Hình học
phẳng

ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC.

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1.Đoạn thẳng tỉ lệ.
Hai đoạn thẳng AB và CD được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng
.
2. Định lí Thales .
 Định lí: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh
của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ta trên
hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
 Trong hình vẽ, nếu MN // BC thì
Do đó

.
. Suy ra

;

 Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam
giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh
còn lại của tam giác.
 Trong hình vẽ, nếu có một trong hai tỉ lệ thức :
thì ta cũng có MN // BC;
4. Hệ quả của định lí Thales đảo
 Hệ quả: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh
của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một
tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của
tam giác đã cho.
Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với cạnh
BC lần lượt cắt các cạnh AB; AC tại M và N. Khi đó , ta
có :
;

1

và

nếu có tỉ lệ thức

 Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của
tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng
 Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ.
Ví dụ 1.
Đoạn thẳng

gấp

lần đoạn thẳng

a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng
b) Cho biết đoạn thẳng
với đoạn thẳng
và

, đoạn thẳng

và

gấp

.

cm và
không?

lần đoạn thẳng
ĐS:

.
.

cm; hỏi hai đoạn thẳng
và
có tỉ lệ
ĐS: Có tỉ lệ.

Lời giải
a)

.

b)

. Vậy hai đoạn thẳng
.

2

và

tỉ lệ với đoạn thẳng

và

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ
 Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lí Ta-lét.
 Bước 2: Sử đụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của
tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 2. Tính trong các trường hợp sau.

a)
ĐS:

b)
.

c)

ĐS:

.

ĐS:

.

Lời giải
a)

.
b)

.
c)

.
Ví dụ 2. Cho hình thang
cắt các cạnh bên
,

có
theo thứ tự tại

3

và
. Đường thẳng song song với đáy
, . Chứng minh

a)

;

b)

;

c)

.

Lời giải
Gọi giao điểm của
a)

Vì

và

là

nên

.
và

nên

.
Từ

điều trên suy ra

.

b) Theo ý a) ta có

nên theo tính

của tỉ lệ thức suy ra

. Vậy

c) Theo ý b) ta có

chất
.

nên theo tính chất của tỉ lệ thức suy ra
.

Vậy

.

Dạng 3: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng
 Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ quả của định lý Ta-lét.
 Bước 2: Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của
tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tìm.
Ví dụ 3. Tính trong các trường hợp sau

a)

b)

Lời giải

4

a)

(đvđd).

b)

Ví dụ 4. Cho tam giác
vuông tại ,
cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng

,
và

cm,

cm,

.

Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì

.
,

cm.
Lại có tam giác

vuông tại

. Tính được

Dạng 4: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song
 Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác.
 Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta-lét để chứng minh các đoạn
thẳng song song.
Ví dụ 5. Cho hình thang
lượt là

. Chứng minh rằng

. Gọi trung điểm của các đường chéo
,

và

và

lần

song song với nhau.

Lời giải
Gọi giao điểm của hai đường chéo là

. Vì

5

nên

.
Suy ra

.

Từ

và

.

Suy ra

.

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

hay

Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra

.

mà

(do

là hình thang) nên

.
Dạng 5: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng
bằng nhau
 Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ
quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
 Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ
số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các
hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 6. Cho tam giác
. Qua

có

cm. Trên đường cao

vẽ các đường thẳng

a) Tính độ dài các đoạn thẳng
b) Tính diện tích tứ giác

và

.

Lời giải

Suy ra
Ta có
Suy ra

.

, biết rằng diện tích của tam giác

a) Ta có

lấy các điểm

.
(cm).
.
(cm).
6

là

cm .

sao cho

b) Vì

nên

Suy ra

nên

.
.

Suy ra

Ví dụ 7. Cho hình thang

. Đường thẳng song song với đáy

bên

và các đường chéo

a)

.

lần lượt tại

b)

cắt các cạnh

. Chứng minh

.

Lời giải
a) Ta có

.

b) Ta có

.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho biết độ dài của
lần độ dài của

gấp

lần độ dài của

và độ dài đoạn thẳng

.

a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng
b) Cho biết đoạn thẳng
với đoạn thẳng
và

và

.

cm và
không?

ĐS:

a)

.

b)

.

Vậy hai đoạn thẳng

và

.

dm, hỏi hai đoạn thẳng
và
có tỉ lệ
ĐS: Không tỉ lệ.

Lời giải

Bài 2. Tính

gấp

không tỉ lệ với đoạn thẳng

trong các trường hợp sau.
7

và

.

a)
ĐS:

b)
.

ĐS:

.

