Ngày soạn: …/…/…
Ngày dạy: …/…/…
CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức, kĩ năng
Sau bài học này, HS sẽ:
Ôn lại và củng cố kiến thức về phân thức đại số:
-

Nhận biết phân thức đại số, tử thức và mẫu thức của một phân thức, hai phân
thức bằng nhau.

-

Viết điều kiện xác định của phân thức và tính giá trị của phân thức tại giá trị
của biến thỏa mãn điều kiện xác định.

-

Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức để xét sự bằng nhau của hai phân
thức, rút gọn phân thức.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học: củng cố lại kiến thức và hoàn thành các nhiệm vụ
GV yêu cầu.

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác: Thảo luận, trao đổi, thống nhất ý kiến trong
nhóm đề hoàn thành nhiệm vụ được giao.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa các đối
tượng đã cho và các phương pháp đã học, từ đó áp dụng kiến thức đã học để rút
gọn phân thức đại số.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện toán học.

3. Về phẩm chất
1

-

Có ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS => độc
lập, tự tin và tự chủ.

-

Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của
GV.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, phiếu học tập.
- Học sinh: Vở, nháp, bút.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu: Tạo tâm thế và định hướng chú ý cho học sinh, tạo vấn đề vào chủ đề.
b) Nội dung hoạt động: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu.
c) Sản phẩm học tập: Kết quả câu trả lời của HS.
d) Tổ chức hoạt động:
- GV chia 4 nhóm tương ứng với 4 tổ, GV yêu cầu mỗi nhóm tìm ba phân thức bằng
nhau.
Sau 3 phút hoàn thành, đội nào nhanh và chính xác nhất, đội đó giành chiến thắng.
- GV nhận xét, dẫn dắt HS vào nội dung ôn tập bài “Phân thức đại số”.
B. HỆ THỐNG LẠI KIẾN THỨC
a. Mục tiêu: HS nhắc lại và hiểu được phần lý thuyết của bài. Từ đó có thể áp dụng
giải toán một cách dễ dàng.
b. Nội dung hoạt động: GV hướng dẫn HS nhắc lại phần kiến thức lí thuyết.
c. Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS về bài toán tìm phân thức bằng nhau, rút
gọn phân thức và chuẩn kiến thức của GV.
d. Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm 1. Khái niệm về phân thức đại số
2

vụ học tập
- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc

a) Định nghĩa
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân

lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi thức) là một biểu thức có dạng P , trong đó
Q
nhớ trong bài “Phân thức đại số”
P ,Q là những đa thức và Q là đa thức khác
trước khi thực hiện các phiếu bài
không.
tập.
Bước 2: HS thực hiện nhiệm vụ,
học tập
- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ
lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là

mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân
thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, mỗi số
thực cũng là một phân thức

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt
động, thảo luận

x

Ví dụ: 3 là phân thức; √ 2 x không là phân

đại diện một số HS đứng tại chỗ thức
trình bày kết quả.
Bước 4: Đánh giá kết quả thực
hiện nhiệm vụ học tập
GV đưa ra nhận xét, đánh giá,

b) Hai phân thức bằng nhau
A

C

Hai phân thức B và D bằng nhau nếu
A . D=B .C . Khi đó
A C
=
B D

chuẩn kiến thức.
x

4x

Ví dụ: y = 4 y
2. Tính chất cơ bản của phân thức
a) Tính chất cơ bản
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức
với cùng một đa thức khác đa thức không thì
3

được một phân thức bằng phân thức đã cho.
P P. M
=
Q Q.M

( M là một đa thức khác đa thức không)
- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức
với cùng một đa thức khác đa thức không thì
được một phân thức bằng phân thức đã cho.
P P:N
=
Q P:N

( N là một nhân tử chung của P và Q )
b) Ứng dụng
- Rút gọn phân thức: Khi chia cả từ và mẫu
của một phân thức cho một nhân tử chung để
được phân thức mới (đơn giản hơn) thì cách
làm đó được gọi là rút gọn phân thức.
x +1

x +1

1

Ví dụ: 2 x +2 = 2 ( x +1 ) = 2
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức: Khi
biến đổi các phân thức đã cho thành những
phân thức mới bằng chúng và có cùng mẫu
thức thì cách biến đổi đó được gọi là quy
đồng mẫu thức nhiều phân thức.
1

1

x−1

x +1

Ví dụ : x+1 − x−1 = ( x+1 ) ( x−1 ) − ( x+1 ) ( x−1 )

4

¿

x−1−x−1 −2
= 2
x 2−1
x −1

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân
thức
- Điều kiện xác định: Điều kiện của biến để
giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được
gọi là điều kiện xác định của phân thức.
1

Ví dụ: x+1
ĐKXĐ: x +1≠ 0 ⇔ x ≠−1
- Giá trị của phân thức: Giá trị của biểu thức
P
tại những giá trị cho trước của các biến sao
Q

cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là
P

giá trị của phân thức Q tại những giá trị cho
trước của các biến đó.
1

Ví dụ: x−1
a) Viết điều kiện xác định của phân thức
b) Tính giá trị của phân thức tại x=0
Giải
a) ĐKXĐ: x−1 ≠ 0⇔ x ≠ 1
1

b) Thay x=0 vào phân thức ta có 0−1 =−1

5

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG
a. Mục tiêu: HS biết cách giải các dạng bài tập thường gặp trong bài “Phân thức đại
số” thông qua các phiếu bài tập.
b. Nội dung hoạt động: HS thảo luận nhóm, thực hiện các hoạt động cá nhân và hoạt
động nhóm để hoàn thành phiếu bài tập.
c. Sản phẩm học tập: Kết quả thực hiện của HS.
d. Tổ chức thực hiện:
Nhiệm vụ 1: GV phát phiếu bài tập, nêu phương pháp giải, cho học sinh làm bài theo
nhóm bằng phương pháp khăn trải bàn.
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1
DẠNG 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa
Phương pháp giải:
Điều kiện xác định của phân thức là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức khác
0.
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức
a)

x 2−1
4 x 2−9

b)

2 x−1
x −6 x+ 9

c)

x 2−9
x2 −25

2

12

d) ( x+3 )( x−2 )
Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không

6

2 x−2

a) 5 x−15
x2 −2 x
b)
x
2 x−5

c) 3 x +4
d)

( x−1 )( x +2 )
x 2+ 5 x +6

Bài 3. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa
a)

3
x +3

b)

5x
x + 4 x+ 5

2

2

2

x −9
c)
2
−x +6 x−6

Bài 4. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa
a)

x+ y
2
x + y −2 xy +1

b)

4
x + y −2 y +2

2

2

2

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
DẠNG 1:
Bài 1.

