCD

5–3

2 (cm); AB

2 cm nên AB

CE do đó AE //BC

40 .

AED

Như vậy hình thang ABCD có AB

2 cm; CD

5 cm; D

70 và C

40

d) Biện luận
Bài toán có một nghiệm hình.
Ví dụ 5. Dựng tam giác ABC , biết A

5 cm và AC – AB

70 , BC

2 cm.

Giải (h.2.9)
a) Phân tích
Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài.
Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho AD
Khi đó DC

AC – AD

AC – AB

AB .

2 cm.
Hình 2.9

ABD cân, A
-

70

ADB

DBC xác định được ( CD

35

BDC

2 cm; D

125 .

125 ; CB

5 cm).

- Điểm A thoả mãn hai điều kiện: A nằm trên tia CD và A nằm trên đường trung trực của BD .
b) Cách dựng
- Dựng

DBC sao cho D

125 ; DC

2 cm và CB

5 cm.

- Dựng đường trung trực của BD cắt tia CD tại A .
- Nối AB ta được

ABC phải dựng.

c) Chứng minh
ABC thoả mãn đề bài vì theo cách dựng, điểm A nằm trên đường trung trực của BD nên AD

Do đó AC – AB
BAC

125

AC – AD

2.55

DC

2 cm; BC

5 cm và ADB

70 .

8

180

125

55

AB .

d) Biện luận
Bài toán có một nghiệm hình.
Nhận xét: Đề bài có cho đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có đoạn thẳng nào như vậy. Ta đã làm
xuất hiện đoạn thẳng DC 2 cm bằng cách trên AC ta đặt AD AB . Khi đó
DC chính là hiệu AC – AB .
Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng 2cm bằng cách trên tia AB ta đặt
AE AC (h.2.10).
Khi đó BE

AE – AB

AEC cân, có A

70

AC – AB

E

2 cm.

(180

70 ) : 2

55 .

BEC xác định được.

Khi đó điểm A thoả mãn hai điều kiện: A nằm trên tia EB và A nằm trên đường trung trực của EC .
Hình 2.10

C. Bài tập vận dụng
 Hình thang

2.1. Cho tứ giác ABCD . Các tia phân giác của góc A , góc D cắt nhau tại M . Các tia phân giác của góc

B , góc C cắt nhau tại N . Cho biết AMD

90 , chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình thang;
b) NB

NC .

2.2. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D . Gọi M là trung điểm của AD . Cho biết MB
a) Chứng minh rằng BC
b) Vẽ MH

AB

MC .

CD ;

BC . Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.

2.3. Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương của hai đường chéo bằng hiệu
các bình phương của hai đáy.
2.4. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D . Cho biết AD
AB .

20 , AC

52 và BC

29 . Tính độ dài

 Hình thang cân
2.5. Cho tam giác đều ABC , mỗi cạnh có độ dài bằng a . Gọi O là một điểm bất kì ở trong tam giác.
Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho OM //BC ; ON //CA và OP //AB .
Xác định vị trí của điểm O để tam giác MNP là tam giác đều. Tính chu vi của tam giác đều đó.
2.6. Cho hình thang ABCD ( AB //CD ), ADC

BCD . Chứng minh rằng AC

9

BD .

2.7. Cho góc xOy có số đo lớn hơn 60 nhưng nhỏ hơn 180 . Trên cạnh Ox lấy điểm A , trên cạnh Oy
lấy điểm C . Chứng minh rằng AC
2.8. Tứ giác ABCD có AC
không?

OA OC
.
2

BD ; C

D và BD

BC . Hỏi tứ giác ABCD có phải là hình thang cân

 Dựng hình
2.9. Dựng hình thang ABCD ( AB //CD ) biết AD
hai đường chéo bằng 70 .
2.10. Dựng hình thang ABCD ( AB //CD ) biết A
2.11. Dựng tứ giác ABCD biết AB

2,5 cm; CD

2 cm; BD

120 ; AB
4 cm; A

3 cm; AC

2 cm, BD
120 ; B

2.12. Dựng tam giác ABC vuông tại B có chu vi bằng 8cm và C

10

m .

4 cm và góc nhọn xen giữa

4 cm và BC
100 và C

a.

60 .

CHUYÊN ĐỀ 3. ĐƢỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đĩnh nghĩa



Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h3.1)
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang (h3.2)

(hình 3.1)

(hình 3.2)

2. Tính chất


Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Trên hình 3.1 thì MN // BC và MN



BC
.
2

Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đấy
Trên hình 3.2 thì AB // EF // CD và EF

AB

CD
2

.

