NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Bình phương một tổng.
 Quy tắc: Bình phương của một tổng gồm hai số bằng tổng bình phương mỗi số
với 2 lần tích hai số đó.
.
Ví dụ:
.
2. Bình phương một hiệu.
 Quy tắc: Bình phương của một hiệu gồm hai số bằng hiệu của tổng bình phương
mỗi số với 2 lần tích hai số đó.
.
Ví dụ:
.
3. Hiệu hai bình phương.
 Quy tắc: Hiệu hai bình phương bằng tích của tổng với hiệu của hai số đó.
.
Ví dụ:
4. Lập phương của một tổng.

.

.
Ví dụ:
5. Lập phương của một hiệu.

.

.
Ví dụ:
.
6. Tổng hai lập phương.
 Quy tắc: Tổng của hai lập phương bằng tích của tổng hai số với bình phương
thiếu của hiệu hai số đó.
.
Chú ý: biểu thức

được gọi là bình phương thiếu của hiệu.

1

Ví dụ:

.

7. Hiệu hai lập phương.
 Quy tắc: Hiệu của hai lập phương bằng tích của hiệu hai số với bình phương
thiếu của tổng hai số đó.
.
Chú ý: biểu thức

được gọi là bình phương thiếu của tổng.

Ví dụ:
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

.

Dạng 1: Thực hiện phép tính
 Vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức ở phần trọng tâm kiến thức.
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính
a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Ví dụ 2. Khai triển các biểu thức sau
a)

;

b)

c)

;

;

d)

.

Ví dụ 3. Khai triển các biểu thức sau
a)

;

b)

.

ĐS:
ĐS:

Ví dụ 4. Thực hiện phép tính:

a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Ví dụ 5. Thực hiện phép tính
a)

;

b)

2

;

c)

;

d)

.

Ví dụ 6. Thực hiện phép tính
a)

;

b)

c)

;

d)

;

.

Dạng 2: Viết biểu thức dưới dạng tích
 Sử dụng cách viết ngược lại của các hằng đẳng thức đã nêu ở phần trọng tâm
kiến thức.
 Lưu ý:

. Như vậy bình phương của một số cũng gọi là dạng tích của

số đó.
Ví dụ 7. Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu
a)

;

c)

b)
;

;

d)

.

Ví dụ 8. Điền các đơn thức vào chỗ “...” để hoàn thành các hằng đẳng thức sau
a)

;

c)

;

b)

;

d)

.

Ví dụ 9. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc hiệu:
a)

;

c)

b)
;

;

d)

.

Ví dụ 10. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
a)

;

b)

;

c)

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức
3

;

d)

.

 Bước 1: Rút gọn biểu thức (nếu cần).
 Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Ví dụ 14. Tính giá trị biểu thức:
a)

tại

b)

tại

;

ĐS: 27000

;

ĐS: 8

c)

tại

,

.

ĐS: 8000

Ví dụ 15. Tính bằng cách hợp lí:
a) Tính

;

ĐS: 1330

b) Tính giá trị biểu thức

biết

và

.

ĐS: 378

Ví dụ 16. Tính giá trị biểu thức:
a)

tại

b)

biết

;

ĐS: 72000

.

ĐS: 0

Dạng 4: Tính nhanh
 Áp dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt cho các số tự nhiên.
Ví dụ 17. Tính nhanh
a)

;

b)

;

c)

.

Ví dụ 18. Tính nhanh:
a)
c)

;
;

ĐS: 1030301

b)

;

ĐS: 1000000

ĐS: 970299

d)

.

ĐS: 1000

Ví dụ 19. Tính giá trị của biểu thức
a)

;

b)

;

trong mỗi trường hợp sau
ĐS:
ĐS:

4

c)

.

ĐS:

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức. Rút gọn biểu thức
 Áp dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt để biến đổi vế này thành vế
kia trong một đẳng thức.
Ví dụ 20. Chứng minh các đẳng thức sau
a)

;

b)

.

Ví dụ 21. Rút gọn các biểu thức sau
a)

;

ĐS:

b)

.

ĐS:

Ví dụ 22. Rút gọn biểu thức:
a)

;

b)

.

Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức:
a)

;

b)

;

c)

.

Dạng 6****: Chứng minh bất đẳng thức; tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức
 Bước 1: Đưa các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc một
hiệu.
 Bước 2: Đánh giá dựa vào kết quả
 Bước 3: Kết luận GTLN hoặc GTNN

và

thì biểu thức A có GTLN là M.
thì biểu thức A có GTNN là

5

.

.

Ví dụ 24. Chứng minh
a) Biểu thức

luôn dương với mọi

b) Biểu thức

luôn âm với mọi

.

.

Ví dụ 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a)

;

b)

ĐS:

;

ĐS:

c)

.

ĐS:

Ví dụ 26. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Khai triển biểu thức sau

a)

;

b)

d)

;

;

c)

e)

;

;

f)

.