7

a) Để phân thức có nghĩa thì

[

3
2 x −3≠ 0 ⇔
2
4 x2 −9 ≠ 0⇔( 2 x−3)(2 x+ 3) ≠ 0 ⇔
2 x+3 ≠ 0
3
x ≠−
2

[

x≠

b) Để phân thức có nghĩa thì
x 2−6 x +9 ≠ 0⇔ ( x−3 )2 ≠ 0 ⇒ x−3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

c) Để phân thức có nghĩa thì

[

[

2
x −25 ≠ 0⇔ ( x−5)(x+5) ≠ 0⇔ x−5 ≠ 0 ⇔ x ≠5
x +5 ≠ 0
x ≠−5

d) Để phân thức có nghĩa thì

[

[

(x +3)(x−2)≠ 0 ⇔ x+3 ≠ 0 ⇔ x ≠−3
x−2≠ 0
x≠2

Bài 2.
a) Điều kiện xác định 5 x−15 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3
⇒

2 x−2
=0 ⇒ 2 x−2=0 ⇔ x=1 (TMĐK)
5 x−15

b) Điều kiện xác định x ≠ 0

[

[

x 2−2 x
2
x=0( L)
⇒
=0 ⇒ x −2 x =0 ⇔ x ( x −2 )=0 ⇔ x=0 ⇔
x
x−2=0
x=2(TM )
4

c) Điều kiện xác định 3 x+ 4 ≠ 0 ⇒ x ≠− 3
⇒

2 x−5
5
=0 ⇒2 x−5=0 ⇔ x= (TMĐK)
3 x+ 4
2

[

[

2
x+ 2≠ 0
x ≠−2
d) Điều kiện xác định x + 5 x +6 ≠ 0 ⇒ ( x+ 2)(x +3)≠ 0 ⇔ x+ 3≠ 0 ⇔ x ≠−3

8

⇒

[

[

( x−1 ) ( x+ 2 )
=0 ⇒( x −1)( x +2)=0 ⇔ x−1=0 ⇔ x=1(TM )
2
x +2=0
x +5 x+ 6
x=−2(L)

Bài 3.
a) Ta có: x 2 ≥ 0 ∀ x ⇒ x2 +3 ≥ 3 ∀ x
Do đó x 2+ 3≠ 0 ∀ x
Vậy phân thức luôn có nghĩa
b) Ta có: x 2+ 4 x +5= x2 + 4 x+ 4+ 1=( x+ 2 )2+1
Vì (x +2)2 ≥ 0 ∀ x ⇒ ( x +2 )2 +1≥ 1 ∀ x
Do đó ( x +2 )2+ 1≠ 0 ∀ x
Vậy phân thức luôn có nghĩa
c) Ta có: −x 2+ 6 x−6=−( x 2−6 x+ 9−3 )=−[ ( x−3 ) ¿¿ 2+3]¿
Vì (x−3)2 ≥ 0 ∀ x ⇒ ( x−3 )2 +3 ≥ 3 ∀ x ⇒−[ ( x−3 )2 +3 ] ≤−3 ∀ x
Do đó −[ ( x−3 )2+3 ] ≠ 0 ∀ x
Vậy phân thức luôn có nghĩa
Bài 4.
a) Ta có: x 2+ y 2−2 xy +1=( x 2−2 xy+ y 2) + 1=( x− y )2 +1
Vì ( x− y )2 ≥0 ∀ x , y ⇒ ( x− y )2+ 1≥ 1 ∀ x , y
Do đó ( x− y )2 +1 ≠0 ∀ x , y
Vậy phân thức luôn có nghĩa
b) Ta có: x 2+ y 2−2 y+ 2= y 2−2 y +1+ x 2+1=( y−2 )2 + x 2+ 1

9

Vì ( y−2 )2 ≥ 0 ∀ y ; x 2 ≥ 0 ∀ x ⇒ x 2+ ( y −2 )2 ≥ 0 ∀ x , y
2

2

⇒ x + ( y−2 ) +1 ≥ 1 ∀ x , y

Do đó x 2+ ( y−2 )2 +1≠ 0 ∀ x
Vậy phân thức luôn có nghĩa

Nhiệm vụ 2: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương
pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.
PHIỂU BÀI TẬP SỐ 2
DẠNG 2: Phân thức bằng nhau
Phương pháp giải:
A

C

Vận dụng tính chất của phân thức đại số B = D nếu A . D=B .C
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau
2x

4 xy

a) 5 = 10 y với y ≠ 0
b)

x −2
1
=
x≠±2
2
x
+2 với
x −4

x2 + x
x
= với x ≠−1
c)
2(x+ 1) 2

d)

2

x + 4 x−5
=x +5 với x ≠ 1
x−1

Bài 2. Tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau
A

x−1

a) x−1 = 3 với x ≠ 1

10

A

x−3

b) x+2 = 5 với x ≠−2
x−4

A

c) x+ 4 = 2 với x ≠−4
Bài 3. Tìm x , biết
1

1

a) x−4 = 4
2

b)

x +2 x 5
=
x +2
4

c)

