Hình học
phẳng

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
 Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác.

A

N

M

B

C

P

.
 Mỗi tam giác có ba đường trung bình.
2. Tính chất
 Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
Theo hình bên,
A

N

M

là đường trung bình của
3. Định lý đường trung bình của tam giác
 Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song
với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba của
tam
giác đó.
C

B

A

N

M

B

.

1

MN BC

C

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
 Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 1. Tìm độ dài trong các hình sau
A

M

C

x
x

B

N

15cm

N

3,5cm

B

C

M

a)

A

b)

Lời giải
a) Xét tam giác ABC, ta có
 M là trung điểm của AB;
 N là trung điểm của AC.
là đường trung bình của

b) Xét tam giác ABC, ta có
 M là trung điểm của AB;
 N là trung điểm của AC.
là đường trung bình của

.

.

.

.

Ví dụ 2. Cho tam giác
vuông tại ,
một đường thẳng song song với
cắt

,
. Qua trung điểm
. Tính độ dài
.

tại

của

, vẽ

Lời giải
Xét
đó,
Vì

có

và

nên

là đường trung bình. Suy ra
vuông tại

.

Do

.

nên
.

Vậy

.

2

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; hai đường thẳng song song.
 Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
 Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai đoạn thẳng bằng
nhau như đã học ở lớp 7.
Ví dụ 3. Cho tam giác
, các đường trung tuyến
,
. Gọi
,
theo thứ tự là
trung điểm của
và
. Gọi ,
theo thứ tự là giao điểm của
với
và
.
Chứng minh
.
Lời giải

Xét

có

Xét

có

.

.

Suy ra

;

;

.
.

Vậy

.

Ví dụ 4. Cho tam giác
, điểm ,
trung điểm của
, là giao điểm của
a)

thuộc
sao cho
và
. Chứng minh :

;

b)

Lời giải

a) Xét

có

b) Xét

có

.

.

3

.

. Gọi

là

Ví dụ 5. Cho tam giác
lượt là trung điểm
,
bằng nhau.

, các đường trung tuyến
. Chứng minh tứ giác

,

cắt nhau tại . Gọi ,
lần
có các cặp cạnh đối song song và

Lời giải

Xét

có

Xét

có

Từ

và

Xét

có

Xét

Từ

.

có

và

Vậy tứ giác

.
có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Ví dụ 6. Cho
là đường trung tuyến của tam giác
,
, là trung điểm đoạn thẳng
,
là trung điểm cạnh
. Chứng minh

và

.

Lời giải

Xét

có

Xét

có

.

.
4

là trung điểm của đoạn thẳng
,
là trung điểm cạnh

Từ

và

Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh tứ giác
hình thoi; hình bình hành; hình chữ nhật; hình vuông.
 Vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý đường trung bình của tam giác để
chứng minh bài toán liên quan.
Ví dụ 5. Cho tứ giác
,

,

. Gọi

,

. Chứng minh tứ giác

,

,

lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

là hình bình hành.

Lời giải
Xét tam giác

có

là đường trung bình

Xét tam giác

có

là đường trung bình

Từ

và

suy ra

Tứ giác

là hình bình hành.

Ví dụ 6. Cho tứ giác
có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi
thứ tự là trung điểm của các cạnh
,
,
,
. Chứng minh tứ giác
nhật.
Lời giải
Xét

có EH là đường trung bình.
và

Xét

có
và

. (1)
là đường trung bình.
. (2)
5

,

,

,
theo
là hình chữ

Từ (1) và (2)
Xét

là hình bình hành.(3)

có

là đường trung bình.

.
Mà

và
. (4)

Từ (3) và (4)

là hình chữ nhật.

Ví dụ 7. Cho tứ giác
có
,
,
,
. Chứng minh rằng

, gọi , , ,
là hình thoi.

lần lượt là trung điểm các cạnh

Lời giải
có

là đường trung bình nên

.

Hoàn toàn tương tự, xét các tam giác

Lại có

,

nên

Do đó

,

,

.

là hình thoi.

Ví dụ 8. Cho tam giác
đường thẳng song song

vuông cân tại . Gọi ,
là trung điểm
,
. Qua
và cắt
tại . Chứng minh rằng
là hình vuông.

Lời giải
Ta có
của
Mà

ta được

là trung điểm của

,

là trung điểm của
là trung điểm của

là đường trung bình
.
là đường trung bình của

là hình bình hành.
Mà

là hình chữ nhật. Mà
là hình vuông.

