Buổi 1: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Tổng hợp kiến thức cần nhớ:
- Muốn cộng (hay trừ) hai đa thức, ta nối hai đa thức đã cho bởi dấu '+' (hay dấu “-”) rồi bỏ
dấu ngoặc (nếu có) và thu gọn đa thức nhận được.
- Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp tương tự như phép cộng các số.
- Với A, B, C là những đa thức tùy ý, ta có: A  B  C ( A  B )  C  A  ( B  C ) .
- Nếu A  B C thì A B  C ; ngược lại, nếu A B  C thì A  B C .
2. BÀI TẬP
Bài 1: Thu gọn các đa thức sau
a)

A 2 x 2  x 

1 2
x  5x
2

2
2
b) B 2 xy  3x y  6 xy  5 x y

c)

C 2 x 3  2 xy  x 2  5 xy  x 2 

1 3
x
2

Bài 2: Tính tổng hai đa thức sau

2
3
2
3
2
a) E x y  x  xy  3 và F 3x  xy  xy  6
2
3
3 2
3
b) M x y 0,5 xy  7,5 x y  x và

N 3 xy3  x 2 y  5,5 x 3 y 2

2
2
2
2
Bài 3: Cho hai đa thức P = 5x + 6xy - y và Q = 2y - 2x - 6xy . Chứng minh rằng không
tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức P và Q cùng có giá trị âm.
Bài 4: Cho hai đa thức:

M 3xyz  3 x 2  5xy  1; và
N 5x 2  xyz  5xy  3  y.

Tính M  N ; N  M.
Bài 5: Tính hiệu của hai đa thức A và B
2
2
2
2
a) A x  y  2 xy; B x  y  2 xy .

3
2
3
2
b) A  2 x  xy  3x  1; B 3x  xy  4 x  5 .
Bài 6: Tìm đa thức M biết
6x2 - 3xy2) + M = x2 + y2 - 2xy2;
(
a)

(

)

M - 2xy - 4y2 = 5xy + x2 - 7y2.

b)
Bài 7: Cho các đa thức :

A = 5x3y - 4xy2 - 6x2y2 ;
B = - 8xy3 + xy2 - 4x2y2
C = x3 + 4x3y - 6xy3 - 4xy2 + 5x2y2 . Hãy tính:

a) A  B  C
b) B  A  C

c) C  A  B
Bài 8: Tính giá trị của các đa thức sau
a)

A 6 x  12  y  2   6 y.

Biết x  y  1 .

3
2
2
2
b) B x  x y  3x  xy  y  4 y  x  2.

Biết x  y  3 0.

x3  3x 2 y  5 xy 2  7 xy  2 là đa
M
M
Tìm
đa
thức
sao
cho
tổng
của
và
đa
thức
Bài 9.
thức bậc 0 . Có tất cả bao nhiêu đa thức M thỏa mãn điều kiện như vậy.
2
2
2
2
Bài 10. Cho các đa thức M  6 x  5 xy  13 y ; N x  5 xy  2 y . Chứng tỏ rằng M ,

N không thể cùng có giá trị dương.
3
2
3
2
Bài 11. Cho hai đa thức: A x  x  2 x  1; B  x  x .

a) Tính M  A  B;
b) Tính giá trị của M tại x 1;
c) Tìm x để M 0.
2
2
2
2
2 2
Bài 12. Cho các đa thức A x  2 y  xy  1; B x  y  x y  1.

Tìm C sao cho
a) C  A  B;

b) C  A B.

Bài 13. Cho các đa thức sau

M 4 x 3  2 x 2 y  xy  1 và N 3 x 2 y  2 xy  5 và P 4 x 3  5 x 2 y  3xy  1
Tính a) M – N – P;
b) P – N – M.

Buổi 2: ÔN TẬP PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA ĐA THỨC
Ngày soạn:

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng
tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

B B 0 
- Đơn thức A chia hết cho đơn thức 
khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ
không lớn hơn số mũ của nó trong A.
- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia hệ số cho hệ số, biến số
cho biến số rồi nhân các kết quả với nhau.
- Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.
- Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết) ta chia từng hạng tử của A cho
B rồi cộng các kết quả với nhau.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Thực hiện phép tính
a)

x y
2

– 2 xy  3x 2 y 

b)

 2 xy 2 .  x3 y  2 x 2 y 2  5 xy 3 

c)