3−x
1
=
x −5 x +6 8
2

A

C

A

C

Bài 4. Cho hai phân thức B và D thỏa mãn B = D . Chứng minh
A

A−C

A

A +C

a) B = B−D với B≠ D
b) B = B+ D với B≠−D

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
DẠNG 2:
Bài 1.
a) Ta cần chứng minh: 2 x .10 y=5.4 xy
VT =2 x .10 y=20 xy
VP=5.4 xy =20 xy

11

⇒VT =VP (đpcm)

b) Ta cần chứng minh: ( x−2 ) . ( x+2 ) =( x 2−4 ) .1
VT =( x−2 ) . ( x +2 )=x 2−4
VP=( x −4 ) .1=x −4
2

2

⇒VT =VP (đpcm)

c) Ta cần chứng minh: ( x 2 + x ) .2=2 ( x +1 ) . x
VT =( x 2+ x ) .2=2 x 2+ 2 x
2
VP=2 ( x +1 ) . x=( 2 x+ 2 ) . x=2 x +2 x

⇒VT =VP (đpcm)

d) Ta cần chứng minh: ( x 2 +4 x−5 ) .1=( x −1)(x +5)
VT =( x 2+ 4 x−5 ) .1=x2 + 4 x−5
2

2

VP=( x−1 ) . ( x+ 5 )=x + 5 x −x−5=x +4 x−5
⇒VT =VP (đpcm)

Bài 2.
a) Ta có:

A
x +1
x 2−1
=
⇒ A .3=( x−1 ) . ( x +1 ) ⇔3 A=x 2−1⇔ A=
x−1
3
3

b) Ta có:

A
x−3
x2 −x−6
=
⇒ A .5=( x +2 ) ( x−3 ) ⇔5 A=x 2−x−6 ⇔ A=
x+2
5
5
x−4

A

c) Ta có: x+ 4 = 2 ⇒ ( x−4 ) .2= A . ( x +4 ) ⇔ A . ( x+ 4 )=2 x −8
⇔ A=

2 x −8
x+4

12

Bài 3.
a) ĐKXĐ: x−4 ≠ 0⇔ x ≠ 4
1
1
= ⇒ 4=x −4 ⇔ x=8 (TM)
x−4 4

b) ĐKXĐ: x +2≠ 0 ⇔ x ≠−2
2

x +2 x 5
2
2
= ⇒ 4 ( x +2 x )=5 ( x +2 ) ⇔ 4 x +8 x−5 x−10=0
x +2
4

[

5
2
x= (TM )
⇔ 4 x +3 x−10=0 ⇔ ( 4 x −5 ) ( x +2 ) =0 ⇒ 4 x−5=0 ⇒
4
x+ 2=0
x=−2(L)

[

[

[

2
x−2≠ 0
x≠2
c) ĐKXĐ: x −5 x+ 6 ≠0 ⇔(x−2)( x−3) ≠ 0⇔ x−3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

3−x
1
= ⇒ 8 ( 3−x )=1 ( x2 −5 x +6 ) ⇔ 24−8 x−x 2+ 5 x−6=0
x −5 x +6 8
2

[

[

2
⇔−x −3 x +18=0⇔ ( 3−x ) ( x+ 6 )=0 ⇒ 3−x=0 ⇒ x =3(L)
x +6=0 x=−6(TM )

Bài 4.
a) Ta có
A C
= ⇒ AD=BC ⇒ AB− AD=BA−BC ⇒ A ( B−D )=B ( A−C )
B D
⇒

A A−C
=
B B−D

b) Ta có
A C
= ⇒ AD=BC ⇒ AB+ AD=BA+ BC ⇒ A ( B+ D ) =B ( A+C )
B D

13

⇒

A A+C
=
B B+ D

Nhiệm vụ 3: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương
pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.
PHIỂU BÀI TẬP SỐ 3
DẠNG 3: Rút gọn phân thức
Phương pháp giải:
- Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
a)

2

2 ( x+1 )
4 x ( x+1 )

( x+2 )2
b)
2x+4

e)

( 8−x ) (−x−2 )
( x +2 )2

x3 −3 x 2 +3 x−1
f)
2 x−2

( x− y )−3( y−x)
9( x− y )

c)

2 x 2 +4 x +2
3 x ( x +1 )

g)

d)

x2 +6 x +9
2 x+ 6

x 3 +2 x 2
h) 3
x +6 x 2 +12 x +8

Bài 2. Rút gọn, tính giá trị các phân thức sau
a) A=

3−6 x
với x=2
2
2 x −x + 2 x−1
3

14

9− ( x +5 )2
b) B= 2
với x=1
x + 4 x +4
2

x −xy−x+ y
c) C= 2
với x=2 ; y=1
x + xy−x − y

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau
2

2

3

2

x y +2 x y + y xy + y
=
a)
2
2
2 x− y
2 x + xy− y
2

2

x +3 xy +2 y
1
=
b) 3
2
2
3
x−
y
x +2 x y−x y −2 y

Bài 4. Cho hai phân thức

3

2

3

2

x −x −x+1 5 x +10 x +5 x
; 3
. Hãy tìm cặp phân thức bằng
4
2
2
x −2 x +1 x +3 x +3 x +1

phân thức đã cho với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất
Bài 5. Hãy rút gọn phân thức

2
2
2
a ( b−c ) +b ( c−a )+ c (a−b)

4
2
2
4 2
2
4 2
2
a ( b −c ) +b ( c −a ) + c ( a −b )

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
DẠNG 3:
Bài 1.
a)

2

2 ( x+1 )
2 ( x +1 ) ( x+ 1 ) x +1
=
=
2x
4 x ( x+1 )
2.2 x ( x +1 )