3. Định lý



Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung
điểm của cạnh thứ ba.
Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên hình thang và song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm của cạnh bên thứ hai.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi G là trọng tâm
của tam giác BCD . Chứng minh AG chia đôi MN .
Giải (hình 3.3)


Tìm cách giải

11

Kết luận của bài toán gợi ý cho ta dùng định lý đường thẳng đi qua
trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi
qua trung điểm của cạnh thứ ba. Gọi H là trung điểm của BG thì ta
có thể dùng định lý đường trung bình để chứng minh.
 Trình bày lời giải
Gọi O là giao điểm của AG và MN
Gọi H là trung điểm của BG
Theo tính chất của trọng tâm, ta có: BH HG GN
Xét ABG có MH là đường trung bình MH / / AG
(Hình 3.3)
Xét

HMN có AG / / MH và NG

GH nên ON

OM

Vậy AG chia đôi MN
Nhận xét: Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng là cách vẽ hình phụ thường dùng để vận dụng định lý
đường trung bình của tam giác.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có chụ vi là 4a . Gọi E, F , G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC
, CD, DA . Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EG và HF có một đoạn thẳng có độ dài không lớn
hơn a .
Giải (hình 3.4)


Tìm cách giải

Để chứng minh một trong hai đoạn thẳng EG và HF có một đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a ta
chứng minh tổng hai đoạn thẳng này không lớn hơn 2a . Khi đó một trong hai đoạn thẳng có độ dài
không lớn hơn a .


Trình bày lời giải

Gọi M là trung điểm của BD
AB
2
CD
Xét BDC có MF là đường trung bình nên MF
2
AB CD
Xét ba điểm M , H , F có HF MH MF
2
AD BC
Chứng minh tương tự, ta được: EG
.
2
AB CD AB CD 4a
Vậy HF EG
2a
2
2

Xét

ABD có HM là đường trung bình nên HM

(Hình 3.4)

Suy ra một trong hai đoạn HF , EG có độ dài không lớn hơn a .
12

Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này vẫn là vẽ trung điểm của đoạn BD . Cũng có thể vẽ
trung điểm của cạnh AC thay cho trung điểm của đoạn thẳng BD .
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , BC

1
AB . Vẽ
3

6cm . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD

AC . Tính độ dài DE

DE / / BC E

Giải (hình 3.5)


Tìm cách giải
1
Vì AD
DB nên ta vẽ trung điểm F của DB . Từ F vẽ
2
đường thẳng song song với BC thì DE chính là đường trung
bình của tam giác. Từ đó sẽ tính được độ dài của nó.
 Trình bày lời giải
Gọi F là trung điểm của DB . Khi đó: AD DF FB
Vẽ FH / / BC H AC
Xét AFH có DE / / FH và AD DF nên AE EH
Xét hình thang DECB có FH / / BC và DF FB nên
EH HC
Ta đặt DE

(Hình 3.5)

x

Ta có DE là đường trung bình của

1
FH
2

DF

AFH

Ta có FH là đường trung bình của hình thang DECB
Vậy DE

FH

FH

2x

DE

BC
2

2x

x

6
2

x

2 cm

2 cm .

Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này là ngoài việc vẽ trung điểm của một đoạn thẳng ta
còn thêm một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD , AB là đáy nhỏ. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC ,
BD và AC .
a) Chứn minh rằng bốn điểm M , N , P, Q thẳng hàng.
b) Chứng minh PQ / /CD và PQ

CD

AB
2

c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP

PQ

QN

Giải (hình 3.6)


Tìm cách giải

13

Trong hình vẽ có nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng
song song với một đường thẳng nên có thể vận dụng tiên đề Ơ – clit
để chứng minh thẳng hàng.


Trình bày lời giải

a) Xét ABD có MP là đường trung bình
MP / / AB MP / /CD
Xét

ADC có MQ là đường trung bình

MQ / /CD

Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình

MN / /CD
(Hình 3.6)

Qua điểm M có các đường thẳng MP, MQ, MN cùng song song với CD nên các đường thẳng trùng
nhau, suy ra bốn điểm M , N , P, Q thẳng hàng.
b) Ta có MN / /CD nên PQ / /CD ; PQ
c) Ta có MP

AB

CD

NQ

AB
; MP
2

AB

2 AB

PQ

MQ
AB
2

CD
2

MP
CD

AB
2

CD

AB
2

AB
2

CD (đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ)

Nhận xét: Đường trung bình MN của hình thang và đoạn thẳng PQ nối trung điểm của hai đường chéo
có tính chất giống nhau là cùng song song với hai đáy, có tính chất khác nhau là MN bằng nửa tổng hai
đáy còn PQ bằng nửa hiệu hai đáy.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
 Đƣờng trung bình của tam giác
3.1. Cho tứ giác ABCD , đường chéo BD là đường trung trực của AC . Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AD và AB . Vẽ ME BC và NF CD E BC, F CD . Chứng minh rằng ba đường thẳng
ME, NF và AC đồng quy.