6

kẻ

Dạng 4: Bài toán thực tế liên quan đường trung bình tam giác.
 Vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý đường trung bình giải quyêt bài toán
liên quan.
Ví dụ 9.
Khi thiết kế một cái thang gấp, để đảm bảo an toàn người thợ
đã làm thêm một thanh ngang để giữ cố định ở chính giữa hai
bên thang (như hình vẽ bên) sao cho hai chân thang rộng một
khoảng là 80 cm. Hỏi người thợ đã làm thanh ngang đó dài bao
nhiêu cm ?
Lời giải

A

Gọi MN là thanh ngang ; BC là
MN nằm chính giữa thang nên
AC.
Suy ra MN là đường trung bình

M

Suy ra MN =
Vậy người thợ đã làm thanh
Ví dụ 10.
Giữa hai điểm

và

N
C

B

của tam giác ABC.
ngang đó dài 40 cm.

.

bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài

không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng
trung điểm của

độ rộng giữa hai bên thang.
M; N là trung điểm AB và

.

Lời giải
Xét tam giác ABC, có:
K là trung điểm AB
7

dài

và

là trung điểm của

mà
,

là

I là trung điểm AC
KI là đường trung bình của tam giác ABC

Hay

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác
. Gọi

,

là trung điểm

là giao điểm của

và

,

là một điểm nằm trên cạnh

. Chứng minh

là trung điểm của

sao cho
.

Lời giải
Gọi

là trung điểm

và

là trung điểm

là đường trung bình của

là trung điểm của

Bài 2. Cho tam giác
và
.

, trung tuyến

a) Chứng minh

;

. Gọi

a) Kẻ

,

.

là đường trung bình trong
là trung điểm của

.

là đường trung bình trong
là trung điểm của

.

8

.

là trung điểm

b) So sánh độ dài

Lời giải

.

và

,

.

là giao điểm của

Từ

và

suy ra

Có

.

;

, nên

Bài 3: Cho tam giác
cho
a)

.

, đường trung tuyến

. Gọi

là giao điểm của

là trung điểm của

.

. Gọi
và

là một điểm trên cạnh

sao

. Chứng minh rằng

b)

.

Lời giải
a) Qua
tại .

vẽ một đường thẳng song song với

Xét

có

và

cắt

nên

(định lý đường trung bình của tam
Mặt khác

, do đó

Xét

có

b) Xét
Xét

có

.

và
có

giác).

nên

hay O là trung điểm của AD.

là đường trung bình nên

.

là đường trung bình nên

Từ (1) và (2) suy ra

(1)

.

(2)

.

Bài 4. Cho tam giác
, hai đường trung tuyến
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Chứng minh rằng
a)

.

b)

.

là các đường trung tuyến của

nên

cắt nhau tại

. Gọi

Lời giải
a) Vì
Do đó

,

là đường trung bình của

, suy ra
9

,
.

.
(1)

và

Ta có

là đường trung bình của

nên
(2)

.
Từ (1) và (2) suy ra
b) Xét

.

, ta có

Xét

, ta có

là đường trung bình.
là đường trung bình. Do đó
. Suy ra
.

,

Bài 5. Cho tam giác
, đường trung tuyến
,
và
. Chứng minh rằng
a) Ba điểm

,

,

thẳng hàng.

b)

. Gọi

,

,

lần lượt là trung điểm của

là trung điểm của

.

Lời giải
a) Xét

có
hay

Xét

có

là đường trung bình nên
(1)

.

là đường trung bình nên

Từ (1) và (2) suy ra

,

b) Chứng minh
nhau).

,

, (2)

thẳng hàng.
(bằng

của hai đoạn thẳng

Bài 6. Cho tam giác
vuông tại
của
và
. Chứng minh rằng

, đường cao
.

bằng
. Gọi

và

lần lượt là trung điểm

Lời giải
Xét

có
.

Xét

có

là đường trung bình nên
và

là hai đường cao cắt nhau tại

.

Do đó
Bài 7. Cho hình chữ nhật
. Chứng minh:
a)

là hình thoi.

. Gọi
b)

,

,

,

,
,

Lời giải

10

,

lần lượt là trung điểm của

đồng quy.

,

,

,

a)

có

là đường trung bình nên

và

.
có

là đường trung bình nên

và

.
Suy ra

và

Hơn nữa,

có

. Do đó

là đường trung bình nên

Mà

(hình chữ nhật

b) Vì

là hình chữ nhật nên

Do đó tứ giác
Mà
Nên

là hình bình hành.