( x+2 )2 ( x+ 2 )( x +2 ) x +2
=
=
b)
2x+4
2
2 ( x +2 )
2
2
2 ( x +1 )
2 x +4 x +2 2 ( x +2 x+ 1 ) 2 ( x+1 )
=
=
=
c)
3x
3 x ( x +1 )
3 x ( x +1 )
3 x ( x +1 )
2

15

2
2
x +6 x +9 ( x +3 )
x +3
=
=
d)
2 x+ 6
2
2 ( x+3 )

e)

( 8−x ) (−x−2 ) ( x−8 ) ( x+ 2 ) x−8
=
=
x +2
( x +2 )2
( x +2 )2
3

( x−1 )
x3 −3 x 2 +3 x−1 ( x−1 )
=
=
f)
2 x−2
2
2 ( x−1 )

g)

2

( x− y )−3( y−x) ( x− y ) +3 ( x− y ) 4 ( x− y ) 4
=
=
=
9( x− y )
9 ( x− y )
9 ( x− y ) 9

2
x 3 +2 x 2
x ( x +2 )
x2
=
=
h) 3
2
3
x +6 x +12 x +8 ( x +2 )
( x+2 )2

Bài 2.
a) A=

3 ( 1−2 x )
3 ( 1−2 x )
3−6 x
−3
= 2
=
= 2
2
2
2 x −x + 2 x−1 x ( 2 x−1 ) + ( 2 x −1 ) ( 2 x−1 ) ( x +1 ) x +1
3

Thay x=2 vào biểu thức A , ta có A=

−3 −3
=
2
2 +1 5

2

9− ( x +5 ) (3+ x+5 )( 3−x−5 ) ( x+ 8 ) (−2−x ) − ( x +8 )( x +2 ) −x+ 8
=
=
=
=
b) B= 2
2
2
2
x+ 2
x + 4 x +4
( x +2 )
( x +2 )
( x+ 2 )
−1+8

Thay x=1 vào biểu thức B, ta có B= 1+2 =−3
c) C=

x2 −xy−x+ y x ( x− y )−( x− y ) ( x− y ) ( x−1 ) x − y
=
=
=
x2 + xy−x − y x ( x + y )−( x + y ) ( x + y ) ( x−1 ) x+ y
2−1

1

Thay x=2 ; y=1 vào biểu thức C , ta có C= 2+1 = 3
Bài 3.
2
2
2
2
y ( x +2 xy+ y )
y ( x+ y )
y(x+ y)
y ( x+ y )
x 2 y+ 2 x y 2+ y3
= 2
=
=
=
a) VT =
2
2
2
2 x + xy− y
2 x +2 xy−xy− y 2 x ( x+ y )− y ( x+ y ) ( x + y ) ( 2 x− y ) 2 x− y

16

xy+ y 2
¿
=VP (đpcm)
2 x− y

b)
VT =

2
2
2
2
( x + y ) ( x+2 y )
x ( x+ y )+ 2 y ( x+ y )
x +3 xy +2 y
x + xy +2 xy +2 y
=
=
=
3
2
2
3
2
2
( x +2 y )( x + y ) ( x− y )
x +2 x y−x y −2 y x ( x +2 y )− y ( x+2 y )
( x +2 y ) ( x 2− y 2 )

¿

1
=VP (đpcm)
x− y

Bài 4.
2
2
x3 −x2 −x+1 x ( x−1 ) −( x−1 ) ( x −1 ) ( x−1 ) x−1
x−1
1
=
=
= 2 =
=
4
2
2
2
2
2
x −2 x +1
x −1 ( x −1 )( x +1 ) x +1
( x −1 )
( x −1 )

3
2
5 x + 10 x +5 x 5 x ( x + 2 x +1 ) 5 x ( x+ 1 )
5x
=
=
=
3
2
3
3
x+ 1
x +3 x + 3 x +1
( x+1 )
( x+1 )
2

2

Bài 5.
Do tử số và mẫu số không có các thừa số chung, nên chúng ta lựa chọn cách đi phân
tích tử số và mẫu số.
Tử số ¿ a 2 ( b−c ) +b2 ( c−a ) +c 2 (a−b)
2

2

2

2

2

2

¿ a b−a c +b c−b a+ c a−c b
2
2
2
2
¿ a ( ab−ac−b +c ) +b c−c b

¿ a [ a ( b−c ) + ( c−b ) ( b+c ) ] +bc (b−c )
¿ a ( b−c ) ( a−b−c )+ bc(b−c)
2

¿( b−c)(a −ab−ac +bc )
¿ ( b−c ) [a ( a−b ) −c ( a−b ) ]
¿( a−b)(a−c)(b−c )

17

Tương tự tử khác mẫu số là có thêm số mũ nên
Mẫu số ¿ a 4 ( b2−c2 ) + b4 ( c 2−a2 ) +c 4 ( a2−b 2)
¿( a2−b 2)(a2−c 2 )(b2−c2 )
¿( a−b)(a+b)(a−c)(a+ c)(b−c )(b+ c)

Vậy

a2 ( b−c ) +b2 ( c−a )+ c 2 (a−b)

a ( b −c ) +b ( c −a ) + c ( a −b )
4

2

2

4

2

2

4

2

2

=

1
( a+b )( a+ c )( b+c )

Nhiệm vụ 4: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương
pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.
PHIỂU BÀI TẬP SỐ 4
DẠNG 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Phương pháp giải:
Để quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức
Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau
5

1

a) xy và 2
xy
b)

1
2
và x−1
x −x
2

d)

2
3
và x−3
x −5 x +6

e)

4
1
và 2
x −3 x +2
x −x

18

2

2

x
x 2−4
c) 2
và x−2
x +2 x

Bài 2. Đưa các phân thức sau về cùng mẫu thức
a)

x
x +1
và 2
x +x
x −1
2

3
x3 −1
b) 2
và x+1
x −1

c)

2
x +1
x −4 x +4
và 2
2
x −1
x −2 x

d)