3.2. Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của BE và CD . Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt tại P và Q . Hoi hai điểm D và
E phải có điểm kiện gì để tam giác APQ cân tại A ?
3.3. Cho tam giác ABC . Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường thẳng chứa tia phân giác của các góc ngoài
tại đỉnh B và C . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Bx và Cy .
a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang
b) Tam giác ABC cần điều kiện gì để hình thang BCKH là hình thang cân?
3.4. Cho tam giác ABC , trực tâm H . Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng
khoảng cách từ O tới BC bằng nửa độ dài AH .
14

3.5. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH và đường phân giác BD . Biết rằng AH

1
BD . Tính
2

số đo các góc của tam giác ABC .
3.6. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D ở trong tam giác. Vẽ tam giác ADE vuông cân tại A sao
cho D và E thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC ,
CD và DE . Tính số đo các góc của tam giác MNP .
3.7. Cho hình thang cân ABCD AB / /CD , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi G , E , F lần lượt
là trung điểm của OA , OD và BC . Cho biết COD

600 . Tính số đo các góc của tam giác GEF .

3.8. Cho tam giác ABC , góc A nhọn. Vẽ về phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ABM
và CAN theo thứ tự có cạnh đáy là AB và AC. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam
giác OMN là tam giác vuông cân.
3.9. Tam giác ABC, AB  AC. Trên cạnh AB lấy điểm E , trên cạnh AC lấy điểm F sao cho
BE  CF. Gọi M là trung điểm của EF . Chứng minh rằng khi E và F di động trên AB, AC thì trung
điểm M của EF nằm trên một đường thẳng cố định.
3.10. Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1 , O2 ,On không nằm giữa A và B sao cho
O1 A  O2 A  On A  O1B  O2 B  On B  a. Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho
O1M  O2 M  On M  a.

3.11. Cho tam giác ABC, Cˆ  Bˆ  Aˆ . Biết rằng trung điểm của ba đường cao thẳng hàng. Chứng minh
rằng tam giác ABC vuông tại A.
Đƣờng trung bình của hình thang
3.12. Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  . Vẽ AH  CD. Chứng minh rằng:
a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo.
b) HC bằng đường trung bình của hình thang.
3.13. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho
1
1
BO  BC. Đường thẳng OM cắt OC tại N . Chứng minh rằng AN  AC.
2
4
3.14. Cho tam giác ABC , cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại
B, tam giác CAN vuông cân tại C. Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì
đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
3.15. Cho điểm M nằm giữa hai điểm A, B nhưng không là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho Cˆ  Dˆ . Gọi H và F
1
lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng HF  CD.
2

15

3.16. Chứng minh rằng trong các tam giác có một góc bằng nhau, xen giữa hai cạnh có tổng bằng nhau
thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.

16

CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH BÌNH HÀNH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song (h. 4.1)

2. Tính chất
Trong hình bình hành (h. 4.2):
Các cạnh đối bằng nhau
Các góc đối bằng nhau
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm M , trên tia đối của tia CB lấy
điểm N sao cho AM  CN . Chứng minh rằng ba đường thẳng MN , AC, BD gặp nhau tại một điểm.
Giải (h. 4.3)

17

Tìm cách giải

AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên chúng cắt nhau tại trung điểm O của
AC.
Trình bày lời giải
Tứ giác AMCN có AM CN và AM  CN nên là hình bình hành. Suy ra hai đường chéo MN và AC
cắt nhau tại trung điểm O của AC.
Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại trung điểm O của AC.
Như vậy, các đường thẳng MD, BD và AC cùng đi qua trung điểm O của AC.
Nhận xét: Hai hình bình hành AMCD và ABCD có chung đường chéo AC thì các đường chéo của
chúng đồng quy tại trung điểm của đường chéo chung.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD, vẽ ra phía ngoài của hình bình hành các tam giác đều ABM và
ADN . Chứng minh rằng tam giác CMD là tam giác đều.
Giải (h.4.4)

Tìm cách giải
18

Đề bài cho hình bình hành và các tam giác đều nên có nhiều đoạn thẳng hàng nhau, nhiều góc bằng nhau.
Do đó có thể nghĩ đến việc chứng minh tam giác bằng nhau.
Trình bày lời giải





Ta đặt ABC   thì ADC   , BAD  180o   , MAN  360o  60o  60o  180o    60o   .