3x y – 6 xy  9 x .  43 xy  
2

2
1  1 

3
  10 x  y  z  .   xy 
5
3  2 
d) 
Bài 2: Thực hiện phép tính
a)
b)

 x  1 x – y  2 

 xy  2 2 x  3xy 2 

5 
1 2

 x  2 x  3   xy  x 
4 

c)  3

3 x 2 y. 2 x 2 – y  – 2 x 2 . 2 x 2 y – y 2 

d)
Bài 3: Thực hiện phép tính

15 x y
a)
5

3

 10 x3 y 2  20 x 4 y 4  : 5 x 2 y 2

3x y
b)
4

3

 9 x 2 y 2  15 xy 3  : xy 2

3

2

2

 2 x 2 y 2  3x 4 y 3  6 x 3 y 2  :  xy 2

d) 

3

c) (18 x y  12 x y  6 xy ) : 6 xy

1 4 2 3
 5 4
 10 2 3 15 3 4
 5
3 2 1
2
x yz  xy z  5 xyz 2  : xyz 2
 5 x y z  x y z  2 xy z  : xy z

2
2
 4
 3
e) 
f)  3
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
1
 x  x 2  x  1  x 2 2 x  4   x  x  1  2
2
a)
x xy  1  y  xy  1  xy  x  y 
b) 
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
 x 2  xy  y 2  2 xy 
3  2 x x  2   4 x  1x  3
a)

 xy  x 2  xy  y 2 

x
x
c)

n

b)

 y n  x 2 n  x n y n  y 2 n 

3n

 2  x  2 x  2 

 y 3n  , n  

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức
A  x 5  100 x 4  100 x 3
 100 x 2  100 x  9
một cách hợp lý tại x 99 .
Bài 7: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y:
2
2
2
a) A  5 x( y  2 x)  5(1  y x)  10 x

B 4 xy  x 2 – 3 y 2   6 x  x 2  2 y 3  – 2 x 3 3  2 y 

b)
Bài 8: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x; y
 xy  3x  y 2  1  xy  y  1 y  1
a)

 3  xy 2  x  4 

 x 2 y a 2  b 2   ax 2  by ay  bx 2 

 ab  x 4  y 4 
b)
Bài 9: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến:
 x4 1 5  2 x4 1 4  3 x4 1 3 















:  x 4  1

3

Bài 10. Thực hiện phép tính
3 5
4 4
5 2
3 2
a) (15 x y  20 x y  5 x y ) : (  5 x y )
 15  x  y 5  10  x  y 4  20  y  x 3  : 5  y  x 3

b) 
Bài 11. Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau

a)

A 2 x 3x 2  5   x 3 x  x 2   x 2

b)

C 6  x 2  x   x 2 4 x  2   4 x x 2  2 x  3 

tại x 2 .
tại x  4 .

Bài 12. Tìm x, biết:
a) 3(2 x  1)  5( x  3)  6(3 x  4) 24

c) 2 x(5  3x)  2 x (3x  5)  3( x  7) 3
d) 3x( x  1)  2 x( x  2)  1  x .

2
2
b) 2 x  3( x  1) 5 x( x  1)

Buổi 3: TỨ GIÁ . HÌNH THANG CÂN
Ngày soạn:
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tứ giác, tứ giác lồi
a) Định nghĩa
+ Tứ giác ABCD là một hình gồm bốn đoạn thẳng AB , BC , CD , DA trong đó không có
hai đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng.
+ Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường
thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.
b) Định lý tổng các góc của một tứ giác:
o

Tổng các góc của một tứ giác bằng  360 .
2. Hình thang, hình thang cân
a) Hình thang: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

A

B

C

D
-Nhận xét:  
o

+ Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 .
b) Hình thang cân: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

A

D
- Tính chất:

B

C

+ Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+ Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
- Dấu hiệu nhận biết:
+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.
2. BÀI TẬP

   
Bài 1. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo tỉ lệ: A : B : C : D 4 : 3 : 2 :1
Bài 2: Tìm

x

và y ở hình vẽ dưới biết các hình thang ABCD và EFGH có đáy lần lượt là

AB và CD ; EF và GH .

Bài 3: Cho hình thang ABCD

 
( AB // CD ) có B  C 10
Tính số đo góc B ?
Bài 4: Tứ giác ABCD có BC CD và DB là phân giác của góc D . Chứng minh ABCD là
hình thang.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A , các đường phân giác BD , CE
( D  AC , E  AB ).
a) Chứng minh BEDC là hình thang cân;


b) Tính các góc của hình thang cân BEDC , biết C 50 .