) nên

.
, suy ra

và

.

là hình bình hành.

là trung điểm của đường chéo

(trong hình chữ nhật

cũng là trung điểm của đường chéo

Và suy ra

cũng là trung điểm của đường chéo

Vậy

,

,

đồng quy tại

).

.

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được

,

là hình thoi.

là hình bình hành.
.

.

Bài 8.
Để làm cây thông noel, người thợ sẽ dùng một cái khung sắt
hình tam giác cân như hình vẽ bên, sau đó gắn mô hình cây
thông lên. Cho biết thanh BC = 120cm. Tính độ dài các thanh
GF; HE; ID.

Bài 9. Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái PQ =
1,5m. Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái DE biết Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC.
Em hãy tính giúp chú thợ xem chiều dài mái DE bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa) ?
11

D
P
Q

E

D

C

P
E

Q

C

Lời giải
Vì Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC nên PQ là đường trung bình của tam giác
CDE

Vậy chiều dài mái DE bằng 3m
Bài 10.
a/ Giữa 2 điểm A và B là một hồ nước. Biết A, B lần lượt là
trung điểm của MC và MD (như hình vẽ). Bạn Mai đi từ C đến
D hết 120 bước chân, trung bình mỗi bước chân của Mai đi
được 4dm.
Hỏi khoảng cách từ A đến B là bao nhiêu mét?

Lời giải

AB là đường trung bình của ΔMCD
AB =

CD = > AB = 60 (bước chân)

Khoảng cách từ A đến B là: 60 . 4 = 240 ( dm) = 24m.

b/ Để đo khoảng cách hai điểm B và C bị chắn bởi 1 cái hồ sâu, người ta thực hiện đo như
hình 1. Biết khoảng cách giữa hai điểm D và E đo được là 53m. Hỏi B và C cách nhau bao
nhiêu m ?
12

Hình 1

Hình 2

c/ Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B bị ngăn cách bởi một hồ nước người ta đóng các
cọc tại các vị trí A, B, M, N, O như hình 2 và đo được
. Tính khoảng cách AB biết
M, N lần lượt là điểm chính giữa OA và OB.

Bài 11.
Toán thực tế đường trung bình: Nhà tâm lý học Abraham Maslow (1908 – 1970) được xem
như một trong những người tiên phong trong trường phái Tâm lý học nhân văn. Năm 1943,
ông đã phát triển Lý thuyết về Thang bậc nhu cầu của con người (như hình vẽ bên). Trong đó,
BK = 6cm. Hãy tính đoạn thẳng CJ; EH?

13

Bài 12.
Để đo khoảng cách giữa hai điểm

và

bị ngăn cách bởi một hồ

nước người ta đóng các cọc ở vị trí
ta đo được

C

như hình vẽ. Người

. Tính khoảng cách giữa hai điểm

và

.
D

Lời giải
* C/m:

là đường trung bình

E

A

B

*

Bài 13. Một cáp treo di chuyển giữa hai địa điểm A và B của
một hồ nước (hình bên). Biết M, N lần lượt là trung điểm của
OA, OB và MN = 85m. Hỏi quãng đường di chuyển của cáp
treo từ A sang B dài bao nhiêu mét?
Lời giải
Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB.
Nên MN là đường trung bình của tam giác OAB

Suya ra AB = 2. MN = 2. 85 = 170m
Bài 14. Giữa 2 điểm A và N là một một hồ
nước sâu. Để tính khoảng cách giữa 2 điểm A
và N, một học sinh đã lấy M làm mốc và lấy H,
G lần lượt là trung điểm của MA, MN.
a)Chứng minh HG là đường trung bình.
b)Hỏi A và N cách nhau bao nhiêu mét.
Biết khoảng cách giữa 2 điểm H và G là
62m.
Lời giải
Xét

AMN ta có:
14

A

N
H

G
M

H là trung điểm AM(gt)
G là trung điểm MN(gt)
HG là đường trung bình

AMN

Vậy AN=124m
Bài 15. Người ta xây dựng mô hình như hình dưới để đo bề rộng MN của một cái hồ nước mà
không cần phải đo trực tiếp. Em hãy tính xem độ rộng của hồ nước trong hình vẽ là bao
nhiêu?
A
B

40m

C

N

M

Lời giải
Xét AMN, Ta có:
B là trung điểm của AM
C là trung điểm của AN
 BC là đường trung bình của AMN

Vậy độ rộng của hồ nước là 80 (m)

15