Lời giải
a)

.
b)

.
Bài 3. Cho góc

khác góc bẹt. Trên tia

thẳng song song, cắt
tia
tại .
a) So sánh

và

lần lượt tại

;

và

b) Chứng minh

và

lấy các điểm
. Qua

.

Lời giải

b) Từ a) ta có

;

.

suy ra

.
8

. Qua

và

vẽ hai đường

vẽ đường thẳng song song với

ĐS:

.

a) Theo định lí Ta-lét ta có

,

;

.

cắt

Bài 4. Tính

trong các trường hợp sau.

a)
ĐS:

b)
.

ĐS:

.

Lời giải
a)

.

b)

.

Bài 5. Cho tam giác
Chứng minh
a)

, đường thẳng

cắt

;

,

lần lượt tại

b)

,

.

Lời giải
Từ

suy ra

(theo định lí Ta-lét đảo).

a) Vì

nên theo định lí Ta-lét ta có

;

b) Vì

nên theo định lí Ta-lét ta có

.

Bài 6: Cho góc
. Trên tia
, lấy theo thứ tự điểm
Trên tia
, lấy điểm với
. Từ , kẻ
đường thẳng song song với
cắt
tại . Tính độ
dài
.
Lời giải
Xét

có:

(gt)
9

sao cho

sao cho

.

(định lí Ta-let trong tam giác)

Bài 7: Tìm x trong hình

Biết
Hình 1
Lời giải

Hình 2

Hình 1. Trong tam giác ABC,

ta có:

Hình 2. Ta có:
Trong

Suy ra
suy ra:

( hệ quả của định lí Ta-let)

.
( hệ quả của định lí Ta-let)

Hình 3.Áp dụng định lí Pytago trong

Trong

Hình 3

suy ra:

ta có:

( hệ quả của định lí Ta-let)
;

Trong

suy ra:

( hệ quả của định lí Ta-let)

10

Bài 8. Cho tam giác
Tính theo

có cạnh

. Trên cạnh

. Từ
kẻ các đường thẳng song song với
độ dài các đoạn thẳng
và
.

lấy điểm
cắt

và

sao cho

theo thứ tự tại

.

Lời giải
Áp dụng định lý Ta-lét ta có

.

Tương tự ta có

.

Bài 9. Cho hình thang cân

có hai đường chéo

lần lượt là trung điểm của
a) Tính độ dài đoạn thẳng

và

. Biết rằng

.

và

cắt nhau tại

, đáy lớn

b) Chứng minh

. Gọi

cm.

.

Lời giải
a) Vì

nên

Suy ra

.

nên

Vậy

.
.

b) Vì

nên
suy ra

.

Vậy

.

Bài 10. Cho hình thang cân
cạnh bên
a)

. Đường thẳng song song với đáy

và các đường chéo

lần lượt tại

.

b)

Lời giải
a) Ta có

.
11

.

. Chứng minh

cắt các

b) Ta có

suy ra

Bài 11. Tam giác
và đường cao

a)

.

, đường cao
. Đường thẳng
theo thứ tự tại các điểm , ,

;

song song với
. Chứng minh

b)

, cắt các cạnh

,

.

Lời giải
a)

.

b)

Bài 12. Tính

.

trong các trường hợp sau

a)

b)

Lời giải
a)
b)

(đvđd).
(đvđd).

Bài 13. Cho tam giác
,
cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng
Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì

. Suy ra
12

cm,
và

.

cm,

cm,

cm.
cm.
Bài 14. Cho tam giác
điểm

sao cho

có điểm

trên cạnh

. Chứng minh

sao cho

song song với

. Trên cạnh

lấy

.

Lời giải
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
.
Mặt khác
Suy ra

.
. Vậy

.

Bài 15. Cho tam giác

, đường cao

và đường cao

theo thứ tự tại các điểm

a) Chứng minh
b) Cho

. Đường thẳng

song song với

, cắt các cạnh

.

.
và diện tích tam giác

là

cm . Tính diện tích tam giác

.

Lời giải
a) Ta có
b) Vì

.
nên

.

Suy ra
.
Bài 16. Cho hình thang
với
có hai đường chéo
,
đường thẳng qua song song với đáy cắt các cạnh bên tại
và
. Chứng minh
.
13

cắt nhau tại
theo thứ tự tại

và
và

Lời giải
Xét

có

nên

theo định lí Ta-lét ta có
Xét

có

.

(1)

nên theo định lí Ta-lét ta

.
Xét

(2)
có

nên theo định lí Ta-lét ta

.
Từ

,

Suy ra

có

(3)
,

suy ra

.

.

14

có