3
3
3
x −2
và x+2
2
x −4

Bài 3. Đưa các phân thức sau về cùng mẫu thức
1

2

3

1

2

3

a) x+2 ; 2 x+ 4 và 3 x +6
b) x+3 ; 2 x−6 và 3 x −9
c)

1
2
3
;
và x−2
x
+2
x −4
2

1

2

3

d) 2 x ; x−2 và 2
2 x −4 x
Bài 4. Cho hai phân thức

1
2
và x−b với a< b
x −ax
2

a) Hãy xác định a và b biết rằng khi quy đồng mẫu thức chúng trở thành những phân
thức có mẫu thức chung là x 3−5 x 2+ 6 x
b) Với a và b tìm được hãy viết hai phân thức đã cho và hai phân thức thu được sau
khi quy đồng với mẫu thức chung là x 3−5 x 2+ 6 x

19

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
DẠNG 3:
Bài 1.
5

5y

1

a) MTC: x y 2 , suy ra xy = 2 và giữ nguyên 2
xy
xy
b) Ta có ( x 2−x )=x (x −1). MTC: x (x−1)
Suy ra

1
1
2
2x
=
;
=
x −x x ( x−1 ) x−1 x ( x−1 )
2

x 2−4 ( x−2 ) ( x+ 2 ) x−2
=
=
c) Ta có 2
. MTC: x ( x−2)
x ( x +2 )
x
x +2 x
2

x−2 ( x−2 )
x
x2
=
;
=
Suy ra
x
x ( x−2 ) x−2 x ( x−2 )

d) Ta có x 2−5 x+ 6=( x−2)( x−3). MTC: (x−2)( x−3)
Suy ra

3 ( x−2 )
2
2
3
=
;
=
x −5 x +6 ( x−2 ) ( x−3 ) x−3 ( x−2 ) ( x−3 )
2

e) Ta có x 2−3 x+ 2=( x−1 ) ( x−2 ) ; x 2−x =x( x−1).
MTC: x ( x−1)( x−2)
Suy ra

4
4
4x
1
1
x−2
=
=
; 2
=
=
x −3 x +2 ( x−1 ) ( x −2 ) x ( x−1 )( x−2 ) x −x x ( x−1 ) x ( x−1 ) ( x−2 )
2

Bài 2.
a) Ta có

x
x
1
x +1
x+ 1
1
=
=
; 2 =
=
x + x x ( x+ 1 ) x +1 x −1 ( x−1 ) ( x+ 1 ) x−1
2

MTC: (x +1)( x −1)
20

1

x−1

1

x +1

Suy ra x+1 = (x +1) ( x−1 ) ; x−1 = ( x +1) ( x−1 )
b) Ta có

x3 −1 ( x−1 ) ( x + x+1 ) x 2+ x+1
=
=
( x−1 ) ( x +1 )
x +1
x2 −1
2

MTC: x +1
suy ra

3
x3 −1 x 2 + x+1
=
và giữ nguyên x+1
2
x +1
x −1

c) Ta có

2
2
x −4 x +4 ( x−2 )
x−2 x +1
x +1
1
=
=
; 2 =
=
2
x(x −2)
x x −1 ( x−1 )( x +1 ) x−1
x −2 x

MTC: x (x−1)
x−2

Suy ra x =

( x−1)(x−2) 1
x
;
=
x−1 x ( x−1 )
x ( x −1 )

x3 −23 ( x−2 ) ( x +2 x + 4 ) x 2+ 2 x +4
=
=
d) Ta có 2
( x−2 ) ( x+ 2 )
x +2
x −4
2

MTC: x +2
3
x3 −23 x 2 +2 x + 4
=
suy ra 2
và giữ nguyên x+2
x+ 2
x −4

Bài 3.
1

2

2

1

3

3

1

a) x+2 ; 2 x +4 = 2 ( x +2 ) = x+2 ; 3 x +6 = 3 ( x +2 ) = x +2
1

x−3

2

1

x +3

3

1

x +3

b) x+3 = ( x +3 ) ( x−3 ) ; 2 x−6 = x−3 = ( x +3 ) ( x−3 ) ; 3 x −9 = x−3 = ( x +3 )( x−3 )
c)

1
1
2 ( x −2 )
3 ( x +2 )
2
3
=
=
=
;
;
x −4 ( x−2 )( x +2 ) x+2 ( x−2 ) ( x+ 2 ) x−2 ( x−2 )( x +2 )
2

1

x−2

2

4x

3

3

=
d) 2 x = 2 x ( x−2 ) ; x−2 = 2 x ( x−2 ) ; 2
2 x −4 x 2 x ( x−2 )
21

Bài 4.
a) Ta có: x 3−5 x 2+ 6 x =( x 2−2 x ) ( x−3 ) =( x−2)(x 2−3 x)
Mà a< b nên a=2 ;b=3
b) Cặp phân thức ban đầu là:

1
2
và x−3
x −2 x
2

x−3
2 x 2−4 x
Hai phân thức sau khi quy đồng là: x ( x−2 ) ( x−3 ) và
x ( x−2 ) ( x−3 )

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Chọn câu sai. Với đa thức B ≠ 0 ta có?
A

A +M

A

−A

A

A. M

A

A:N

A. B = B+ M (với M khác đa thức 0)
B. B = −B
C. B = B . M (với M khác đa thức 0)
D. B = B : N (với N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0)
−3

Câu 2: Với điều kiện nào của x thì phân thức  6 x+24  có nghĩa?
A. x ≠ 3.
B. x ≠ -4.
C. x ≠ 2.
D. x ≠ 4.