ΔMAN và ΔCDN có
AM  DC   AB  ; MAN  CDN   60o    ; AN  DN .
Do đó ΔMAN  ΔCDN (c-g-c)  MN  CN 1
Chứng minh tương tự, ta được ΔMAN  ΔMBC (c-g-c)  MN  MC  2 
Từ (1) và (2) suy ra MN  CN  MC. Vậy ΔCMN đều.
Nhận xét: Việc đặt ABC   là một kỹ thuật giúp ta tính toán và so sánh góc được nhanh chóng, thuận
tiện.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến vuông góc với nhau thì tổng các
bình phương của hai đường trung tuyến này bằng bình phương của đường trung tuyến thứ ba.
Giải (h. 4.5)

Tìm cách giải
Kết luận của bài toán gợi ý cho ta vận dụng định lý Py-ta-go. Muốn vậy phải vẽ đường phụ tạo ra một
tam giác vuông có ba cạnh bằng ba đường trung tuyến.
Trình bày lời giải
Giả sử tam giác ABC là tam giác có hai đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau, ta phải chứng
minh BD2  CE 2  AF 2 ( AF là đường trung tuyến thứ ba).
Trên tia ED lấy điểm K sao cho D là trung điểm của EK . Tứ giác AKCE có hai đường chéo cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
 AK CE và AK  CE.

19

Ta có DE BC và DE 

1
BC  DK BF và DK  BF.
2

Vậy tứ giác DKFB là hình bình hành  KF BD và KF  BD.
Mặt khác BD  CE nên AK  KF.
Do đó ΔKAF vuông gại A  AK 2  KF 2  AF 2  CE 2  BD2  AF 2 .
C. Bài tập vận dụng
Tính chất hình bình hành
4.1. Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác này các tam giác ABD, và tam giác ACE
vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA, BC vuông góc với
nhau.
4.2. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, BCN
vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.
4.3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H . Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn
3
 HA  HB  HC  .
2
4.4. Cho hình thang cân ABCD  AB CD  và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ
giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình thang cân.
4.5. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các
đỉnh A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại A, B, C, D. Chứng minh
rằng AA  CC  BB  DD.
4.6. Cho hình bình hành ABCD  AD  AB  . Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM cân tại B
và tam giác ADN cân tại D sao cho ABM  ADN .
a) Chứng minh rằng CM  CN ;
b) Trên AC lấy một điểm O. Hãy so sánh OM , ON .
4.7. Cho tam giác ABC cân tại A, AB  AC. Trên tia AB có điểm D, trên tia CA có điểm E sao cho
AD  DE  EC  CB. Tính các góc của tam giác ABC.
Nhận biết hình bình hành.
4.8. Chứng minh rằng trong một tứ giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo và các đoạn thẳng
nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diện gặp nhau tại một điểm (định lý Giéc-gôn, nhà toán học Pháp).
4.9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi E, F , G, H lần lượt là
trung điểm của NA, NB, MC, MD. Chứng minh rằng ba đường thẳng MN , EF , GH đồng quy.

20

4.10. Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình bình hành ABCD có
đường chéo BD PQ và BD  PQ. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một
điểm cố định.
4.11. Trong tất cả các tứ giác với hai đường chéo có độ dài m và n cho trước và góc xen giữa hai đường
chéo có độ lớn  cho trước hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất
• Dựng hình bình hành
4.12.

Cho tam giác ABC . Dựng điểm M  AB , điểm N  AC sao cho MN // BC và BM = AN

4.13. Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí của điểm A và vị trí các trung điểm M , N của BC và
CD .
4.14. Cho trước hai điểm A và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d . Một đoạn
thẳng CD có độ dài a cho trước nằm trên đường thẳng d . Hãy xác định vị trí của điểm C và D để
tổng AC  CD  DB nhỏ nhất
4.15. Hai điểm dân cư A và B ở hai bên một con sông có hai bờ d và d ' . Chiều rộng con sông bằng
a . Hãy tìm địa điểm bắc cầu sao cho quãng đường từ A sang B là ngắn nhất (cầu vuông góc với bờ
sông).