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB  AC , đường phân giác AD . Đường vuông góc với AD tại

D cắt AB và AC lần lượt tại F và E . Trên cạnh DC lấy điểm I sao cho DI DB . Chứng
minh AEIB là hình thang.
Lời giải
Kéo dài ED cắt AB tại F

AD là phân giác và là đường cao của AEF .  AEF cân tại A .
 AD là đường trung tuyến.  DE DF .

Xét BDF và IDE có

DI DB (giả thiết);


BDF
EDI
(đối đỉnh);

DE DF (chứng minh trên).

 DFB

 EI // AB  AEIB là hình thang.
 BDF IDE (c.g.c).  IED
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có AB //CD , O là giao điểm của hai đường chéo, E là
giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD và BC Chứng minh
a) OA OB , OC OD ;
b) EO là đường trung trực của hai đáy hình thang ABCD .
Bài 8: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD , đường chéo DB vuông góc với cạnh bên
BC , DB là tia phân giác góc D . Tính chu vi của hình thang, biết BC 3 cm.

Lời giải

 
Trong hình thang cân ABCD có B  C 180
  90  D
 D
 180
 B
1
1
2
 90
 3B
1
 30
B
1
 60
C
.

Gọi O BC  AD  OCD đều


nên AOB 60 .
AOB 60
OAB có OA OB , 

 OAB đều  BA  AD BC .

Chu vi của hình thang ABCD là
3  3  6  3 18 cm.

Bài 9: Cho hình thang ABCD
( AD // CB , AD  BC ) có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD , AC là tia phân giác



góc BAD
và D 60 .
a) Chứng minh ABCD là hình thang cân;
b) Tính độ dài cạnh AD , biết chu vi hình thang bằng 20 cm.

a) Gọi O BD  DC . Tam giác OAD có AC vừa là phân giác vừa là đường cao nên OAD
cân tại A .


Lại có D 60 nên OAD là tam giác đều. Suy ra ABCD là hình thang cân.
b) Theo phần a) C là trung điểm OD , mà OAD đều  AD 2CD 2 AB .



Lại có BC // AD  BCA CAD
OAD đều mà AC là đường cao

 CAD

 BAC


Nên  BAC BCA

 ABC cân tại B  AB BC

Do chu vi hình thang ABCD là
AD  DC  CB  BA 20
 5 BC 20

 BC 4  AD 8 cm.

 


Bài tập 1 : Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Biết B  C 30 và A 3D .
Tính các góc của hình thang.

Bài tập 2: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng 40 .

Bài tập 3. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD ( AB  CD) . Kẻ các đường cao AH , BK
. Chứng minh DH CK .

Bài tập 4 . Cho hình thang ABCD ( AB // CD , AB  CD ). Hai tia phân giác của góc C và D
cắt nhau tại K thuộc đáy AB . Chứng minh
a) ADK cân ở A , BKC cân ở B ;

b) AB  AD  BC .

Bài tập 5. Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) , biết Ax , Dy lần lượt là phân giác của góc

A , góc D của hình thang. Chứng minh Ax  Dy .
Bài tập 6 . Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D trên cạnh AB , điểm E trên cạnh AC
sao cho AD  AE .
a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
b) Các điểm D , E ở vị trí nào thì BD DE EC ?
BUỔI 4:

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Ngày soạn:
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các công thức lũy thừa:
n
1. a =a.a.a...a

am m-n
n =a
5. a

0
2. a 1 a 0

n
n n
6. (a.b) a .b

1
a-n = n
a
3.

 a
an
=
 
bn
7.  b 

n

m n
n m m.n
8. (a ) =(a ) =a

m n m+n
4. a .a =a
Năm hằng đẳng thức đáng nhớ:

 A+B  = A +2 AB+B
A  B   A  2AB  B
2

2

2

2

2

2

A2 -B 2=  A+B  A-B 

 A  B  = A +3A B+3AB +B
 A  B   A  3 A B  3 AB 
3

3

3

3

2

2

2

3

2

2. BÀI TẬP
Bài 1: Thực hiện phép tính

2

1

b)  x - 
2


a) a 1

3

c ) 2 x  y 

 1
d) x - 
3


Bài 2. Thực hiện phép tính
3
2
a) ( x  2)  ( x  2)

2
3

B3

2
2
b) ( x  1) .( x  1)

 x  34

c) x  3
Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) x 2  4 x  4

b)  x  1 x - 1
c) x 3 - 6 x 2 y  12 xy 2 - 8 y 3
Bài 4: Tính giá trị biểu thức

2
1
1
8 x3  4 x 2  x 
x
3
27 khi
6
a)
3
2
2
3
27
x

54
x
y

36
xy

8
y
b)
khi x 1; y 1
a  b  biết a  b 7 và a.b 12
c) 
2

a  b
d) 
biết a  b 20 và a.b 3
2

Bài 5: Tính nhanh

a)3012
b) 99 2

c) 56.64
d) 532 + 47 2 + 47. 106
e) 54 . 34 – 152 – 1152 + 1
Bài 6: Chứng minh:

a  b  a - b 
a) 
2

2

 4ab

b) a  b  - a - b  4ab
2

2

 x  5   x  5
C
2

Câu 7:  Cho
và D.