22

x 2−1
Câu 3: Giá trị của x để phân thức  2
 có giá trị bằng 0 là?
x −2 x +1

A. x = -1
B. x = 1
C. x = -1; x = 1  
D. x = 0
Câu 4: Điều kiện để phân thức 

x
 xác định là
x +2 x
2

A. x ≠ -2
B. x ≠ 2
C. x ≠ 0 và x ≠ 2
D. x ≠ 0 và x ≠ -2
Câu 5: Chọn câu sai.
5 x +5

x+ 1

A. 5 x = x
B.

2

x −9
=x−3
x +3
5 x +5

C. 5 x = 5
D.

x +3
1
=
2
x −9 x−3

Câu 6: Chọn đáp án không đúng?
A.

x−3
1
=
2
x+3
x −9

23

3 x −3

x−1

B. 3 x = x

x2 −6 x+ 9 3−x
=
C.
2
x +3
9−x
x ( x −4 )
D.
=x ( x +2)
2−x
2

5 x−10

Câu 7: Điều kiện của x để phân thức  x −7  được xác định là:
A. x = 0 và x = 7
B. x ≠ 0 và x ≠ 7
C. x ≠ 0
D. x ≠ 7
9−4 x

Câu 8: Giá trị của x để phân thức  −3  > 0 là?
−9

A. x > 4
9

B. x < 4
−9

C. x < 4
9

D. x > 4

ĐÁP ÁN
1. A

2. B

3. A

4. D

5. C

6. D

7. D

8. D

24

25

Ngày soạn: …/…/…
Ngày dạy: …/…/…
BÀI 2: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức, kĩ năng
Sau bài học này, HS sẽ:
Ôn lại và củng cố kiến thức về phép cộng, phép trừ phân thức đại số:
-

Thực hiện được phép cộng, phép trừ hai phân thức đại số.

-

Vận dụng được các tính chất giao hoán, kết hợp, quy tắc dấu ngoặc trong tính
toán với phân thức đại số.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học: củng cố lại kiến thức và hoàn thành các nhiệm vụ
GV yêu cầu.

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác: Thảo luận, trao đổi, thống nhất ý kiến trong
nhóm đề hoàn thành nhiệm vụ được giao.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa các đối
tượng đã cho và các phương pháp đã học, từ đó áp dụng kiến thức đã học để
cộng, trừ các phân thức cùng mẫu, khác mẫu.

-

Mô hình hóa toán học: áp dụng các phương pháp cộng, trừ phân thức để giải
bài toán quãng đường và các bài toán về hình học (chiều cao, diện tích đáy,…).

-

Sử dụng công cụ, phương tiện toán học.

3. Về phẩm chất
-

Có ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS => độc
lập, tự tin và tự chủ.
26

-

Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình và nhóm
bạn.

-

Tự tin trong việc tính toán; giải quyết bài tập chính xác.
→ Phát triển tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy

nghĩ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, phiếu học tập.
- Học sinh: Vở, nháp, bút.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
A. KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu: Tạo tâm thế và định hướng chú ý cho học sinh, tạo vấn đề vào chủ đề.
b) Nội dung hoạt động: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu.
c) Sản phẩm học tập: Kết quả câu trả lời của HS.
d) Tổ chức hoạt động:
- GV chia 2 nhóm tương ứng tổ 1 và tổ 2 là một nhóm, tổ 3 và tổ 4 là một nhóm. GV
yêu cầu hai nhóm đưa ra các phép tính cộng, trừ phân thức. Sau khi viết xong hai
nhóm trao đổi và hai nhóm thực hiện phép cộng trừ phân thức.
Sau 5 phút hoàn thành, đội nào nhanh và chính xác nhất, đội đó giành chiến thắng.
- GV nhận xét, dẫn dắt HS vào nội dung ôn tập bài “Phép cộng, phép trừ phân thức
đại số”.
B. HỆ THỐNG LẠI KIẾN THỨC
a. Mục tiêu: HS nhắc lại và hiểu được phần lý thuyết của bài. Từ đó có thể áp dụng
giải toán một cách dễ dàng.
b. Nội dung hoạt động: GV hướng dẫn HS nhắc lại phần kiến thức lí thuyết.
c. Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS về bài toán cộng, trừ phân thức cùng mẫu;
cộng, trừ phân thức khác mẫu và chuẩn kiến thức của GV.
d. Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM
27

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm 1. Phép cộng các phân thức đại số
vụ học tập
- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc
lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi
nhớ trong bài “Phép cộng, phép trừ
phân thức đại số” trước khi thực

a) Cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức,
ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên
mẫu thức.
A B A+ B
+ =
M M
M

hiện các phiếu bài tập.
Bước 2: HS thực hiện nhiệm vụ,
học tập

x

y

x+ y

Ví dụ: xy + xy = xy

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ b) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau
lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
động, thảo luận
2

1

3.2

5.1

6+ 5

11

đại diện một số HS đứng tại chỗ Ví dụ: 5 x + 3 x = 15 x + 15 x = 15 x = 15 x
trình bày kết quả.
c) Tính chất của phép cộng phân thức
Bước 4: Đánh giá kết quả thực
Giống như phép cộng phân số, phép cộng
hiện nhiệm vụ học tập
phân thức cũng có các tính chất sau: giao
GV đưa ra nhận xét, đánh giá, hoán, kết hợp, cộng với số 0.
chuẩn kiến thức.