21

CHUYÊN ĐỀ 5. HÌNH CHỮ NHẬT
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông (h.5.1)

2. Tính chất
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
(h.5.2).
3. Dấu hiệu nhận biết
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác (h.5.3)
ABC : MB = MC
A  90  AM 

1
BC
2

Hình 5.3

5. Tính chất các điểm cách đều một đường thẳng cho trước (h.5.4)
Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố
định một khoảng bằng h không đổi là hai đường
thẳng song song với đường thẳng đó và cách
đường thẳng đó một khoảng bằng h.

Hình 5.4

B. Một số ví dụ
22

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy một điểm M . Trên tia AM lấy điểm N
sao cho M là trung điểm của AN . Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của N trên đường thẳng BC và
CD . Chứng minh rằng ba điểm M , E , F thẳng hàng.
Giải (h.5.5)
* Tìm cách giải
Xét CAN , đường thẳng EF đi qua trung điểm của CN , muốn cho EF đi qua trung điểm M của AN
ta cần chứng minh EF // AC .
* Trình bày lời giải
Tứ giác ENFC có ba góc vuông nên là
hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AC và BD và K là
giao điểm của EF và CN .Theo tính chất
hình chữ nhật,
ta có: OA  OB  OC  OD ;

Hình 5.5

KC  KN  KE  FF .
Xét CAN có OM là đường trung
bình nên OM // CN .
Do đó BD // CN .

OCD , KCF cân, suy ra: D1  C1 , C2  F2
Mặt khác, D1  C2 (cặp góc đồng vị) C1  F2 Suy ra AC // EF .
Xét CAN có đường thẳng EF đi qua trung điểm K của CN và EF // AC nên EF đi qua trung điểm
của AN , tức là đi qua M . Vậy ba điểm M , E , F thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A . Từ một điểm trên đáy BC , vẽ đường thẳng vuông góc với BC
cắt các đường thẳng AC , AB lần lượt tại M và N . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN .
Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật.
Giải (h.5.6)
* Tìm cách giải
Dễ thấy tứ giác AKDH có hai góc vuông là H  D  90 nên chỉ cần chứng minh tứ giác này có một
góc vuông nữa là thành hình chữ nhật.
23

A. Trình bày lời giải
BKC cân tại A , AH là đường trung tuyến nên cũng là
đường cao, đường phân giác.
Do dó: H  90 và A1  A2
Ta có:

AH // DN (vì cùng vuông góc với BC )

 N  A1 (cặp góc đồng vị); M1  A2 (cặp góc so le
trong).
Do dó N  M1 (vì A1  A2 )

Hình 5.6

Vậy AMN cân tại A mà AK là đường trung
tuyến nên AK cũng là đường cao, K  90 . Tứ
giác AKDH có K  H  D  90 nên nó là hình chữ nhật.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh huyền BC lấy điểm D . Vẽ
DH  AB , DK  AC . Biết AB  a , tính giá trị lớn nhất của tích DH .CK .

Giải (h.5.7)
* Tìm cách giải
Ta thấy DH  DK  AB (không đổi). Dựa vào các hằng đẳng thức ta có thể tìm được mối quan hệ giữa
tích DH .CK với tổng DH  DK . Mối quan hệ này được biếu diễn như sau:
Ta có: ( x  y)2  0  x2  y 2  2 xy  x 2  y 2  2 xy  4 xy  ( x 2  y 2 )  4 xy

 xy 

( x  y)2
4

* Trình bày lời giải
Tứ giác AHDK có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Hình 5.7

Tam giác HBD có H  90 ; B  45 nên là tam giác vuông cân. Ta đặt: DH  x . DK  y thì HB  x
, AH  y và x  y  a
Ta có: xy 

( x  y)2 a 2

(không đổi).
4
4
24

Dấu "=" xảy ra  x  y  D là trung điểm của B

a2
Vậy giá trị lớn nhất của tích DH .CK là
khi D là trung điểm của BC .
4
Ví dụ 4.

Cho hình thang ABCD , A  D  90 .Trên cạnh AD có một điểm H mà AH  DH và

BHC  90 . Chứng minh rằng trên cạnh AD còn một điểm K sao cho BKC  90 .
Giải (h.5.8)
* Tìm cách giải
Giả sử đã chứng minh được BKC  90 thì BHC và BKC là hai tam giác vuông chung cạnh
huyền BC nên hai đường trung tuyến ứng với BC phải...