2

x 2  25

2x
Câu 8:  Tìm x thỏa mãn 

3x
Câu 11:  Tìm x biết 

2

 và

2

x2  1

. Tìm mối quan hệ giữa C

– 1  – 5 x – 5    0
2

2x
Câu 9:  Tìm giá trị x thỏa mãn 
x
Câu 10:  Tìm x biết 

2 x  5   5 x  2 
D
2

 1  – 4  x  3   0
2

– 6  x  6  –

2

x

 3    9
2

– 1   2  x  3   111  x 1 – x   6
2

2

Câu 12:  So sánh A  2016.2018.a và B  2017.a (với a > 0)
Câu 13:  So sánh
Câu 14:  So sánh

A  2019.2021.a và B  2019 2   2.2019  1a

(với a > 0)

M  232  và N  2  12 2   12 4   128   1216   1

Buổi 5: HÌNH BÌNH HÀNH- HÌNH CHỮ NHẬT
Ngày soạn:
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hình bình hành và tính chất
a. Khái niệm hình bình hành
Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
b. Tính chất của hình bình hành
Trong hình bình hành:
a) Các cạnh đối bằng nhau.
b) Các góc đối bằng nhau.
c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
2. Dấu hiệu nhận biết
a. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh
 Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.
 Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.
b. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo
 Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.
 Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.
3. Hình chữ nhật
  Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

 Tứ giác ABCD là hình chữ nhật


 Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ 90 .

  Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân.

  Tính chất:
 - Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành.
 - Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân.
 - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

 Nhận xét:

A



B

M

C

 - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền,

1
BM  AC
2
ta có:
 - Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác
đó là tam giác vuông:

1
BM  AC  ABC
2
 Nếu
vuông tại A
  Dấu hiệu nhận biết:
 - Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
 - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD . Trên cạnh AB lấy điểm M , trên cạnh CD lấy điểm N sao
cho MB DN .
a) Chứng minh BMDN là hình bình hành.
b) Chứng minh AMCN là hình bình hành.
c) Gọi K là giao điểm của DM và AN và H là giao điểm của BN và CM . Chứng minh tứ
giác MKNH là hình bình hành.
Bài 2: Cho tam giác ABC , các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G . Gọi P là điểm sao cho
G là trung điểm của MP. Gọi Q là điểm sao cho G là trung điểm của NQ .

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Trên tia đối của tia MN , lấy điểm E sao cho AM NM . Chứng minh EQ MP .
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD . Gọi K là trung điểm AB , I là trung điểm của DC , BD lần
lượt cắt AI và CK tại M , N . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .
a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.
b) Chứng minh DM MN NB .
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba đường thẳng BD, AC , EF đồng quy.
Bài 5. Cho tứ giác ABCD có AC  BD O .
Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CD, DA .
Chứng minh rằng
a. OE  OF  OG  OH bằng nửa chu vi tứ giác ABCD
b. Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A , các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại O . Gọi D
là trung điểm của MO , E là trung điểm của ON
Tứ giác BNMC là hình gì? Vì sao?
Bài 7. Cho ABC vuông tại A , có AM là đường trung tuyến. Gọi D là một điểm thuộc AM
. Kẻ DI vuông góc với AB , DK vuông góc với AC
a) Chứng minh rằng IK // BC

1
IK  BC
3
b) Xác định vị trí điểm D trên AM sao cho
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi I , K theo thứ tự là trung điểm
của AB, AC . Chứng minh


a. IHK 90

b. Chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC

Bài 9. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AC . Lấy I là trung
điểm IH . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của HC , CE . Các đường thẳng AM , AN cắt HE
tại G và K
a. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b. Chứng minh HG GK KE .