2. Phép trừ các phân thức đại số
a) Quy tắc trừ hai phân thức
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta
trừ các tử thức của phân thức bị trừ cho tử
thức của phân thức trừ và giữ nguyên mẫu
28

thức.
A B A−B
− =
M M
M

Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác
nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ hai phân
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
x

y

x− y

Ví dụ: xy − xy = xy

2
1
3.2 5.1 6−5
1
− =
−
=
=
5 x 3 x 15 x 15 x 15 x 15 x

b) Phân thức đối
Cũng giống như phân số, mỗi phân thức đều
có phân thức đối sao cho tổng của hai phân
thức bằng 0
Nhận xét:
A

- Phân thức đối của phân thức B kí hiệu là
−A
B

( )

A −A
Ta có: B + B =0
−A

−A

A

- Ta có: B = B = −B
−A

A

- Phân thức đối của phân thức B là B , tức là

( −BA )= BA

−

29

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG
a. Mục tiêu: HS biết cách giải các dạng bài tập thường gặp trong bài “Phép cộng,
phép trừ phân thức đại số” thông qua các phiếu bài tập.
b. Nội dung hoạt động: HS thảo luận nhóm, thực hiện các hoạt động cá nhân và hoạt
động nhóm để hoàn thành phiếu bài tập.
c. Sản phẩm học tập: Kết quả thực hiện của HS.
d. Tổ chức thực hiện:
Nhiệm vụ 1: GV phát phiếu bài tập, nêu phương pháp giải, cho học sinh làm bài theo
nhóm bằng phương pháp khăn trải bàn.
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1
DẠNG 1: Cộng, trừ phân thức cùng mẫu
Phương pháp giải:
Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử
thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức
A C A+C A C A−C
+ =
; − =
B B
B
B B
B

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
x2
4 x +4
+
a)
với x ≠−2
5 x +10 5 x +10

b)

3 a+7 2 a+ 3
+ 2 với a ≠ 0 ; b ≠ 0
2
5a b 5 a b

c)

10 x−1 7 x−1
− 2 với x ≠ 0 ; y ≠ 0
3 x2 y
3x y

d)

a
ab
− 2 2 với a ≠ ± b
2
2
a −b a −b

2

30

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)

3 x 2−2 x 4 x+1 10−2 x2
+
+
với x ≠ 3
x−3
3−x
x−3

b)

2−a a−2a 2−3 a
+
+
với x ≠ 2
a−2
2−a
a−2

c)

x+37 12+10 x x ( x−1)
−
−
với x ≠ 5
x −5
x−5
5−x

2

2

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
2

2+ x 2−x 3−x
+
−
a) A=
tại x=−2
x−1 1−x

b) B=

x−1

−1
( x+ 2 )2 7+ 2 x x( x−3)
−
−
tại x= 2
2 x−3 2 x−3 3−2 x

Bài 4. Tìm x , biết
a)

x2 −6 x 5 ( x−1 ) 5 x
+
+
=0 với x ≠ 1
x −1
x−1 x−1

b)

2 x + x x +1 x −2
−
−
=0 với x ≠ 1
x−1 1−x x−1

2

2

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
DẠNG 1:
Bài 1.
a)

2

2
2
x
4 x +4 x + 4 x+ 4 ( x+ 2 )
x +2
+
=
=
=
5 x +10 5 x +10
5 x+10
5
5 ( x +2 )

31

b)

3 a+7 2 a+ 3 3 a+7+2 a+3 5 a+10 a+ 2
+
=
=
= 2
5 a2 b 5 a2 b
5 a2 b
5 a2 b
a b

c)

10 x−1 7 x−1 10 x −1−7 x+ 1 −3 x −1
− 2 =
= 2 =
2
2
3x y
3x y
3x y
3 x y xy

2
2
a ( a−b )
a
ab
a −ab
a
−
=
=
d) 2 2 2 2 2 2 =
(
a+
b
)
(
a−b
)
a+b
a −b a −b
a −b

Bài 2.
a)

3 x 2−2 x 4 x+1 10−2 x2 3 x2 −2 x 4 x +1 10−2 x 2 3 x 2−2 x−4 x−1+10−2 x 2
+
+
=
−
+
=
x−3
3−x
x−3
x−3
x−3
x−3
x−3

2
x2−6 x+ 9 ( x−3 )
¿
=x−3
=
x−3
x−3

b)
=

2−a 2 a−2a 2 2−3 a 2−a2 a−2 a2 2−3 a 2−a2−a+ 2a 2+2−3 a a2−4 a+4
+
+
=
−
+
=
=
a−2
2−a
a−2
a−2
a−2
a−2
a−2
a−2

( a−2 )2
=a−2
a−2

c)
x+37 12+10 x x ( x−1) x +37 12+10 x x2 −x x+ 37−12−10 x + x 2−x x2−10 x +25
−
−
=
−
+
=
=
x −5
x−5
5−x
x−5
x−5
x−5
x−5
x−5

( a−5 )2
=a−5
=
a−5

Bài 3.
a) ĐKXĐ: x−1 ≠ 0⇔ x ≠ 1
A=

2+ x 2−x 3−x 2 2+ x 2−x 3−x 2 2+ x + x−2−3+ x 2 x 2+ 2 x−3
+
−
=
−
−
=
=
x−1 1−x x−1 x−1 x−1 x−1
x−1
x−1

=

( x−1 )( x +3 )
=x +3
x−1

32

Thay x=−2 vào biểu thức rút gọn ta được A=−2+3=1
3

b) ĐKXĐ: 2 x−3 ≠0 ⇔ x ≠ 2
( x+2 )2 7+2 x x ( x−3 ) x2 + 4 x+ 4 7 +2 x x 2−3 x x2 + 4 x+ 4−7−2 x + x 2−3 x
−
−
=
−
+
=
2 x−3 2 x −3 3−2 x
2 x−3
2 x−3 2 x−3
2 x−3
¿

2 x −x−3 ( 2 x−3 ) ( x+1 )
=
=x +1
2 x−3
2 x−3
2

−1

−1

1

Thay x= 2 vào biểu thức rút gọn ta được B= 2 + 1= 2
Bài 4.
a)

x2 −6 x 5 ( x−1 ) 5 x
x 2−6 x+5 x−5+ 5 x
x 2 +4 x −5
+
+
=0 ⇔
=0 ⇔
=0
x −1
x−1 x−1
x−1
x−1

⇔

( x +5 ) ( x−1 )
=0 ⇔ x +5=0 ⇔ x=−5 (TM)
x−1

b)

2 x + x x +1 x −2
2 x + x x +1 x −2 2 x + x + x−1−x +2
−
−
=0 ⇔
+
−
⇔
=0
x−1 1−x x−1
x−1 x−1 x−1
x−1