Bài 8. Thực hiện phép tính

b)

;

c)

;

d)

.

b)

;

Bài 9. Khai triển các biểu thức sau
a)

c)

;

;

d)

.

Bài 2. Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu

6

ĐS:

a)

;

c)

b)

;

;

d)

e)

;

;

f)

.

Bài 1. Tính:

a)

;

b)

;

c)

;

d)

.

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:
a)

;

b)

;

c)

.

Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a)

;

b)

c)

;
.

Bài 4. Tính giá trị biểu thức:
a)

tại

b)

;

tại

c)

ĐS: 125000

;
tại

ĐS: 1000
,

.

ĐS: 8000

Bài 5. Tính nhanh:
a)

;

ĐS: 132651

b)

;

c)

ĐS: 1000000

.

ĐS: 8000

Bài 1. Đơn giản biểu thức:
a)

;

b)
7

;

c)

;

d)

.

Bài 3. Tính nhanh
a)
c)

;

ĐS:
.

b)

;

ĐS:

ĐS:

Bài 4. Rút gọn biểu thức
a)

;

ĐS:

b)

.

ĐS:

Bài 1. Tính:

a)

;

b)

;

c)

.

Bài 2. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu.
a)

;

b)

.

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức
a)

tại

b)

tại

;

ĐS:
.

ĐS:

Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a)
b)

;

ĐS:

;

ĐS:

c)

.

ĐS:

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a)

;

ĐS:
8

b)

.

ĐS:

Bài 10. Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu
a)

;

c)

b)

;

;

d)

.

Bài 11. Hoàn thiện các hằng đẳng thức sau
a)

;

b)

c)

;

d)

;
.

Bài 12. Chứng minh các đẳng thức sau
a)

.

b)

.

Bài 13. Rút gọn các biểu thức
a)

;

ĐS:

b)

.

ĐS:

Bài 14. Khai triển các biểu thức sau
a)

;

b)

.

ĐS:
ĐS:

Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a)

;

b)

Bài 17. Tính: a)

;

b)

d)

;

e)

.

;

c)

;

; f)

.

Bài 15. Tính nhanh
a)

;

b)

;

9

c)

.

Bài 16. Tính giá trị của biểu thức
a)

trong mỗi trường hợp sau

;

b)

ĐS:
;

c)

ĐS:
.

ĐS:

Bài 18. Thực hiện phép tính

a)

;

b)

;

c)

.

Bài 19. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu
a)

;

b)

;

c)

.

Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a)

;

b)

.

Bài 3. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
a)

;

b)

.

Bài 4. Tính giá trị biểu thức:
a)

biết

b)

biết

;

ĐS: 0

.

ĐS: 1

Bài 5. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
a)

;

b)

;

c)
10

;

d)

.

Bài 6. Rút gọn các biểu thức:
a)

;

b)

;

c)

.

Bài 8.
a) Chứng minh

và

b) Áp dụng để tính

.

ĐS: 1030300

c) Tính giá trị biểu thức

biết

và

.

ĐS: 26

Bài 9. Tính giá trị biểu thức:
a)

tại

b)
Bài 1. Tính:

;

biết
a)

.

;

c)

b)

;

Bài 8. Tính: a)

ĐS: 2000000

;

d)

;

.
b)

c)

ĐS: 0

;

;

d)

.

Bài 2. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương hay lập phương của một tổng
hoặc hiệu.
a)

;

b)

Bài 3. Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống

a)

;
11

.

b)

.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức:

.

Bài 20. Rút gọn biểu thức:
a)

;

b)

.

Bài. Tính nhanh (không dùng MTBT)
a)

;

b)

;

c)

;

d)

Bài 22. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau với

.

Bài 23. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau với

.

Bài 4. Cho biểu thức
của biểu thức

.

. Rút gọn rồi tính giá trị

với

.

Bài 5. Cho biết

và

. Tính giá trị của biểu thức

.

Bài 6. Tính nhanh giá trị của biểu thức
a)

;

b)

.

Bài 7. Chứng minh đẳng thức

.

Bài 8. Chứng minh đẳng thức

Bài 17. Chứng tỏ
a)

với mọi

;

b)

Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
12

với mọi

.

a)
b)

; ĐS:
; ĐS:

c)

. ĐS:

Bài 19. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

. ĐS:

.

Bài 12. Chứng minh giá trị của biểu thức

luôn luôn dương với mọi

.

Bài 13. Chứng minh giá trị của biểu thức
trị của .

luôn luôn âm với mọi giá

Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Bài 24. Chứng minh rằng

chia hết cho

với

.

Bài 25. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)
Bài. Cho

;

b)
. Chứng minh rằng

.
.

Bài 5. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 6. Giá trị của biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến không?

13

Bài 7. Chứng minh đẳng thức:

.

Bài. Rút gọn các biểu thức sau:

.

Bài. Chứng minh đẳng thức
Bài. Cho

.

, tính giá trị của biểu thức

14

.