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A , M thuộc BC . Gọi D và E là chân đường vuông
góc kẻ từ M đến AB và AC
a. Định dạng tứ giác ADME .
b. Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh A, I , M thẳng hàng.
c. Điểm M nằm ở đâu trên BC thì DE nhỏ nhất. Tính DE trong trường hợp đó biết

AB 15cm, AC 20cm
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A . Về phía ngoài tam giác ABC , vẽ hai tam giác vuông
cân

ADB  DA DB 

và

ACE  AE EC 

. Gọi M là trung điểm của BC , I là giao điểm của

DM với AB , và K là giao điểm của EM với AC . Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.
BUỔI 6:

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ(tiếp)
Ngày soạn:
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Tổng hợp kiến thức cần nhớ:
A 3 + B 3 = (A + B )(A 2 - AB + B 2)

Tổng hai lập phương:

A 3 - B 3 = (A - B )(A 2 + AB + B 2)
Hiệu hai lập phương :
2. BÀI TẬP
Bài 1: Viết các đa thức sau dưới dạng tích.
3
3
3
3
a) x + 1
b) 27 + 8x
c) 1- x
d) 27x - 8
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương.

(x + 2)(x
a)

2

(x c)

)

(x - 3)(x
b)

2

- 2x + 4

(

3y) x2 + 3xy + 9y2

(x
d)

)

4

)

+ 3x + 9

)(

)

+ 3x2 + 9 x2 - 3

(2x – 1)(1 + 2x + 4x )
e)

Bài 3: Rút gọn biểu thức

(
B = (a b - 5a)(a b + 5a b + 25a ) + 125a
b)
C = (2x + 3y)(4x - 6xy + 9y ) - 7x - 26y
c)
D = - y + 2 + (y + 2)(y - 2y + 4)
d)
a)

(

)

A = (x - y) x2 + xy + y2 - (x + y) x2 - xy + y2
2 2

4 4

3 2

2

2

2

3

)

3

3

3

2

Bài 4: Chứng tỏ các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến x.
a)
b)

(

)

(

)

A = (x + 1) x2 - x + 1 - (x - 1) x2 + x + 1

(

)

B = (2x + 6) 4x2 - 12x + 36 - 8x3 + 10

2

(

3

)

C = (x - 1) - (x - 3) x2 + 3x + 9 - 3x (1- x)

c)
Bài 5: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau.

(

3

a)

) với x = 2 .

A = (x - 1) - 4x (x + 1)(x - 1) + 3(x - 1) x2 + x + 1

(

)(

B = (x - 1)(x + 2) x2 + x + 1 4 - 2x + x2

b)
Bài 6: Tìm x, biết:

) với

(x + 2)(x
a)

- 2x + 4 - x (x + 3)(x - 3) = 26

(x - 3)(x
b)

+ 3x + 9 - x (x - 4)(x + 4) = 21

2

2

c)

1
2.

x =-

)

)

(2x - 1)(4x

2

)

(

)

+ 2x + 1 ) - 4x 2x2 - 3 = 23

Bài 7: Tìm x, biết:

(x - 1) - (x + 3)(x
a)
3

b)

2

(x + 1)(x

2

)

(

)

- 3x + 9 + 3 x2 - 4 = 2

)

(

)

+ x + 1 (x - 1) x2 - x + 1 = 7

Bài 8: Tính nhanh.
20233 + 1
A=
20232 - 2022

B=

a)
Bài 9: Tính nhanh.

b)

C =

233 + 273
- 23.27
50

x3 +

1
27

20233 - 1
20232 + 2024

D=

523 - 383
+ 52.38
14

a)
d)
Bài 10: Viết các đa thức sau dưới dạng tích.
x3
y3
c) 125 8

3
3
3 3
3
a)
b) 8 - 27x
d) 64x + 0,001
e) 64x - y z
Bài 11: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương.

(x + 2)(x
a)

2

(x c)

)

(x - 3)(x
b)

2

- 2x + 4

(

3y) x2 + 3xy + 9y2

(x
d)

)

4

)

+ 3x + 9

)(

)

+ 3x2 + 9 x2 - 3

Bài 12: Chứng tỏ các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến x.
a)

(

)

A = (x - 5) x2 + 5x + 25 - x3 + 2

(

)

(

)

B = (2x + 3) 4x2- 6x + 9 - 8x x2 + 2 + 16x + 5

b)
Bài 13: Tìm x biết:

(x - 3) - (x - 3)(x
a)
3

b)

2

)

2

+ 3x + 9 + 9(x + 1) = 15

(

)

x (x - 5)(x + 5) - (x - 2) x2 + 2x + 4 = - 17

(x - 1)(x
c)

2

)

+ x + 1 - x (x + 2)(x - 2) = 5

Bài 14: Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.