2

2

2

2

2

2

2

2

( x +1 )
x +2 x +1
⇔
=0 ⇔
=0 ⇔ x +1=0 ⇔ x=−1 (TM)
x−1
x−1

Nhiệm vụ 2: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương
pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.
PHIỂU BÀI TẬP SỐ 2
DẠNG 2: Cộng, trừ phân thức khác mẫu
Phương pháp giải:
Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức, ta thực hiện các bước:

33

- Quy đồng mẫu thức.
- Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Bài 1. Thực hiện phép tính
5

7−2 x

a) x+3 + 2
x −9
b)

x
9y
+ 2
3 y −xy x −3 xy
2

3

8−x

c) x−2 − 2 x−4
d)

2 x +9
1
−
2
2
x+
3
9−4 x

Bài 2. Thực hiện phép tính
2

x −1

3

a) x+2 + 2 + x−2
x −4
b)

5 b−3 a+1 4 a+2
+
+
2
3
3
9 a b 5 a b 15 a b
1

1

2x

c) x− y − x + y + 2 2
x −y
x

1

3

d) 2 x−2 − 2 − 2 x +2
x −1
Bài 3. Tìm x , biết
a) x−

3 a+b 2 a2−2ab
= 2
, (a , b là những hằng số)
b
b −ab
4

4

2
a +b
b) x + ( a+b ) =
, (a , b là những hằng số)
( a−b )2

Bài 4. Con tàu du lịch đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó, nó nghỉ lại tại Việt
34

Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70 km.
Vận tốc dòng nước là 3 km/h. Vận tốc riêng của con tàu (tức là vận tốc trong nước
yên lặng) là x km/h. Hãy biểu diễn qua x .
a) Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì
b) Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội
c) Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
Biết rằng:
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng của tàu + vận tốc dòng nước
Vận tốc nược dòng = vận tốc riêng của tàu – vận tốc dòng nước
Bài 5. Một xe dự định đi từ A đến B dài 80 km trong x giờ (đi với vận tốc đều).
Thực tế xe đã đi nhanh hơn dự định nên đến B sớm hơn 1 giờ. Hãy biểu diễn theo x
a) Vận tốc dự định đi từ A đên B
b) Vận tốc thực tế đã đi
c) Vận tốc tăng thêm so với dự định

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
DẠNG 2:
Bài 1.
5 ( x−3 )

5
7−2 x
5
7−2 x
7−2 x
5 x −15+7−2 x 3 x−8
=
+
=
= 2
a) x+3 + 2 = x +3 +
( x +3 )( x−3 ) ( x +3 ) ( x−3 ) ( x +3 ) ( x−3 )
( x +3 ) ( x−3 )
x −9
x −9

35

−( x −9 y )
x
9y
x
9y
−x . x
9 y.y
+ 2
=
+
=
+
=
b) 2
3 y −xy x −3 xy y ( 3 y−x ) x ( x−3 y ) xy ( x −3 y ) xy ( x−3 y ) xy ( x−3 y )
2

2

−( x+3 y ) ( x−3 y ) −x−3 y
=
xy
xy ( x−3 y )

=

3

8−x

3

8−x

3.2

8−x

6−8+ x

x−2

1

c) x−2 − 2 x−4 = x−2 − 2 ( x−2 ) = 2 ( x−2 ) − 2 ( x−2 ) = 2 ( x −2 ) = 2 ( x−2 ) = 2
d)
2 x +9
1
2 x+ 9
1
2 x+ 9
3−2 x
2 x+ 9−3+ 2 x
−
=
−
=
−
=
2
9−4 x 2 x+ 3 (3−2 x )( 2 x+3 ) 2 x+ 3 ( 3−2 x ) ( 2 x+3 ) ( 3−2 x ) ( 2 x +3 ) ( 3−2 x ) ( 2 x +3 )
2(2 x+3)

4 x +6

2

=
=
=(
3−2 x )( 2 x+ 3 ) (3−2 x )( 2 x+3 ) 3−2 x

Bài 2.
2

x −1

3

2

x−1

2 ( x−2 )

3

x−1

3 ( x +2 )

+
=
+
+
a) x+2 + 2 + x−2 = x +2 +
( x +2 ) ( x−2 ) x−2 ( x+ 2 )( x−2 ) ( x+2 ) ( x−2 ) ( x +2 ) ( x−2 )
x −4

=

2 x−4+ x −1+ 3 x +6 6 x +1
= 2
( x +2 ) ( x−2 )
x −4

2
2
2
5 b−3 a+1 4 a+2 ( 5 b−3 ) 5 a b 9 a ( a+1 ) 3 b ( 4 a+2 )
+
+
=
+
+
b)
2
3
3
3 3
3 3
3 3
9 a b 5 a b 15 a b
45 a b
45 a b
45 a b

¿

3

2

3

2

2

2

3

3

2

2

25 a b −15 a b + 9 a +9 a +12 a b +6 b 25 a b + 9 a −3 a b + 9 a +6 b
=
3 3
3 3
45 a b
45 a b
1

1

2x

1

1

2x

c) x− y − x + y + 2 2 = x− y − x + y + ( x + y ) ( x− y )
x −y
¿

1( x + y )
1 ( x− y )
2x
x+ y −x+ y+ 2 x
−
+
=
( x+ y ) ( x− y ) ( x+ y )( x− y ) ( x + y ) ( x− y )
( x + y )( x− y )

¿

2 (x+ y )
2 x +2 y
2
=
=
x−
y
( x+ y ) ( x− y ) ( x+ y )( x− y )

36

2

x

1

3

x

1

3

d) 2 x−2 − 2 − 2 x +2 = 2 ( x−1 ) − ( x+ 1 )( x−1 ) − 2 ( x +1 )
x −1
¿

x(x +1)
3 ( x−1 ) x 2...