(2x + 3)(4x
a)

2

)

(

)

- 6x + 9 - 2 4x3 - 1

(

)

8x3 - 5 - (2x + 1) 4x2 - 2x + 1

b)

Bài 15: Chứng minh:
3

a)

3

x3 + y3 = (x + y) - 3xy (x + y)

b)

x3 - y3 = (x - y) + 3xy (x - y)

Bài 16:
3
3
a) Cho x + y = 1 và xy = - 1. Chứng minh rằng: x + y = 4
3
3
b) Cho x - y = 1 và xy = 6. Chứng minh rằng: x - y = 19
Bài 17:
2
2
3
3
a) Cho x + y = 3 và x + y = 5. Tính x + y
2

2

3

ĐS: a) 2
3

b) Cho x - y = 5 và x + y = 15 . Tính x - y
Bài 18: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau.

(

3

)

a)

P = (x - 1) - (x + 2) x2 - 2x + 4 + 3(x - 4)(x + 4)

b)

Q = 27 + (x - 3) x2 + 3x + 9

(

b) - 5

với x = - 5

) với x = - 3

3
3
3
3
Bài 19: Chứng minh rằng A = 1 + 2 + 3 + ... + 100 chia hết cho B = 1+ 2 + 3 + ... + 100.
Buổi 7: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG
Ngày soạn:
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a. Hình thoi:

A

B

O

D

C
* Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
* Tính chất về đường chéo: Trong hình thoi:
- Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
* Dấu hiệu nhận biết:

-Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
b. Hình vuông:

A

B

D

C

* Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
* Tính chất về đường chéo:
- Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường và là các đường phân giác của các góc của hình vuông.
* Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC , tia phân giác AD . Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt

AB ở E , qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F . Tứ giác AEDF là hình gì?
Vì sao?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD . Gọi M , N theo thứ tự là trung
điểm của AB và CD . Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?

Bài 3: Cho hình thoi ABCD có A 60 , vẽ BH vuông góc với AD rồi kéo dài một đoạn

HE HB . Nối E với A , E với D
a. Chứng minh rằng tứ giác ABDE là hình thoi.
b. D là trung điểm của EC .
c. EB  AC .
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác AD . Gọi M , N lần lượt là hình
chiếu của D trên AB, AC . Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông.
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD . Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của
AB, CD . Gọi H là giao điểm của AQ và DP , gọi K là giao điểm của CP và BQ . Chứng
minh PHQK là hình vuông.

Bài 6: Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm F trên cạnh DC lấy điểm E sao cho

AF DE . Chứng minh AE BF và AE  BF .
Bài 7: Cho tam giác ABC , tia phân giác AD . Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt
AB ở E , qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F . Tứ giác AEDF là hình gì?
Vì sao?
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD . Gọi M , N theo thứ tự là
trung điểm của AB và CD . Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?

Bài 9: Cho hình thoi ABCD có A 60 , vẽ BH vuông góc với AD rồi kéo dài một đoạn

HE HB . Nối E với A , E với D .
a. Chứng minh rằng tứ giác ABDE là hình thoi.
b. D là trung điểm của EC .
c. EB  AC
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác AD . Gọi M , N lần lượt là hình
chiếu của D trên AB, AC . Chưng minh tứ giác AMDN là hình vuông.
Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD . Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của
AB, CD . Gọi H là giao điểm của AQ và DP , gọi K là giao điểm của CP và BQ . Chứng
minh PHQK là hình vuông.
Bài 12: Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AD lấy điểm F trên cạnh DC lấy điểm E sao
cho AF DE . Chứng minh AE BF và AE  BF .

Buổi 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ngày soạn:
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương pháp đặt nhân tử chung:
Bước 1: Chỉ ra nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức.
2
VD: Đa thức: 2 x  4 x

Nhận xét: các hạng tử có nhân tử chung là 2x
Bước 2: Đặt Nhân tử chung ra ngoài ngoặc khi đó trong ngoặc là tổng các các nhân tử còn
lại của các hạng tử.
2 x 2  4 x 2 x.x  2 x.2 2 x  x  2 

Chú ý:
+ Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
+ Tính chất đổi dấu hạng tử:

2
A   A  A  A 

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

;

2

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó
để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
Phương pháp nhóm các hạng tử
Bước 1: Chọn và nhóm 2 hoặc 3, … hạng tử thành một nhóm sao cho mỗi nhóm sau khi phân
tích thành nhân tử thì các nhóm này có thừa số chung, hoặc liên hệ các nhóm là hằng đẳng
thức.
Bước 2:
+ Nếu các nhóm có thừa số chung: Đặt thừa số chung của các nhóm làm Nhân tử chung ra
ngoài ngoặc khi đó trong ngoặc là tổng các các thừa số còn lại của các nhóm.
+ Nếu liên hệ các nhóm tạo thành hằng đẳng thức thì vận dụng hằng đẳng thức.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)

2x 2 x  3  x x  3 

3
3
d) x  125 y

b)

3x  6 y  x  y 2 y  x 

c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3

4
3
e) x  x  x  1

f)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
5 x  3 y   15 x  x  3 y 
b) 

2
3 2
a) 3 x y  6 x y  9 xy

2  x  1  2 1  x   1  x 
3

3 x  y   5x  y  x 

c)
d)
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2

2

a)

2

2

2

6
6
b) x  y

a) x  4 xy  4 y  9
Bài 4: Tìm x , biết:

2 x  1   x  3 0

x 2  6  x  3  6 x 2  9

b)

x3 

1
x 0
3
2
4
c) x  3 x  3 x  9 0

3
2
d) 9 x  9 x  4 x  4 0

Bài 5: Tìm x , biết:
a)

x 2  6  x  3   6 x 2  9 0

b)

2x 2 x  3   x x  3  0

Bài 6: Chứng minh: 29 - 1 chia hết cho 73
Bài 7: Chứng minh: (n + 3)2 – (n – 1)2 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n.
3
2
Bài 8: Với n là số lẻ, chứng minh n  3n  n  3 chia hết cho 48

Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử:
4
3
a) 6 x  9 x
2 2
2
2
c) 9 x y  15 x y  21xy

Bài 10. Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
2
a) x  6 xy  9 y
3
c) x  64

0,125 a  1  1.
3

e)
Bài 11. Phân tích đa thức thành nhân tử:

10
6
b) 5 y  15 y
2 2
2 2
2
2
d) x y z  xy z  x yz

3
2
2
3
b) x  6 x y  12 xy  8 y
3
6
d) 125x  y

a)

2 x  x  1  2  x  1

b)

4 x  x  2 y   8 y 2 y  x 
c)
Bài 12. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a)

d)

2 x  1   x  1
2

2
2

c)
Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử:

f)

2
2
a) 3 x  12 y
3
2
3
c) x  3 x  3 x  1  27 z .
Bài 15. Phân tích đa thức thành nhân tử:

49  y  4   9  y  2 
2

2

x  x  1  x  x  5   5  x  1
2

2

973  833
 97.83
180

36.5   27.5 
A  x 2 x  y   z  y  2 x 
với x 1, 2; y 1, 4; z 1,8.
B  x  1 x 2  4 x  x  1  4  x  1
với x 3.
2

 25 0

Bài 18. Tìm x biết:
a)

2

2
b) x  4 x  5
4
2
d) x  x  1

2

c)
Bài 17. Tìm x biết:
2

2

2
2
b) 5 xy  10 xyz  5 xz

2
a) x  x  6
3
c) x  19 x  30
Bài 16. Tính giá trị biểu thức
432  112

2 x  1
a) 

9 x  5  x  7 

4
3
b) x  x  x  1
2
2
d) ax  a y  7 x  7 y

2
2
e) ax  ay  bx  by
Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử:

b)

2

d)

4
3
a) x  x  x  1
2
2
c) x y  xy  x  y

a)

3 x  x  1  5 x 2  x  1  7  x  1

b)

25  x  y   16  x  y 
2

y 2  x 2  y   zx 2  zy

3
b) 8 x  50 x 0

x  2  x 2  2 x  7   2  x 2  4   5  x  2  0

c)

3 x  x  1  x  1 0

4 x  25  2 x  5 2 x  7  0
2

c)
Bài 19. Chứng minh rằng với n lẻ thì:
2
a) n  4n  3 chia hết cho 8.

b)
d)

2  x  3  x 2  3 x 0
x 3  27   x  3 x  9  0

3
2
b) n  3n  n  3 chia hết cho 48.

Buổi 9: ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC
Ngày soạn:
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.1. Tỉ số của 2 đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
1.2. Đoạn thẳng tỉ lệ: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ' B ' và C ' D '
nếu có tỉ lệ thức:

AB A ' B '
AB
CD


CD C ' D ' hay A ' B ' C ' D '

1.3. Định lí Thalès trong tam giác:
a) Định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với hai cạnh của một tam giác và cắt hai
cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
b) Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai
cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của
tam giác.
2. BÀI TẬP
Bài 1: Tính tỉ số của hai đoạn thẳng sau:
a) AB 1, 2 m và CD 3,8 m .
b) MN 0,5 cm và
Bài 2: Cho hình vẽ:

KP 4,1km .
F

A

1,8 cm

4 cm

I
E

7 cm
D

2,7 cm

4 cm

1,4 cm

2 cm
C G

B

2,1 cm

H

J

a) Hai đoạn thẳng AE và AC có tỉ lệ với hai đoạn thẳng AD và AB không? Vì sao?
b) Hai đoạn thẳng HI và IF có tỉ lệ với hai đoạn thẳng HJ và JG không? Vì sao?

4
AB AB
;
C
5
AC
CB
AB
AB
Bài 3: Điểm
thuộc đoạn thẳng
và chia
theo tỉ số . Hãy tính các tỉ số:
.
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB 20 cm .

CA 3

a) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho CB 2 . Tính độ dài CB .
CA 3

CB
2 . Tính độ dài CD .
BA
D
b) Trên tia đối của tia
lấy điểm
sao cho
Bài 5: Tìm độ dài y trong mỗi hình vẽ sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
P
M

A
3
D
y
B

y

11

E

G

6

Hình 1 . DE // BC

F
C

N

y

7
H
y

3
Hình 2

P

R
3
Q

5,2

H
Hình 3.

3,3

E

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB 12 cm và AC 21 cm . Gọi G là trọng tâm và AM là
đường trung tuyến của tam giác ABC . Đường thẳng đi qua trọng tâm G và song song với BC
cắt AB , AC lần lượt tại N , P . Tính AN , NB , AP , PC .
A

N

P
G

Giải

C

B

M

AG 2

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có : AM 3 .
AG AN AP
AN AP 2




NP
/
/
BC

AM
AB
AC
AB
AC
3
Vì
nên theo định lí Thalès, ta có:
AN AP 2


12
21
3
hay
Bài 7: Tìm các đường thẳng song song trong hình vẽ và giải thích vì sao chúng song song với
nhau.
A

P

3,75
E

2
K

6,25

10
N

3
B

5

D
Hình 1a.

3

C

Q

6

M
Hình 1b.

5
4

R

Bài 8: Cho tam giác ABC có BC 4 cm . Trên cạnh BC , CA lần lượt lấy các điểm P , Q

PQ / / AB .
FE / / CD và FG / / CB ( E  AD và
Bài 9: Cho tứ giác ABCD và điểm F nằm trên AC .Kẻ
G  AB ). Chứng minh rằng EG / / DB .
sao cho CP 3 cm , AC 4 AQ . Chứng minh rằng

Bài 10: Cho tứ giác ABCD có góc B và góc D đều là góc vuông. Trên đường chéo AC lấy
điểm P . Kẻ PH  AB và PE  AD ( H  AB và E  AD ). Chứng minh rằng:

A

E

H

D
P

B

AH DE

1
AB DA
.

C

Giải
Vì PH  AB và BC  AB nên

PH / / BC . Vì PE  AD và CD  AD nên PE / / CD .

AH AP

PH
/
/
BC
AB
AC .
Vì
nên theo định lí Thalès, ta có:
DE PC
AH DE AP PC




1
PE
/
/
CD
DA
AC
AB
DA
AC
AC
Vì
nên theo định lí Thalès, ta có:
. Do đó:
.

AB / / CD ). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt
Bài 11: Cho hình thang ABCD (
các cạnh bên AD và BC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh rằng:
AM BN

MD
NC
a)

AM CN

1
AD
CB
b)

Giải
A
M

D

B
I

N

C

a) Gọi I là giao điểm của đường chéo AC với MN .
Áp dụng định lí Thalès vào hai tam giác ACD và ACB có

MI / / CD , IN / / AB ta được:

AM BN
AM BN
AM BN



MD NC (1); MD NC (2). Từ (1) và (2) suy ra: MD NC .

b) Áp dụng định lí Thalès vào hai tam giác ACD và ACB có
được:

AM AI
CN CI


AD AC (3); CB CA (4).
Cộng theo vế các đẳng thức (3) và (4), thu được:

MI / / CD , IN / / AB ta

AM CN AI  CI AC



1
AD CB
AC
AC
.
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của AM và CN với đường chéo BD .
Chứng minh rằng: DP PQ QB .
Giải
M

A

B

Q
P
D

N

C

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD , ta được:

AM  NC , AM / / NC .
Tứ giác AMCN có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành, do đó

MC / / AN , suy ra:

MQ / / AP , PN / / QC .
Áp dụng định lí Thalès vào hai tam giác APB và DQC có
được:
BQ BM

1
QP MA
 BQ QP (1).

MQ / / AP , P...